微重點(diǎn)12立體幾何中的動態(tài)問題

“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點(diǎn)、

線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動態(tài)”的存在,

也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問

題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.

考點(diǎn)一動點(diǎn)軌跡問題

例1（多選）（2021.新高考全國I）在正三棱柱中，A3=A4=1,點(diǎn)P滿足崩=

庇+〃砒其中2"[0川,蚱[0,1],則（）

A.當(dāng)7=1時(shí)，△ABiP的周長為定值

B.當(dāng)"=1時(shí)，二棱錐"一A4C的體積為定值

C.當(dāng)人=刎，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

D.當(dāng)"=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4出1.平面

答案BD

解析麗=2就+/,麗(0W2W1,O0W1).

對于選項(xiàng)A,當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)。在棱CG上運(yùn)動，如圖1所示，此時(shí)△4S尸的周長為AS+

AP+/田=啦+[11+（1—〃）2=6+41+"2+、2—2〃+42,不是定值，A錯誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)"=1時(shí)，點(diǎn)P在棱BiCi上運(yùn)動，如圖2所示，

圖2

則VffBc=^A-PBC=?也順義坐'=弋"538。=專~'J義1X1為定值，故B正確；

對于選項(xiàng)C,取4C的中點(diǎn)。，81G的中點(diǎn)。I,連接QQi,A山（圖略），則當(dāng)i=；時(shí)，點(diǎn)P

在線段。。上運(yùn)動，假設(shè)AiP_L8P,則4P2+8P2=A^2,即Gg）+（i—"）2+（§2+笛=2,

解得〃=0或〃=1,所以當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)?；?重合時(shí)，4PJ_8P,C錯誤；

方法一對于選項(xiàng)D,易處四邊形4B當(dāng)4為正方形，所以設(shè)斗囪與交于點(diǎn)

K,連接PK（圖略），要使AB_L平面ASR需4B_LKP,所以點(diǎn)P只能是棱CG的中點(diǎn)，故

選項(xiàng)D正確.

方法二對于選項(xiàng)D,分別取8叢，CG的中點(diǎn)E,F,連接EE則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸在線段

E尸上運(yùn)動，以點(diǎn)G為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系CM*,則8（0,1,1）,?!（0,1.0）,

A|（坐,2,。），電，1T,；）,

所以布=（—乎，*1），瓦?=（0,—A,￡）,

若4BJ_平面45P,則所以一彳+3=0,解得；1=1,所以只存在一個(gè)點(diǎn)P,使得

A^_L平面A?P,此時(shí)點(diǎn)P與尸重合，故D正確.

規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動點(diǎn)凱跡問題的方法

（1）幾何法：根據(jù)平而的性質(zhì)進(jìn)行判定.

（2）定義法：轉(zhuǎn)化為平面枕跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.

（3）特殊值法：根據(jù)空間圖防線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

跟蹤演練1（多選）（2022?漳州質(zhì)檢）已知正方體A8CD-4囪的邊長為2,M為CC,的中

點(diǎn)，P為平面8CGS上的動點(diǎn)，且滿足AM〃平面482則下列結(jié)論正確的是（）

A.

B.CD〃平面4B?

c.動點(diǎn)P的軌跡長為斗亙

D.AM與A/i所成角的余弦值為坐

答案BC

解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則40.0,2),A/022),

5(0,0,0),Bi(0,2,0),

M(2,l,0),P(x,y,0),

所以乖=((),-2,-2),

BP=(x,)，,0),

/W=(2,l,-2),

由AM〃平面得病=〃屈+。沛，

0+/?x=2,

即?-2〃+處=1,化簡可得31-2)，=0,

-2a=~2t

所以動點(diǎn)P在直線3A—2y=0上，

A選項(xiàng),巍=(2,1,-2),而=(2,-1,0),

布?而=2X2+1X(一|)+(-2)X0=3#0,

所以AM與囪M不垂直，A選項(xiàng)錯誤；

B選項(xiàng)，CDI〃AI3,A8U平面48P,

COQ平面4由P,

所以C￡)i〃平面4BRB選項(xiàng)正確：

C選項(xiàng)，動點(diǎn)P在直線3x—2y=0上，且P為平面8CC8上的動點(diǎn),

則P在線段PiB上,2,0),

+22+0』平,

所以尸4=

C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，彳商=(0,0,-2),

-*--42

C°S=^^—=-=-,

體積為4鏟肥=4鏟*（水L）3=隊(duì)同L兀，故B錯誤;

C選項(xiàng)，當(dāng)BE=BF=^BC=1時(shí),

A\E=A\F=3,EF=A/2,

4/+4尸一石尸

在△AiEf'中，cosZE4iF=

2A|EA|F

_32+32~(^2)2_8

=2X3X3=9*

近

AsinZE4|F=

9

則S3F=，4EA|ksinNE4]F

1-歷

-2xJx3x92，

?*V\_EFD=VD_、EFA。

="X^^X4=￥亙，故C正確；

DU+DP-EF?

D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)4到平面EFO的距離為人，則在△EFQ中，cosZ￡DF=-2DEDF-

_52+52-(^2)2_24

―2X5X5=25,

7

：

.sinZEDF=25T

則S^EFD=^DEDFsinZEDF

=；X5X5X_7_=7

25=2,

25

?Vv/:=^X-X

,,A^-EFD=^-5AEFD-/I=3

即〃=耳亙，故D正確.

規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：不變的線線關(guān)系、

不變的數(shù)量關(guān)系.

跟蹤演練2（多選）（2022?南通模擬）己知菱形ABC。的邊長為2,NABC=全將△D4C沿著對

角線AC折起至△力’AC,連接B。'，設(shè)二面角。'一4。一8的大小為仇則下列說法正確

的是（）

A.若四面體Q'A8C為正四面體，則〃=中

B.四面體O'A8C體積的最大值為1

C.四面體O'A8C表面積的最大值為2（小+2）

D.當(dāng)夕=與時(shí)，四面體ABC的外接球的半徑為軍

答案BCD

解析如圖，取AC的中點(diǎn)O,連接OS,OD',

則OB=OD',OBA-AC,

OD'.LAC,

/BOD，為二面角O'—AC—B的平面角，

即N8。。'=0.

若O'44c是正四面體，則40=0'0N4。'，

△OBD'不是正三角形，燈與，A錯誤；

四面體O'4BC的體積最大時(shí)，BO_L平面AC。'，

此時(shí)B到平面AC?！木嚯x最大為8。=小，

而S/.ACD'=坐乂22=代，

所以V=gx45x小=|,B正確；

S^ABC=SAACD=小，

易得△84。'dBCD，,

S^BAD=S/\BCD="2^22sinBCD'

=2sinZBCD,,

未折疊時(shí)8?！?8。=2小，折疊到8,D'重合時(shí)，BD,=0,故中間存在一個(gè)位置，使得

BD'=2小，

此時(shí)BC2+O'C^B。'2,NBO?！c

此時(shí)以網(wǎng)）=S^co=2sinZBCD/取得最大值2,

所以四面體?！疉8C的表面積最大值為2（小+2）,C正確；

當(dāng)6=竽時(shí)，如圖，設(shè)M,N分別是△"/）'和△/?"的外心,過點(diǎn)M.N分別作平面AS',

平面84C的垂線，兩垂線交于一點(diǎn)P,連接P&則。是三棱錐外接球的球心，P8即為三棱

錐外接球半徑，

由上面證明過程知平面與平面ABC、平面O'人C垂直，即P,N、O,M四點(diǎn)共面，

因?yàn)椤?,，則NPON=?

ON《X坐義2=坐時(shí)9曰X2=￥，

PN=OMlan胃=*X小=1,

P8=、PM+W=弋12+（2^=粵,

D正確.

考點(diǎn)三最值、范圍問題

例3（多選）（2022?梅州模擬）如圖，在長方體A5CD-A向CQ中,AB=AD=l,例尸2,動

點(diǎn)P在體對角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)P為8A的中點(diǎn)時(shí)，NAPC為銳角

B.存在點(diǎn)P,使得8Q|_L平面APC

C.AP+PC的最小值為2?近

D.頂點(diǎn)8到平面APC的最大距離喈

答案ABD

解析如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)麗=2麗(04W1),

則A(l,0,0),僅1,1,0),

C(0,l,0),。|(0,0.2),

則麗=(一1,一1,2),

故麗=7麗

=(—T,22),

則方>=油+而=(0,10)+(一九一九22)

=(T,IT,22),

CP=ch-|-?P=(l,0,0)+(-2,-2,2A)

=(1—2,—2,22).

對于A,當(dāng)P為/犯中點(diǎn)時(shí)，唱1,1),

則前=e，_I,_)1=(w2*一)

P4.PT1

所以COSZAPC=±±LS-=^>0,

血的

所以NAPC為銳角，故A正確；

當(dāng)B"J_平面4PC時(shí)，

因?yàn)锳P,CPU平面APC,

所以3Qi_LAP,BOi_LCP,

BD；JP=2+A-1+4A=O,

則:

BD\-&=k-1+2+42=0,

解得％=1,

故存在點(diǎn)P,使得BQiJ?平面4PC,故B正確；

對于C,當(dāng)BG_LAP,BQiJLCP時(shí)，A尸+PC取得最小值,

由B得，此時(shí)2=看，

則辦=(七I),CT=g,-I-9,

所以|—AP|=_|CPA1/=5O%，

即4尸+尸。的最小值為亭，故C錯誤；

對于D,施=(0,1,0),AC=(-1,1,0),

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為〃=(x,)，，z),

〃.公=_%+y=0,

則有<

.〃行=一八+（1—冷），+2貶=0,

可取〃=(2；.,22,2A-1),

則點(diǎn)8到平面APC的距離為

|A8|.|cos<AB,n>L

|2z|

r⑵2一以十「

當(dāng)2=0時(shí)，點(diǎn)8到平面APC的距離為0,

當(dāng)0<2Wl時(shí)，

|2月I

__.1_爽

一

當(dāng)且僅當(dāng)4=3時(shí)，取等號，所以點(diǎn)8到平面APC的最大距離為坐，故D正確.

規(guī)律方法在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解

題思路是

⑴直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求

目標(biāo)函數(shù)的最值.

跟蹤演練3(2022?荷澤質(zhì)檢)如圖，等腰RCA班:的斜邊A5為正四面體A—3C。的側(cè)棱，

AB=2,直角邊4E繞斜邊回旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，三棱錐E-BCO體積的取值范圍

是.

A

解析如圖，令尸為CO的中點(diǎn)，。為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E在以。為圓心，1為半徑的圓上

運(yùn)動，

由圖可知當(dāng)F,O,E三點(diǎn)共線，且。在尸，石之間時(shí)，三棱錐E-BCO的體積最大，當(dāng)運(yùn)動

到E的位置時(shí)，E—BCO妁體積最小，

在尸中，BO=1,BF=，5,OF=y[2,

A

sinZBFO=\,FE=V24-1,FE尸小T,

J

設(shè)E,昂到平面BCD的距離分別為小，力2,則

]~\/^+小

人尸小=3

V2-1V6-V3

h2=小=3

5ZXBCD=]X2X,\/3=-\/3,

所以三棱錐E-BCD體積的最大值為小X逅步=吟也

三棱錐E-HCD體積的最小值為gx小x乖;小=嚀2,

所以三棱錐￡一58體積的取值范圍為[嚀」，闿1]

專題強(qiáng)化練

1.（多選）（2022?佛山模擬）在棱長為3的正方體A3CD-A151c出中,M是43的中點(diǎn),N在

該正方體的棱上運(yùn)動，則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)N,使得MN〃BG

9

B.三楂錐M-A由G的體積等于工

C.有且僅有兩個(gè)點(diǎn)N,使得MN〃平面48G

D.有且僅有三個(gè)點(diǎn)N,使得N到平面48G的距離為小

答案BC

解析對于A,顯然無法找到點(diǎn)N,

使得MN〃8G,故A錯誤；

對于B,匕夕一八BC=匕-AMC~T^AAMC，

nl/?|OV?￡>jVJV..?o/MJVJV|I

I139

=3X2X2X3X3=4,故B正確；

對于C,如圖所示，分別為BiB,81G的中點(diǎn)，有MM〃平面446,加電〃平面44?,

故C正確；

對于D,易證8。_1_平面ABC,平面ACQi,且&Oi=OiO2=QO=g8iO=，5,

所以有點(diǎn)小，人，C,小四點(diǎn)到平面48G的距離為小，故D錯誤.

2.（2022?蕪湖模擬）已知四棱錐尸一4BCO的高為、俗，底面ABC。為矩形，BC=3,AB=2,PC

=PD,且平面PC'。J_平面AAC'D現(xiàn)從四棱錐中挖去一個(gè)以CO為底面直徑，。為頂點(diǎn)的半個(gè)

圓錐，得到的幾何體如圖所示.點(diǎn)N在弧&上，則PN與側(cè)面布8所成的最小角的正弦值

為（）

A5

76-72

。4

答案A

解析如圖所示，分別取,48,CQ的中點(diǎn)為&F,連接EF,EF與睇交于點(diǎn)、H.

記點(diǎn)N到側(cè)面AW的距離為乩PN與側(cè)面以8所成的最小角為"由于PN的長為定值，因

此當(dāng)且僅當(dāng)4最小時(shí),PN與側(cè)面粗8所成的角最小，此時(shí)點(diǎn)N與，重合

由平面尸。。_1_平面48C。易知尸凡LEF,

后1

又尸尸=小，EF=3,所以（an。=為-,即sin

3.（多選）如圖是四棱錐尸一ABC。的平面展開圖，四邊形ABC。是矩形，EDLDC,FD_DA,

DA=3,DC=2,/"。=30。.在四棱錐尸一ABC。中，M為棱PB上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列

說法正確的有（）

A.OM的取值范圍是［粵，行）

B.存在點(diǎn)M,使得。

C.四棱錐尸一48CD外接球的體積為等

D.三棱錐用一以。的體積等于三棱錐“一PCD的體積

答案AD

解析把平面圖形還原得到原四棱錐，如圖，

由ED工DC,FDVDA,

可知P/?_LOC,PDLDA,

又DSDA=D,DA,OCU平面ABC。，

所以。。_1_平面ABCD.

在RtZSAQP中，ZE4D=3O°,D4=3,

故PD=3lan30。=小，

連接08,在矩形A8CD中，D4=3,DC=2,

D3=、22+32=6,

在RtAPDB中,

PBKPADB?=43+13=4,

^3X^13^39

所以點(diǎn)。到直線08的距離為

4-4

故。M的取值范圍是［零，蟲），故A正確；

對于B,假設(shè)QM_L8C,

因?yàn)镴_平面ABCD,BCU平面ABCD,

所以PQ_LBC,

因?yàn)镻OGQM=O,所以8C_L平面P8O,

因?yàn)?3OU平面P/3Q,所以3CJ_8。，與已知條件矛盾，故B錯誤；

對于C,將此四棱錐可以補(bǔ)形成一個(gè)長方體，為長方體的一條體對角線，同時(shí)也是四棱錐

P一ABCQ外接球的直徑，所以半徑為2,

其體積V=與X23=苧，故C錯誤；

在工nrnMPVM-PCDMP

對于D'因?yàn)榭衫?麗’刀蒜F

而VB-R\D=Vp-BAD=Vp-BCD=VB-PCDI

所以VMPAI）=VM-PCI）＞故D正確.

4.（多選）（2022?濰坊模擬）已知四面體ABC。的4個(gè)頂點(diǎn)都在球0（0為球心）的球面上，如圖，

△44C為等邊三角形，M為底面48C內(nèi)的動點(diǎn)，A4=3D=2,4。=啦，且4cL3D,則（）

A.平面ACO_L平面A8C

B.球心。為△人8C的中心

C.直線0M與CO所成的角最小為生

D.若動點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到平面ACD的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分

答案ABD

解析如圖，設(shè)△A8C的中心為G,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則BE_LAC.

???AC_LB。，BEC\BD=B,BE,BQU平面8QE,

，4C_L平面BDE,又OEU平面BDE,

則八C_L/)E,

又△ABC為等邊三角形，

AB=BD=2,AD=?

：.AE=\,DE=\,BE=y[3,

:?D碎+RF^=Rr>2.即nFIBE,

XBELAC,ACODE=EtAC,QEU平面4。。,

???8E_L平面AOC,又BEU平面ABC,

J平面ACQ_L平面A3C,故A正確；

又,.?GE=W，GB=GA=GC=￥，

故G為四面體A8CD的外接球的球心，即球心。為aABC的中心，故B正確；

JT7T

當(dāng)0MzMc時(shí)，NOCA尤直線。歷與CD所成的角，由上知/。。4=不可，故C錯誤；

由平面人C7）J_平面ABC可知，動點(diǎn)M到平面人C。的距離即為動點(diǎn)用到直線人C的距離，

由拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.

5.（多選）如圖1,在矩形A8CO與菱形A8E尸中，AB=2BC=4,ZABE=120°,M,N分別

是BF,AC的中點(diǎn).現(xiàn)沿44將菱形ABEF折起，連接FQ,EC,構(gòu)成三棱柱4”。一6￡匕

如圖2所不，^ADIBF,記平面AMNP半山JA。/=/,則（）

A.平面43CO_L平面A3EF

B.MN//1

C.直線E尸與平面AOE所成的角為60。

D.四面體￡48。的外接球的表面積為14阮

答案AB

解析對于A,由于矩形ABC。，貝

又因?yàn)锳O_L8P,而A8nBF=8,

A8,8rU平面八8七〃，

所以AO_L平面

又AQU平面A8C￡）,

所以平面人8CQ_L平面人BEE所以A選項(xiàng)正確；

對于B,因?yàn)镸,N分別是8F,AC的中點(diǎn)，四邊形A8E/是菱形,

則用也是A￡的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)，可知MN〃EC,

由于三棱柱A〃Q-4EC,

則平面8EC〃平面ADFf

又ECU平面BEC,

所以EC〃平面ADF,

而平面AMND平面ADF=l,

則EC〃/,所以MN〃/,所以B選項(xiàng)正確；

對于C,由于四邊形A8瓦是菱形，則AE_L8F,

又因?yàn)槎鳤EnA￡>=A,AOU平面4OE,

所以BF_L平面ADE,

所以/尸EM為直線七戶與平面AOE所成的角，

又因?yàn)镹A4E=120。，

則NBE戶=60。，所以N/TM=30。，

故直線即與平面4OE所成的角為30。，所以C選項(xiàng)不E確；

對于D,由題可知43=28C=4,N44E=120。，

則在a/W石中，

AE=2AM=2Absin^ZABE

=2X4Xsin60°=473,

由正弦定理可得AABE的外接圓半徑

1；AE1、，4小/

r=2XsinZ/A^=2Xsin120。=%

由A選項(xiàng)可知，AO_L平面A8EF,

所以四面體EABD的外榜球半徑

R=q戶+&￡>>=也4

故四面體EABD的外接球的表面積S=4兀&=4兀X17=68兀，所以D選項(xiàng)不正確.

6.（多選）（2022?德州模擬）在棱長為1的正方體A8CQ-A，G。]中,已知E為線段81c的中

點(diǎn)，點(diǎn)〃和點(diǎn)尸分別滿足萬方=）.萬百，而二屈,其中九"￡[0,1],則下列說法正確的

是（）

A.當(dāng)2=3時(shí)，三棱錐「一￡尸。的體積為定值

兀

B.當(dāng)〃=；I時(shí)，四棱錐吁ABC。的外接球的表面積是9嚀

C.PE+尸產(chǎn)的最小值為平

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(2,4),使得EP_L平面PDF

答案ABD

解析對于A,當(dāng)2=3時(shí).

尸為