第第頁第24講軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)【3大考點(diǎn)15大題型】考點(diǎn)一考點(diǎn)一軸對稱(1)軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱。這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。(2)軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做它的對稱軸。(3)軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形。經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。(4)線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。(5)坐標(biāo)與軸對稱：點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）；【題型1軸對稱圖形】【例1】（2024·江蘇徐州·中考真題）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2024·四川綿陽·中考真題）蜜蜂的蜂巢美觀有序，從入口處看，蜂巢由許多正六邊形構(gòu)成，則正六邊形的對稱軸有（）A．4條 B．5條 C．6條 D．9條【變式1-2】（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，在紙片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB,AC上，且AD=AE，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，則BD:CE=（A．3:2 B．3:2 C．23:3【變式1-3】（2024·湖北十堰·中考真題）過正方形ABCD的頂點(diǎn)D作直線DP，點(diǎn)C關(guān)于直線DP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE，直線AE交直線DP于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若∠CDP=25°，則∠DAF=___________°；(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段CD，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在DP繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動的過程中，設(shè)AF=a，EF=b請直接用含a,b的式子表示DF的長．【題型2折疊問題】【例2】（2024·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將△BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE．若DE⊥AB于點(diǎn)F，BC=10，則AF的長為．

【變式2-1】（2024·四川·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折疊△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕DE與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則CE的長為【變式2-2】（2024·江蘇無錫·中考真題）【操作觀察】如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折疊四邊形紙片ABCD，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′始終落在AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，折痕與AB，【解決問題】(1)當(dāng)點(diǎn)C′與點(diǎn)A重合時，求B(2)設(shè)直線B′C′與直線AB相交于點(diǎn)F，當(dāng)∠AF【變式2-3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在△ABD中，∠ABD=30°，∠A=105°，將△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，將線段DC繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段DF，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接EF，ED．若EF=1，則A．1+34 B．2+34 C．【題型3坐標(biāo)系中的軸對稱問題】【例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?1,1，B?2,3，C(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B(2)畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π【變式3-1】（2024·浙江金華·中考真題）如圖，兩個燈籠的位置A,B的坐標(biāo)分別是?3,3,1,2，將點(diǎn)B向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)B′，則關(guān)于點(diǎn)A,

A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)O對稱 D．關(guān)于直線y=x對稱【變式3-2】（2024·山東聊城·中考真題）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A4,4，點(diǎn)C在邊AB上，且ACCB=13，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時，使四邊形PDBCA．2,2 B．52,52 C．【變式3-3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,3與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是【題型4與軸對稱有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例4】（2024·山東威海·中考真題）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是(

)A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【變式4-1】（2024·重慶南岸·二模）如圖，Rt△A1B1C1的斜邊A1B1在直線y=3x?3上，點(diǎn)B1在x軸上，C1點(diǎn)坐標(biāo)為2,0．先將△A1B1C1

A．15,53 B．15,63 C．17,53【變式4-2】（2024·福建漳州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x的圖象為直線l，作點(diǎn)A11,0關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A2，將A2向右平移2個單位得到點(diǎn)A3；再作A3關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A4，將AA．1012,1011 B．1012,1009 C．1009,1012 D．1011,1012【變式4-3】（2024·山東淄博·一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(?2,0)，B(1,2)，C(1,?2)．已知N?1,0，作點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)N1，點(diǎn)N1關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)N2，點(diǎn)N2關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)N3，點(diǎn)N3關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)N4，點(diǎn)N4考點(diǎn)二考點(diǎn)二平移(1)平移的定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。(3)坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x，y）向右平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y）；點(diǎn)（x，y）向左平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y）；點(diǎn)（x，y）向上平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+a）；點(diǎn)（x，y）向下平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-a）。【題型5利用平移的性質(zhì)求解】【例5】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是（

A．440cm B．320cm C．280cm【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=ah時，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，則△ABE的平移距離為（

）

A．3 B．4 C．5 D．12【變式5-2】（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′【題型6利用平移解決實(shí)際生活問題】【例6】（2024·山東日照·中考真題）下列運(yùn)動中，屬于平移的是（

）A．冷水加熱過程中，小氣泡上升成為大氣泡 B．急剎車時汽車在地面上的滑動C．隨手拋出的彩球運(yùn)動 D．隨風(fēng)飄動的風(fēng)箏在空中的運(yùn)動【變式6-1】（2024·湖南邵陽·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計(jì)了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是（）

A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長【變式6-2】（2024·湖南衡陽·中考真題）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A．35×20?35x?20x+2x2=600C．(35?2x)(20?x)=600 D．(35?x)(20?2x)=600【變式6-3】（2024·浙江紹興·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個相同的菱形放置，得到3個菱形．下面說法正確的是（

）A．用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形B．用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形C．用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形D．用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形【題型7坐標(biāo)系中的平移問題】【例7】（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點(diǎn)”P2,1按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)P3若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)Q16?1,9，則點(diǎn)A．6,1或7,1 B．15,?7或8,0 C．6,0或8,0 D．5,1【變式7-1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在直線y=34x上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8，為點(diǎn)CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)【變式7-2】（2024·湖北黃石·中考真題）如圖，已知點(diǎn)A1,0,B4,m，若將線段AB平移至CD，其中點(diǎn)C?2,1,D

A．?3 B．?1 C．1 D．3【變式7-3】（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A′B′C′D′A．?1,?2 B．?2,?1 C．2,1 D．1,2【題型8與平移有關(guān)的規(guī)律問題】【例8】（2024·福建福州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)A1,0，點(diǎn)A第一次跳動至點(diǎn)A1?1,1，第二次向右跳動3個單位至點(diǎn)A22,1，第三次跳動至點(diǎn)A3?2,2，第四次向右跳動5個單位至點(diǎn)A43,2A．1013,1012 B．1012,1011 C．1010,1009 D．1011,1010【變式8-1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M從O0,0開始移動，規(guī)律為：第1次平移后得到點(diǎn)M10,1，第2次平移后得到點(diǎn)M22,1，第3次平移后得到點(diǎn)M32,2A．20,10 B．20,12 C．18,10 D．18,12【變式8-2】（2024·湖南益陽·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只螞蟻?zhàn)訮0(0,?1)處向右爬行1個單位長度至P1(1,?1)，然后向上爬行2個單位長度至P2處，再向左爬行3個單位長度至P3處，再向下爬行4個單位長度至P4處，再向右爬行5

A．(?1010,1009) B．(?1012,1011) C．(1010,?1010) D．(1012,?1012)【變式8-3】（2024·重慶·一模）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，x軸負(fù)半軸有一點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)A先向上平移1個單位至A1(?1,1)，接著又向右平移1個單位至點(diǎn)A2(0,1)，然后再向上平移1個單位至點(diǎn)A3(0,2)，向右平移1個單位至點(diǎn)A4(1,2)，照此規(guī)律平移下去，點(diǎn)A．(1008,1010) B．(1010,1010) C．(1009,1011) D．(1008,1011)考點(diǎn)三考點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)定義：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。(2)中心對稱定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱。這個點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。中心對稱的性質(zhì)：①中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；②中心對稱的兩個圖形是全等圖形。(3)中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點(diǎn)叫做它的對稱中心。(4)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為P′(-x，-y)。【題型9根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例9】（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=23,∠BAC=120°，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為（A．3+3 B．33?3 C．2【變式9-1】（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，AD是中線，將DA繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接BE，則S△BDE=【變式9-2】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AD⊥BC時，∠BAE的度數(shù)是．【變式9-3】（2024·山東東營·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，將△CAB繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是______，AD與BE的位置關(guān)系是______；(2)類比探究將△CAB繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點(diǎn)N，請結(jié)合圖2說明理由；(3)遷移應(yīng)用如圖3，將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CDE，當(dāng)點(diǎn)D落到AB邊上時，連接BE，求線段BE的長．【題型10根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明線段或角相等】【例10】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，連接BF．

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時，如圖①，求證：(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上，∠ABC=45°時，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長線上，∠ABC=135°時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE=_______．【變式10-1】（2024·湖北荊州·中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到ΔDBE，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長線上，連接AD．（1）求證：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．【變式10-2】（2024·遼寧鞍山·中考真題）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)3,3，將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG(1)求證：△AOG≌△ADG；(2)求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；(3)當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式．【變式10-3】（2024·北京·中考真題）在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，求證：D是MC的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．【題型11坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題】【例11】（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A′B′C′D′A．?1,?2 B．?2,?1 C．2,1 D．1,2【變式11-1】（2024·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)n個45°，得到正六邊形OAnBnCnDnEA．?3,?3 B．?3,?3 C．3,?【變式11-2】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)75°，再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點(diǎn)B″的坐標(biāo)為【變式11-3】（2024·湖南湘潭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?1,1，B?4,0，C?2,2．將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°(1)請寫出A1、B1、C1三點(diǎn)的坐標(biāo)：A1_________，(2)求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1【題型12旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題】【例12】（2024·河南許昌·二模）如圖，等腰△ABC的頂點(diǎn)B在y軸上，頂點(diǎn)C在x軸上，已知B0,2,A?5,2,AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，若旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)

A．71 B．72 C．73 D．74【變式12-1】（2024·河南開封·一模）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，...，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，頂點(diǎn)A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（）A．2024π B．2023π C．3036π【變式12-2】（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC=2BA．將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°．則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則kA．6 B．?6 C．?4 D．4【變式12-3】（2024·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=3x+3與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，將等邊△ABC沿射線AB方向作連續(xù)無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)C落在直線l上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)A落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L2023次后點(diǎn)A

A．2023,20233 B．2022,20243 C．2021,20223【題型13中心對稱圖形】【例13】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，移動到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【變式13-2】（2024·浙江金華·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC與△A1B1C1關(guān)于【變式13-3】（2024·江西·中考真題）如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關(guān)于某點(diǎn)中心對稱，已知A,D1,D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,4），（0，3），（0，2）.(1)對稱中心的坐標(biāo)；(2)寫出頂點(diǎn)B,C,B1,C1的坐標(biāo).【題型14根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求解】【例14】（2024·海南·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)絡(luò)中，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為?2,4、?2,(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A(2)平移△ABC，使點(diǎn)A移動到點(diǎn)A20,2，畫出平移后的△A(3)在△ABC、△A1B1C1、△A【變式14-1】（2024·浙江湖州·中考真題）在數(shù)學(xué)拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：若一條直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點(diǎn)，則這條直線平分該平行四邊形的面積.如圖是由5個邊長為1的小正方形拼成的圖形，P是其中4個小正方形的公共頂點(diǎn)，小強(qiáng)在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過點(diǎn)P的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長度是（

）A．22 B．5 C．352【變式14-2】（2024·陜西·中考真題）點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD＞AB，E、F分別是AB邊上的點(diǎn)，且EF＝12AB；G、H分別是BC邊上的點(diǎn)，且GH＝13BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2【變式14-3】（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點(diǎn)，△DEF和△ABC關(guān)于點(diǎn)O對稱，連接AF,(1)求證：四邊形ACDF是平行四邊形；(2)已知AC=4,?BC=3，求四邊形ACDF是菱形時【題型15利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計(jì)圖案】【例15】（2024·四川廣安·中考真題）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計(jì)方案（陰影部分為要剪掉部分）請?jiān)趫D中畫出4種不同的設(shè)計(jì)方案，將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）【變式15-1】（2024·浙江寧波·中考真題）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小等邊三角形已涂上陰影．請?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個涂上陰影：（1）使得4個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形．（2）使得4個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．（請將兩個小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫出符合條件的一種情形）

【變式15-2】（2024·浙江寧波·中考真題）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有5個小等邊三角形已涂上陰影，請?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，按下列要求選取一個涂上陰影：（1）使得6個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形．

（2）使得6個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．

（請將兩個小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫出符合條件的一種情形）【變式15-3】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）有一種類似于七巧板的智力玩具，叫做“百變方塊”，共含有十四個圖形塊（如圖1所示），可以用它們拼出各式各樣的圖案，該游戲的規(guī)則是：每個圖形塊可以隨意平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)使用，但必須全部都無縫隙、不重疊地恰好平放于所給6×6的正方形拼圖盒中．例如：圖2是用“百變方塊”拼成的一幅圖案，而圖4、圖5是兩幅未完成游戲的圖案，每幅圖案都缺少圖3所示的五個圖形塊，請你挑戰(zhàn)以下兩個關(guān)卡，將圖3中這五個圖形塊放入正方形拼圖盒中，以完成游戲，要求：模仿圖2在相應(yīng)圖中的空白處畫出圖3中的五個圖形塊，補(bǔ)全圖形．(1)第一關(guān)：完成圖4中的圖案．(2)第二關(guān)：完成圖5中的圖案．【新考向：新考法】1．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)Pm,n和點(diǎn)P'm,n'，若滿足m≥0時，n'=n?4；m<0時，n'=?n，則稱點(diǎn)P'm,n'是點(diǎn)Pm,n的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P12,5的限變點(diǎn)是P1'2,1，點(diǎn)P2?2,3的限變點(diǎn)是P2'A．?2≤n'≤2 B．1≤n'≤3C．1≤n'≤2 D．?2≤n'≤32．（2024·四川德陽·中考真題）隨著三星堆考古工作的推進(jìn)，新石器時代德陽先民的生活正在逐步揭開神秘面紗．為更好地保護(hù)這些古蜀文明的杰作，三星堆博物館決定將“商銅縱目面具”從一個區(qū)域平移到另一個安全域，以下四個存放設(shè)計(jì)示意圖中，能由平移得到的是（

）

B．

C．

D．

3．（2024·湖北十堰·中考真題）在你認(rèn)識的圖形中，寫出一個既是軸對稱又是中心對稱的圖形名稱：.【新考向：新趨勢】1．（2024·四川瀘州·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先向上平移aa>0個單位，再繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的ρa(bǔ),θ變換．如：點(diǎn)A2,0按照ρ1,90°變換后得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)為?1,2，則點(diǎn)B3,?12．（2024·吉林·中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α0°<α<360°后能夠與它本身重合，則角α可以為3．（2024·貴州六盤水·中考真題）如圖，有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線l對稱，請?jiān)谠嚲砩涎a(bǔ)全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品．

【新考向：新情境】1．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·湖南長沙·中考真題）感恩的心是一種生活態(tài)度，它能夠提升我們的生活質(zhì)量，讓我們更加快樂和滿足．如圖是小雙同學(xué)在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時設(shè)計(jì)的“愛心”圖案．“愛心”是在平面直角坐標(biāo)系中，由二次函數(shù)y=?x2+2x+5的圖象與其關(guān)于直線y=?x對稱的圖象所組成，若兩圖象相交于A，B，C，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD

3．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(a,b),N.對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a個單位長度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b個單位長度，得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)M(1,1),點(diǎn)N在線段OM的延長線上，若點(diǎn)P(?2,0),點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)Q；②連接PQ,交線段ON于點(diǎn)T.求證：NT=(2)⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動時直接寫出PQ4．（2024·陜西西安·中考真題）（1）問題提出：如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FE，連接CF，求CF的長；（2）問題解決：為了解鄉(xiāng)村生活、體驗(yàn)鄉(xiāng)村水土風(fēng)情、享受田園風(fēng)光，某校計(jì)劃利用空地修建蔬菜種植基地，讓學(xué)生自己種植，自己管理，學(xué)習(xí)種植技術(shù)，體驗(yàn)豐收的喜悅．已知蔬菜種植基地ABCD的設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，其中AD∥BC，BC＝CD＝100m，∠C＝60°，E為CD上一點(diǎn)，且不與C，D重合，∠AEB＝60°．按設(shè)計(jì)要求，△ABE中種植葉菜類，其余種植根莖類．設(shè)CE的長為x（m），蔬菜種植基地的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)種植葉菜類的面積恰好與根莖類的面積相等時，求AB的長．【新考向：跨學(xué)科】1．（2024·江蘇·中考真題）閱讀下列材料并完成任務(wù)：“最短路徑問題”是數(shù)學(xué)中一類具有挑戰(zhàn)性的問題．其實(shí)，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖1，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為使馬走的路程最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？海倫認(rèn)為以河邊為鏡面，畫出甲地的鏡像點(diǎn)（垂直河邊的等距離點(diǎn)），然后連接乙地和甲地的鏡像點(diǎn)，會跟河邊相交一點(diǎn)，這個點(diǎn)就是馬飲水的地方，馬走的路程最短（兩點(diǎn)之間直線距離最短）．任務(wù)：請你幫海倫在圖1的位置完成作圖，并標(biāo)出馬飲水的地點(diǎn)P（畫出草圖即可）；2．（2024·遼寧本溪·中考真題）如圖，甲、乙分別從A?9,0，B13,0兩點(diǎn)同時出發(fā)，甲朝著正北方向，以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動；乙朝著正西方向，以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為規(guī)定：t秒時，甲到達(dá)的位置記為點(diǎn)At，乙到達(dá)的位置記為點(diǎn)Bt，例如，1秒時，甲到達(dá)的位置記為A1，乙到達(dá)的位置記為B1（如圖所示）；2.5秒時，甲到達(dá)的位置記為A2.5等等．容易知道，兩條平行且相等的線段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有關(guān)運(yùn)動問題時，為研究方便，我們可把點(diǎn)或線段進(jìn)行合適的平移后，再去研究（物理上的相對運(yùn)動觀，就是源于這種數(shù)學(xué)方法）．現(xiàn)對t秒時，甲、乙到達(dá)的位置點(diǎn)A第二步：把線段AtBt進(jìn)行平移，使點(diǎn)Bt與點(diǎn)B重合，平移后，點(diǎn)解答下列問題：(1)【理解與初步應(yīng)用】當(dāng)t=1時，利用網(wǎng)格，在圖中畫出A1，B(2)【實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)整理】補(bǔ)全下表：t的取值123t點(diǎn)A′?5,3（)（)（)(3)【數(shù)據(jù)分析與結(jié)論運(yùn)用】①如果把點(diǎn)A′t的橫、縱坐標(biāo)分別用變量x，y表示，則y與②點(diǎn)A′(4)【拓展應(yīng)用】我們知道，在運(yùn)動過程中的任意時刻t，甲相對于乙的方位（即，點(diǎn)At相對于點(diǎn)Bt的方位）與A′3．（224·福建泉州·中考）小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實(shí)驗(yàn)后，對其作了進(jìn)一步的探究：在一個支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，如圖1，OA表示小球靜止時的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（中的A、B、O、C在同一平面上），過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，測得BD=8cm，CE=17cm．小明發(fā)現(xiàn)不用測量也能知道【問題解決】：請你應(yīng)用所學(xué)的知識幫小明解答求DE長的過程．【情景拓展】：在銳角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為射線DB上一動點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AQ，連接BQ，交直線AD于點(diǎn)F，（1）如圖2：當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時，試猜想BP和DF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線DB上運(yùn)動時，若BDBP=41．（2024·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)m,n先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，最后所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．m?2,n?1 B．m?2,n+1 C．m+2,n?1 D．m+2,n+12．（2024·青海西寧·中考真題）河湟剪紙被列入青海省第三批省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，是青海勞動人民結(jié)合河湟文化，創(chuàng)造出獨(dú)具高原特色的剪紙．以下剪紙圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將線段AB先向左平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，再將所得線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到線段A′B′，則點(diǎn)A

A．2,?3 B．?2,3 C．3,?2 D．?3,24．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2．點(diǎn)D在BC上，且BD:CD=1:3．連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE．則△BDE的面積是（

A．14 B．38 C．345．（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，∠ABD=60°．動點(diǎn)E在線段OB上，動點(diǎn)F在線段OD上，點(diǎn)E,F同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B,D運(yùn)動，且始終保持OE=OF．點(diǎn)E關(guān)于AD,AB的對稱點(diǎn)為E1,E2；點(diǎn)F關(guān)于BC,CD的對稱點(diǎn)為F1A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形6．（2024·山東淄博·中考真題）在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的圖案經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是．

7．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動，將△ABC沿BC所在直線翻折得到△DBC，則OD的最大值為．8．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，連接PA，將PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PA′，連接CA′．若AD=9，AB=5，C

9．（2024·寧夏·中考真題）如圖是由邊長為1的小正方形組成的9×6網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在格點(diǎn)上．下列結(jié)論：

①點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E中心對稱；②連接FB，F(xiàn)C，F(xiàn)E，則FC平分∠BFE；③連接AG，則點(diǎn)B，F(xiàn)到線段AG的距離相等．其中正確結(jié)論的序號是．10．（2024·湖北十堰·中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，G，H分別為DE，BF的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為

11．（2024·四川廣安·中考真題）將邊長為2的正方形剪成四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形拼成符合要求的四邊形，請?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

12．（2024·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,?1,B1,?2

(1)將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△A1B(2)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(3)將△A2B2C2著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到13．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線段AB上的動點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB

(1)當(dāng)∠QPB=45°時，求四邊形BB(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動時，設(shè)BP=x，四邊形BB′C′C的面積為S14．（2024·吉林·中考真題）圖①，圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)