2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——網(wǎng)絡(luò)流量模型與應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項(xiàng)的代表字母填寫在答題紙上。）1.在排隊(duì)論中，表示顧客到達(dá)過程隨機(jī)性的指標(biāo)是（）。A.系統(tǒng)容量B.服務(wù)時(shí)間分布C.到達(dá)率D.到達(dá)過程2.某網(wǎng)絡(luò)設(shè)備處理網(wǎng)絡(luò)流量的速率是恒定的，這個(gè)參數(shù)被稱為（）。A.吞吐量B.傳輸速率C.帶寬D.容量3.馬爾可夫鏈模型M/M/1中，“M”代表的意義是（）。A.有限源B.到達(dá)過程是泊松過程C.服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布D.系統(tǒng)中顧客數(shù)有限4.當(dāng)?shù)竭_(dá)的顧客流使系統(tǒng)長期處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，Little's定律描述了系統(tǒng)哪個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系？（）A.平均到達(dá)率與服務(wù)率B.平均隊(duì)列長度與平均時(shí)延C.系統(tǒng)利用率與平均隊(duì)列長度D.平均時(shí)延與系統(tǒng)容量5.對于M/G/1隊(duì)列，其性能分析相對M/M/1更復(fù)雜的原因在于（）。A.到達(dá)過程不再是泊松過程B.服務(wù)時(shí)間分布未知或復(fù)雜C.系統(tǒng)容量有限D(zhuǎn).服務(wù)臺數(shù)量增加二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填寫在答題紙上。）6.在M/M/1隊(duì)列模型中，系統(tǒng)長期穩(wěn)定運(yùn)行的必要條件是平均到達(dá)率________平均服務(wù)率。7.排隊(duì)系統(tǒng)中，平均隊(duì)列長度（Lq）和平均時(shí)延（Wq）之間通常通過________定律聯(lián)系起來。8.服務(wù)臺數(shù)量為c的M/M/c隊(duì)列模型中，系統(tǒng)的呼叫損失概率（即全部服務(wù)臺都忙時(shí)新呼叫無法進(jìn)入系統(tǒng)的概率）是________的重要指標(biāo)。9.描述網(wǎng)絡(luò)鏈路傳輸數(shù)據(jù)能力的指標(biāo)是________。10.在分析網(wǎng)絡(luò)性能時(shí)，“時(shí)延”通常包含傳播時(shí)延、排隊(duì)時(shí)延和________時(shí)延。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分。請寫出詳細(xì)的計(jì)算步驟。）11.某網(wǎng)絡(luò)路由器處理數(shù)據(jù)包的到達(dá)過程符合泊松分布，平均每秒到達(dá)10個(gè)數(shù)據(jù)包（λ=10包/秒）。路由器處理每個(gè)數(shù)據(jù)包的平均時(shí)間為0.1秒（假設(shè)服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布），且系統(tǒng)內(nèi)最多能容納50個(gè)數(shù)據(jù)包（包括正在被處理的數(shù)據(jù)包）。求系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，平均隊(duì)列中的數(shù)據(jù)包數(shù)量Lq，以及數(shù)據(jù)包在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間W。12.考慮一個(gè)M/G/1隊(duì)列，顧客到達(dá)率λ=5個(gè)/分鐘，服務(wù)時(shí)間分布的均值為10分鐘/人，方差為4分鐘2/人。求該隊(duì)列的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)利用率ρ。已知該隊(duì)列的穩(wěn)定工作條件為ρ<1，請說明此條件在此題中的應(yīng)用。13.在一個(gè)M/M/2隊(duì)列系統(tǒng)中，平均到達(dá)率λ=2個(gè)/秒，平均服務(wù)率μ=1個(gè)/秒（即每個(gè)服務(wù)臺的平均服務(wù)時(shí)間為1秒）。求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的平均等待時(shí)延Wq。14.假設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)鏈路的帶寬為1Gbps（即每秒傳輸1億比特），信號在鏈路中傳播的速度為光速（約為3×10?m/s），鏈路兩端節(jié)點(diǎn)之間的物理距離為1000公里。求該鏈路的傳播時(shí)延和最大理論端到端時(shí)延（不考慮其他因素）。四、簡答題（每小題10分，共30分。請將答案填寫在答題紙上。）15.簡述M/M/1隊(duì)列模型的基本假設(shè)，并分析這些假設(shè)在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中的局限性。16.什么是排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)？請列舉至少四個(gè)主要的排隊(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)，并簡要說明其含義。17.簡要說明為什么在分析實(shí)際網(wǎng)絡(luò)流量時(shí)，排隊(duì)論模型（如M/M/1,M/M/c）具有重要的理論指導(dǎo)意義，即使網(wǎng)絡(luò)環(huán)境可能比模型假設(shè)更為復(fù)雜。五、綜合應(yīng)用題（共20分。請將答案填寫在答題紙上。）18.某互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)中心（IDC）的出口路由器采用M/M/2隊(duì)列模型來處理來自內(nèi)部服務(wù)器的用戶請求。已知用戶請求到達(dá)服從泊松分布，平均每分鐘到達(dá)100個(gè)請求（λ=100請求/分鐘）。請求被路由器處理（包括查找路由表、數(shù)據(jù)包轉(zhuǎn)發(fā)等）的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均處理時(shí)間為0.05分鐘/請求（μ=20請求/分鐘）。假設(shè)系統(tǒng)足夠大，可以認(rèn)為路由器資源是無限的。請分析該路由器的性能：a.計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)利用率ρ。b.計(jì)算請求在隊(duì)列中等待的平均時(shí)間Wq。c.如果IDC希望99%的請求能夠在1分鐘內(nèi)得到響應(yīng)，請問這個(gè)目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)？請解釋原因。---試卷答案一、選擇題1.D2.A3.B4.B5.B二、填空題6.小于7.Little's8.系統(tǒng)穩(wěn)定性（或呼叫損失）9.帶寬10.處理時(shí)延（或傳輸時(shí)延）三、計(jì)算題11.解：*到達(dá)率λ=10包/秒*服務(wù)率μ=1/0.1=10包/秒*系統(tǒng)容量K=50*判斷穩(wěn)定性：λ<μ+(1-ρ)μ，即10<10+(1-ρ)10，簡化得ρ=0<1。系統(tǒng)穩(wěn)定。*利用率ρ=λ/μ=10/10=1(此處利用率為1表示系統(tǒng)已滿，但題目求Lq需用有限隊(duì)列公式)。*對于M/M/1/K隊(duì)列，平均隊(duì)列長度Lq=[(λ2/μ(μ-λ))*(1-(ρ^(K+1)))]/[(1-ρ)2*(K+1)]*代入數(shù)據(jù)：Lq=[(102/(10*(10-1)))*(1-(1/50)^(50+1))]/[(1-1)2*(50+1)]=0(因?yàn)榉帜笧?，此處理解為隊(duì)列中無等待顧客，但實(shí)際系統(tǒng)在滿時(shí)顧客仍在到達(dá)，需重新審視模型適用性或題目假設(shè)。若按標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/K公式，當(dāng)ρ=1時(shí)，Lq=K*(1-ρ)/(1-ρ^(K+1))=50*(1-1)/(1-1^(51))=0，但這與直覺矛盾。通常此題可能隱含μ>λ，或需重新審視題目參數(shù)設(shè)置。若假設(shè)μ足夠大但非無限，且λ接近μ，則ρ接近1，Lq會很大。為符合試卷邏輯，假設(shè)題目意在考察公式應(yīng)用，忽略穩(wěn)定性判斷的矛盾，計(jì)算結(jié)果為Lq=0，但需知此結(jié)果在ρ=1時(shí)對M/M/1/K模型的標(biāo)準(zhǔn)解釋有問題。）*平均時(shí)延W=Wq+1/μ=Lq/λ+1/μ（若隊(duì)列長度Lq為0，則W=1/μ）。此處按Lq=0計(jì)算，W=0+1/10=0.1秒。**修正思考：題目參數(shù)λ=10,μ=10使ρ=1，對于M/M/1/K，ρ=1時(shí)系統(tǒng)已滿，新顧客直接損失，Lq=0。平均時(shí)延W應(yīng)為忙時(shí)等待時(shí)間加上服務(wù)時(shí)間期望，即E[W|Busy]=1/μ=0.1秒。若考慮平均意義上，由于到達(dá)等于服務(wù)，系統(tǒng)平均處于忙狀態(tài)，非忙狀態(tài)概率為0，故Wq趨近于0，W約等于1/μ。按標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/K公式，當(dāng)ρ=1時(shí)，系統(tǒng)滿載，Lq=K*(1-ρ)/(1-ρ^(K+1))=50*(1-1)/(1-1^(51))=0，與直覺矛盾，說明模型在此極限下不適用或參數(shù)設(shè)置需調(diào)整。假設(shè)題目允許直接套用公式，結(jié)果Lq=0，W=1/10=0.1秒。*12.解：*到達(dá)率λ=5個(gè)/分鐘*服務(wù)時(shí)間均值E[T]=10分鐘/人*方差Var(T)=4分鐘2/人*服務(wù)率μ=1/E[T]=1/10=0.1人/分鐘*利用率ρ=λ/(μ*C)=λ*E[T]/C=5*10/1=50(人*分鐘/分鐘=人)。此結(jié)果無物理意義，說明模型假設(shè)（服務(wù)時(shí)間獨(dú)立同分布）與實(shí)際情況（方差存在）矛盾或參數(shù)設(shè)置錯(cuò)誤。假設(shè)題目參數(shù)或模型選用有誤，無法直接計(jì)算。若題目意在考察公式，則結(jié)果為50。但需指出此ρ值無意義，暗示M/G/1模型計(jì)算復(fù)雜，需Edwards-Presley修正或近似。若必須給出，則結(jié)果為50。*（更正思路：M/G/1的ρ應(yīng)為λ*E[T]/C，C為服務(wù)臺數(shù)，若為單服務(wù)臺C=1，則ρ=50。但此ρ值巨大，違反ρ<1穩(wěn)定條件，說明λ/E[T]=5*1/10=0.5，即λ=0.5μ，系統(tǒng)穩(wěn)定。但計(jì)算出的ρ=50與C=1矛盾。通常M/G/1計(jì)算Wq需已知C和Var(T)，或使用近似公式Wq≈λCVar(T)/(2C(1-ρ))，需先確認(rèn)穩(wěn)定條件λ/C<1。此處參數(shù)設(shè)置混亂。若按單服務(wù)臺C=1，λ=0.5μ，則ρ=0.5。若按ρ<1，λ=5，則需μ>5。題目參數(shù)λ=5,E[T]=10,C=1導(dǎo)致ρ=50。假設(shè)題目允許錯(cuò)誤參數(shù)，結(jié)果ρ=50。）13.解：*到達(dá)率λ=2個(gè)/秒*每個(gè)服務(wù)臺服務(wù)率μ=1個(gè)/秒*服務(wù)臺數(shù)量c=2*系統(tǒng)總服務(wù)率Cμ=2*1=2個(gè)/秒*利用率ρ=λ/Cμ=2/2=1(此結(jié)果ρ=1表示系統(tǒng)已滿，但需判斷穩(wěn)定性)。*判斷穩(wěn)定性：對于M/M/c，系統(tǒng)穩(wěn)定需滿足λ<Cμ，即λ<2。此處λ=2，故系統(tǒng)處于極限狀態(tài)，理論上所有到達(dá)的顧客都被處理，但隊(duì)列長度可能無限。實(shí)際中，若λ=2，μ=1，c=2，則平均隊(duì)列長度Lq趨于無窮，平均等待時(shí)延Wq也趨于無窮。題目可能隱含系統(tǒng)未滿或參數(shù)需調(diào)整。若假設(shè)題目參數(shù)設(shè)置有誤，無法得到有限解。若必須計(jì)算，則結(jié)論為系統(tǒng)不穩(wěn)定（或極限狀態(tài)），Lq和Wq趨于無窮。*（更正思路：對于M/M/c，穩(wěn)定條件確實(shí)是λ<Cμ。此處λ=2,Cμ=2，滿足等號，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)排隊(duì)論，臨界穩(wěn)定狀態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算復(fù)雜，且通常Lq,Wq趨于無窮。因此，平均等待時(shí)延Wq趨于無窮。）***再修正：M/M/c穩(wěn)定時(shí)，Wq=(λ2/[μ(μ-λ)]*(c/ρ))/[(1-ρ)2*c*(1-ρ+cρ/(c-λ))]。當(dāng)ρ=c時(shí)，分母中(1-ρ)項(xiàng)為0，Wq趨于無窮。因此，Wq=∞。*14.解：*帶寬B=1Gbps=1*10?bps=8*10?bits/s(1字節(jié)=8比特)*物理距離d=1000km=1000*1000m=10?m*傳播速度v=3*10?m/s*傳播時(shí)延T_prop=d/v=10?m/(3*10?m/s)=1/300s≈3.33ms*最大理論端到端時(shí)延（不考慮其他因素，即往返傳播時(shí)延）T往返=2*T_prop=2*3.33ms=6.67ms四、簡答題15.答：M/M/1隊(duì)列模型的基本假設(shè)包括：*顧客到達(dá)過程是參數(shù)為λ的泊松流。*服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布。*系統(tǒng)是單服務(wù)臺的FIFO（先進(jìn)先出）排隊(duì)系統(tǒng)。*系統(tǒng)有足夠大的容量，可以容納任意多的顧客。*系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)。局限性：*到達(dá)過程必須是泊松流，現(xiàn)實(shí)中很多場景并非如此。*服務(wù)時(shí)間必須是負(fù)指數(shù)分布，忽略了服務(wù)時(shí)間的多樣性。*單服務(wù)臺假設(shè)限制了模型對多服務(wù)臺系統(tǒng)的適用性。*系統(tǒng)容量無限假設(shè)不適用于資源有限的系統(tǒng)。16.答：排隊(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)主要有：*平均隊(duì)列長度Lq：指系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客的平均數(shù)量。*平均系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)L：指系統(tǒng)中所有顧客（包括等待和被服務(wù)的）的平均數(shù)量，L=Lq+ρ。*平均等待時(shí)延Wq：指顧客在隊(duì)列中等待服務(wù)的平均時(shí)間。*平均逗留時(shí)延W：指顧客從到達(dá)系統(tǒng)到最終離開系統(tǒng)的平均總時(shí)間，W=Wq+1/μ。*系統(tǒng)利用率ρ：指服務(wù)臺被占用的平均時(shí)間比例，對于M/M/1，ρ=λ/μ；對于M/M/c，ρ=λ/Cμ。17.答：排隊(duì)論模型具有重要的理論指導(dǎo)意義，原因如下：*提供分析框架：為分析復(fù)雜系統(tǒng)（如網(wǎng)絡(luò)）中的資源（如緩存、帶寬、處理能力）消耗和性能（如時(shí)延、吞吐量）提供了數(shù)學(xué)化的工具和理論框架。*預(yù)測性能：基于模型的計(jì)算可以預(yù)測系統(tǒng)在不同負(fù)載下的性能指標(biāo)，幫助設(shè)計(jì)者評估設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣。*理解核心瓶頸：通過分析排隊(duì)長度和時(shí)延，可以識別系統(tǒng)中的性能瓶頸所在。*優(yōu)化資源配置：模型分析有助于確定最優(yōu)的服務(wù)臺數(shù)量、服務(wù)速率等資源配置方案，以平衡成本和性能。*抽象與簡化：模型將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象和簡化，抓住核心因素，使得問題可解。盡管網(wǎng)絡(luò)環(huán)境可能更復(fù)雜（如突發(fā)流量、非指數(shù)服務(wù)時(shí)間、多路徑選擇等），但排隊(duì)論模型通過其基本假設(shè)和分析方法，為理解網(wǎng)絡(luò)流量行為、進(jìn)行性能評估和優(yōu)化提供了基礎(chǔ)的理論支撐和近似分析手段。五、綜合應(yīng)用題18.解：a.計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)利用率ρ：*到達(dá)率λ=100請求/分鐘*每個(gè)服務(wù)臺服務(wù)率μ=20請求/分鐘*服務(wù)臺數(shù)量c=2*系統(tǒng)總服務(wù)率Cμ