專題強化二十一帶電粒子在組合場中的運動

【目標要求】1.掌握帶電粒子在組合場中的運動規(guī)律和分析思路2學(xué)會處理磁場和磁場組合、

電場和磁場組合帶電粒子運動問題.

1.組合場：電場與磁場各位于一定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同一區(qū)域，電場、磁場交替出現(xiàn).

2.帶電粒子在組合場中運動的分析思路

第1步：粒子按照時間順序進入不同的區(qū)域可分成幾個不同的階段.

第2步：受力分析和運動分析，主要涉及兩種典型運動，如圖所示.

第3步：用規(guī)律

題型一磁場與磁場的組合

磁場與磁場的組合問題實質(zhì)就是兩個有界磁場中的圓周運動問題，帶電粒子在兩個磁場中的

速度大小相同，但軌跡半徑和運動周期往往不同.解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點

與兩圓心共線的特點，進一步尋找邊角關(guān)系.

m11（2020?江蘇卷?16）空間存在兩個垂直于平面的勻強磁場，軸為兩磁場的邊界，磁

感應(yīng)強度分別為2陰、3廝甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點。沿x軸正向射入磁場，

速度均為。.甲第1次、第2次經(jīng)過），軸的位置分別為P、Q,其軌跡如圖1所示.甲經(jīng)過Q

時，乙也恰好同時經(jīng)過該點.已知甲的質(zhì)量為機，電荷量為q.不考慮粒子間的相互作用和重

力影響.求：

圖1

（1）（2到。的距離&

（2）甲兩次經(jīng)過P點的時間問隔△八

⑶乙的比荷力可能的最小值.

答案（1蠹（2微T

解析（1）甲粒子先后在兩做場中做勻速圓周運動，設(shè)半徑分別為〃、廠2

,/&mv

由qvB=m—可知r=~B,

mvmv

故『旃？『荻

且d=2〃-2r2

解得4=儡

JC/DO

(2)甲粒子先后在兩磁場中做勻速圓周運動，設(shè)運動時間分別/K/2

t—2nr2兀nmnm

由7=T=謫何h=邁,尬=萬瓦

且△/=2h+312

(3)乙粒子周期性地先后在兩磁場中做勻速圓周運動

若經(jīng)過兩磁場的次數(shù)均為m〃=123,…)

.,,.m'v,5nm'

相遇nl時,有‘守石=乩瓦="及

解得力=*

根據(jù)題意，〃=1舍去.

當〃=2時，務(wù)一有最小值，(務(wù)一)min=誓

若先后經(jīng)過右側(cè)、左側(cè)磁場的次數(shù)分別為(〃+1)、〃(〃=0」,2,3,…)，經(jīng)分析不可能相遇.

綜上分析，乙的比荷的最小值為當

題型二電場與磁場的組合

先電場后磁場

1.帶電粒子先在勻強電場中做勻加速直線運動，然后垂直進入勻強磁場做勻速圓周運動，如

圖2.

圖2

2.帶電粒子先在勻強電場中做類平拋運動，然后垂直進入磁場做勻速圓周運動，如圖3.

圖3

注意：進入磁場的速度是離開電場的末速度，而非進入電場的初速度.

1例2J(2018?全國卷I?25)如圖4,在y>0的區(qū)域存在方向沿y軸負方向的勻強電場，場強

大小為已在的區(qū)域存在方向垂直于xO.y平面向外的勻強磁場.一個笈:核IH和一個笊核

汨先后從)，軸上)，=/?點以相同的動能射出，速度方向沿x軸正方向.已知IH進入磁場時，

速度方向與入軸正方向的夾角為60。，并從坐標原點。處第一次射出磁場.IH的質(zhì)量為用，電

荷量為外不計重力.求：

(DIH第一次進入磁場的位置到原點O的距離；

(2)磁場的磁感應(yīng)強度大?。?/p>

(3)?H第一次離開磁場的位置到原點O的距離.

答案(3%坐(啦一1)4

解析("H在電場中做美平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，運動軌跡如圖所示.設(shè)|H

在電場中的加速度大小為由，初速度大小為它在電場中的運動時間為力，第一次進入磁

場的位置到原點O的距離為51,由運動學(xué)公式有51=。由①

h=^a\t\2?

由題給條件，|H進入磁場時速度的方向與x軸正方向夾角＜9|=60°.|H進入磁場時速度洛)，軸

方向的分量的大小為

a〃i=Stan4③

聯(lián)立以上各式得

(2)|H在電場中運動時，由牛頓第二定律有

qE=ma\?

設(shè)［H進入磁場時速度的大小為s',由速度合成法則有

V\'二擊」+伍由)2?

設(shè)磁感應(yīng)強度大小為B,|H在磁場中運動的圓就道半徑為心，由洛倫茲力公式和牛頓第二定

律有

由幾何關(guān)系得

強度為E=LOX105V/m.在M點有一正粒子以速率17=1.OX1O6m/s沿+尤方向射入磁場，粒

子穿出磁場進入電場，速度減小到。后又返回磁場，最終又從磁場離開.已知粒子的比荷為*

=1.0XI07C/kg,粒子重力不計.

(1)求圓形磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度的大??；

(2)求沿+x方向射入磁場的粒子，從進入磁場到再次穿出磁場所走過的路程.

答案(l)0.2T⑵(O.57t+l)m

解析(1)沿+x方向射入磁場的粒子在進入電場后，速度減小到0,粒子一定是從如圖所示

的尸點豎直向上射出磁場，逆著電場線運動，所以可得粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑

2

r=/?=0.5m,根據(jù)8砂=寫-,得月=兼，代入數(shù)據(jù)得B=0.2T.

(2)粒子返回磁場后，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從N點射出磁場(如圖所示)，MN的長度等于直徑，粒子

在磁場中的路程為二分之一圓周長，即5]=兀凡設(shè)粒子在電場中運動的路程為S2,根據(jù)動能

定理得均當=品*得$2=篙~,則總路程S=S1+S2=成+青

代入數(shù)據(jù)得s=(0.5n+1)m.

跟進訓(xùn)練

1.(先電場后磁場)(2020?湖北宜昌市聯(lián)考)如圖7所示，在矩形區(qū)域A8C。內(nèi)存在豎直向上的

勻強電場，在8C右側(cè)I、II兩區(qū)域存在勻強磁場，乙、七、上是磁場的邊界仍。與匕宜合),

寬度相同，方向如圖所示，區(qū)域I的磁感應(yīng)強度大小為川.一電荷量為+4、質(zhì)量為機的粒子

(重力不計)從AD邊中點以初速度如沿水平向右方向進入電場，粒子恰好從B點進入磁場，

經(jīng)區(qū)域I后又恰好從與8點同一水平高度處進入?yún)^(qū)域II.已知48長度是BC長度的5倍.

圖7

(1)求帶電粒子到達B點時的速度大??；

⑵求區(qū)域I磁場的寬度L;

(3)要使帶電粒子在整個磁場中運動的時間最長，求區(qū)域的磁感應(yīng)強度S的最小值.

pg.2小/如0c?

答案⑴」廠（2）武陽1（3）1.58]

解析（1）設(shè)帶電粒子進入駿場時的速度大小為。，與水平方向成。角，粒子在勻強電場中做

類平拋運動，由類平拋運動的速度方向與位移方向的關(guān)系有：3!1。=7"=與，則。=30。

LABJ

Vo2y13vo

根據(jù)速度關(guān)系有：

v=cos0~3

（2）設(shè)帶電粒子在區(qū)域I中的就道半徑為n,由牛頓第二定律得：夕叫=吟，4九跡如圖甲所

示：

由幾何關(guān)系得：L=r\

2小/〃研）

解得：L=

3曲

（3）當帶電粒子不從區(qū)域H右邊界離開磁場時，在磁場中運動的時間最長.設(shè)區(qū)域H中最小磁

感應(yīng)強度為B2m,此時粒子恰好不從區(qū)域H右邊界離開磁場，對應(yīng)的跳跡半徑為r2,枕跡如

圖乙所示：

V2

同理得：卯82m=〃大

根據(jù)幾何關(guān)系有：L=r2（l+sin0）

解得：&m=1.5即

2.（先磁場后電場）（2020111東濰坊市3月五縣聯(lián)考）如圖8所示的坐標系xQv中，第一象限內(nèi)

存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為風，第二象限存在沿），軸負方向的勻強電場，

x軸下方存在垂直紙面向里的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強度未知.一帶正電粒子從440）

點以初速度。o開始運動，初速度方向與x軸負方向夾角為53。，粒子到達y軸時速度方向與

y軸垂直，粒子經(jīng)過電場區(qū)域、x軸下方磁場區(qū)域恰好回到A點，且速度方向與初速度方向相

同.粒子重力不計,sin530=0.8,cos530=0.6,求：

圖8

⑴粒子的比荷；

⑵勻強電場的電場強度大??；

（3）x軸卜.方磁場的磁感應(yīng)強度大小.

小-4v（）20voB（）40

答案⑴7瓦（2）F—⑶萬氏

解析⑴設(shè)粒子在第一象限內(nèi)做圓周運動的半符為"，財有,〃0員=喏

由圖可知「尸忐，解得*=就

（2）設(shè)粒子類平拋過程豎直位移為△,，，

則△），=〃-ncos53°

由題意可知，粒子類平拋運動的末速度與x軸負方向夾角為。=53。，則4,=Dolana類平拋

運動過程Vy=at,Ay=2afl，qE=〃也

儂二都俎，3d尸2Ov（）B（）

職工解得/=詬，E=—

（3）設(shè)粒子類平拋過程水平位移為At,則AX=C,設(shè)粒子在y軸下方磁場區(qū)域運動的半徑為

d+Ax

,2

乃，則r?=~：-7~

“乙sin0

24n

粒子運動速度v=意），qvB=nr~,解得4=有"80.

VMoC7<2乙1

課時精練

1.如圖1所示，在第II象限內(nèi)有沿X軸正方向的勻強電場，電場強度為E,在第I、IV象限

內(nèi)分別存在如圖所示的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小相等.有?個帶電粒子以垂直于工軸的初

速度加從x軸上的P點進入勻強電場中，并且恰好與y軸的正方向成45。角進入磁場，又恰

好垂直于x軸進入第IV象限的磁場.已知。、P之間的距離為d,則帶電粒子在磁場中第二

次經(jīng)過x軸時，在電場和磁場中運動的總時間為（）

圖I

A.eqB.eq（2+5兀）

。*7

C.eq（2+號）D.eq（2+冷）

答案D

解析帶電粒子的運動航跡如圖所示，

帶電粒子出電場時，速度v=pv。,這一過程的時間八=（=興，根據(jù)幾何關(guān)系可得帶電粒

7

子在磁場中的偏轉(zhuǎn)凱道半徑r=2<2J,帶電粒子在第I象限中運動的圓心角為詈，故帶電粒

子在第【象限中的運動時間[2=17=彥?券=等，帶電粒子在第IV象限中運動的時間門=￥=

ooVZVQV

需，故/總="+，2+，3=（（2+與），D正確.

2.（2018.全國卷1【卜24）如圖2,從離子源產(chǎn)生的甲、乙兩種離子，由靜止經(jīng)加速電壓U加速

后在紙面內(nèi)水平向右運動，自M點垂直于磁場邊界射入勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里.，

磁場左邊界豎直.已知甲種離子射入磁場的速度大小為3,并在磁場邊界的N點射出；乙種

離子在MN的中點射出；MN長為/.不計重力影響和離子間的相互作用.求：

圖2

（1）磁場的磁感應(yīng)強度大?。?/p>

（2）甲、乙兩種離子的比荷之比.

答案（瑞（2）「4

解析（1）設(shè)甲種離子所帶電荷量為⑺、質(zhì)量為如，在磁場中做勻速圓周運動的半徑為

磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,由動能定理有q\U=^m\V]2?

由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有q\V\B=mq^@

由幾何關(guān)系知2R=@

由①②③式得B=j^?

（2）設(shè)乙種離子所帶電荷量為碘、質(zhì)量為機2,射入磁場的速度為6,在磁場中做勻速圓周運

動的半徑為/?2.同理有<72。=%?2療⑤

伙sB=〃12皆⑥

由題給條件有2%=/

由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙兩種離子的比荷之比為

d：j：4.

m\mi

3.如圖3所示，在x軸上方存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為8,方向垂直于紙面向外；在x

軸下方存在勻強電場，電場方向與xOy平面平行，且與尤軸成45。夾角.一質(zhì)量為機、電荷

量為式4>0）的粒子以初速度的從y軸上的P點沿），軸正方向射出，一段時間后進入電場，進

入電場時的速度方向與電場方向相反；又經(jīng)過一段時間4磁場的方向變?yōu)榇怪庇诩埫嫦蚶铮?/p>

大小不變.不計重力.

(1)求粒子從P點出發(fā)至第一次到達X軸時所需時間;

(2)若要使粒子能夠回到P點，求電場強度的最大值.

答案⑴瑞Q赍

解析(1)帶電粒子在勻強藤場中做勻速圓周運動，運動枕跡如圖所示.

設(shè)運動半徑為R,運動周期為7.根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有亞仍=〃嶗

聯(lián)立解得T=F

Rq

依題意，粒子第一次到達工軸時，轉(zhuǎn)過的角度為表

所需時間為力=%=扛

27to

解得「鬻

(2)粒子進入電場后，先做勻減速直線運動，直到速度減小為0,然后沿原路返回做勻加速直

線運動，到達X軸時速度冗小仍為。0,設(shè)粒子在電場中運動的總時間為/2,加速度大小為出

有qE=nia

t2

vo=a-2

根據(jù)題意，要使粒子能夠回到P點，必須滿足f227b

得電場強度最大值扁川=竽.

qio

4.(2019?河南平頂山市一輪復(fù)習(xí)質(zhì)檢汝口圖4所示，平面直角坐標系X。)，的第二、三象限內(nèi)有

方向沿y軸正方向的勻強電場，第一、四象限內(nèi)有圓形有界磁場，有界磁場的半徑為乎L

磁場的方向垂直了坐標平面向里，磁場邊界與y釉相切了O點，在人軸上坐標為(一七0)的尸

點沿與x軸正方向成夕=45。角斜向上射出一個速度大小為內(nèi)的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為相，

電荷量為q，粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)垂直y軸射出電場，粒子進入磁場后經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)以沿），粕負方

向的速度射出磁場，不計粒子的重力.求：

圖4

⑴粒子從y軸上射出電場的位置坐標；

（2）勻強電場電場強度大小及勻強磁場的磁感應(yīng)強度大??；

⑶粒子從P點射出到射出磁場運動的時間為多少？

答案（1）（0,安版贊峨+0

解析（1）粒子在電場中的運動為類平拋運動的逆運動，

水平方向：L=vocos6-t\,

豎直方向：＞'=^y（）sin6-t\,

解得：y=^L,

粒子從y軸上射出電場的位置,坐標為：（0,；L）；

⑵粒子在電場中的加速度大?。?。=管aF，

豎直分位移：

解得:石=切？

粒子進入磁場后做勻速圓周運動，以沿y軸負方向的速度射出磁場，運動軌跡如圖所示,

由幾何知識得：AC與豎直方向夾角為45。，

AD=亞=享，

因此AC剛好為圓形有界磁場的直徑，粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑：,?=，

y2

粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得：qvB=nhf

其中，粒子的速度：v=z?ocos3,

Mkn也"旗）

解得：B=F~：

（3）粒子在電場中的運動時'可：人=惠萬=2，

粒子離開電場進入磁場前做勻速直線運動，位移：尸罩一技,

粒子做直線運動的時■間：氏='=（2平））

7/Z7/Q

粒子在磁場中做圓周運動的時間：/3=:7=）乂筆=曝",

44qtiZVo

士,JZ?占AA--hn4-n.L也（l+n）L

粒子后的運動時間：/=。+/2+，3=：+^—不.

Vozvo

5.（2020?山東等級考模擬卷）如圖5所示，在第一象限內(nèi)，存在垂直于平面向外的勻強

磁場【，第二象限內(nèi)存在水平向右的勻強電場，第三、四象限內(nèi)存在垂直于x