江蘇省南通市如皋市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上)1．已知集合，集合，則（） A． B． C．D．2．設(shè)，則（） A． B． C． D． 3． “雙曲線的兩漸近線夾角為”是“”的（） A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知隨機(jī)事件互相獨(dú)立，滿足，，則（） A． B．C． D．5．三棱錐中，平面平面，和均為等邊三角形，則二面角的余弦值是（）A． B．C． D．6．函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知圓及兩點(diǎn)，，若圓上任一點(diǎn)，都滿足，則的取值范圍是（） A．B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，當(dāng)時(shí)，有，則的值為（） B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知函數(shù)下列說法正確的是（）A．B．為偶函數(shù) C．當(dāng)時(shí)，D．若，則10．已知二項(xiàng)展開式，下列說法正確的是（）A．B． C．D．11．一個(gè)封閉的直三棱柱容器內(nèi)裝有高度為3的水(如圖所示，底面處于水平狀態(tài))．記水面為，，，現(xiàn)以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將容器逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（） A．水面形狀的變化依次為三角形，等腰梯形，矩形 B．水面可能是正三角形C．當(dāng)經(jīng)過時(shí)，與面的交線長(zhǎng)為D．當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，水面的面積為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12．已知，，則的最小值為▲．13．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，過的直線與交于兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線沿軸翻折，則三棱錐體積的最大值為▲．14．小明同學(xué)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具，四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，現(xiàn)隨機(jī)拋擲，記錄每次朝下的面上的數(shù)字，如果是數(shù)字4就停止，否則繼續(xù)拋擲，至多拋3次．設(shè)這幾次記錄的最大數(shù)字為，則▲；▲．四、解答題（本題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分13分)為促進(jìn)消費(fèi)，擴(kuò)大內(nèi)需，江蘇省體育局主辦了2025年城市足球聯(lián)賽，簡(jiǎn)稱“蘇超”．隨著賽事的進(jìn)行，引發(fā)全省乃至全國人民的關(guān)注，城市旅游人數(shù)顯著提升．下表是比賽五個(gè)月來的某城市旅游人數(shù)（百萬）與第個(gè)月的數(shù)據(jù)：x（月份）12345y（人數(shù)）23578（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）該市隨機(jī)抽取了部分市民及游客，調(diào)查他們對(duì)賽事的關(guān)注情況，得到如下列聯(lián)表：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事男性120380女性80420請(qǐng)依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注“蘇超”賽事與性別有關(guān)．參考公式：，其中．α0.0500.0100.001α3.8416.63510.82816．(本小題滿分15分) 已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，都有，求的取值范圍．17．(本小題滿分15分)如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面為矩形，在底面內(nèi)的射影為．（1）求證：且；（2）若，，與底面所成角的正切值為，求直線到平面的距離．18．(本小題滿分17分) 某班準(zhǔn)備在周六和周日兩天分別進(jìn)行一次環(huán)保志愿活動(dòng)，分別由李老師和王老師負(fù)責(zé)通知，已知該班共60名學(xué)生，每次活動(dòng)需40人參加，假設(shè)李老師和王老師通過“家校通”平臺(tái)分別將通知獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給60位學(xué)生家長(zhǎng)中的40人，且保證所發(fā)通知都能收到．（1）求該班甲同學(xué)家長(zhǎng)收到李老師或王老師通知的概率；（2）設(shè)該班乙同學(xué)家長(zhǎng)收到通知的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)兩次都收到通知的人數(shù)為變量，則的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一個(gè)值的可能性最大？請(qǐng)說明理由．19．(本小題滿分17分) 已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，橢圓上有兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線分別交橢圓于點(diǎn)，滿足，.（1）求橢圓的方程；（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，試探究?jī)汕芯€斜率乘積是否為定值？江蘇省南通市如皋市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上)1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】∵，，∴.故選：A.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】，所以.故選：B3.“雙曲線的兩漸近線夾角為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】雙曲線的兩漸近線夾角為，所以或，所以或.“或”是“”的必要不充分條件.故選：C4.已知隨機(jī)事件互相獨(dú)立，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件互相獨(dú)立，所以，則，,解得，，，．故選：A．5.三棱錐中，平面平面，和均為等邊三角形，則二面角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且面，所以面，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)和的邊長(zhǎng)為，可得，，，得到，，設(shè)面的法向量為，可得，令，解得，故，易得面法向量為，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，故C正確故選：C6.函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，所以區(qū)間有解，即在區(qū)間有解，所以在區(qū)間上能成立，故，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以．故選：B．7.已知圓及兩點(diǎn)，，若圓上任一點(diǎn)，都滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，.若滿足，則，即，即，所以.令，則表示點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.如圖，當(dāng)線段過圓心時(shí)，最大，最大值為.所以的取值范圍是.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，當(dāng)時(shí)，有，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，所以，故，在等式中，令可得，所以，所以，，，，，在等式中，令可得，所以，所以，，，，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)?，且，?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時(shí)， D.若，則【答案】BC【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，對(duì)任意的，，故函數(shù)為偶函數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，D錯(cuò).故選：BC.10.已知二項(xiàng)展開式，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【詳解】令，對(duì)于A選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，其中，，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D對(duì).故選：ACD.11.一個(gè)封閉的直三棱柱容器內(nèi)裝有高度為3的水(如圖所示，底面處于水平狀態(tài))．記水面為，，，現(xiàn)以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將容器逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A.水面形狀的變化依次為三角形，等腰梯形，矩形B.水面可能是正三角形C.當(dāng)經(jīng)過時(shí)，與面的交線長(zhǎng)為D.當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，水面的面積為【答案】ABCD【詳解】A選項(xiàng)，水的體積，，所以當(dāng)水面經(jīng)過時(shí)，水面與棱相交，如圖3，當(dāng)水面經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，水面與面相交，如圖4，則在此之前水面形狀均為三角形，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直至之前，水面形狀為等腰梯形，如圖5，轉(zhuǎn)至?xí)r，水面形狀為矩形，如圖6，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，初始位置，如圖1，，當(dāng)水面經(jīng)過時(shí)，如圖3，此時(shí)，所以，，所以在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，存在，使得水面是正三角形，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，如圖4，，且由于與相似，則，，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖6，，且由于與相似，則，則，則水面的面積為，故D選項(xiàng)正確.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知，，則的最小值為______．【答案】【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，故時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故答案為：13.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，過的直線與交于兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線沿軸翻折，則三棱錐體積的最大值為_____.【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為.易知直線的斜率必不為0，故設(shè)直線：.聯(lián)立方程組，消去并整理得.設(shè)，，則，.設(shè)拋物線沿軸翻折后點(diǎn)到平面的距離為，則，∴.故答案為：.14.小明同學(xué)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具，四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)隨機(jī)拋擲，記錄每次朝下的面上的數(shù)字，如果是數(shù)字4就停止，否則繼續(xù)拋擲，至多拋3次．設(shè)這幾次記錄的最大數(shù)字為，則_____；_____．【答案】①.②.【詳解】的可能取值為1，2，3，4，，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字均為1，拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字共有種情況，故，，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字中，最大數(shù)字為2，分有1個(gè)2，2個(gè)2和3個(gè)2三種情況，故；，即拋擲3次，朝下的面上的數(shù)字中，最大數(shù)字為3，分有1個(gè)3，2個(gè)3和3個(gè)3三種情況，故；，拋擲1次，朝下的面上的數(shù)字為4，此時(shí)概率為，或拋擲2次，第二次朝下的面上的數(shù)字為4，此時(shí)概率為，拋擲3次，第三次朝下的面上的數(shù)字為4，此時(shí)概率為，故；故故答案為：，.四、解答題（本題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.為促進(jìn)消費(fèi)，擴(kuò)大內(nèi)需，江蘇省體育局主辦了年城市足球聯(lián)賽，簡(jiǎn)稱“蘇超”．隨著賽事的進(jìn)行，引發(fā)全省乃至全國人民的關(guān)注，城市旅游人數(shù)顯著提升．下表是比賽五個(gè)月來的某城市旅游人數(shù)（百萬）與第個(gè)月的數(shù)據(jù)：（月份）（人數(shù)）（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）該市隨機(jī)抽取了部分市民及游客，調(diào)查他們對(duì)賽事的關(guān)注情況，得到如下列聯(lián)表：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事男性女性請(qǐng)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注“蘇超”賽事與性別有關(guān)．參考公式：，，其中．【答案】（1）（2）能，理由見解析【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，所以，，故關(guān)于的線性回歸方程為.【小問2詳解】零假設(shè)關(guān)注“蘇超”賽事與性別無關(guān)，由表格中的數(shù)據(jù)可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為關(guān)注“蘇超”賽事與性別有關(guān).16已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，都有，求的取值范圍．【答案】（1）極小值為，極大值為（2）【小問1詳解】由題意可知，且，所以，當(dāng)時(shí)，，列表如下：減極小值增極大值減此時(shí)，函數(shù)的極小值為，極大值為；當(dāng)時(shí)，，列表如下：增極大值減極小值增此時(shí)，函數(shù)的極小值為，極大值為.綜上所述，函數(shù)的極小值為，極大值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，都有，只需，即，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋c題設(shè)條件矛盾.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面為矩形，在底面內(nèi)的射影為．（1）求證：且；（2）若，，與底面所成角的正切值為，求直線到平面的距離．【答案】（1）見解析（2）【小問1詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)射影為，所以平面，則，又因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，而，所以，由于平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，即，因?yàn)椋?，所以D為中點(diǎn)，則為的垂直平分線，所以，因此，且得證；【小問2詳解】由（1）知平面，已知，，則就是與底面所成角，其正切值為，余弦值為，，解得，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，解得，又易得平面，所以到平面的距離為．18.某班準(zhǔn)備在周六和周日兩天分別進(jìn)行一次環(huán)保志愿活動(dòng)，分別由李老師和王老師負(fù)責(zé)通知，已知該班共60名學(xué)生，每次活動(dòng)需40人參加，假設(shè)李老師和王老師通過“家校通”平臺(tái)分別將通知獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給60位學(xué)生家長(zhǎng)中的40人，且保證所發(fā)通知都能收到．（1）求該班甲同學(xué)家長(zhǎng)收到李老師或王老師通知的概率；（2）設(shè)該班乙同學(xué)家長(zhǎng)收到通知的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)兩次都收到通知的人數(shù)為變量，則的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一個(gè)值的可能性最大？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）取到27的可能性最大【小問1詳解】李老師通知40人，甲同學(xué)家長(zhǎng)未收到李老師通知的概率為，王老師通知40人