答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁上海音樂學(xué)院虹口區(qū)實驗中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的點、都在橫線上，如果線段的長為6，那么的長是（

）A．8 B．9 C．11 D．122．下列圖形中，一定相似的是（

）A．兩個正方形 B．兩個矩形 C．兩個直角梯形 D．兩個等腰三角形3．如圖，在中，點D、E分別在邊AB、AC上，連接DE，如果AD：：3，那么下列條件中能判斷的是A． B． C． D．4．已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是（

）A． B．，C． D．，5．如圖，在中，點在邊上，點在的延長線上，添加下列條件不能判定的是（

）A． B．C． D．6．如圖，A，B均在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)另取格點C，D，連接，交線段于點P．若要使點P把線段分成的兩條線段，則（

）A．只有方法1對 B．只有方法2對 C．方法1，2都對 D．方法1，2都錯二、填空題7．如果，那么．8．已知線段是線段、的比例中項，，，那么．9．計算：．10．如果點是線段的黃金分割點，且，，則___________．11．如圖，，如果，那么．12．如圖，點是邊延長線上一點，交于點，交于點，如果，那么的值為．13．如圖，、相交于點，如果，，，，那么___________．14．已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD為6，那么△A1B1C1的高A1D1長為．15．我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展源遠流長，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形的邊表示井的直徑，在的延長線上，尺，尺，交于尺，根據(jù)以上條件，可求得井深為尺．16．四邊形的一條對角線把它分割成兩個三角形，如果這兩個三角形相似，我們就把這個四邊形叫做“割似四邊形”，如果一個上底長為3，下底長為12的梯形是“割似四邊形”，那么這個梯形較短腰與較長腰的比值為．17．如圖所示，點是的重心，點是邊的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，如果四邊形的面積為12，那么的面積為．18．如圖，等腰梯形中，，含度角直角三角板（足夠大）的頂點在邊上移動，一直角邊始終經(jīng)過點，斜邊與射線交于點．當(dāng)為等腰三角形時，的長等于．三、解答題19．已知：，且，求的值．20．如圖，四邊形中，，與相交于點，，，．

(1)求的長；(2)設(shè)，，試用、表示．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，點G在邊DC的延長線上，AG交邊BC于點E，交對角線BD于點F．（1）求證：AF2=EF?FG；（2）如果EF=，F(xiàn)G=，求的值．22．表示一塊直角三角形空地，已知，邊米，米．現(xiàn)在根據(jù)需要在空地內(nèi)畫出一個正方形區(qū)域建造水池，現(xiàn)有方案一、方案二分別如圖1、圖2所示，請你分別計算兩種方案中水池的邊長，并比較哪種方案的正方形水池面積更大．23．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，延長DE、CB交于點F，且AE?AB＝AD?AC．（1）求證：∠FEB＝∠C；（2）連接AF，若，求證：EF?AB＝AC?FB．24．如圖，在等腰中，，分別是上的點，滿足(1)若，求證；(2)若，，求的長；(3)過作平行線交延長線于，求證：．25．在矩形中，，，點是邊上一動點，交邊于點，點在射線上，且是和的比例中項．(1)求證：；(2)如圖1，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)如圖2，連接，交于點，如果與相似，求的長．《上海音樂學(xué)院虹口區(qū)實驗中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號123456答案BABCCC1．B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．如圖，過點作于點，交過點的平行線于點，交點所在直線的鄰近平行線于點，根據(jù)題意，，利用平行線分線段成比例定理計算即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，交過點的平行線于點，交點所在直線的鄰近平行線于點，根據(jù)題意，，∵五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，∴，∴．解得．故選：B．2．A【分析】本題考查的是相似形的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換，根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合選項，用排除法求解．【詳解】A、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似形定義，故符合題意；B、兩個矩形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；C、兩個直角梯形，兩個直角相等，另外兩個角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；D、兩個等腰三角形的頂角和底角均不一定相等，故不符合題意；故選：A．3．B【分析】先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，由相似推出∠ADE=∠B，再由平行線的判定得出即可．【詳解】解：只有選項B正確，理由是：∵AD：BD=2：3，∴，∵，∴，∴，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根據(jù)選項A、C、D的條件都不能推出DE∥BC，故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，能熟練轉(zhuǎn)移比例線段得三角形相似是解此題的關(guān)鍵．4．C【分析】此題考查了向量．根據(jù)向量平行向量的定義“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”進行逐一判定即可．【詳解】解：A.，則與方向相同，故，選項不符合題意；B.，，則與方向相同，與方向相同，則與方向相同，故，選項不符合題意；C.，不能說明，選項符合題意；D.，，則，選項不符合題意；故選：C5．C【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理并應(yīng)用解決問題是解題關(guān)鍵．根據(jù)已知條件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，，可根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明，不符合題意；B、，，可根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明，不符合題意；C、，，不能證明，符合題意；D、，，可根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等證明，不符合題意，故選：C．6．C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方法，連接，，由網(wǎng)格可知，，，∴，∴；方法，連接，，由網(wǎng)格可知，，，∴，∴；綜上可知：方法，都對，故選：．7．【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由可得，再將變形為，代入即可求解．【詳解】解：，，．故答案為：．8．【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)題意可得，代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：線段是線段的比例中項，，（負值舍去）故答案為：．9．/【分析】先去括號，然后根據(jù)向量加減法進行計算即可．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】題目主要考查向量加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．10．/【分析】本題考查黃金分割點的定義，正確理解黃金分割點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，比值為可得到，，將代入計算即可．【詳解】解：根據(jù)已知條件，畫圖分析：點是線段的黃金分割點，且，即．故答案為：．11．8【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)，得出，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴故答案為：8．12．【分析】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證明，進而列出比例關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．3【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩組角相等證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進而求解的值即可．【詳解】解：，，，．故答案為：3．14．4．【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比等于對應(yīng)高的比進而得出答案．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，∴相似比為：，∵△ABC的高AD為6，∴△A1B1C1的高A1D1長為：6×＝4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)題意可知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求，進一步得到井深．【詳解】解：依題意有，∴，即，解得，∴（尺）．故答案為：．16．【分析】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，梯形為“割似四邊形”，∴，∴，根據(jù)題意得：，∴，∴，∴，故答案為：．17．36【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．連接，，根據(jù)為的重心，得到，證明，得到與的相似比為，設(shè)的高為，得到四邊形底邊的高為，根據(jù)平行四邊形的面積求得，據(jù)此求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，∵點是的重心，點是邊的中點，∴點在線段上，，∵，∴，∴與的相似比為，設(shè)的高為，∴的高為，即的高為，∴四邊形底邊的高為，∵四邊形的面積為12，∴，∴的面積為，∵點是邊的中點，∴的面積為36，故答案為：36，18．或【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形以及勾股定理，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出相關(guān)邊長，再分情況討論等腰三角形的三種情況，通過構(gòu)造梯形求出腰長，再結(jié)合角度關(guān)系求出對應(yīng)情況下的．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，等腰梯形，平行于，是矩形，，在中，，是等腰直角三角形，，，，分情況討論：如圖1，當(dāng)時，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，；如圖2，時，，，，，，，，；如圖3，當(dāng)時，，，都是等腰直角三角形，，，；故答案為：或．19．，，【分析】本題考查了比例的性質(zhì)．根據(jù)設(shè)法進行計算，即可解答．【詳解】解：設(shè)，∴，，，∵，∴，解得：，∴，，．20．(1)(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)和向量的知識，掌握了以上知識是解題的關(guān)鍵；（1）利用已知條件證出，再得出，然后代入計算即可求解．（2）先求得，再根據(jù)，然后即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，

解得：；（2）解：∵，∴，又∵與同向，∴，∵，

∴；21．（1）詳見解析；（2）=3．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形可得AB∥DC，AD∥BC，從而可得△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，則有=，，就有，即AF2=EF?FG．（2）根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB，∴=，，∴，∴AF2=EF?FG；（2）∵△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB，∵由（1）得出AF2=EF?FG==4，∴AF=2，∴===，∴==3．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等量代換等知識，把證明轉(zhuǎn)化為證明=，是解決本題的關(guān)鍵．22．方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面積更大．【分析】方案一：設(shè)正方形邊長為x米，利用平行線分線段成比例定理即可求出正方形的邊長；方案二：根據(jù)題意畫出圖形，作交于點．根據(jù)直角三角形的面積得出的長，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出正方形的邊長；把兩方案中正方形的邊長進行比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為米．方案一：∵，∴，∴，∴；方案二：如圖2，作于H，交于點，則四邊形是矩形，∴米，米；由勾股定理得：米，∵，∴米；∵，∴，∴，∴，解得：；∵，∴方案一的正方形水池面積更大．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）證明△AED∽△ACB即可解決問題；（2）證明△EFB∽△FAB，可得，由AF＝AC，可得結(jié)論.【詳解】（1）∵AE?AB＝AD?AC．∴，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED＝∠C，又∵∠AED＝∠FEB，∴∠FEB＝∠C．（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE＝∠FDC，∵，∴，∴△FBA∽△CDF，∴∠FEB＝∠C∴AF＝AC，∵∠FEB＝∠C，∴∠FEB＝∠AFB，又∵∠FBE＝∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴，∵AF＝AC，∴EF?AB＝AC?FB．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．24．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析．【分析】（）先證明，得到，再由得到，根據(jù)三線合一即可求證；（）證明即可求解；（）由得到，由得到，，代入轉(zhuǎn)化即可求證；本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，即，∴；（3