第第頁第27講解直角三角形【2大考點(diǎn)12大題型】考點(diǎn)一考點(diǎn)一銳角的三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)2.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1【題型1求角的三角函數(shù)值】【例1】（2024·四川資陽·中考真題）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME?14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．45【答案】C【分析】設(shè)EF=x，則AH=3x，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得AE=4x，再根據(jù)勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)EF=x，則AH=3x，∵△ABE≌△DAH，四邊形EFGH為正方形，∴AH=BE=3x，EF=HE=x，∴AE=4x，∵∠AEB=90°，∴AB=A∴sin∠ABE=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024·云南·中考真題）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，則tanA=（

A．45 B．35 C．43【答案】C【分析】本題考查銳角三角函數(shù)．根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)即可得到本題答案．【詳解】解：∵∠B=90°,AB=3,BC=4，∴tanA=故選：C．【變式1-2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,F是邊BC上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC，連接DE,AF,DE與AF相交于點(diǎn)G，連接BG．若AB=4，BC=6，則sin∠GBF的值為（

A．1010 B．31010 C．1【答案】A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點(diǎn)G作GH⊥BC，證明△AGD∽△FGE，得到FGAG=EFAD=13，再證明△GHF∽△ABF【詳解】解：∵矩形ABCD，BE=EF=FC，AB=4，BC=6，∴AD=BC=6,AD∥BC，BE=EF=FC=2，∴△AGD∽△FGE，BF=4，∴FGAG∴FG過點(diǎn)G作GH⊥BC，則：GH∥AB，∴△GHF∽△ABF，∴FHBF∴FH=14BF=1∴BH=BF?FH=3，∴BG=1∴sin∠GBF=故選A．【變式1-3】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長均為2，∠ABD=120°，其中點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠BCD的值為（

A．2 B．23 C．32【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出∠AFC=90°，解直角三角形求得AF,FC的長，根據(jù)對(duì)頂角相等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在格點(diǎn)上，依題意，∠EGF=120°,EG=GF，GF=GC,∠FGC=60°∴∠CEF=30°,∠ECF=60°∴∠AFC=90°又FC=2，∴AF=2EF=4EG∴tan故選：B．【題型2由角的三角函數(shù)值求邊長】【例2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AH是⊙O的切線，點(diǎn)C為⊙O上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)E，延長BD與AH相交于點(diǎn)F，若DF=1，tanB=12，則AE

【答案】5【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．先證∠DAF=∠ABD可得△DAF∽△DBA從而得到DFAD=ADBD=【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵AH是⊙O的切線，∴∠BAF=90°，∴∠DAF=∠ABD=90°?∠DAB，∴△DAF∽∴DFAD∵DF=1，∴AD=2，∴AF=5∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD=∴∠ABD=∠DAC=∠DAF，∵∠ADE=∠ADF=90°，∴90°?∠DAE=90°?∠DAF，即∠AED=∠AFD，∴AE=AF=5故答案為：5．【變式2-1】（2023·四川南充·中考真題）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC=α，則A，C兩處相距（

）

A．xsinα米 B．xcosα米 C．x?sin【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.【詳解】解：小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，∴∠ABC=90°，AB=x米.∴cos∴AC=AB故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.【變式2-2】（2023·山東·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=1

【答案】3?【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根據(jù)∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，從而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用銳角三角函數(shù)求得AH=AB?【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，∵AH⊥BC，∴∠BAH=1∴∠BAD+∠DAH=30°，∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠DAH=∠EAC，∴tan∠DAH=∵BH=1∵AH=AB?sin∴DHAH∴DH=3∴BD=BH?DH=3?3故答案為：3?3

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAH=∠EAC是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·四川巴中·中考真題）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點(diǎn)G在AD上，GF與CD交于點(diǎn)H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的邊長為8，則BH

【答案】10【分析】根據(jù)正切的概念和正方形的性質(zhì)，求得AG的長度，再根據(jù)勾股定理求得BG的長度，證明∠ABG=∠DGH，求得DH,GH，最后根據(jù)勾股定理即可求得BH的長．【詳解】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠BGH=90°，AB=AD=8，∵tan∴AG∴AG=8×12=4在Rt△ABG中，BG=∵∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠DGH，∴∴DH=2，在Rt△CDH中，HG=∴在Rt△BGH中，HB=故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【題型3求特殊角的三角函數(shù)值】【例3】（2020·四川攀枝花·中考真題）計(jì)算：sin60°=．【答案】3【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解題的．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可解答．【詳解】解：sin60°=故答案為：32【變式3-1】（2025·上海閔行·一模）用含特殊銳角的三角比的式子表示：2=【答案】2【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)45°的正弦值等于22【詳解】解∶∵sin45°=∴2=2故答案為：2sin【變式3-2】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）正二十邊形中心角的正弦值為【答案】12【分析】本題考查正十二邊形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，先由正十二邊形的性質(zhì)得到正二十邊形中心角，再由特殊角的三角函數(shù)值求解即可得到答案，熟記正多邊形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：正二十邊形中心角為360°12∴正二十邊形中心角的正弦值為sin30°=故答案為：12【變式3-3】（2024·天津·中考真題）2cos45°A．0 B．1 C．22?1 【答案】A【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)cos45°=【詳解】2cos故選：A.【題型4含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】【例4】（2024·廣東深圳·中考真題）計(jì)算：?2?cos【答案】4【分析】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先將各項(xiàng)化簡，再算乘法，最后從左往右計(jì)算即可得【詳解】解：?2?=?2×=?=4．【變式4-1】（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：sin45°+【答案】2024【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：sin==2024．【變式4-2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：3?2【答案】1【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算．直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡即可得出答案．【詳解】解：3=2?=1．【變式4-3】（2024·四川廣元·中考真題）計(jì)算：2024?π【答案】?1【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊的三角函數(shù)值，零次冪及負(fù)指數(shù)冪計(jì)算，正確掌握各計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=1+2?3【題型5由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】【例5】（2024·安徽蕪湖·一模）在△ABC中，2cosA?22+1?A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得2cosA?23=0，1?tanB=0，從而得【詳解】解：∵2∴2cosA?∴2cosA?∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，BC=AC∴△ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【變式5-1】在△ABC中，∠C，∠B為銳角，且滿足sinC?22＋(32－cosB)2A．100° B．105° C．90° D．60°【答案】B【分析】直接利用絕對(duì)值以及偶次方的性質(zhì)得出∠C=45°，∠B=30°，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵|sinC-22|+（32-cosB）∴sinC-22=0，3則sinC=22，cosB=3故∠C=45°，∠B=30°，∴∠A=180°-45°-30°=105°．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及偶次方的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，正確記憶有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【變式5-2】在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若sinA=32，cosB=12，則△ABC的形狀為【答案】等邊【分析】根據(jù)∠A、∠B都是銳角，sinA=32，cosB=12，求出∠A、【詳解】解：∵sinA=32，cosB=1∴∠A＝∴∠C=180°?60°?60°=60°，∴△ABC為等邊三角形．故答案為：等邊．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，求得∠A、∠B的度數(shù)．【變式5-3】（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，若∠A，∠B都是銳角，且sinA=12，cosB=1A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷∠A=30°，∠B=60°，從而可求出∠C=90°，即證明△ABC的形狀是直角三角形．【詳解】∵∠A，∠B都是銳角，且sinA=12∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?30°?60°=90°，∴△ABC的形狀是直角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀，三角形內(nèi)角和定理．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【題型6利用三角函數(shù)間的關(guān)系求解】【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)求證：sin2(2)若sinB+cosB=【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題考查銳角三角形函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正弦，余弦的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，利用完全平方公式，對(duì)式子進(jìn)行變形，進(jìn)行解答，即可．（1）根據(jù)正弦，余弦，勾股定理，可得sinB=ACAB，cosB=BCAB，（2）根據(jù)題意，sinB+cosB=75，變形可得(【詳解】（1）解：證明如下：∵Rt△ABC中，∠C=90°∴sinB=ACAB，cos∴sin2B=A∴sin2（2）解：∵sinB+∴(sin∴sin2∵sin2∴1+2sin∴sinB?【變式6-1】計(jì)算：sin248°+sin【答案】0【分析】本題考查銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，互余關(guān)系，進(jìn)行求解即可．掌握三角函數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵42°+48°=90°，∴sin42°=cos48°∵44°+46°=90°，∴tan44°?∴原式=1?1×1=0；故答案為：0．【變式6-2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在邊AC上，滿足BC2=CD?AC，若sin∠A=cos【答案】2【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，先證明△CBD∽△CAB，可得∠A=∠CBD，∠CDB=∠CBA，再證明α=∠CBA=∠CDB即可．【詳解】解：∵BC∴BCCD∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠A=∠CBD，∠CDB=∠CBA，∵sin∠A=cosα∴cosα=∴α=∠CBA=∠CDB；故答案為：2【變式6-3】若a為銳角．(1)求證：①sinα=cos90(2)試求：sin2【答案】(1)①見解析；②見解析(2)44【分析】本題主要考查正弦、余弦的計(jì)算，理解并掌握正弦、余弦的計(jì)算方法，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)正弦、余弦的計(jì)算方法求解即可；②根據(jù)正弦、余弦、勾股定理計(jì)算即可；（2）由（1）的計(jì)算可得sin89°=cos1【詳解】（1）解：若α為銳角，建立如上圖所示的直角△ABC，∠C=90°，①sinα=BCAB∴sin②∴BC2+AC2∴sin（2）解：由（1）可得：sin89°=cos1∴==1×44+=441考點(diǎn)二考點(diǎn)二解直角三角形及其應(yīng)用1.解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.③邊角之間的關(guān)系：sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b)④S△ABC=12ab=122.解直角三角形的應(yīng)用（1）坡度坡角在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，則i=hl（2）仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角（3）方位角問題方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.【題型7網(wǎng)格中解直角三角形】【例7】新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求完成下列問題：(1)S△ABC=；sin(2)請(qǐng)僅用無刻度的直尺在線段AB上求作一點(diǎn)P，使S△ACP【答案】(1)4，4(2)作圖見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，設(shè)計(jì)三角形面積，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理．（1）由正方形面積減去三個(gè)直角三角形面積可求S△ABC，過A作AD⊥BC于D，用面積法可求AD的長，在Rt△ABD中可得（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交AB于P，由AE=13BF可知AP=13BP，從而【詳解】（1）解：由圖可得：S△ABC過A作AD⊥BC于D，如圖：∵12×∴AD=4∴sin故答案為：4，45（2）解：如圖：點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．【變式7-1】如圖是由六個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格圖，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，A、O、B、C均在格點(diǎn)上，當(dāng)菱形的邊長為1且∠AOB=60°時(shí)，則sin∠BAC=【答案】21【分析】如圖，連接AD，DE．只要證明【詳解】解：如圖，連接AD，∵OE=OD，∴△EOD是等邊三角形，∴DE=EO=EA，∠OED=60°，∴∠OAD=30°，∴∠ADO=90°，∴AD=A∴AB=A∵AC∥OB，∴∠BAC=∠ABD，∴sin∠BAC=故答案為：217【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式7-2】如圖，A，B，C，D均為正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，AB,CD相交于點(diǎn)E，則tan∠AEC=（

A．2 B．3 C．3 D．2+【答案】B【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例、求角的正切值等知識(shí)點(diǎn)，正確連接輔助線得到平行線段及直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖：連接DB，連接格點(diǎn)D、F交AB于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DECE【詳解】解：如圖：連接DB，連接格點(diǎn)D、F交AB于F，由網(wǎng)格圖可知，DB=DC，∵DF∥∴DECE∴DECD∴tan∠AEC=故選：B．【變式7-3】圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，所畫三角形的面積均為152(1)在圖①中畫一個(gè)△ABC，使tanA=1(2)在圖②中畫一個(gè)△ABD，使tanA=(3)在圖③中畫一個(gè)△ABE，使tanA=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）取格點(diǎn)C，構(gòu)造等腰直角△ACF，使AF=CF=3，△ABC即為所求；（2）取格點(diǎn)D，構(gòu)造直角△ADG，使DG=3，AG=4，則tanA=34（3）取格點(diǎn)H，J，連接HJ交格線于點(diǎn)E，則△ABE即為所求．由網(wǎng)格的性質(zhì)得△EIH∽△EKJ，則IEEK=IHJK=12，即IE【詳解】（1）解：如圖②中，△ABC即為所求；；（2）解：如圖①中，△ABD即為所求；（3）解：如圖③中，△ABE即為所求．【題型8構(gòu)造直角三角形解直角三角形】【例8】（2024·廣東廣州·一模）已知在四邊形ABCD中，∠BAD=75°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=42（1）CD的長是；（2）若E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，在AF上截取FP=FD，當(dāng)△PBC的面積最小時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離是【答案】442?【分析】（1）連接AC，根據(jù)條件易知△ABC是等腰直角三角形，所以求得AC=8，再利用∠BAD=75°求得∠CAD=30°，在Rt△ACD中即可求出CD（2）連接DP，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)O、P、G共線時(shí)，PG的長最小，則△PBC【詳解】（1）解：連接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4∴∠BAC=45°，∵∠BAD=75°，∴∠CAD=75°?45°=30°，∴在Rt△ACD中，CD=故答案為：4（2）在Rt△ACD中，易得AD=AC?連接DP，由題意可知△PDF是等腰直角三角形，∴∠FPD=45°，∴∠APD=135°，∴點(diǎn)P是△APD外接圓的AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作△APD的外接圓⊙O，連接OA，OP，∴△AOD∴OA=2過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)O、P、G共線時(shí)，PG的長最小，則△PBC當(dāng)點(diǎn)O、P、G共線時(shí)，OG∥AB，∴∠AOP=180°?∠BAD?∠OAD=180°?75°?45°=60°，∴△AOP是等邊三角形，AP=OA=26過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，∴四邊形PGBH是矩形，∵∠PAH=∠APO=60°，∴AH=1則PG=BH=42故點(diǎn)P到BC的距離是42故答案為：4【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和面積最小問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．【變式8-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)SABCD【詳解】解：連接AC，如圖所示

∵∠ABC=90°，AB=7，BC=9∴AC=∵∠ADC=90°，CD=3∴AD=∴=∴四邊形ABCD的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式8-2】（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長為120m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為(

)

A．120m B．603m C．605m D．1203m【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，即求AC的長，求得∠BAC＝30°，進(jìn)而解Rt△ABC【詳解】如圖，

∵底部是邊長為120m的正方形，∴BC＝12∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝BCsin∴AC＝1202?60答：這個(gè)金字塔原來有603故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】如圖，將45°的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

【答案】2.7．【詳解】解直角三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值．過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm．【題型9仰角、俯角問題】【例9】（2024·天津·中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36?m,EC⊥AB，垂足為C．在D處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測(cè)得橋塔底部A的俯角（∠CDA）為6°，又在E處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（∠CEB）為(1)求線段CD的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6,【答案】(1)54(2)59【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD?tan∠CDB=x?tan45°=x．在Rt（2）求出AC，根據(jù)AB=AC+BC即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)CD=x，由DE=36，得CE=CD+DE=x+36．∵EC⊥AB，垂足為C，∴∠BCE=∠ACD=90°．在Rt△BCD中，tan∴BC=CD?tan在Rt△BCE中，tan∴BC=CE?tan∴x=x+36得x=36×答：線段CD的長約為54?m（2）在Rt△ACD中，tan∴AC=CD?tan∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59．答：橋塔AB的高度約為59?m【變式9-1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)A測(cè)得該樓頂部點(diǎn)C的仰角為60°，測(cè)得底部點(diǎn)B的俯角為45°，點(diǎn)A與樓BC的水平距離AD=50m，則這棟樓的高度為【答案】50+503/【分析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得∠BAD=45°，【詳解】解：依題意，∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AD?在Rt△ACD中，CD=AD?∴BC=BD+CD=50+50故答案為：50+503【變式9-2】（2024·新疆·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，某小組進(jìn)行了以下實(shí)踐活動(dòng)：（1）準(zhǔn)備測(cè)量工具①測(cè)角儀：把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡單的測(cè)角儀（圖1），利用它可以測(cè)量仰角或俯角；②皮尺．（2）實(shí)地測(cè)量數(shù)據(jù)①將這個(gè)測(cè)角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測(cè)角儀的直徑剛好到達(dá)旗桿的最高點(diǎn)（圖2）；②用皮尺測(cè)出所站位置到旗桿底部的距離為16.8m，眼睛到地面的距離為1.6（3）計(jì)算旗桿高度①根據(jù)圖3中測(cè)角儀的讀數(shù)，得出仰角α的度數(shù)為；②根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，畫出示意圖4，AB=1.6m,BC=16.8m，求旗桿CD的高度（精確到0.1m）；（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70③若測(cè)量者仍站在原處（B點(diǎn)），能否用三角板替代測(cè)角儀測(cè)出仰角α？若能，請(qǐng)寫出測(cè)量方法；若不能，該如何調(diào)整位置才能用三角板測(cè)出仰角α，請(qǐng)寫出測(cè)量方法．【答案】①35°；②13.4m【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．①根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解；②由題意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∠AED=90°，解Rt△EDA可求出DE≈11.8③不能，若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角對(duì)著眼睛，直角邊在水平線上，視線沿著三角板的斜邊向上看，然后向后退，直至退到60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合即可停下，即得到此時(shí)的仰角為30°，標(biāo)記自己的位置，測(cè)量自己的位置與點(diǎn)C的距離，即可解直角三角形進(jìn)行計(jì)算；若使用45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角對(duì)著眼睛，直角邊在水平線上，視線沿著三角板的斜邊向上看，然后向前走，直至走到另一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合即可停下，即得到此時(shí)的仰角為45°，標(biāo)記自己的位置，測(cè)量自己的位置與點(diǎn)C的距離，即可解直角三角形進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：①如圖：由題意得∠C=90°,∠ADC=55°，∴∠A=α=90°?55°=35°；②由題意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∴在Rt△EDA中，tan∴0.7=DE∴DE≈11.8m∴CD=DE+CE=11.8+1.6=13.4m答：旗桿CD的高度約為13.4m③不能，若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角對(duì)著眼睛，直角邊在水平線上，視線沿著三角板的斜邊向上看，然后向后退，直至退到60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合即可停下，即得到此時(shí)的仰角為30°，標(biāo)記自己的位置，測(cè)量自己的位置與點(diǎn)C的距離，即可解直角三角形進(jìn)行計(jì)算，如示意圖：若使用45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角對(duì)著眼睛，直角邊在水平線上，視線沿著三角板的斜邊向上看，然后向前走，直至走到另一個(gè)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合即可停下，即得到此時(shí)的仰角為45°，標(biāo)記自己的位置，測(cè)量自己的位置與點(diǎn)C的距離，即可解直角三角形進(jìn)行計(jì)算，如示意圖：【變式9-3】（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈

【答案】423【分析】根據(jù)題意可得，AC=1200m，∠C=90°，∠ABC=37°，AD=943m，∠E=47.4°，AD∥BE，如圖所述，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，在Rt△ABC中，根據(jù)正切的計(jì)算方法可求出BC的值，在Rt【詳解】解：根據(jù)題意可得，AC=1200m，∠C=90°，∠ABC=37°，AD=943m，∠E=47.4°，∴如圖所述，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵∠C=90°，即AC∥CE，且DF⊥BC，AD∥BE，∴∠C=∠CFD=∠FDA=∠DAC=90°，∴四邊形ACFD是矩形，即AD=CF=943(m)，在Rt△ACB，AC=1200m，∴tan∠ABC=tan37°=∴BF=BC?CF=1600?943=657(m在Rt△DEF中，DF=1200(m)∴tan∠E=tan47.4°=∴BE=EF?BF=1080?657=423(m故答案為：423．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用仰俯角的正切值計(jì)算邊的長度，掌握構(gòu)成直角三角形，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【題型10方位角問題】【例10】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測(cè)得橋頭C在南偏東30°方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)B處，測(cè)得橋頭C在南偏東60°方向上，橋頭D在南偏東45°方向上，求大橋CD的長度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】548米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別過點(diǎn)C,D作AB的垂線，垂足分別為F,E，根據(jù)題意得出AB=BC=1500，解Rt△BCF求得BF，CF，進(jìn)而求得BE=ED=CF，根據(jù)CD=EF=BE?BF【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)C,D作AB的垂線，垂足分別為F,E，∴四邊形CDEF是矩形，∴CF=ED，CD=EF，依題意，∠CBE=60°,∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CBE?∠CAB=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴AB=BC=1500；在Rt△BCF中，CF=BC×BF=BC?cos在Rt△BED中，ED=BE?∴CD=EF=BE?BF=7503答：大橋CD的長度約為548米．【變式10-1】（2024·重慶·中考真題）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，B在A的正東方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB=2千米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，

(1)求BC的長度（結(jié)果精確到0.1千米）；(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為：D?C?B，乙選擇的路線為：D?A?B．請(qǐng)計(jì)算說明誰選擇的路線較近？【答案】(1)2.5千米(2)甲選擇的路線較近【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，先求出∠ACB=45°，再解Rt△ABE得到BE=3千米，進(jìn)一步解Rt△BCE（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD于D，先解Rt△ABE得到AE=1千米，則AC=AE+CE=1+3千米，再Rt△AFC得到CF=1+32千米，AF=3+32千米，最后解【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，

由題意得，∠CAB=90°?30°=60°，∴∠ACB=180°?∠CAB?∠ABC=45°，在Rt△ABE中，∠AEB=90°∴BE=AB?cos在Rt△BCE中，BC=∴BC的長度約為2.5千米；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)C作CF⊥AD于D，

在Rt△ABE中，AE=AB?∴AC=AE+CE=1+在Rt△AFC中，CF=AC?AF=AC?cos在Rt△DCF中，∠DCF=30°∴DF=CF?tanCD=CF∴CD+BC=3+33∵4.03<5.15，∴甲選擇的路線較近．【變式10-2】（2024·四川宜賓·中考真題）宜賓地標(biāo)廣場(chǎng)位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測(cè)量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D，在地標(biāo)廣場(chǎng)上選擇兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A、B（點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西18.17°方向上，測(cè)得點(diǎn)D在北偏東21.34°方向上；在B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西21.34°方向上，測(cè)得點(diǎn)D在北偏東18.17°方向上，測(cè)得AB=100米．求長江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，【答案】長江口的寬度CD為1200米.【分析】如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥CD于K，而AB∥CD，可得四邊形AHCG，ABKG都是矩形，由題意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，證明△AGC≌△BKD，可得CG=DK，設(shè)AH=x，【詳解】解：如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥CD于K，而AB∥∴四邊形AHCG，ABKG都是矩形，∴GK=AB=100，CG=AH，CH=AG=BK，CH∥∵由題意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，∴∠ACH=∠CAG=18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°，∵∠AGC=∠BKD=90°，∴△AGC≌△BKD，∴CG=DK，設(shè)AH=x，CH=y，∴AHCH=xHBCH=x+100∴0.33y+100=0.39y，∴y=5000∴x=0.33×5000∴CG=DK=550，∴CD=550×2+100=1200m∴長江口的寬度CD為1200米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.【變式10-3】（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點(diǎn)A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，【答案】(1)∠CA1(2)2.0千米(3)2.4【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)A1作A1D⊥BC，垂足為D，解Rt△CA2A（3）連接CA8并延長交BM于點(diǎn)E，延長A1A8交BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A8作A8F⊥BC，垂足為【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：360°8∴∠CA1A故答案為：90,76；（2）過點(diǎn)A1作A1D⊥BC在Rt△CA2A1∴CA在Rt△CA1∴A答：點(diǎn)A1到道路BC（3）連接CA8并延長交BM于點(diǎn)E，延長A1A8交BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A∵正八邊形的外角均為45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李離點(diǎn)B不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響．【題型11坡度坡比問題】【例11】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡CD的坡度i=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為60°時(shí)，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為米．【答案】415?2【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．如圖，過點(diǎn)E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點(diǎn)H，設(shè)BH=x米，EH=2x米，勾股定理求出x=25，解直角三角形求出AH=【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點(diǎn)H，則∠BEH=∠DCF，在Rt△BEH中，tan設(shè)BH=x米，EH=2x米，∴BE=E∴x=25∴BH=25米，EH=4∵∠AEH=60°，∴AH=tan∴AB=AH?BH=4答：大樹AB的高度為415故答案為：415【變式11-1】（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地一座建筑物的截面圖的高BC=5m，坡面AB的坡度為1:3，則AB的長為（A．103m B．10m C．5m【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)坡度求得∠A=30°，解Rt△ABC即可求解，求得∠A=30°【詳解】解：∵坡面AB的坡度為1:3∴tanA=∴∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=5∴AB=2BC=10m故選：B．【變式11-2】（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖（2）為測(cè)量示意圖（點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)，AB⊥BC）．已知斜坡CD長為20米，斜坡CD的坡角為60°，在斜坡頂部D處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端A點(diǎn)的仰角為20°，坡底與塔桿底的距離BC=30米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿AB的高度．（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36

【答案】32m【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH⊥BE于點(diǎn)H，先求解CH=CD?cos60°=10m，DH=CDsin60°≈17.3【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH⊥BE于點(diǎn)H

由題意得：DC=20m，在Rt△DCH∵cos60°=CH∴CH=CD?cosDH=CD∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°，∴四邊形DFBH為矩形，∴BH=FD，BF=DH，∵BH=BC+CH=(30+10)m∴FD=40在△AFD中.∵AF∴AF=FD?∴AB=AF+BF≈(17.3+14.4)答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿AB的高度為32m【變式11-3】（2023·四川自貢·中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡AB，BC，如圖2，同學(xué)們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角α的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角β的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡AB，BC，CD的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為24°，30°，45°；為求BH，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24°角的(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿NP，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得∠MNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角β1，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角β2；畫一個(gè)含β1的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a1厘米，b1厘米，再畫一個(gè)含β2的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a2厘米，b2厘米．已知桿高【答案】(1)α+β=90°；(2)山高DF為69米；(3)山高DF的高為40a【分析】（1）利用互余的性質(zhì)即可求解；（2）先求得sin24°=0.4，再分別在Rt△ABH、Rt△BCQ（3）先求得tanβ1=a1b1，tanβ2=a【詳解】（1）解：由題意得∠NMO=90°，

∴α+β=90°；（2）解：在Rt△TKS中，KT≈5

∴sin24°=在Rt△ABH中，∠ABH=24°，AB=40∴BH=AB?sin在Rt△BCQ中，∠CBQ=30°，BC=50∴CQ=BC?sin在Rt△CDR中，∠DCR=45°，CD=40∴DR=CD?sin∴山高DF=16+25+28=69(米)，答：山高DF為69米；（3）解：如圖，由題意得tanβ1=

設(shè)山高DF=x+1.6，則DL=x，

在Rt△NDL中，∠DNL=β1∴DLNL∴NL=b在Rt△N′DL中，∴DLN∴N′∵NN∴NL?N′L=40解得x=40a答：山高DF的高為40a【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．【題型12坡度坡比與仰角俯角問題綜合】【例12】（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為(1)求點(diǎn)B離水平地面的高度AB．(2)求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)AB=3m(2)電線塔CD的高度63【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．（1）由斜坡BE的坡度i=1:3，求得ABAE=（2）作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x，先解Rt△DBF得到BF=x，解Rt△DCE得到EC=3【詳解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i=1:3∴ABAE∵tan∠BEA=∴∠BEA=30°，∵BE=6m∴AB=1（2）解：作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC是矩形，AB=CF=3m，BF=AC設(shè)DF=xm在Rt△DBF中，tan∴BF=DF在Rt△ABE中，AE=在Rt△DCE中，DC=DF+CF=x+3m∴EC=x+3∴BF=AE+EC，∴33∴x=63∴CD=6答：電線塔CD的高度63【變式12-1】（2023·四川內(nèi)江·中考真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角α=30°的斜坡AB，長度為30米，在坡頂B處測(cè)得教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF=45°，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測(cè)得C的仰角∠CEF=60°，CF的延長線交水平線AM于點(diǎn)D，求DC的長（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】DC的長為21+23【分析】作BN⊥AM于點(diǎn)N，首先根據(jù)坡度求出BN，并通過矩形的判定確定出DF=BN，然后通過解三角形求出CF，即可相加得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作BN⊥AM于點(diǎn)N，則由題意，四邊形BNDF為矩形，

∵在Rt△ABN中，sin∠BAN=BNAB，∴BN=AB·sin∵四邊形BNDF為矩形，∴DF=BN=15，由題意，∠CBF=45°，∠CEF=60°，∠CFB=90°，BE=4，∴△CBF為等腰直角三角形，BF=CF，設(shè)BF=CF=x，則EF=BF?BE=x?4，在Rt△CEF中，tan∴tan60°=xx?4解得：x=6+23，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6+2∴BF=CF=6+23∴DC=CF+DF=6+23∴DC的長為21+23【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·湖北隨州·中考真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡長CD=10米，坡角α=30°，小華在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為60°，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為30°．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

(1)求點(diǎn)D到地面BC的距離；(2)求該建筑物的高度AB．【答案】(1)5米(2)15米【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，根據(jù)坡角的概念及含30°直角三角形的性質(zhì)分析求解；（2）通過證明∠ACD=90°，然后解直角三角形分析求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，

由題意可得∠DCE=30°，∴在Rt△CDE中，DE=1即點(diǎn)D到地面BC的距離為5米；（2）如圖，

由題意可得∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠ACD=90°，又∵M(jìn)N∥BE，∴∠MDC=∠α=30°，∴∠ADC=60°∴在Rt△ACD中，ACCD=tan解得AC=103在Rt△ABC中，ABAC=sin解得AB=15，答：該建筑物的高度AB為15米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB【答案】該建筑物AB的高度約為31.9m【分析】如圖，作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，作CH⊥DF交DF于點(diǎn)H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長，再根據(jù)AB=AF+BF即可求解．【詳解】作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，作CH⊥DF交DF于點(diǎn)H則DE=AF，HF=AC，DH=CE∵tan∴設(shè)DE=3x，則CE=4x在Rt△CDE中，∠E=90°∴D∴(3x)∴x=4（負(fù)值舍去）∴DE=12，CE=16∴AF=DE=12，DH=CE=16設(shè)BF=y，則AB=(y+12)在Rt△BDF中，∠BDF=30°∵tan∴DF=在Rt△ABC中，∠ACB=60°∵tan∴AC=即HF=AC=∵DF?FH=DH∴3∴y=(6+8∴AB=BF+FA=6+8答：該建筑物AB的高度約為31.9m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【新考向：新考法】1．（2024·寧夏·中考真題）如圖1是三星堆遺址出土的陶盉（hè），圖2是其示意圖．已知管狀短流AB=2cm，四邊形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶盉管狀短流口A距地面的高度約為cm（結(jié)果精確到【答案】34.1【分析】本題考查解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)C作CH⊥BE交BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AF⊥EB交EB的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)∠ABE=120°，求出∠ABF=60°，根據(jù)sin∠ABF=AFAB，求出AF，根據(jù)∠CBE=80°，sin∠CBE=CHBC，求出【詳解】解：過點(diǎn)C作CH⊥BE交BE于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AF⊥EB交EB的延長線于點(diǎn)F，∴∠AFB=∠CHB=90°，∵∠ABE=120°，∴∠ABF=60°，∴sin∠ABF=∵AB=2cm∴AF2∴AF=3∵∠CBE=80°，BC=11cm∴sin∠CBE=∴CH=10.8328cm∴該陶盉管狀短流口A距地面的高度為：AF+CH+21.5=1.732+10.8328+21.5≈34.1(cm)故答案為：34.1．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)C在第一象限，∠OBC=120°．將△OBC沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，OC與O′C′的交點(diǎn)為A【答案】1349+674【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接A1B，求得A1B=33，OD=32，OC=3，分別得到A11,33，A23+3,33，A3【詳解】解：連接A1由題意得∠BOC=∠BCO=30°，∠BO′C=∠B∴A1∴A1B=OB?tan30°=3∴OC=C∴A1A2同理A3?，An△OBC滾動(dòng)一次得到A1，△OBC滾動(dòng)四次得到A2，△OBC滾動(dòng)七次得到∴△OBC滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則n=2024+1÷3=675時(shí)，故答案為：1349+6743【新考向：新趨勢(shì)】1．（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)A是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，AB的長表示點(diǎn)A到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測(cè)得AE=9米；…數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E，A，B三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)A到地面的距離AB的長（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，【答案】點(diǎn)A到地面的距離AB的長約為27米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．延長CD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長CD交AB于點(diǎn)H，由題意得，四邊形CMBH為矩形，∴CM=HB=20，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=∴CH=AH在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°∴tan∠ECH=∴CH=EH設(shè)AH=x米．∵AE=9，∴EH=x+9，∴x0.33解得x≈7.1，∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；答：點(diǎn)A到地面的距離AB的長約為27米．2．（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測(cè)量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測(cè)得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測(cè)得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點(diǎn)M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】1003【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，設(shè)CD=x，則CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=【詳解】解：根據(jù)題意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，∴四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，∴DE=DF?EF=30?20=10（米），設(shè)CD=x，則CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵M(jìn)N=210米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=10033．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)A為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)B為“水族展覽館”，點(diǎn)C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：【答案】“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB約是1201【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是過B作BH⊥AC于H，構(gòu)造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法來解決問題．過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=xm，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=2AH=2x，由銳角的正切定義得到BH=3xm，判定△BHC是等腰直角三角形，因此CH=BH=3xm，得到3x+x=1640，求出x≈600.7【詳解】解：過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=xm∵∠BAC=60°，∴∠ABH=90°?60°=30°，∴AB=2AH=2xm∴tanA=∴BH=3xm∵∠BCA=45°，∠BHC=90°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH=BH=3xm∵AH+CH=3x+x=AC=1640，∴x=1640∴AB=2x≈1201m答：“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB約是1201m【新考向：新情境】1．（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學(xué)們小時(shí)候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對(duì)所在小區(qū)的一處滑梯進(jìn)行調(diào)研，制定了如下改造方案，請(qǐng)你幫小亮解決方案中的問題．方案名稱滑梯安全改造測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺等方案設(shè)計(jì)如圖，將滑梯頂端BC拓寬為BE，使CE=1m，并將原來的滑梯CF改為EG，（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，點(diǎn)B,C,E在同一直線上，點(diǎn)A,D,F,G測(cè)量數(shù)據(jù)【步驟一】利用皮尺測(cè)量滑梯的高度CD=1.8m【步驟二】在點(diǎn)F處用測(cè)角儀測(cè)得∠CFD=42°；【步驟三】在點(diǎn)G處用測(cè)角儀測(cè)得∠EGD=32°．解決問題調(diào)整后的滑梯會(huì)多占多長一段地面？（即求FG的長）（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈【答案】調(diào)整后的滑梯會(huì)多占1.88m【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)E作EH⊥AG于H，則四邊形CDHE是矩形，可得DH=CE=1m，EH=CD=1.8m【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥AG于H，則四邊形CDHE是矩形，∴DH=CE=1m，在Rt△CDF中，∠CDF=90°∴tan∠CFD=∴DF=CD在Rt△EHG中，∠EHG=90°∴tan∠EGH=∴HG=EH∴FG=DH+GH?DF=2.88+1?2=1.88m答：調(diào)整后的滑梯會(huì)多占1.88m2.（2024·山東濟(jì)南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來極大方便，某?！熬C合實(shí)踐”小組想測(cè)得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過勘測(cè)得到了如下記錄表：綜合實(shí)踐活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量輕軌高架站的相關(guān)距離測(cè)量工具測(cè)傾器，紅外測(cè)距儀等過程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中點(diǎn)A,B,C,D，E,F在同平面內(nèi)，房頂AB，吊頂CF和地面DE所在的直線都平行，點(diǎn)F在與地面垂直的中軸線AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……請(qǐng)根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問題：(1)求點(diǎn)C到地面DE的距離；(2)求頂部線段BC的長．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan【答案】(1)點(diǎn)C到地面DE的距離為6.65m(2)頂部線段BC的長為7.14m【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CN⊥ED，交ED的延長線于點(diǎn)N，由∠CDE=97°得∠CDN=83°，在Rt△CDN中，（2）過點(diǎn)B作BP⊥CF，垂足為P，由平行線的性質(zhì)得∠FCD=∠CDN=83°，進(jìn)而得∠BCP=∠BCD?∠FCD=15°，根據(jù)平行線間的距離處處相等得EF=CN=6.65，從而得BP=AF=AE?EF=8.5?6.65=1.85，最后在Rt△BCP【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥ED，交ED的延長線于點(diǎn)N，∵∠CDE=97°∴∠CDN=83°在Rt△CDN中sin∴CN=CD答：點(diǎn)C到地面DE的距離為6.65（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BP⊥CF，垂足為P，∵CF∥DE，∴∠FCD=∠CDN=83°∵∠BCD=98°，∴∠BCP=∠BCD?∠FCD=15°∵平行線間的距離處處相等∴EF=CN=6.65，∵AE=8.5，∴BP=AF=AE?EF=8.5?6.65=1.85在Rt△BCP中sin∴BC=答：頂部線段BC的長為7.14【新考向：跨學(xué)科】1．（2024·福建·中考真題）無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f【答案】128【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出∠ADQ=40°，∠1=∠PDQ=30°，由AB∥QD得到∠BAD=∠ADQ=40°，求出F2=BD=AD?sin∠BAD=256，求出∠BDC=90°?∠1=60°在【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，∴∠ADQ=∠PDA?∠PDQ=70°?30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，∵AB∥QD，∴∠BAD=∠ADQ=40°，在Rt△ABD中，F(xiàn)=AD=400，∠ABD=90°∴F2由題意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC+∠1=90°，∴∠BDC=90°?∠1=60°在Rt△BCD中，BD=256,∠BCD=90°∴f2故答案為：1282．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管AB=24cm,BE=13AB(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN，延長BM交CN的延長線于點(diǎn)F，且MN⊥CF于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=28cm，MN=8cm，【答案】(1)8(2)8【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）先求出BE=8cm，再在Rt（2）過點(diǎn)B作BP⊥CF于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥BP于點(diǎn)Q，先解直角三角形可得EG的長，從而可得DP,BQ的長，再判斷出Rt△BMQ是等腰直角三角形，從而可得QM,PN的長，最后根據(jù)DN=DP+PN【詳解】（1）解：∵AB=24cm∴BE=8cm由題意可知，BG⊥DE，在Rt△BEG中，∠ABG=12°∴BG=BE?cos答：試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度8cos（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BP⊥CF于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥BP于點(diǎn)Q，則四邊形BPDG和四邊形MNPQ都是矩形，∴∠PBG=90°,DP=BG=8cos在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8∴EG=BE?sin∵DE=28cm∴BP=DG=DE?EG=28?8∴BQ=BP?PQ=20?8∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，∴∠MBQ=45°，∴Rt△BMQ∴QM=BQ=20?8∴DN=DP+PN=DP+QM=8答：線段DN的長度為8cos3．（2022·江蘇泰州·中考真題）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8【分析】過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學(xué)入射光線與反射光線之間的關(guān)系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進(jìn)而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【詳解】解：過M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，如下圖所示：∵C點(diǎn)在M點(diǎn)正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的點(diǎn)D經(jīng)過平面鏡MN反射后落在點(diǎn)C，結(jié)合物理學(xué)知識(shí)可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM∴CD=11.84≈11.8m即水平地面上最遠(yuǎn)處D到小強(qiáng)的距離CD是11.8m【點(diǎn)睛】本題借助平面鏡入射光線與反射光線相關(guān)的物理學(xué)知識(shí)考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，分別以點(diǎn)B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，連接BE，DE，BD．若AB=4，BC=8，則∠ABE的正切值為（

）

A．43 B．45 C．34【答案】C【分析】設(shè)BE，AD交于點(diǎn)F，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點(diǎn)B，D為圓心，線段BC，DC長為半徑畫弧得到△BDE≌△BDC(SSS)，F(xiàn)B=FD，設(shè)EF=x，故BF=DF=BE?EF=8?x，在Rt△EFD中求出x的值，從而得到△ABF≌△EDF(【詳解】解：設(shè)BE，AD交于點(diǎn)F，由題意得BE=BC=8,DE=DC=AB=4，∴△BDE≌△BDC(SSS∴∠EBD=∠CBD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴FB=FD，設(shè)EF=x，故BF=DF=BE?EF=8?x，在Rt△EFD中，E即16+x解得x=3，∴EF=3,DF=BF=5，∵AF=AD?DF=8?5=3，∴△ABF≌△EDF，∴∠ABE=∠ADE，∴tan

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到∠ABE=∠ADE是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對(duì)折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM﹐同時(shí)得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE=1，則MN=（

）

A．32 B．1 C．233【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出∠ABM=∠NBM，AB=BN，進(jìn)而得到∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°，在Rt△BEK中，由特殊銳角的三角函數(shù)可求MN【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠ABM=∠NBM，AB=BN，AE=BE=1，AD∥∴AN=BN=2∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥∴∠AEN=∠ABC=∠BEN=90°，在Rt△BEN中，sin∴∠BNE=30°，∴∠BNE=∠NBC=30°∴∠ABM=∠NBM=30°，在Rt△BMN中，tan∴MN2∴MN=2故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿BC=2a，AB=b，AB的最大仰角為α.當(dāng)∠C=45°時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（

A．a(chǎn)+bcosa B．a(chǎn)+bsinα【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF=bsinα，BG=a，根據(jù)點(diǎn)A到桌面的最大高度【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，

在Rt△ABF中，AF=AB?sinα=bsinα，在Rt△BCG中，BG=BC?sin45°=2∴點(diǎn)A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．4．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG=3GC，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，則tan∠EDF的值為（

A．14 B．13 C．25【答案】A【分析】由正方形性質(zhì)可求出BG的長，進(jìn)而求出AG的長，證△ADE∽△GAB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得AE、DE的長，證△ABF≌△DAE，得AF=DE，根據(jù)線段的和差求得EF的長即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴BC=CD=DA=AB=4，∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠DAE=∠AGB，∵BG=3CG，∴BG=3，∴在Rt△ABG中，A則由勾股定理可得AG=4∵DE⊥AG，∴∠DEA=∠DEF=∠AB