概率論期末b考試試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個隨機事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.已知隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則常數(shù)\(C\)為（）A.\(e\)B.\(e^{-1}\)C.1D.\(e^2\)3.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則隨\(\sigma\)的增大，概率\(P(|X-\mu|<\sigma)\)（）A.單調(diào)增大B.單調(diào)減小C.保持不變D.增減不定4.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(1,2)\)，\(Y\simN(0,1)\)，則\(Z=X-Y\)服從的分布是（）A.\(N(1,3)\)B.\(N(1,1)\)C.\(N(0,3)\)D.\(N(0,1)\)5.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則（）是\(\mu\)的無偏估計。A.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)6.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)等于（）A.0.25B.0.5C.0.75D.17.若\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(E(X^2)\)等于（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(\lambda^2+\lambda\)D.\(\lambda^2-\lambda\)8.設(shè)\(A\)，\(B\)為對立事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則下列各式中錯誤的是（）A.\(P(\overline{A}|B)=0\)B.\(P(B|A)=0\)C.\(P(AB)=0\)D.\(P(A\cupB)=1\)9.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)不具有下列性質(zhì)中的（）A.單調(diào)不減B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.連續(xù)10.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)答案：1.A2.B3.C4.A5.B6.A7.C8.B9.D10.A二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)2.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，概率密度為\(f(x)\)，則（）A.\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)B.\(F^\prime(x)=f(x)\)（在\(f(x)\)連續(xù)點處）C.\(P(a<X\leqb)=F(b)-F(a)\)D.\(f(x)\geq0\)3.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\)的分布列為\(P(X=1)=0.6\)，\(P(X=2)=0.4\)，\(Y\)的分布列為\(P(Y=0)=0.5\)，\(P(Y=1)=0.5\)，則（）A.\(P(X=1,Y=0)=0.3\)B.\(P(X=1,Y=1)=0.3\)C.\(P(X=2,Y=0)=0.2\)D.\(P(X=2,Y=1)=0.2\)4.下列屬于離散型隨機變量分布的有（）A.二項分布B.正態(tài)分布C.泊松分布D.均勻分布5.設(shè)總體\(X\)的均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)都存在，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(E(\overline{X})=\mu\)B.\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)C.\(E(S^2)=\sigma^2\)D.\(E(S^2)=\frac{\sigma^2}{n}\)6.設(shè)\(A\)，\(B\)，\(C\)為三個隨機事件，則（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)C.\(A(B\cupC)=(AB)\cup(AC)\)D.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)7.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.當\(\mu\)固定時，\(\sigma\)越大，曲線越“矮胖”B.當\(\mu\)固定時，\(\sigma\)越小，曲線越“瘦高”C.曲線關(guān)于\(x=\mu\)對稱D.\(P(X\leq\mu)=\frac{1}{2}\)8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，\(S^2\)為樣本方差，總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)9.以下關(guān)于協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)的性質(zhì)正確的有（）A.\(Cov(X,X)=D(X)\)B.\(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)C.\(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)D.\(Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\)10.設(shè)隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)存在，則（）A.\(E(c)=c\)（\(c\)為常數(shù)）B.\(E(cX)=cE(X)\)C.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)D.若\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)答案：1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.AC5.ABC6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(P(A)+P(B)=1\)，則\(A\)與\(B\)為對立事件。（）2.隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.兩個相互獨立的隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們各自分布函數(shù)的乘積。（）4.設(shè)\(X\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，則\(E(X)=D(X)=\lambda\)。（）5.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）6.若\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(AB)=0\)。（）7.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖象是關(guān)于\(x\)軸對稱的。（）8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計。（）9.若隨機變量\(X\)的期望\(E(X)\)存在，則\(E(X^2)\geq[E(X)]^2\)。（）10.對于任意兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，都有\(zhòng)(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機試驗，\(\Omega\)是它的樣本空間。對于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個實數(shù)，記為\(P(A)\)，稱為事件\(A\)的概率，如果集合函數(shù)\(P(\cdot)\)滿足以下三條公理：非負性\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，若\(A_1,A_2,\cdots\)兩兩互斥，則\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)。2.簡述離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的區(qū)別。答案：離散型隨機變量的取值是可列個或有限個，用分布列描述其概率分布；連續(xù)型隨機變量的取值是某個區(qū)間或整個實數(shù)軸，用概率密度函數(shù)描述，概率通過對密度函數(shù)積分計算，分布函數(shù)連續(xù)，取單點值概率為0。3.什么是無偏估計量？答案：設(shè)\(\hat{\theta}\)是未知參數(shù)\(\theta\)的一個估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量，即估計量的數(shù)學期望等于被估計的參數(shù)。4.簡述正態(tài)分布的重要性。答案：正態(tài)分布是最常見、最重要的分布之一。許多自然現(xiàn)象、生產(chǎn)生活中的變量都近似服從正態(tài)分布。其具有良好的性質(zhì)，在理論研究和實際應(yīng)用中廣泛使用，如誤差分析、質(zhì)量控制等，也是許多統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在實際生活中，如何運用概率知識進行風險評估和決策？答案：在生活中，如投資決策，通過分析不同投資產(chǎn)品盈利或虧損的概率及可能收益，評估風險。像購買保險，根據(jù)疾病或意外發(fā)生概率及損失大小，決定是否參保。利用概率知識量化風險，權(quán)衡利弊做出合理決策。2.討論隨機變量的獨立性在實際問題中的意義和應(yīng)用。答案：意義在于簡化計算和分析。應(yīng)用于多個相互獨立事件的概率計算，如電路中多個獨立元件正常工作概率。在通