2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)中的哈密頓量考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試用哈密頓正則方程求解質(zhì)量為m、沿x軸運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)能V(x)=kx2/2（k為常量）作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。二、一個(gè)沿x軸運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其哈密頓量為H=(1/2m)*(p_x-kx)2，其中k為常量，p_x為質(zhì)點(diǎn)沿x方向的動(dòng)量。求：1.該系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)。2.相應(yīng)的廣義動(dòng)量及其守恒量。3.正則運(yùn)動(dòng)方程。三、考慮一個(gè)在保守場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其哈密頓量為H=(p2/2m)+V(q)，其中V(q)是勢(shì)能函數(shù)，p是質(zhì)點(diǎn)沿q方向的動(dòng)量。1.證明廣義動(dòng)量p是守恒量。2.若勢(shì)能函數(shù)V(q)=mgq（m為質(zhì)量，g為重力加速度，q為豎直向上的坐標(biāo)），求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總能量表達(dá)式。3.寫(xiě)出該系統(tǒng)的哈密頓正則方程。四、一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)在水平面上做純滾動(dòng)，其哈密頓量為H=(1/2m)*(p_θ2/m2r2(1+k2))+(1/2)*mgsin(θ)*r2(1+k2)/r,其中θ為圓盤(pán)的偏轉(zhuǎn)角，p_θ為圓盤(pán)繞質(zhì)心垂直于紙面的動(dòng)量矩，k為回轉(zhuǎn)半徑與半徑之比。求：1.該系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)。2.相應(yīng)的廣義動(dòng)量及其守恒量。3.若圓盤(pán)初始靜止釋放，求其運(yùn)動(dòng)微分方程（用正則方程推導(dǎo)）。五、考慮一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其哈密頓量為H=(p_x2+p_y2)/(2m)+k*(x2+y2)^(1/2)，其中k為常量，p_x,p_y分別為質(zhì)點(diǎn)在x,y方向的動(dòng)量。1.證明該系統(tǒng)的總能量E是守恒量。2.求哈密頓-Jacobi方程，并討論在總能量E給定的情況下，作用量函數(shù)S的可能分離變量形式。六、一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中沿傾角為α的斜面無(wú)摩擦下滑，取沿斜面向下的坐標(biāo)x為廣義坐標(biāo)。1.求該系統(tǒng)的拉格朗日量L。2.通過(guò)Legendre變換求出哈密頓量H。3.證明哈密頓量H即為系統(tǒng)的總機(jī)械能E（mgh+1/2mv2），并說(shuō)明其守恒的原因。七、一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)能場(chǎng)V(r)=-k/r（k為常量，r為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離）中運(yùn)動(dòng)。1.寫(xiě)出以r和角坐標(biāo)θ為廣義坐標(biāo)的哈密頓量表達(dá)式。2.求出該系統(tǒng)的兩個(gè)循環(huán)積分（守恒量）。3.寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的正則運(yùn)動(dòng)方程。八、已知一個(gè)二維哈密頓系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌道由方程F(p_x,p_y,q_x,q_y)=常數(shù)給出。若在某瞬時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)點(diǎn)位于相空間點(diǎn)(p_0,q_0)，求該點(diǎn)處軌道的切線方向。試卷答案一、解：質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，廣義坐標(biāo)q=x，動(dòng)量p_x=mv_x。哈密頓量H=(p_x2/2m)+V(x)=(p_x2/2m)+kx2/2。正則動(dòng)量p_x=?H/?x=kx。正則動(dòng)量p_x=?H/?p_x=p_x。哈密頓正則方程為：?H/?q=dx/dt=p_x/m?H/?p_x=dq/dt=-?H/?x=-kx即運(yùn)動(dòng)微分方程為：md2x/dt2=-kx。二、解：1.哈密頓量H=(1/2m)*(p_x-kx)2。由于H不顯含x，故x是循環(huán)坐標(biāo)。2.廣義動(dòng)量p_x=?H/?x=-k(p_x-kx)=k2x-kp_x。解得p_x=k2x/(k+p_x)。由于H不顯含時(shí)間，H=E為常量。廣義動(dòng)量p_x也是守恒量，即p_x=常數(shù)。3.正則運(yùn)動(dòng)方程為：dx/dt=?H/?p_x=(1/2m)*2(p_x-kx)(-k)=-(k/m)*(p_x-kx)=k2x/p_x-kxdp_x/dt=?H/?x=-(k/m)*2(p_x-kx)=-2k/m*(p_x-kx)。三、解：1.哈密頓量H=(p2/2m)+V(q)。H不顯含廣義坐標(biāo)q，即?H/?q=0。根據(jù)哈密頓正則方程?H/?q=dq/dt，得dp/dt=0。因此，廣義動(dòng)量p是守恒量，p=常數(shù)。2.總能量E=H=p2/2m+V(q)。由于p=常數(shù)，總能量E=p2/2m+V(q)=常數(shù)。若V(q)=mgq，則總能量E=p2/2m+mgq。3.正則運(yùn)動(dòng)方程為：dq/dt=?H/?p=p/2mdp/dt=?H/?q=?V(q)/?q。四、解：系統(tǒng)只有一個(gè)自由度，取偏轉(zhuǎn)角θ為廣義坐標(biāo)。圓盤(pán)純滾動(dòng)時(shí)，角速度ω=v/r=dx/dt/r。動(dòng)量矩p_θ=mr2ω=mrdx/dt/r=mrd2θ/dt2=mr2dθ/dt。正則動(dòng)量p_θ=?H/?θ。哈密頓量H=(p_θ2/2*m2r2(1+k2))+(1/2)*mgsin(θ)*r2(1+k2)/r。H=(p_θ2/2m2r2(1+k2))+mgr(1+k2)sin(θ)。1.H不顯含θ，故θ是循環(huán)坐標(biāo)。2.廣義動(dòng)量p_θ=?H/?θ=mgr(1+k2)cos(θ)。由于H不顯含時(shí)間，H=E為常量。廣義動(dòng)量p_θ也是守恒量，即p_θ=常數(shù)。3.正則運(yùn)動(dòng)方程為：dθ/dt=?H/?p_θ=p_θ/(m2r2(1+k2))=[2m2r2(1+k2)*E/mgr(1+k2)-2p_θ2]/(2m2r2(1+k2)*cos(θ))dp_θ/dt=?H/?θ=-mgr(1+k2)sin(θ)。由于p_θ=常數(shù)，dp_θ/dt=0，即哈密頓量H=E是守恒量，這與前面的推導(dǎo)一致。將p_θ=C(常數(shù))代入H=E，得E=C2/(2m2r2(1+k2))+mgr(1+k2)sin(θ)。將p_θ=mr2dθ/dt代入上式，得d2θ/dt2=[2m2r2(1+k2)*E/mgr(1+k2)-2(mr2dθ/dt)2]/(2m2r2(1+k2)*cos(θ))。這是用正則方程推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)微分方程。五、解：1.哈密頓量H=(p_x2+p_y2)/(2m)+k*(x2+y2)^(1/2)。H不顯含時(shí)間，總能量E=H為守恒量。2.哈密頓-Jacobi方程為?S/?t+H([?S/?q]_x,[?S/?q]_y)=0，其中[?S/?q]_i=p_i。代入H，得?S/?t+[(p_x2+p_y2)/(2m)+k*(x2+y2)^(1/2)]=0。若作用量函數(shù)S具有分離變量形式S(x,y,t)=W(x)+W(y)，則?S/?t=?W_x/?t+?W_y/?t=0，即S不顯含時(shí)間。這時(shí)哈密頓-Jacobi方程簡(jiǎn)化為：[(p_x2+p_y2)/(2m)+k*(x2+y2)^(1/2)]=常數(shù)。因此，在總能量E給定的情況下，作用量函數(shù)S=W(x)+W(y)的分離變量形式是存在的，對(duì)應(yīng)的哈密頓-Jacobi方程為偏微分方程：[(p_x2+p_y2)/(2m)+k*(x2+y2)^(1/2)]=E。六、解：1.取沿斜面向下的坐標(biāo)x為廣義坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為T(mén)=(1/2)m(dx/dt)2。勢(shì)能V=mgxsin(α)。拉格朗日量L=T-V=(1/2)m(dx/dt)2-mgxsin(α)。2.廣義動(dòng)量p_x=?L/?(dx/dt)=m(dx/dt)。通過(guò)Legendre變換求哈密頓量H：H=p_xdx/dt-L=p_x2/(2m)-[(1/2)m(dx/dt)2-mgxsin(α)]H=p_x2/(2m)+mgxsin(α)。由于H不顯含時(shí)間x，哈密頓量H=E即為系統(tǒng)的總機(jī)械能。3.H=p_x2/(2m)+mgxsin(α)=(1/2)mv_x2+mgxsin(α)=T+V=E。因此，哈密頓量H即為系統(tǒng)的總機(jī)械能E。由于系統(tǒng)是保守的，總能量E必然守恒，這從H不顯含時(shí)間t也可以直接得到。七、解：以r和角坐標(biāo)θ為廣義坐標(biāo)。動(dòng)能T=(1/2)m[(dr/dt)2+r2(dθ/dt)2]。勢(shì)能V(r)=-k/r。拉格朗日量L=T-V=(1/2)m[(dr/dt)2+r2(dθ/dt)2]+k/r。廣義動(dòng)量p_r=?L/?(dr/dt)=m(dr/dt)。廣義動(dòng)量p_θ=?L/?(dθ/dt)=mr2(dθ/dt)。哈密頓量H=p_rdr/dt+p_θdθ/dt-L。H=p_r2/(2m)+p_θ2/(2mr2)-[(1/2)m(dr/dt)2+(1/2)mr2(dθ/dt)2]-k/r。H=p_r2/(2m)+p_θ2/(2mr2)-(1/2)m(dr/dt)2-(1/2)mr2(dθ/dt)2-k/r。H=p_r2/(2m)-k/r。（因?yàn)閜_r=m(dr/dt)）1.H不顯含廣義坐標(biāo)r，即?H/?r=0。根據(jù)哈密頓正則方程?H/?r=dr/dt，得dp_r/dt=0。因此，廣義動(dòng)量p_r是守恒量，p_r=常數(shù)。2.H不顯含廣義坐標(biāo)θ，即?H/?θ=0。根據(jù)哈密頓正則方程?H/?θ=dθ/dt，得dp_θ/dt=0。因此，廣義動(dòng)量p_θ是守恒量，p_θ=常數(shù)。3.正則運(yùn)動(dòng)方程為：dr/dt=?H/?p_r=p_r/mdθ/dt=?H/?p_θ=p_θ/(mr2)dp_r/dt=?H/?r=k/r2dp_θ/dt=?H/