試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省岳陽市汨羅市第二中學2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事件中與事件“至少有一個黃球”互為對立的是（

）A．都是藍球 B．都是黃球 C．恰有一個藍球 D．至少有一個藍球4．已知向量，滿足，則（

）A． B． C．20 D．55．已知，，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．3 D．26．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱長相等且為4，E為CD的中點，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．在如圖所示的電路中，5個盒子表示保險匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時保險絲熔斷的概率，則下列結論正確的是（

）

A．A，B兩個盒子并聯(lián)后FG段暢通的概率為B．D，E兩個盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為C．C，D，E三個盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為D．當開關合上時，整個電路暢通的概率大于整個電路不通的概率8．在中，M為BC上一點且滿足，，，若，則的外接圓半徑為（

）A． B． C．1 D．二、多選題9．如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為10．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)是一個奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．當時，的值域為D．若方程在區(qū)間上恰有六個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍為11．已知正四棱臺（上下底面都是正方形的四棱臺）．下底面ABCD邊長為2，上底面邊長為1，側棱長為，則（

）A．它的表面積為B．它的外接球的表面積為C．側棱與下底面所成的角為60°D．它的體積比棱長為的正方體的體積大三、填空題12．若事件A和B互斥，且，，則．13．如圖1是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑圖文，碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個球，圓柱的底面直徑和高都等于這個球的直徑，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn).如圖2是這個圖形的示意圖，那么圖2中圓錐與球的表面積的比值為.

14．如圖，在四邊形中，的面積為，記的面積為，，設，，若存在常數(shù)，使成立，則的值為

四、解答題15．甲袋子中裝有2個紅球、1個白球，乙袋子中裝有1個紅球、2個白球（袋子不透明，球除顏色外完全一樣）.(1)現(xiàn)從甲、乙兩個袋子中各任選1個球，求選出的2個球的顏色相同的概率；(2)從甲、乙兩袋6個球中任選2個球，求選出的2個球來自同一袋子的概率.16．已知銳角的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周長的取值范圍．17．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．(1)求A；(2)若．再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求b，c．條件①：中線AD長為；條件②：△ABC的面積為．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18．如圖，四面體中，分別的中點，，.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.19．設函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并討論其單調(diào)性（不需證明單調(diào)性）；(2)求證：；(3)若在區(qū)間上的最小值為，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省岳陽市汨羅市第二中學2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案BAAACDDDBDBCD題號11答案ACD1．B【分析】將復數(shù)利用復數(shù)的四則運算求解出來，即可得出虛部.【詳解】由題意，得，所以的虛部為，故選：B．2．A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，則，即可以推導出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．A【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的意義判斷即可.【詳解】事件“至少有一個黃球”的對立事件是“沒有黃球”，即都是“都是藍球”，所以與事件“至少有一個黃球”互為對立的是“都是藍球”.故選：A4．A【分析】借助模長與數(shù)量積的關系計算后結合已知條件代入即可得.【詳解】，，故.故選：A.5．C【分析】根據(jù)余弦和差公式化簡得到，由正切二倍角公式和得到，從而得到方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】，即，，故，則，由于，故，解得或，因為，所以，故，即，解得.故選：C6．D【分析】取有中點，利用幾何法，結合余弦定理求出異面直線夾角的余弦.【詳解】取的中點，連接，由E為CD的中點，得，，則是異面直線CM與AE所成的角或其補角，正方形中，，在中，，，，于是，所以異面直線CM與AE所成的角的余弦值為.故選：D7．D【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件的概率、相互獨立事件的概率，逐項分析計算即可判斷得解.【詳解】對于A，A，B兩個盒子并聯(lián)后FG段暢通的概率為，A錯誤；對于B，D，E兩個盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為，B錯誤；對于C，由選項B知，GH熔斷的概率為，因此C，D，E三個盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為，C錯誤；對于D，由選項AC知，整個電路暢通的概率為不通的概率為，D正確.故選：D8．D【分析】設，則，又，由三角形面積公式得到方程，求出，在和中，利用余弦定理得到，，在中，由余弦定理得，利用正弦定理求出外接圓半徑.【詳解】設，則，因為，所以，由三角形面積公式得，解得，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，則的外接圓半徑為.故選：D9．BD【分析】A選項，由推出平面，矛盾；B選項，建立空間直角坐標系，證明出，，得到線面垂直，進而當Q為的中點時，，此時平面，故B正確；C選項，假設體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯誤；D選項，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】對于A，若，因為平面，平面，所以平面，矛盾，故A錯誤．對于B，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，因為，，故，，故，，因為，平面，故平面，當Q為的中點時，，此時平面，故B正確．對于C，Q在線段上運動，若三棱錐的體積為定值，則平面，，，設平面的法向量為，則，解得，令得，故，故，故與不垂直，故平面不成立，故C錯誤；對于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，由于為等邊三角形，則，，所以為所求二面角的平面角，不妨設正方體的棱長為2，則的棱長為，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值為，故D正確．故選：BD10．BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，即可利用平移以及奇函數(shù)的性質求解，由周期公式即可求解A，代入驗證即可求解B，利用整體法求解即可判斷CD.【詳解】由，得，故，由于為奇函數(shù)，故，由于，故取，則，故，對于A，最小正周期為，A錯誤，對于B，由于，故B正確，對于C，當時，則，故，故的值域為，C正確，對于D，時，則，要使在區(qū)間上恰有六個不等實根，則，解得，故D正確，

故選：BCD11．ACD【分析】分別求得上、下底面面積，再求得側面等腰梯形的面積，即可判斷A的正誤；如圖作輔助線，可求得各個長度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷C的正誤；求得的長，分析可得即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，代入表面積公式，可判斷B的正誤；分別求得正四棱臺的體積和正方體的體積，利用作商法比大小，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得：上底面的面積，下底面的面積，側面為等腰梯形，過分別做AB的垂線，垂足為E、F，如圖所示所以，則，所以，所以梯形的面積為，所以正四棱臺的表面積，故A正確；連接，且交于點，連接AC、BD交于點，連接，則垂直底面ABCD，過作于G，則底面ABCD，則四邊形為矩形，由題意得，所以，同理，又，所以，在中，，所以，即側棱與下底面所成的角為60°，故C正確所以.連接，在中，，所以點到的距離相等，均為，所以點即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，所以外接球的表面積，故B錯誤；正四棱臺的體積，棱長為的正方體的體積，所以，所以，所以正四棱臺的體積比棱長為的正方體的體積大，故D正確；故選：ACD【點睛】解題的關鍵是熟練掌握棱臺的表面積、體積的求法及公式，并靈活應用，難點在于求各個棱長及確定為外接球的球心，考查分析理解，數(shù)形結合的能力，屬中檔題.12．0.8/【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再由即得.【詳解】因事件A和B互斥，則，解得，故.故答案為：0.8.13．【分析】根據(jù)兩圖形的關系可得圓柱的底面半徑與球的半徑相等，設半徑為，計算出兩幾何體的體積，求出比值即可．【詳解】設球半徑為，則圓錐的表面積為，球的表面積為，故圓錐與球的表面積之比為.故答案為：.14．【分析】利用余弦定理及三角形面積公式，求得的值，得的大小，再設，利用正弦定理得關于的代數(shù)式，解出，利用三角形面積公式，求出的值.【詳解】在中，由余弦定理，，因為，所以，即，又因為，所以.設，則，，，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，兩式作商，得，即，因為，所以，，，，假設，所以，解得.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）直接由列舉法求解古典概型概率即可；（2）直接由列舉法求解古典概型概率即可.【詳解】（1）甲袋子中2個紅球分別用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中紅球用D表示，2個白球分別用E，F(xiàn)表示.從甲、乙兩袋中各任選1個球的所有可能結果為，，，，，，，，，共9種，從中選出的2個球的顏色相同的有，，，，共4種，故選出的2個球的顏色相同的概率.（2）從6個球中任選2個球的所有可能結果為，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15種，從中選出2個球來自同一袋子的結果有，，，，，，共6種，所以選出的2個球來自同一袋子的概率.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識求得正確答案.（2）將轉化為來表示，再根據(jù)三角函數(shù)的性質求得正確答案.【詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，由于，所以，所以，則，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形的周長為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周長的取值范圍是.17．(1)(2)，或，．【分析】（1）已知等式利用正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，可求A；（2）由選擇的條件結合余弦定理，列方程組求b，c．【詳解】（1）中，已知，由正弦定理得，又，則有，由，，得，則有，由，有，所以，得．（2）若選擇條件①：由，余弦定理得，由，有，得，由，解得：，或，．若選擇條件②；由，得，△ABC的面積，得，由，解得：，或，．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形和勾股定理得到，，再利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）由三棱錐的體積和三棱錐的體積相等，利用等體積法進行求解即可.【詳解】（1）連接，，，，，，，在中，由題設知，，，，，即，，平面，平面；（2）由，且由（1）知平面，則三棱錐的體積，又，，可得，設點到平面的距離為，即三棱錐的高為，則三棱錐的體積，由三棱錐的體積和三棱錐的體積相等，則，解得，即點到平面的距離為.19．(1)奇函數(shù)，上單調(diào)遞增(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義進行證明奇偶性，利用單調(diào)性的性質判斷的單調(diào)性；（2）求和即可證明；（3）令，利用換元轉化為一元二次函數(shù)軸動區(qū)間定求最值的問題進行求解.【詳解】（1）由題意可