專題3.1二次根式的概念及性質(zhì)(舉一反三講義)

【湘教版2024]

題型歸納

【題型1二次根式的概念】.......................................................................1

【題型2二次根式有意義的條件】................................................................4

【題型3二次根式的雙重非負(fù)性】................................................................5

【題型4V?=|a|]............................................................................5

【題型5(Va)2=a(a>0)].....................................................................9

【題型6規(guī)律探究】.............................................................................11

【題型7化簡求值】............................................................................14

【題型8隱含條件】............................................................................15

【題型9復(fù)合根式】............................................................................18

:舉一反三]

知識點(diǎn)1二次板式的概念

L定義：一般地，我們把形如歷(a>0)的式子叫做二次根式，“廠''叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).

2.拓展：二次根式必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)含二次根號“廠”；(2)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)(被開方

數(shù)可以是數(shù)字也可以是含有字母的式子).

知識點(diǎn)2二次根式有無意義的條件

‘當(dāng)QZ0時(shí)，二次根式日有意義；

、當(dāng)a<0時(shí)，二次根式乃無意義，

例如：因?yàn)?+2%+1=(%+1)2工0,所以二次根式>/“2+2x+1恒有意義.

知識點(diǎn)，二次根式的性質(zhì)

’被開方數(shù)Q20,

1.二次根式VH具有雙重非負(fù)性：

二次根式>0.

2.0/H)2=a(a>0),即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身,如(y)2=5.

3=1G|=

^U<°o；,即一個(gè)任意實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對償

如《（±11）2=|±11|=11.

拓展：（VH）2（aN0）和南的區(qū)別

_(a(a>0)

運(yùn)算結(jié)果(x/a)2=aJ。~|-a(a<0)

a的取值a>0任意實(shí)數(shù)

①用來去根號，化簡二次根式；

①用來去根號，化筒二次根式：

②將根號外的非負(fù)因式平方后移到

作用②可用Q=（迎）2將任意一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)

根號內(nèi).例如：若QN0,則

寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式

V2a=\f2a^

【題型1二次根式的概念】

【例1】（2425八年級下?四川成都?專題練習(xí)）下列各式一定屬于二次根式的是（）

A.B.y[xC.J\x\+1D.Vx2-1

【答案】C

【分析】本題考查二次根式的識別，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)形如6（aNO）,這樣的式子叫做二次根式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、因?yàn)?4V0,則U無意義，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)％<0時(shí)，則正無意義，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、因?yàn)樘锸?工1>0,故鬧4彳是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)一1<%<1時(shí)，則/一1<0,無意義，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【變式II】（2425八年級下?廣東惠州?期中）下列各式一定是二次根式的是（）

A.V5B.FC.V6D.4a

【答案】C

【分析】本題主要考食了二次根式的定義，當(dāng)QNO時(shí)，G就是二次根式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式

的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A選項(xiàng)：北是三次根式，不是二次根式，故A選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng)：I中被開方數(shù)—3<0,所以口無意義，故B選項(xiàng)不符合題意；

C選項(xiàng)：述符合二次根式的定義，故C選項(xiàng)符合題意；

D選項(xiàng)：迎中當(dāng)（IVO時(shí)，無意義，不是二次根式，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選：c.

【變式12](2425八年級下?浙江溫州?期中)下列的式子一定是二次根式的是()

A.VxTTB.C.V3D.

【答案】c

【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、不能確定x+1的正負(fù)，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、3-nV0,二次根式?jīng)]有意義，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、國是二次根式，故C選項(xiàng)符合題意；

D、-1<0,二次根式?jīng)]有意義，故D選項(xiàng)不符合題意：

故選：C.

【變式13](2425八年級下?廣西桂林?專題練習(xí))下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？請說

明理由.

(1)78；(2)；(3)Va2+1；(4)V^8；(5)v'x2+4x+4；

(6)3yJ\m\；(7)(6+4%-?

【答案】倔5/答+1,Vx2+4x4-4,3師[是二次根式；尸回)￥遍VI+4x(%V-3不是二次根

式.

【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義逐?排除即可，解題的關(guān)鍵是正確理解滿足二次

根式的條件有三個(gè)：①含有根號；②根指數(shù)是2；③被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，三個(gè)條件缺一不可.

【詳解】解：(1)我是二次根式；

(2)V3正中一15<0,不是二次根式；

(3：迎2+1中油+1>0,是二次根式；

(4)g立方根，不是一次根式；

(5：+4X+4中d+4%+4=(。+2)22O是二次根式；

⑹3/扇中|m|N0,是二次根式；

⑺，1+4x(%V-J中1+4x<O不是二次根式；

Va24-1,Vx2+4x4-4,3日同是二次根式；，一15,V:-8,71+4x(xV-不是二次根式.

【分析】本題考查了二次根式有意義，分式有意義的條件，根據(jù)4-6有意義時(shí)，可得依一75工0,且XNO,

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???金有意義時(shí)，

VX-V3

，4一V5H0,且％>0,

工x工3,且%>0,

故答案為％>0且xW3.

【題型3二次根式的雙重非負(fù)性】

【例3】（2425八年級下?浙江?階段練習(xí)）已知對所有實(shí)數(shù)x,滿足|x+l|+^l=m-\x-2\,則m

的最小值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)，

先根據(jù)二次根式有意義的條件可得x>|,再分兩種情況討論即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，得x—|20,

解得%>

當(dāng)譯XV2時(shí)，m=x+l+JT^+2r=jr^+3'

.*.771>3；

當(dāng)xZ2時(shí)，m=x+l+Jx-|-x-2=Jx-1+2x-1,

：.ra>^2-|+4-1=3+y.

綜上所述，，”的最小值為3.

故答案為：3.

【變式31】（2425八年級下?福建莆田?階段練習(xí)）己知實(shí)數(shù)x,>'滿足y=+73^7+2,則（y-x）2025

的值為.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次根式的非負(fù)性、解一元一次不等式組、代數(shù)式的求值，熟練掌握二次根式有意義的

條件是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式有意義的條件得到仁二:解出工的值，進(jìn)而求出y的值，再代入代

數(shù)式即可求解.

【詳解】解：由題意得，?一3]?,

t3-x>0

解得：x=3,

???y—Vx—3+V3—x+2=2,

???(y-X)2025=(2-3尸°25_(-1)2025_

故答案為：一1.

【變式32】(2425八年級上?湖南常德?期末)若小%為實(shí)數(shù)，且滿足|a—5|+J(8+3)2=0,則Q一b平方

根是.

【答案】±V8

【分析1本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出。、〃的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

【詳解】解：??,|a-5|+J(b+3)2=0,

a-5=0,匕+3=0,

/.a=5,b=—3,

則a-b=5-(—3)=8,

a-b平方根為土施.

故答案為：±我.

【變式33](2425八年級下?江蘇泰州?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)x滿足，20122—4024%+/-2013=%,

則X-2012?=.

【答案】2013

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.先根

據(jù)二次根式有意義的條件求出x的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡得，0-2013=2012,然后兩邊

平方即可求解.

【詳解】解：?.”一201320,

工貝>2013,

?>2012.

?/V20122-4024x4-x2+Vx-2013=x,

.*.7(2012-x)2+Vx-2013=x,

/.|2012-x\+Vx-2013=x,

:.x—2012+yjx—2013=x,

AVx-2013=2012,

即又一2013=20122,

故x-20122=2013.

故答案為：2013.

【題型4后=|a|】

【例4】（2425八年級下?江蘇南京?階段練習(xí)）若化簡|1一-g+8%+16的結(jié)果為一3,貝年的取值范圍

是（）

A.%=0B.x<1C.x>1D.x<4

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值、二次根式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)以及分類討論思想成為解

題的關(guān)鍵.

先根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得|1-x|-|x+4|=-3,然后分四種情況分別去絕對值求解即可.

【詳解】解：V|1-x|-Vx2+8x+16=-3,

11—x|—y/（x+4）2=-3,np|l-x|—|x4-4|=-3,

當(dāng)1-xNO,x+4>0,即一時(shí)，則1一%-％-4=-3,解得：％=0符合題意；

當(dāng)1一%NO,x+4<0,即工工一4時(shí)，則1一x-［一。+4）］=-3,方程無解，不符合題意；

當(dāng)1一330,x4-4>0,即“21時(shí)，Mx-l-x-4=-3,方程無解，不符合題意；

當(dāng)1一%30,x+4<0,即工工1,工工-4,則“-1+%+4=-3,解得：x=-3.不符合題意.

綜上，x=0.

故選A.

【變式41］（2425八年級上?湖北十堰?期末）己知1VXV2,化簡，七一2x+1+Sd-4無+4=.

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握必二『個(gè)"/八?成為解題的關(guān)鍵.

先運(yùn)用完全平方公式對被開方數(shù)因式分解，然后再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可解答.

【詳解】解：??TV%V2,

***x-1>0,x—2<0?

:.Vx2-2x+1+\lx2-4x+4=-1)2+,(x-2尸=x-1+2-x=1.

故答案為：1.

【變式42](2425八年級上?江西撫州?階段練習(xí))運(yùn)用分類討論的方法，請你解答下列問題：

(1)當(dāng)3WQW7時(shí)，化簡：J(Q—3產(chǎn)+J(7—a)2=；

(2)若等式J(Q-5產(chǎn)-&+9產(chǎn)=14成立，則。的取值范圍是；

(3)若J(a+1)2+Jg-5)2=8,求a的侑.

【答案】(1)4

(2)Q<-9

(3)a=-2或Q=6

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握.二次根式的性質(zhì)，以及分類討論的思想，是解題的關(guān)鍵:

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合a的范圍，進(jìn)行化簡即可；

(2)分。二一9,一9<a<5和a45二種情況進(jìn)行討論求解即可；

(3)分QV-1,-l<a<5和a>5三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：???3Wa47,

???《(”30+7(7-a)2=|a-3|+|7-a|

=G-3+7—Q

=4：

(2)V(a-5)2-J(a+9)2=|a-5|-|a+9|,

當(dāng)a<一9時(shí)，上式=5-a+a+9=14：

當(dāng)-9<a<5時(shí),上式=5—a—a—9=-2a—4,

V-9<a<5,

A-14<-2a-4<14,不符合題意；

當(dāng)aN5時(shí)，上式=a-5-a-9=-14,不符合題意；

?入的取值范圍是Q<-9；

(3)J(a+I)?+y(a—5)2=|a4-1|+|a-5|

當(dāng)aV—1時(shí)，|Q+1|+|a—5|=-a—1—a+5=8,解得：a=-2；

當(dāng)一14aW5時(shí)，|a+l|+|a-5|=a+l—a+5=6H8,

當(dāng)a>5時(shí)，|a+1|+|a—5|=a+1+a-5=8,解得：a=6；

綜上：a=-2或a=6.

【變式43］(2425八年級下?江蘇泰州?階段練習(xí))設(shè)用=及位N=

V20212-4042x2022+20222,則M與N的關(guān)系為()

A.M>NB.MVNC.M=ND.M=±N

【答案】C

【分析】將被開方數(shù)利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算、化簡可得.

［詳解］解：VM=V20212-2020x2022,

=/20212-(2021-1)(2021+1),

=V20212-20212+l，

=1>

N=x/20212-4042x20224-20222,

=V20212-2x2021x2022+20222,

*12021-2022T，

=1>

:,M=N,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)健是熟練掌握平方差公式和完全平方公式及二次根

式的性質(zhì).

【題型5(Va)2=a(a>0)］

【例5】(2425八年級下,浙江金華?階段練習(xí))已知△ABC的三邊KQ、b、c滿足a+b-27^二1-=

3VCT3-JC-8,求△ABC的周長.

【答案】14

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“完美數(shù)”的定義并熟練掌握完全

平方公式是解題的關(guān)鍵.

利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.

［詳解】解：：a+匕-2y/a-1-4Vb-2=3jc+3--8,

??.(G=T-l)2+(VF^2-2)2+；(VFT3-3)2=0,

???Va—1—1=0>7b—2—2=0,Jc+3—3=0,

'?a=2,b=6,c=6,

???a+b+c=14.

【變式51】(2425八年級下?天津利平?期中)若1,Q,3是三角形的三邊長，化簡(GIT-

y/a2—8a+16=.

【答案】2a—6

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出Q的范圍，再根據(jù)二次根式和絕對值的

性質(zhì)進(jìn)行化簡即可，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定出Q的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：vl,%3是三角形的三邊長，

:3一1<Q<1+3,

即2VQ<4,

(Va^2)2-Va2-8a+16=J(a-2)2-y/(a-4)2

=|(z—2|—|(z—4|

=a-2—(4—a)

=a-2-4+a

=2Q—6,

故答案為：2a—6.

【變式52】(2425八年級下?甘肅武威?期中)挖掘問題中的隱含條件，解答下列問題：

(1)已知JQ—3產(chǎn)一(后為產(chǎn)=2x,求x的值；

(2)已知力是實(shí)數(shù)，且b>7a-2—2V2—a+1,化簡>/1—2b+爐—

【答案】(1口=：

(2)b-3

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件及利用二次根式的性質(zhì)化簡，解題關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的

條件，挖掘出隱含條件.

(I)由根號內(nèi)的數(shù)據(jù)大于等于0,得2-%之0,,解得4工2,再根據(jù)—3子一去根號，

化簡求解即可；

(2)由根號內(nèi)的數(shù)據(jù)大于等于0,得Q-220,且2-a工0,解得Q=2,將a的值代入式子-2G0+

1,得力的取值范圍，再對，1一2b+7一后進(jìn)行去根號,化簡即可.

【詳解】(1)解：由題意，得2-%工0,

x<2,

x-3<0,

???{(x-3)2-(V2-x)2=\x-3\-(2-x')=3-x-2+x=2x

???1=2x,

解得％=

(2)解：由題意，得Q-2N0,且2—aNO,

：,a>2且Q<2,

二a二2,

???b>Va-2-2-2-a+LVa-2-2,2-a+1=V2-2-2,2-24-1=1,

:.b>1,b—1>0,

:.—2b+7-=J(1—b)2—Va2=|i—/j|-2=b—1—2=d—3.

【變式53](2425八年級下?四川瀘州?期中)已知a+b+c=2后U+4歷工+67^門一14,求a、b、

c的值.

【答案】a=3,匕=5,c=6

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式性質(zhì).

根據(jù)Q+b+c=2\fa.-2+4Vb-1+6yle+3-14?得出(Vtz—2—1)+(y/b-1—2)+(y[c4-3-

3)2=0,即可得出Q—2=1,d-1=4,c+3=9,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：Va+b+c=2Va^24-4VF^T+6N/CT3-14,

.\a+b+c-2Va~2-—1—6/c+3+14=0,

/.G—2—2，a—2+1+b—1—4\lb—1+4+c+3—67c+3+9=0,

(y/ci-2—1)+(y/b-1-2)+(Vc+3—3)—0?

=0,Vb^l-2=0,VC+3-3=0,

a—2=1,6—1=4,c+3=9,

解得：a=3,b=5,c=6.

【題型6規(guī)律探究】

【例6】(2425七年級下?云南昭通?階段練習(xí))如圖是?個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，

第九(n是整數(shù)，且nN4)行從左向右數(shù)第(n—4)個(gè)數(shù)是(用含n的代數(shù)式表示)()

A.y/n2—4B.y/n2—2C.Vn2-3D.Vn—4

【答案】A

【分析】本題主要考杳二次根式的性質(zhì)及數(shù)字規(guī)律，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及數(shù)字規(guī)律是解題的關(guān)鍵；由

題意易得每一行的最后一個(gè)數(shù)字是+1),且每一行有2n個(gè)數(shù)字，由此問題可求解.

【詳解】解：由數(shù)陣可知：每一行的最后一個(gè)數(shù)字是/"("+1),且每一行有2n個(gè)數(shù)字，

,第九(九是整數(shù)，且九二4)行最后一個(gè)數(shù)是+1),第一個(gè)數(shù)字是J以:+1)-2n+1={n?一九+1,

???從左向右數(shù)第(n-4)個(gè)數(shù)是Si?-n+l+n-5=Vn2-4：

故選A.

【變式61】(2025?云南曲靖?二模)在一次科技展覽會(huì)上，機(jī)器人利用編程展示了一組按規(guī)律排列的單項(xiàng)式

形式信號代碼，其單項(xiàng)式依次為：2a,4&Q2,66875a力10石....則第〃個(gè)單項(xiàng)式是()

A.2nVnanB.2nVn4-lan

C.2(n+l)VnanD.2(n-l)Vnan-1

【答案】A

【分析】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探索，根據(jù)題干所給單項(xiàng)式得出規(guī)律即可，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

23

【詳解】解：由題意可得：2a=(2x1)xJTxa】，4&Q2=(2x2)xV2xa,675a3=(2x3)xV3xa,

8V4a4=(2x4)xV4xa4,lOx^a5=(2x5)x\/5xa5,

第n個(gè)單項(xiàng)式是2nVnan,

故選：A.

【變式62】(2025?河北保定?一模)小明做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：JE=$斤1=2臣；卜*3屆

(1)第5個(gè)等式為；

(2)若Ja^l=aJI(a,b為正整數(shù))，則Q?仁.

【答案】F=5居520

【分析】此題考查了數(shù)字類規(guī)律，找出一系列等式的規(guī)律為^^二"5^5Z1的正整數(shù))，令九二8

求出a與b的值，即可求得a?的值.

【詳解】解：J^-l=JI；

61=2齊

小一*3島

F^=4耳

第5個(gè)等式為葭=5器

根據(jù)題中的規(guī)律得：Jn—信=?i忌（nNl的正整數(shù)），

a=8,b=82+1=65,

則a?b=8x65=520.

故答案為：圣520.

【變式63］（2425八年級下?江蘇鹽城?期中）觀察下列等式，并回答問題：

①尸l=Jl=a②戶1=4號；呼==舟*…

（1）根據(jù)上述規(guī)律，寫出第5個(gè)等式：.

（2）請寫出第n個(gè)（n為正整數(shù)）等式：,并證明你的結(jié)論.

（3）運(yùn)用上述結(jié)論，計(jì)算：J（1-3（1-§（1-2）…（1-墨）

【答案】⑴6飛=Jg=：

（2）J1-S=JS=竟

⑶*

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律、二次根式性質(zhì)和運(yùn)算法則，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在

的規(guī)律.

（1）根據(jù)所給的等式的形式求解即可；

（2）分析所給的等式的形式，總結(jié)出規(guī)律即可；

（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得第5個(gè)等式為：

故答案為：斤已篇―

⑵解：第i個(gè)等式：［7^1=

74y（i+i）2y4y42

由以上等式可以猜想第〃個(gè)等式是:

(3)解：…I-募)

2X44+1

（44+以

【題型7化簡求值】

[^71(2425八年級下?福建莆田?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)。滿足6<2a-2<20,化簡:J(a-4)2+J(a-ll)2.

【答案】7

【分析】首先解不等式，然后根據(jù)公式后=|。|,化簡即可.本題考查二次根式的化簡、不等式的性質(zhì)，絕

對值的簡等知識，記住后=|。|,屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

【詳解】解：v6<2a-2<20,

/.8<2a<22

4<a<11,

原式=|a-4|+|a-11|

=G—4+11—a

=7.

【變式71】(2425八年級上?江蘇蘇州?期中)已知y=3,(2%—1)+24(1一2%)+2,求/兩+/的值.

【答案】:

4

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的求值，由二次根式有意義的條件得《二;卷;，即

得x=j進(jìn)而得到y(tǒng)=2,再代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

???、砌+x2=+C)2=1+鴻.

【變式72]（2425八年級下?江蘇南京?階段練習(xí)）已知三角形的兩邊長分別為3和5,第三邊長為c,化簡

Vc24-4—4c——4c+16.

【答案】|c-6

【分析】此題主要考查了二次根式的化簡，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是首先利用三角形三邊關(guān)系得出

C的取值范圍，進(jìn)而化簡求出答案.

【詳解】解：由三邊關(guān)系定理，得3+5>c,5-3VC,即2<c<8,

二原式=J（c-21—M（c—8）2=|c—2|—||c-8|=c—2—7（8—c）=1c—6.

【變式73】（2425九年級下?江蘇南京?自主招生）已知M=芋=3,N=\[ab-V3,P-Q—告.求

Xa+h

P、Q的值.

【答案】P=V15,Q=1

【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)、分式的求值等知識，由題意可得a+b=6,ab=3,根據(jù)完全平方公

式變形后代入P=色字即可求出尸的值，把Q=W化簡后，再進(jìn)行整體代入即可求出Q的值.

【詳解】解：M==3,N=\[ab=V3,

/.a4-b=6,ab=3,

u2+b2(a4-1))2-2ub

2ab2x3

【題型8隱含條件】

[例8]（2425八年級上?江蘇揚(yáng)州期中）若zn滿足關(guān)系式+5y-2-zn+y/2x+3y-m=yjl-x-y-

y/X-1+y,則TN=

【答案】3

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的非負(fù)性，解二元一次方程組，由二次根式有意義的

條件得1-x-y=x-l+y=O,即得x+y=1,yj3x+5y-2-m+J2x+3y-m=0,再根據(jù)二次根

式的非負(fù)性得3%+5y-2-m=0,2%+3y-m=0,即得％+2y=2,再解方程組金二;求出入、y

\X十Ly—L

的值即可求解，掌握二次根式有意義的條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，1一%一y'O,x-1+y>0,

1—x—y=x—l+y=0,

.*.x+y=1,J3x+5y-2—m+y/2x+3y—m=0,

3x+5y—2-TH=0,2x+3y—m=0,

+2y=2,

叱工。解得葭'

工0+3x1—m=0,

/.m=3,

故答案為：3.

【變式81】(2425七年級下?湖北武漢?期中)已知m,x,y是兩兩天相等的實(shí)數(shù)，且滿足+

Jm(y-m)=\/x-m-y/m-y,則:的值為?

【答案】巳

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，確定出m=0,x=-y,代入原式即可解決問題.

【詳解】解：vmtx,y是兩兩不相等的實(shí)數(shù)且滿足-m)+Jm(y-m)=-m-Jm一y,

m—y>0

x-m>0

m(y-m)>0*

(m(x-m)>0

m=0,x=—y,%H0,yH0,

3y2-y2-y2

二原式二1

y2+y2+Sy27

故答案為：；

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定出m=0,x=-y,記住二次杈式的被開方

數(shù)是非負(fù)數(shù)這個(gè)隱含條件，屬于中考?？碱}型.

【變式82］若a、b、c為實(shí)數(shù)，且滿足Q+b+c=27a+1+4/b+1+6Vc—2—14,求+Ic+ca+3

的值為.

【答案】6

【分析】根據(jù)配方法的理論依據(jù)，即公式Q2±2ab+h2=(a±b)2,將原方程轉(zhuǎn)化為a+1-2祈7+1+

b+1-4VFTT+4+C-2-6y/c^2+9=0即可解答.

【詳解】解：Ia+I+c=27a+1+4jb+l+6，c—2—14,

/.G+1-2y/a+1+l+b+l-4Vb+14-4+c-2-6&-2+9=0,

/.(VaTT-I)2+(VFTl-2)2+(Vc^2-3)2=0,

?a+1—1=0?Vb+1—2=0,y/c—2—3=0,

Ac=0,b=3,c=11,

:.y/ub+be+ca+3

=《0+33+0+3

=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的理論依

據(jù).

【變式831(2425七年級下?天津和平?期中)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足關(guān)系式Va-199+1199一a=y/2a+b-c+

y/b—6?則c=.

【答案】404

【分析】根據(jù)二次根式有意義條件求得。=199,然后由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得從c的值.

【詳解】解：根據(jù)題意，得｛髭學(xué)二；，

解得“=199,

則《2a+b-c+\/b—6=0,

2x199+b—c=0

b-6=0

解得］bUzi，

lc=404

故答案為：404.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的意義和性質(zhì)，熟知相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【題型9復(fù)合根式】

【例9】（2425八年級下?江蘇泰加?階段練習(xí)）已知正整數(shù)*相，九滿足五2一4）=標(biāo)一?.則這樣的

Q、TH、71的取值（）.

A.有一組B.有二組C.多于二組D.不存在

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)

Va2-4V5=y/m-Vn,得出M-4\行=m+八-2石而，即可得出a2=m+n,mn=20,m>n,根據(jù)

20=20x1=10x2=5x4,分三種情況求出a2的值進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】解：：\!a2—4V5=y/m-y/n,

/.a2—4V5=m+n—27mn,

/.a2=m+n,mn=20?m>n,

又；20=20x1=10x2=5x4,

當(dāng)m=20,n=1時(shí)，，a2=21不合題意，

當(dāng)加=