試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁重慶市西北狼教育聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．已知命題，，則是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．－7 B．7 C．－5 D．54．若一組樣本數(shù)據(jù)為，，，另一組樣本數(shù)據(jù)，，的方差為8，則，，這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．4 B．2 C．6 D．85．已知是減函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知定義域均為的函數(shù)，滿足，，，若，則下列說法錯誤的是（

）A．的圖象關(guān)于y軸對稱 B．為的一個周期C． D．二、多選題9．已知在的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為64，則下列說法正確的有（

）A． B．只有第3項的二項式系數(shù)最大C．的系數(shù)為 D．各項系數(shù)之和為10．某高校甲、乙兩個班級舉行團建活動，在活動中甲、乙兩個班各派出由6人組成的一支隊伍參加一項游戲．甲班的隊伍由2個女生和4個男生組成，乙班的隊伍由4個女生和2個男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊伍，以分別表示由甲班隊伍中抽出的是女生和男生；再從乙班的隊伍中隨機抽取一名同學(xué)加入甲班的隊伍，以表示從乙班隊伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件B相互獨立C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．，使得為單調(diào)函數(shù)B．，的圖象恒有對稱中心C．當(dāng)時，D．若，，是方程的三個不同的根，則三、填空題12．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)．13．據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之．”圍棋，起源于中國，至今已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵．現(xiàn)從3名男生和2名女生中任選3人參加圍棋比賽，則所選3人中至多有1名女生的概率為．14．已知，則的最小值為．四、解答題15．已知集合，，其中．(1)若，求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．16．為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，激勵青年學(xué)生積極奮發(fā)向上.某學(xué)校團委組織學(xué)生參加了“青春心向黨，奮進新時代”為主題的知識競賽活動，并從中抽取了200份試卷進行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如圖所示.(1)用樣本估計總體，試估計此次知識競賽成績的平均數(shù)；(2)將此次競賽成績近似看作服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為的近似值），已知樣本的標準差.現(xiàn)從該校參與知識競賽的所有學(xué)生中任取100人，記這100人中知識競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望；(3)從得分區(qū)間和的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，.17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，使成立，求的取值范圍．18．電影《哪吒2》上映以來引起了全社會甚至全世界的關(guān)注，全球票房突破百億．“跟著吒兒去旅游”成為熱門出游方式，某景點宣傳投入金額（單位：萬元）與游客滿意度評分（滿分：100分）之間可能存在一定的關(guān)系，以下是隨機抽取的6個不同線上宣傳投入金額和游客滿意度評分的數(shù)據(jù)：線上宣傳投入金額（萬元）203040506070游客滿意度評分（分）606570788085(1)根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)加以判斷與兩個變量線性相關(guān)性的強弱.（精確到小數(shù)點后兩位）；(2)《哪吒2》中更是蘊含著豐富的中國傳統(tǒng)文化，某校舉辦中國傳統(tǒng)文化比賽，甲、乙兩人進入決賽，決賽采用“五局三勝制”，已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為；①當(dāng)時，設(shè)比賽結(jié)束時甲、乙比賽的局數(shù)為，求的分布列和期望；②甲以獲勝的概率為，求的最大值．參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．19．我們把有兩個自變量的函數(shù)稱為“二元函數(shù)”，對于二元函數(shù)，若存在正數(shù)m，滿足，，則稱具有性質(zhì)T．已知二元函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍．(2)已知正數(shù)m，滿足．（?。┳C明：．（ⅱ）證明：具有性質(zhì)T．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《重慶市西北狼教育聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案BCABBBBCACACD題號11答案ABD1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求得，進而可求得.【詳解】因為，所以，故.故選：B.2．C【分析】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題即可求解.【詳解】：，，故選:C3．A【分析】由奇函數(shù)的定義知，可知，再根據(jù)時的解析式，即可求得，從而求解即可.【詳解】因為時，，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.故選：A4．B【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，，這組數(shù)據(jù)的方差為，則，得，故選：B5．B【分析】由已知可得，當(dāng)時根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】因為是減函數(shù)，且是增函數(shù)，所以，因為，又當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象是對稱軸為直線，頂點為，開口向上的拋物線的一部分，只有選項B符合題意.故選：B.6．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：B．7．B【分析】本題可通過將函數(shù)在區(qū)間上有三個零點轉(zhuǎn)化為與在上有三個交點，再分區(qū)間討論并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來求解a的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有三個零點等價于函數(shù)與在上有三個交點，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，是過原點的直線，要使兩函數(shù)圖象有交點，需；當(dāng)時，，令，得，令，，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，又，.要使函數(shù)與在上有三個交點，則與在上需有一個交點、在上需有兩個交點，則需滿足，所以.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.故選：B8．C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對稱性，求出周期，確定對稱軸，求函數(shù)值的和分別判斷各個選項.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，所以的圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；又因為，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；在中，令，得，所以，故C錯誤；因為，所以，所以，所以，，故，故D正確．故選：C9．AC【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和得，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)及展開式通項公式判斷A、B、C，最后應(yīng)用賦值法求各項系數(shù)之和判斷D.【詳解】由題設(shè)，可得，A對；展開式共有7項，故只有第4項的二項式系數(shù)最大，B錯誤；展開式通項為，，令，可得，則的系數(shù)為，C對；令，則，D錯.故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)條件概率，全概率公式，互斥事件和相互獨立事件的概念逐一分析判斷即可.【詳解】由題意知，不可能同時發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨立，故B錯誤，D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：用定義法求條件概率的步驟：（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計算、；（3）代入公式求.11．ABD【分析】A對函數(shù)求導(dǎo)，假設(shè)函數(shù)單調(diào)，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍，即可判斷；B由，再結(jié)合即可判斷；C應(yīng)用特殊值判斷；D由并展開，結(jié)合已知表達式，即可判斷.【詳解】A：由題設(shè)，所以是開口向上的拋物線，要使為單調(diào)函數(shù)，只需恒成立，即，得，所以，使得為單調(diào)函數(shù)，對；B：對于，所以，即恒關(guān)于點對稱，對；C：由題設(shè)，若，顯然，錯；D：由題設(shè)，又，則，對.故選：ABD12．【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及性質(zhì)可得【詳解】因為是冪函數(shù)，所以,解得或.當(dāng)時，為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，在上是減函數(shù)，符合題意；故答案為:.13．/0.7【分析】利用組合的知識結(jié)合古典概型的概率公式可解.【詳解】從5人中任選3人，一共有種選法．所選3人中至多有1名女生的情況有以下兩種：3人全都是男生，有種選法；3人中有2名男生1名女生，有種選法．則所選3人中至多有1名女生的概率,故答案為：.14．【分析】令，，通過指數(shù)式與對數(shù)式互化用表示出，再借助基本不等式進行求解即可.【詳解】令，，則，，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．15．(1)或，(2)【分析】（1）利用絕對值不等式、一元二次不等式的解法和交集、補集的定義求解；（2）根據(jù)必要不充分條件的定義可得真包含于，從而根據(jù)集合的關(guān)系可求解.【詳解】（1）由，解得，即，故，因為，所以，由，解得，故，則或，或.（2）由可得，因為，所以，所以不等式的解為，即，因為是的必要不充分條件，所以是的真子集，所以或，解得，又因為，所以，故實數(shù)的取值范圍為.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解，然后根據(jù)二項分布的期望公式求解期望即可；（3）根據(jù)分層抽樣、條件概率公式求解即可.【詳解】（1）由題意有，所以估計此次知識競賽成績的平均數(shù)為；（2）由題意有，因為，即，所以，由題意得抽取100人中知識競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)服從二項分布，即，所以，所以抽取100人中知識競賽成績超過88分的學(xué)生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；（3）由頻率分布直方圖有：分數(shù)在和的頻率分別為和，按照分層抽樣，抽取10份，其中在應(yīng)抽取份，分數(shù)應(yīng)抽取份，令事件抽取3份試卷來自不同區(qū)間，事件取出的試卷有2份來自區(qū)間，所以，所以.所以抽測3份試卷有2份來自區(qū)間的概率為.17．(1)(2)詳見解析(3)或.【分析】（1）需要先求出函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，再結(jié)合切點坐標得到切線方程；（2）通過對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負來判斷；（3）需要分情況討論函數(shù)在給定區(qū)間上的最值情況.【詳解】（1）當(dāng)時，，對求導(dǎo)得.則，又，所以切點為，

所以切線方程為，即.（2）對求導(dǎo)得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，令，即，，，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）在有解，即當(dāng)時，，當(dāng)時，由（2）知函數(shù)在上的最大值在端點處取得.此時，，所以或，得或，又，所以舍去，所以.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么最大值在處取得.此時，所以，得.綜合兩種情況，可得的取值范圍為或.18．(1)，與兩個變量線性相關(guān)性的很強(2)①的分布列見解析，期望為；②的最大值為【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出，，，，，最后代入相關(guān)系數(shù)公式即可求得，根據(jù)的值判斷線性相關(guān)性強弱即可.（2）①根據(jù)題意，，的取值可能為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.②根據(jù)題意，求得的表達式，再對求導(dǎo)，通過分析導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，進而求出的最大值【詳解】（1）由題意得，，，，，則.因為，接近1，所以與兩個變量線性相關(guān)性的很強.（2）①由題意的取值可能為，且甲獲勝的概率為，當(dāng)時，甲連勝3局或乙連勝3局：.當(dāng)時，前3局甲2勝1負，第4局甲勝；或前3局乙2勝1負，第4局乙勝：.當(dāng)時，前4局甲2勝2負，第5局甲勝；或前4局乙2勝2負，第5局乙勝：.所以的分布列為：345期望.②甲以獲勝，即前4局甲2勝2負，第5局甲勝，所以.對求導(dǎo)得，令，解得.則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.因此當(dāng)時，取得最大值.19．(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）恒成立即為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出左側(cè)函數(shù)的最大值后可求參數(shù)的取值范圍.（2）（ⅰ）由可得，利用極值點偏移可證;（ⅱ）要證具有性質(zhì)T即證，設(shè)，從而將前者轉(zhuǎn)化為證明即，利用導(dǎo)數(shù)可證明后者.【詳解】（1），令，則．令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，