.ZHUANTILIU

專題六解析幾何

第1講直線與圓

［考情分析］1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，多以選

擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長(zhǎng)、面積等，中

高難度.

考點(diǎn)一直線的方程

【核心提煉】

1.已知直線（：Ad+8iy+G=0（4,S不同時(shí)為零），直線/2:4加+82丁+。2=0（42,&不

同時(shí)為零），則/］〃/2O4%一八/］=0,且AIG-AJGHO,/1_L/20AM2+B］儀=0.

|Ax（）+Bv（）+C|

2.點(diǎn)P（xo,和）到直線/:Ar+By+C=O（A,8不同時(shí)為零）的距離d=

y]A2+B2

3.兩條平行直線/i：Av4-By+G=0,Z2：Ax+8.v+C2=0（A,B不同時(shí)為零）間的距離d=

IG-C2I

y/A2+l32

例1（1）（2022?常德模擬）已知直線Z?一4y—3=0,/2：工一少+1=0，則％=2”是“1\〃片‘

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若八〃/2,

則有一岸+4=0,解得。=±2,

當(dāng)a=2時(shí)，/［：Zv—4y—3=0,

，2：x—2y+l=0,/1//

當(dāng)。=一2時(shí)，/i：2r+4y+3=0,

/2：x+2y+l=0,

所以若1〃，2,則〃=±2,

所以“a=2”是“八〃/2”的充分不必要條件.

(2)(2022?濟(jì)寧模擬)己知直線爾h+y=0過(guò)定點(diǎn)A,直線八：x—6+2吸+2*=0過(guò)定點(diǎn)8,

Zi與12的交點(diǎn)為C，則HCI+IBC］的最大值為.

答案2乖

解析由爾h+y=0.得過(guò)定點(diǎn)46。)，

由/2：*+2娘+網(wǎng)2-y)=0,

得/2過(guò)定點(diǎn)8(—2小，2),

顯然女Xl+lX(—k)=0,即/i,A相互垂直，

而4與6的交點(diǎn)為C,

即人C_LBG又|人8|=25，

???|AC12+|BC|2=I2,

???(|Aq+|Bq)2=12+2|Aa|Bq這12+(|AC|2+|Bq2)=24,

??.|AC|+|8C1的最大值為2-/6,

當(dāng)且僅當(dāng)HC|=0C|=班時(shí)，等號(hào)成立.

??.|AC|+|8a的最大值為2#.

易錯(cuò)提醒解決直線方程問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用482—428=0走立方程求出參數(shù)的值后，要注意代

入檢臉，排除兩條直線重合的可能性.

(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸叁直，

而截距式方程既不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在.

跟蹤演練1(1)己知直線/：?+)，-2+〃=()在x軸與>軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)〃的值是

()

A.IB.-1

C.-2或1D.2或1

答案D

解析當(dāng)〃=()時(shí)，直線)，=2,此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)。#0時(shí)，由直線/："+y—2+〃=0可得，橫截距為與工，縱截距為2—a

解得a=\或a=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，。=1,2均符合題意，故。的值是2或1.

（2）若直線八：x—2），+l=D與直線/2：2r+w+l=0平行，則直線/）與乙之間的距離為

答案W

解析由直線/i：x—2y+l=0與直線，2：2x+〃?y+1=0平行，

可得1X〃L2X（—2）=0,即小=一4,故兩直線可化為/i：2r-4y+2=0,/2：2丫-4），+1=0,

故直線G與/2之間的距離為

考點(diǎn)二圓的方程

【核心提煉】

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為（4,b）,半徑為,?時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（X—4）2+°，一份2=戶

2.圓的一般方程

%2+y2+Dx+Ey+F=0,蕓中Z^+^-dQO,表示以（一弓，一力為圓心，'----5------為半

徑的圓.

例2（1）己知圓C與直線y=x及x—y—4=0都相切，圓心在直線y=-x上，則圓。的方程

為（）

A.（x+1）2+。-1產(chǎn)=2

B.（x+1）2+。+1>=2

C.（x-1）2+&-1）2=2

D.（X—1）2+。+1）2=2

答案D

解析因?yàn)閳A心在直線），=一工上，

設(shè)圓心坐標(biāo)為（4,—4）,

因?yàn)閳AC與直線y=x及x—y—4=0都相切，

|。+。||。+。一4|

所以'

解得。=1,所以圓心坐標(biāo)為（1,-1）,

所以R二"

2a+b-l=0,

則，（3—。）2+按=戶,

42+（1—力）2=3，

。=1,

解得卜=一|,

.3=5,

?,?G>M的方程為（工一l）2+（y+1）2=5.

方法二設(shè)。M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0）,

則從一與，-f）,

r（-f）+（-f）T=。，

A|9+3。+r=0,

〔l+E+F=0,

D=.2,

解得，E=2,

、F=-3,

AOM的方程為￡+)2—〃+2〉，-3=0,

即(X-1尸+。+1)2=5.

方法三設(shè)A(3,0),8(0,1),0M的半徑為r,

則以8=W^=—g，A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為修￡)

?-AB的垂直平分線方程為y—；=3(x一號(hào)，

即3x-y-4=0.

3x—4=0,x=I,

聯(lián)立，解得

2x+>'—1=0,尸T，

AM(1,-1),

.?.八=|加川2=(3—1)2+[0—(一1)]2=5,

?,?0M的方程為(工一l)2+(y+1)2=5.

(2)直線/過(guò)定點(diǎn)(1,-2),過(guò)點(diǎn)P(—1,0)作/的垂線，垂足為M,已知點(diǎn)M21)，則IMN的最

大值為.

答案3^2

解析設(shè)點(diǎn)41,-2),依題意知AM_LPM,

所以點(diǎn)M的軌跡是以AP為直徑的圓，

圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),

半徑為R=%P尸也，

又M2/)為圓外一點(diǎn)，

所以|MMnax=\NC\+/?=A/(2-0)2+(I+1)24-^2=372.

考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系

【核心提煉】

I.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

⑴點(diǎn)線距離法.

⑵判別式法：設(shè)圓C：(犬一4)2+0，一份2=/，直線/:皿+8)，+C=0(A2+82#0),方程組

pU+8.y+C=0,

j(X-4)2+()T)2=3，

消去以得到關(guān)于X的一元二次方程，其根的判別式為4則直線與圓相離臺(tái)/V0,直線與圓

相切0/=0,直線與圓相爻臺(tái)4>0.

2.圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關(guān)系

例3(1)(2022.南通模擬)在平面宜角坐標(biāo)系中，已知直線以一丁+2=0與圓C\+)，2—21—

3=0交于A,B兩點(diǎn),若鈍角△ABC的面積為小，則實(shí)數(shù)。的值是()

34

--

A.-4B.3

C4D3

答案A

解析由圓C：f+)2—2A—3=0,

可得圓心坐標(biāo)為C(l,0),半徑為/-2,

因?yàn)殁g角△ABC的面積為小，

則SzMBC=：><2X2sinNNC8=V^,

解得sinN4CB=坐，

所以NAC8=3~,

可得|A3|=2小，

又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得2出二7=2小,

解得d=1,

1。+2|3

根據(jù)點(diǎn)到直線如一)，+2=0的距離公式d==1,解得〃=一木

(2)(2022?新高考全國(guó)II)設(shè)點(diǎn)4(-2,3),B(0,0,若直線AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓。+3>

+。，+2)2=1有公共點(diǎn)，貝］。的取值范圍是.

解析方法一由題意知點(diǎn)人(一2,3)關(guān)于直線y=a的對(duì)稱點(diǎn)為人'(一2,加一3),

所以公—,

所以直線4'8的方程為)=-ox+a,

即(3—a)x~2y+2a=0.

由題意知直線A'8與圓。+3)2+。+2)2=1有公共點(diǎn),

易知圓心坐標(biāo)為(-3,-2),半徑為1,

斫以1一3(3—〃)+(—2)X(-2)+2〃|

所反叱3—〃)2+(—2)2W1,

整理得6〃-lla+3W0,解得呆〃竦，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,1］.

方法二易知(X+3)2+(J+2)2=1關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為(x—3)2+(y+2)2=1,

a—3

由題意知該對(duì)稱圓與直線A8有公共點(diǎn).直線AB的方程為丁=『丫+〃,

即(a—3)%—2y+2a=0,

又對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)為(3,-2),半徑為1,

|3(^-3)+(-2)X(-2)+2f/|

所以ci

3)2+(—2)2

整理得6層一lla+3W0,解得太,W，所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［今

方法三易知(X+3)2+()，+2)2=I關(guān)于)，軸對(duì)稱的圓的方程為(工-3)2+。+2)2=1,

由題意知該對(duì)稱圓與直線48有公共點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y—3=?x+2),

即日-y+3+2〃=0,

因?yàn)閷?duì)稱圓的圓心坐標(biāo)為(3,-2),半徑為1,

所以解得一方WAW—點(diǎn)

q乃+(—ipJq

__,a-34/-3一3

又k=-2~，所以一—2—W—不

解得卜w，

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是匕「1，531-

考向2圓與圓的位置關(guān)系

例4(1)(2022?武漢模擬)圓G：(刀-2)2+。-4)2=9與圓。2：。-5)2+,2=16的公切線條數(shù)

為()

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析依題意得，圓C,的圓心G析4),半徑R=3,圓C2的圓心解析0),半徑解=4,ICQI

=[(2-5)2+42=5任(1,7),故圓G與C2相交，有2條公切線.

(2)(2022?益陽(yáng)調(diào)研)已知直線/：工一)，+1=0,若P為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。C：(x—5)2+)，2

=9的切線弘,PR.切點(diǎn)為A.7?.當(dāng)儼川最小時(shí),宜線人A的方程為.

答案x~y-2=0

解析。。：。-5)2+)，2=9的圓心。(5,0),半徑/*=3,

???四邊形附CB的面積

S=^PC\-\AB\=2S^c=\PA[\AC\

=3陷|=3d|PCF—9,

???要使IPCM/WI最小，則需|PC|最小，

當(dāng)PC與直線/垂直時(shí)，IPC)最小，

此時(shí)直線尸。的方程為y=-x+5,

fy=x+1,

聯(lián)立,解得廣(2,3),

ly=-x+5,

則以PC為直徑的圓的方程為

9

-

2

則兩圓方程相減可得直線4B的方程為x—y—2=0.

規(guī)律方法直線與圓相切問(wèn)題的解題策略

直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于

切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問(wèn)題，可

先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算.

跟蹤演練3⑴（多選）（2022?湖北七市（州）聯(lián)考）已知直線/：去一），一女+1=0,I員IC的方程為（x

—2）2+（y+2）2=16,則卜列選項(xiàng)中正確的是（）

A.直線/與圓C一定相交

B.當(dāng)攵=0時(shí)，直線/與圓C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)E是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△MNE面積的最

大值為3市

C.當(dāng)/與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M,N時(shí)，|MN]的最小值為2冊(cè)

D.若圓。與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積為48

答案AC

解析直線/：去一），一狂1=0過(guò)定點(diǎn)P（l,l）,（1—2）2+（1+2）2<16,P在圓內(nèi)，因此直線/

一定與圓C相交，A正確；

當(dāng)&=0時(shí)，直線為）=1,代入圓的方程得。-2）2+9=16,解得工=24，因此|MN|=2巾，

因?yàn)閳A心C（2,-2）,半徑，?=%圓心到直線/的距離d=3,因此點(diǎn)E到直線/的距離的最

大值〃=4+3=7,

所以△MNE面積的最大值S=；X7X2市=7由，B錯(cuò)誤；

當(dāng)/與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M,N時(shí)，當(dāng)|MN|最小時(shí)，

PC±7,|PC]r（1_2）2+（1+2）2,

因此IMMmin=2、42_（曬2=2#,C正確；

在圓的方程2）2+0+2）2=16中，分別令x=0和y=0,求得圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2

一2小，0）,8（2+2小，0）,C（0,一2+2?。?/p>

。（0,—2—2?。?，則|/W|=4小，|CQ|=4小，

所以四邊形ABCO的面積S'=Jx4小X4小=24,D錯(cuò)誤.

（2）（2022?新高考全國(guó)I）寫出與圓片+產(chǎn)=1和。?一3產(chǎn)十。-4）2=16都相切的一條直線的方程

答案x=-l或女一2分—25=0或3x+4.y—5=0（答案不唯一，只需寫出上述三個(gè)方程中的

一個(gè)即可）

解析如圖，因?yàn)閳A/+）2=1的圓心為0。0）,半徑n=1,圓（X—3）2+（），-4）2=16的圓心

為A（3,4）,半徑rz=4,

所以QAI一5,八十，2—5,所以|。4|一"十/2,所以兩圓外切，公切線有三種情況:

①易知公切線/i的方程為*=-1.

②另一條公切線/2與公切線/1關(guān)于過(guò)兩圓圓心的直線/對(duì)稱.

易知過(guò)兩圓圓心的直線/的方程為產(chǎn)獲

由對(duì)稱性可知公切線/2過(guò)點(diǎn)（一1，一號(hào).

4

設(shè)公切線/2的方程為y+w=?x+l）,

則點(diǎn)。（0,0）到/2的距離為I,

所以公切線，2的方程為＞+1=五（工+1），

即7x-24y-25=0.

3

4+

③還有一條公切線八與直線/：）=§我?垂直，設(shè)公切線A曰勺方程為y-

4A

易知分0,則點(diǎn)0（0,0）到A的距離為1,

所以1=kl

、/（-9；+（一4

解得/=,或，=一永舍去）,

35

十-

所以公切線/3的方程為y=一甲4

即3x+4），-5=0.

綜上，所求直線方程為入=-1或7x—24y—25=0或3x+4），-5=0.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.直線/經(jīng)過(guò)兩條直線X—），+1=0和2x+3），+2=0的交點(diǎn)，且平行于直線X—2），+4=0,

則直線/的方程為（）

A.x—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2t-y+2=0D.2x+），-2=0

答案B

x—v+1—0,i

解析由',得兩直線交點(diǎn)為（-1,0）,直線/的斜率與x—2y+4=0相同，為5,

[2x+3），+2=02

則直線/的方程為y—0=；（x+l）,

即x—2y+1=0.

2.(2022?福州質(zhì)檢)已知4一小，0),B(小,0),2(0,3),則△ABC外接圓的方程為()

A.。一1)2+產(chǎn)2

B.(x-l)2+/=4

C.r+?-1)2=2

D.I)2=4

答案D

解析設(shè)△ABC外接圓的方程為(X-4)2+()，一加2=戶

(一5一。)2+(0一6)2=產(chǎn)，。=0,

(小一〃)2+(0—。)2=/，解得.b=T,

{(0—4)2+(3—〃)2=r\/=2.

則△A3。外接圓的方程為『十。-1）2=4.

3.（2022?新高考全國(guó)11）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，A4',BB',CCf,DD'是

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其

中。CCi，BBi，A4是舉，ODi，QG，CBi,34是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為黑=0-5,等=木，嘿=h，^已知心，依，h成公差為04的等差數(shù)列，且直線

O1J\/>CinA\

04的斜率為0.725,則公等于（）

圖1圖2

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析設(shè)OQi=OG=C8i=84=l,

則CG=ki,BB尸kz,AA=Z：3,

依題意，有攵3—0.2=ki,Aj—0.1=kz,

且。。1+。。1+。8]+朋1-9''

叱1、,0.5+3h一0.3八…

所以-----4-----=。.725,

故禽=0.9.

4.過(guò)圓C：(x-l)2+y2=l外一點(diǎn)P作I員IC的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若PALPB,

則點(diǎn)P到直線/：工+廠5=0的距離的最小值為()

A.IB幣C.2jD.3啦

答案B

解析因?yàn)檫^(guò)圓C：。一1?+尸=1外一點(diǎn)。向圓C引兩條切線以，PB,切點(diǎn)分別為A,B,

由以_LP3可知，四邊形C4P3是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以|。尸|=表，

所以P點(diǎn)的軌跡是以C(l,0)為圓心，血為半徑的圓，則回心。(1,0)到直線/：葉)，-5=0的

距離J+巖絲將2叵所以點(diǎn)尸到直線/：4+)，-5=0的最短距離為d—r=2也一班

5.與直線x-y-4=0和圓(x+1)2+0，-1)2=2都相切的半徑最小的圓的方程是()

A.(x+1)2+°，+1)2=2

B.(x+l)2+(y+1)2=4

C.(xT)2+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(j'+l)2=4

答案C

解析圓(x+1)2+。-1)2=2的圓心坐標(biāo)為(-1,1),半徑為，5,過(guò)圓心(-1,1)與直線x-y—4

=0垂直的直線方程為x+y=O,所求圓的圓心在此直線上，又圓心(一1,1)到直線x—y—4=0

的距離為;^=3吸，則所求圓的半徑為止，設(shè)所求圓的圓心為3,份，且圓心在直線x+)，=0

上，所以且。+〃=0,解得〃=1,/?=—l(a=3,6=—3不符合題意，舍去)，

故所求圓的方程為(x—l)2+(y+1)2=2.

9

6.已知圓O：9+產(chǎn)=不圓歷：(]一。)2+。-1產(chǎn)=1,若圓M上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作圓O

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,使得NAPB一多則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-A/B,VI5]

B.[一小,<3]

C.I小,V15]

D.[-V15,一5]5小，仃]

答案D

3

解析由題可知圓。的半徑為子圓M上存在點(diǎn)幾過(guò)點(diǎn)〃作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,A使得NAP8=9,則NAPOW，

30

在Rt△外。中，儼0|=3,

，點(diǎn)尸在圓^+尸=9上，

由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).

又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M(a,1),

.??3-lWQM|W3~H,

???2?標(biāo)+0,

?"￡[一行，一小]口[小，V15].

7.已知圓G：(X+6)2+G，-5)2=4,圓C2：伏-2)2+()，-1)2=1,M,N分別為圓G和C?

上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則IPM+IPM的取值范圍是()

A.[6,+8)B.[7,+oo)

C.[10,+?>)D.[15,+8)

答案B

解析C(—6,5),C2(2,l),G關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)為CK—6,-5),

故IPG|+IPCzl冽C2c3|=、64+36=10,

又兩圓的半徑分別為2/，

則IPM+IPN21。-2—1=7,

故IPM+IPN的取值范圍是R,4-oo).

8.(2022?荷澤質(zhì)檢)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位

于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△48C,

|人用=|人C|,點(diǎn)點(diǎn)C(3,5),過(guò)其“歐拉線”上一點(diǎn)P作圓O：/+)，2=4的兩條切線，

切點(diǎn)分別為M，M則|M*的最小值為()

A.72B.2^2

C4D.2小

答案R

解析由題設(shè)知的中點(diǎn)為(1,3),

“歐拉線”斜率為2=一;=一1,

所以“歐拉線”方程為y—3=—(x—1),

即x+y—4=0,

4

又。到工+)，-4=0的距離為4=關(guān)〉2,即“歐拉線”與圓。相離，

要使|MN|最小，則在RtZkPMO與Rt^PNO中，NMOP=NNOP最小,即NMPN最大，

而僅當(dāng)OP_L“歐拉線”時(shí)，NMPN最大,

所以d=|OP|=2，5,

則|MM=2rsin/NOP,

>?、萬(wàn)

且圓。半徑r=2,cosZ/VOP=^=2*

所以sin/NOP=4，即|MN]min=24I

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知直線/過(guò)點(diǎn)(3,4),點(diǎn)A(—2,2),B(4,-2)到/的距離相等，貝/的方程可能是()

A.x-2y+2=0B.2x~y~2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

答案BC

解析當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為4=3,此時(shí)點(diǎn)4到直線/的距離為5,點(diǎn)8

到直線/的距離為1,此時(shí)不成立；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-4=?x-3),即日一)，+4—34=0,

???點(diǎn)4—2,2),8(4,-2)到直線/的距離相等，

.|一2%—2+4-3川I4Z+2+4—31

一也2+1~也?+1'

2

解得上=—Q或k=2.

?2

當(dāng)2=-］時(shí)，直線/的方程為），-4=一3）,整理得2r+3y—18=0,

當(dāng)2=2時(shí)，直線/的方程為），-4=2。-3）,整理得2A?—y—2=0.

綜上，直線/的方程可能為2r+3y-18=0或公一），-2=0.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為/+），2一張=0.若直線），=歐》+1）上存在一點(diǎn)「，使

過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的可能取值是（）

A.1B.2C.3D.4

答案AB

解析由r+）2—標(biāo)=0,得。-2）2+）2=4,

則圓心為C（2,0）,半徑r=2,過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,

叱0土川

連接AC,8C,所以四邊形用CB為正方形，即PC=g=2吸，圓心到直線的距離d=

w+上

<2也，

即一26忘心2吸，

所以實(shí)數(shù)女的取值可以是1,2.

11.（2022?南通模擬）已知P是圓O：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)：直線l\：xcos〃+jsin0=4與小

xsin0一）eos。=I交于點(diǎn)。，則（）

A.Zil/2

B.直線人與圓。相切

C.直線，2與圓。截得弦長(zhǎng)為2小

D.IPQ長(zhǎng)的最大值為J萬(wàn)+2

答案ACD

解析圓。半徑為2,

cosOsin0+sin〃?(一cos0)=0,

所以/1JJ2,A正確；

4

圓心。到/i的距離為〃=4>2,

1/cos2+sin汨

八與圓O相離.B錯(cuò)誤:

圓心O到直線/2的距離為

cl'1,

Nsin5+(—cosJ)?

所以弦長(zhǎng)為242f2=2小,C正確;

xcosO+ysin9=4,

由'

xsin。-ycos9=1,

x=4cos〃+sin〃,

y=4sin9—cos8,

即Q(4cos夕+sin仇4sin夕一cos8),

所以|OQ|=N(4COS，+sin〃)2+(4sin，-cos夕產(chǎn)

=4萬(wàn)，所以|PQ|的最大值為萬(wàn)+2,D正確.

12.(2022?龍巖質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(xo,yo)是直線/：x+)=4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓。：A2+/=2

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,連接04,OB,貝1]()

A.當(dāng)四邊形OAP8為正方形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)

B.|以|的取值范闈為[#,+oo)

C.當(dāng)△附B為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,3)

D.直線A3過(guò)定點(diǎn)0,￡)

答案BD

解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)四邊形。為正方形時(shí)，

則|0*=|0用=|AP|=|BP|,

???圓O：%2+y2=2=>r=V2,

???修。1=、柩2+(圾2=2.

又點(diǎn)尸(刈，泗)是直線/：x+y=4上的一點(diǎn),

設(shè)P(沏，4—沏)，

:.儼。|=N5)—0)2+(4—XL0)2

川2自一8xo+l6=2,

即焉一4刈+6=0,該方程/<0,xo無(wú)解，

故不存在點(diǎn)產(chǎn)使得四邊形O八?6為正方形,

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由A知，

附1=\仍。|2-|。川2=皿0|2-2,

又『。|2=蟠+(4—xo)2=2xS—8汨)+16

=2(XO-2)2+828,

???『0|2—226,則|布|2道,

即外的取值范圍是［班，+8),故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若△雨5為等邊三角形，

易知/AP8=60。，又OP平分NAPB,

???NAPO=NEPO=30。.

在Rl△%O中，由于|。4|=也，

\OA\I-

Asin30。=晶司0夕|=2、2.

又P點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,4—xo),

???珀+(4—&)2=8,

即2就一8M)+8=On(xo—2)2=O,

工入0=2,yo=2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,???P?),4—必)，

\POf=xo+(4—xo)2=2%n—8xo+16,

記O"的中點(diǎn)為喈，寧則以。為圓心，苧為半徑的圓與圓。的公共弦為Aa

???圓D方程為(%—5)2+(),一與可2

=；(2端-8祀+16),

整理得小十卡一叱一(4一為?=0,

(4—xo)y=O,

聯(lián)工1/+產(chǎn)=2,

化簡(jiǎn)得XM+(4—xo)y=2,

即得直線方程為xox+(4—x())y—2=0,

將x=)，=T代入方程恒成立，

故直線人8過(guò)定點(diǎn)Q,：),D正確.

三、填空題

13.與直線2x-y+1=0關(guān)于工軸對(duì)稱的直線的方程為.

答案2丫+〉+1=0

解析直線2x—y+1=0的斜率為2=2,與x軸交于點(diǎn)八(一/0),

直線2x-y+1=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的斜率為一&=一2,并且過(guò)點(diǎn)A,

由直線的點(diǎn)斜式方程得廠0=—2(尸尚，

即2x+y+l=0,

所以所求直線的方