2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)幾何方程模擬在虛擬現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.在VR系統(tǒng)中，將世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)(x,y,z)轉(zhuǎn)換到觀察者視線坐標(biāo)系下，通常涉及以下哪種變換？()A.平移變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.尺寸變換D.以上都是2.描述一條參數(shù)曲線r(t)=(x(t),y(t),z(t))的切向量是？()A.?f(t)B.r'(t)C.r''(t)D.(0,0,0)3.在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，Phong光照模型中關(guān)于表面法向量的計(jì)算，通常使用哪個(gè)公式？()A.梯度公式?PB.散度公式?·FC.拉普拉斯算子?2ΦD.向量叉乘N=P×Q（P為入射光，Q為視線方向）4.對(duì)于一個(gè)給定的隱式曲面F(x,y,z)=0，判斷點(diǎn)P(x?,y?,z?)是否在曲面上的一個(gè)常用方法是？()A.計(jì)算曲面在P點(diǎn)的法向量B.計(jì)算F(x?,y?,z?)是否等于1C.計(jì)算F(x?,y?,z?)是否等于0D.判斷曲面在P點(diǎn)是否光滑5.在模擬剛體平移時(shí)，若物體初始位置為P?，速度為V，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt后的新位置P?最接近于？()A.P?+Δt2VB.P?+VΔtC.P?-Δt2VD.P?-VΔt6.用于表示具有光滑曲面的復(fù)雜物體（如汽車、角色）最常用的參數(shù)曲面是？()A.Bezier曲面B.NURBS曲面C.B樣條曲面D.隱式曲面7.在粒子系統(tǒng)模擬中，描述粒子運(yùn)動(dòng)軌跡通常涉及？()A.常微分方程B.偏微分方程C.代數(shù)方程D.幾何方程8.在VR中實(shí)現(xiàn)物體碰撞檢測(cè)，計(jì)算兩個(gè)球體中心距離小于兩球半徑之和，這主要應(yīng)用了哪種數(shù)學(xué)工具？()A.矩陣運(yùn)算B.向量點(diǎn)積C.向量叉積D.距離公式9.透視投影會(huì)導(dǎo)致近大遠(yuǎn)小現(xiàn)象，其主要數(shù)學(xué)原理來(lái)自于？()A.向量投影B.矩陣變換C.非歐幾何D.極坐標(biāo)變換10.用于對(duì)三維空間進(jìn)行劃分，以加速點(diǎn)查詢和空間相交測(cè)試的常見(jiàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與哪種概念相關(guān)？()A.樹(shù)形結(jié)構(gòu)B.歐幾里得距離C.微分方程D.向量空間二、填空題（請(qǐng)將答案填在橫線上）1.在線性代數(shù)中，矩陣乘法可以用于實(shí)現(xiàn)三維空間中的________和________變換。2.光照模型中，環(huán)境光（AmbientLight）通常用常數(shù)K?表示，它反映了物體吸收所有方向入射光的________分量。3.隱式曲面F(x,y,z)=0的法向量在點(diǎn)P處為_(kāi)_______。4.模擬流體或煙霧等連續(xù)介質(zhì)時(shí)，常使用________方程組來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)。5.參數(shù)曲面S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))上點(diǎn)(u?,v?)處的切平面，其方程通?？梢员硎緸開(kāi)_______（用切向量T?和T?表示）。6.在VR系統(tǒng)中，將三維場(chǎng)景投影到二維屏幕上，通常需要使用一個(gè)________矩陣。7.點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)P和Q之間歐幾里得距離的公式是________。8.物體的質(zhì)量矩陣M在剛體動(dòng)力學(xué)模擬中，通常用于計(jì)算________矩陣。9.NURBS（Non-UniformRationalB-Splines）曲面能夠精確表示________和________。10.在VR幾何建模中，點(diǎn)云數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化（如體素化）常涉及計(jì)算點(diǎn)與鄰近體素中心的________距離。三、計(jì)算題（請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算步驟）1.給定變換矩陣M=[[2,0,0],[1,1,0],[0,1,3]]和點(diǎn)P=(1,2,1)。計(jì)算點(diǎn)P經(jīng)過(guò)變換M后的新坐標(biāo)P'。2.在Phong光照模型中，給定光源顏色I(xiàn)_l=(1,1,1)，環(huán)境光強(qiáng)度K?=0.2，物體表面材質(zhì)色K_d=(0.8,0.6,0.4)，表面法向量N指向(0,0,1)的單位向量，視線方向V指向(0,0,1)的單位向量，入射光方向L指向(0,0,1)的單位向量。計(jì)算該點(diǎn)的漫反射光強(qiáng)度I_d。3.給定一個(gè)簡(jiǎn)單的剛體動(dòng)力學(xué)方程x''(t)=-x(t)，其中x(t)表示水平位移。假設(shè)初始條件為x(0)=1,x'(0)=0。求解t=π/2時(shí)物體的位置x(π/2)。4.設(shè)參數(shù)曲面S(u,v)=(ucosv,usinv,v)，其中0≤u≤2,0≤v≤π/2。計(jì)算在點(diǎn)(u,v)=(1,π/4)處的切向量T?和T?，并求出該點(diǎn)處的切平面方程。四、應(yīng)用題（請(qǐng)結(jié)合VR場(chǎng)景描述，闡述或設(shè)計(jì)）1.描述在VR環(huán)境中模擬一個(gè)簡(jiǎn)單的拋體運(yùn)動(dòng)（忽略空氣阻力），需要用到哪些關(guān)鍵的數(shù)學(xué)方程或概念？請(qǐng)簡(jiǎn)述計(jì)算步驟。2.假設(shè)需要在VR場(chǎng)景中創(chuàng)建一個(gè)由四條貝塞爾曲線連接而成的簡(jiǎn)單四邊形路徑。請(qǐng)說(shuō)明如何使用參數(shù)方程來(lái)表示每條貝塞爾曲線，并描述如何計(jì)算路徑上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。考慮使用線性插值（Lerp）的方法。3.解釋數(shù)學(xué)中的“體素化”（Voxelization）概念，并說(shuō)明它在VR中可能有哪些應(yīng)用場(chǎng)景。請(qǐng)簡(jiǎn)要描述體素化過(guò)程中涉及的一個(gè)基本數(shù)學(xué)計(jì)算。4.在VR應(yīng)用中，如何利用數(shù)學(xué)幾何方法來(lái)優(yōu)化場(chǎng)景的渲染性能？請(qǐng)列舉至少兩種方法，并簡(jiǎn)述其背后的數(shù)學(xué)原理。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.D4.C5.B6.B7.A8.D9.B10.A二、填空題1.旋轉(zhuǎn)；縮放2.反射3.?F(P)/||?F(P)||（或直接寫(xiě)?F(P)也可，理解為歸一化后）4.Navier-Stokes5.T?×T?6.透視投影7.||P-Q||8.慣性9.NURBS曲線；NURBS曲面10.歐氏三、計(jì)算題1.解：P'=M*P=[[2,0,0],[1,1,0],[0,1,3]]*[[1],[2],[1]]=[[2*1+0*2+0*1],[1*1+1*2+0*1],[0*1+1*2+3*1]]=[[2],[3],[5]]新坐標(biāo)P'=(2,3,5)。2.解：I_d=K_d*max(0,N·L)N·L=(0,0,1)·(0,0,1)=0*0+0*0+1*1=1I_d=(0.8,0.6,0.4)*1=(0.8,0.6,0.4)漫反射光強(qiáng)度I_d=(0.8,0.6,0.4)。3.解：該方程為標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，通解為x(t)=A*cos(ωt)+B*sin(ωt)。對(duì)應(yīng)此方程ω2=1,即ω=1。由初始條件x(0)=1=>A=1。x'(t)=-A*ω*sin(ωt)+B*ω*cos(ωt)x'(0)=-A*ω*sin(0)+B*ω*cos(0)=B*ω=0=>B=0。所以x(t)=cos(t)。x(π/2)=cos(π/2)=0。4.解：計(jì)算切向量：T?=?S/?u=(cosv,sinv,0)T?evaluatedat(1,π/4)=(cos(π/4),sin(π/4),0)=(√2/2,√2/2,0)T?=?S/?v=(-u*sinv,u*cosv,1)T?evaluatedat(1,π/4)=(-1*sin(π/4),1*cos(π/4),1)=(-√2/2,√2/2,1)計(jì)算切平面法向量N=T?×T?：N=|ijk||√2/2√2/20||-√2/2√2/21|=i(√2/2*1-0*√2/2)-j(√2/2*1-0*(-√2/2))+k(√2/2*√2/2-(-√2/2)*√2/2)=i(√2/2)-j(√2)+k(1)=(√2/2,-√2,1)切平面方程為N·(X-S(1,π/4))=0，其中X=(x,y,z)。S(1,π/4)=(1*cos(π/4),1*sin(π/4),π/4)=(√2/2,√2/2,π/4)。(√2/2,-√2,1)·((x-√2/2),(y-√2/2),(z-π/4))=0(√2/2)(x-√2/2)+(-√2)(y-√2/2)+(1)(z-π/4)=0√2x/2-1+(-√2y/2+1)+z-π/4=0√2x/2-√2y/2+z-π/4=0。切平面方程為√2x/2-√2y/2+z=π/4。四、應(yīng)用題1.解：模擬拋體運(yùn)動(dòng)需要用到牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1.建立坐標(biāo)系，設(shè)初始位置為(x?,y?)，初始速度為(v??,v<0xE1><0xB5><0xA3>?)。2.應(yīng)用重力加速度g，通常取g=(0,-9.8)或(0,-g?)（單位：m/s2）。3.運(yùn)動(dòng)方程：*x(t)=x?+v??*t*y(t)=y?+v<0xE1><0xB5><0xA3>?*t-0.5*g*t24.計(jì)算步驟：a.設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)Δt。b.初始化時(shí)間t=0，位置P(t)=(x?,y?)，速度V(t)=(v??,v<0xE1><0xB5><0xA3>?)。c.在每次時(shí)間步Δt，更新位置和速度：*新速度V(t+Δt)=V(t)+g*Δt*新位置P(t+Δt)=P(t)+V(t)*Δtd.重復(fù)步驟c，直到物體落地（y(t)≤0）或達(dá)到最大模擬時(shí)間。5.關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念：向量（位置、速度、加速度）、微分（速度是位置的導(dǎo)數(shù)）、積分（位置是速度的積分）、二次函數(shù)（y(t)的形式）。2.解：創(chuàng)建由四條貝塞爾曲線連接的四邊形路徑，需要為每條邊定義貝塞爾曲線，并計(jì)算其上點(diǎn)的坐標(biāo)。1.參數(shù)方程表示貝塞爾曲線：B(t)=(1-t)3P?+3(1-t)2tP?+3(1-t)t2P?+t3P?，其中t∈[0,1]，P?到P?是控制點(diǎn)。2.為四邊形的每條邊定義一條線性貝塞爾曲線（QuadraticBezierCurve，控制點(diǎn)為起點(diǎn)、終點(diǎn)和起點(diǎn)/終點(diǎn)的中點(diǎn)之一）或三次貝塞爾曲線（CubicBezierCurve，需要更多控制點(diǎn)）。*例如，邊AB：P?=A,P?=(A+x(B-A)/2,A.y),P?=B。*邊BC：P?=B,P?=(B+x(C-B)/2,B.y),P?=C。*邊CD：P?=C,P?=(C+x(D-C)/2,C.y),P?=D。*邊DA：P?=D,P?=(D+x(A-D)/2,D.y),P?=A。3.計(jì)算路徑上任意一點(diǎn)坐標(biāo)：a.確定該點(diǎn)位于哪一條邊上（例如，通過(guò)檢查前一條邊的終點(diǎn)和當(dāng)前邊的起點(diǎn)）。b.確定該點(diǎn)在對(duì)應(yīng)邊上的參數(shù)t值（如果邊是線性的，t可以通過(guò)插值計(jì)算；如果邊是高階貝塞爾曲線，可能需要參數(shù)化或插值方法）。c.使用該邊的貝塞爾曲線方程B(t)計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)。4.線性插值（Lerp）方法示例：如果邊AB簡(jiǎn)化為直線，要計(jì)算t在[0,1]時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(t)，可以使用：P(t)=(1-t)A+tB=A+t(A-B)。3.解：體素化是將三維空間離散化為規(guī)則的三維網(wǎng)格（體素），每個(gè)體素存儲(chǔ)一個(gè)值（如存在/不存在、密度、顏色等）。1.應(yīng)用場(chǎng)景：*三維掃描數(shù)據(jù)處理：將點(diǎn)云轉(zhuǎn)換為體素網(wǎng)格，便于存儲(chǔ)、可視化和分析。*醫(yī)學(xué)影像（CT/MRI）：原始數(shù)據(jù)本身就是體素表示，用于重建和手術(shù)規(guī)劃。*游戲和VR中的地形/環(huán)境構(gòu)建：快速碰撞檢測(cè)和遮擋查詢。*計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）：處理復(fù)雜三維模型。2.基本數(shù)學(xué)計(jì)算：體素化過(guò)程中涉及的一個(gè)基本計(jì)算是確定一個(gè)三維點(diǎn)P(x