2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)值線性代數(shù)在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知矩陣A=[[1,2],[3,4]],則矩陣A的Frobenius范數(shù)(||A||F)等于？(A)5(B)√(12+22+32+42)(C)max(|1|,|2|,|3|,|4|)(D)2√52.對(duì)于求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法，下列說(shuō)法正確的是？(A)總是比Gauss-Seidel法收斂得快。(B)要求系數(shù)矩陣A對(duì)角占優(yōu)才能保證收斂。(C)每次迭代只使用上一步的舊值。(D)其收斂速度一定慢于SOR方法（當(dāng)松弛因子ω取1時(shí)）。3.在主成分分析(PCA)中，選擇主成分的主要依據(jù)是？(A)特征向量的模長(zhǎng)。(B)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素。(C)特征值的大小，優(yōu)先選擇特征值較大的主成分。(D)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布密度。4.奇異值分解(SVD)A=UΣV?中，矩陣Σ的對(duì)角線元素（奇異值）代表？(A)數(shù)據(jù)矩陣A的特征值。(B)A?A或AA?的特征值。(C)A的列向量之間的相關(guān)系數(shù)。(D)A的行向量之間的距離度量。5.在使用奇異值分解進(jìn)行矩陣近似（例如降維）時(shí)，舍棄較小的奇異值相當(dāng)于？(A)忽略數(shù)據(jù)中的噪聲。(B)保留數(shù)據(jù)的主要變化趨勢(shì)。(C)減少矩陣的行數(shù)。(D)增加矩陣的列數(shù)。二、填空題6.若向量x=[1,2,3]?，則其infinity范數(shù)||x||∞=_______。7.Gauss-Seidel迭代法實(shí)質(zhì)上是Jacobi迭代法的一種改進(jìn)，其改進(jìn)之處在于每次迭代時(shí)，利用了最新的_______值來(lái)計(jì)算當(dāng)前未知數(shù)。8.對(duì)于對(duì)稱正定矩陣A，Cholesky分解A=LL?（其中L是下三角矩陣）是存在的，且唯一。9.奇異值分解SVD將數(shù)據(jù)矩陣X（通常為m×n，m>n）投影到低維子空間時(shí)，其投影矩陣P可以表示為_(kāi)______=UΣV?，其中V?表示V的轉(zhuǎn)置。10.在最小二乘問(wèn)題min||Ax-b||2的求解中，若矩陣A的列線性無(wú)關(guān)，則其最小二乘解x?可以通過(guò)x?=(A?A)?1A?b或x?=A?b獲得，其中A?稱為A的_______。三、計(jì)算題11.(10分)已知矩陣A=[[2,1],[1,3]]和向量b=[1,2]?。(1)計(jì)算矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。(2)用冪法（取初始向量x?=[1,1]?，迭代兩次）近似A的最大特征值，并給出對(duì)應(yīng)的近似特征向量。12.(10分)考慮線性方程組Ax=b，其中A=[[4,-1],[-1,3]]和b=[1,2]?。(1)判斷矩陣A是否為對(duì)角占優(yōu)矩陣？請(qǐng)說(shuō)明理由。(2)若使用Jacobi迭代法求解此方程組，請(qǐng)寫(xiě)出迭代公式。判斷該迭代法是否收斂？請(qǐng)說(shuō)明理由。13.(15分)已知矩陣X=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]。(1)計(jì)算矩陣X的奇異值分解X=UΣV?，其中Σ為對(duì)角矩陣。(2)利用得到的SVD分解，構(gòu)造X的二階奇異值近似矩陣X?（即保留最大的兩個(gè)奇異值）。四、綜合應(yīng)用題14.(15分)假設(shè)你有一組二維數(shù)據(jù)點(diǎn)x?=[1,2]?,x?=[2,3]?,x?=[3,5]?,x?=[4,4]?,x?=[5,6]?。(1)將這組數(shù)據(jù)點(diǎn)表示為矩陣X（屬性在列），計(jì)算數(shù)據(jù)矩陣X的協(xié)方差矩陣Σ。(2)對(duì)協(xié)方差矩陣Σ進(jìn)行特征值分解Σ=VΛV?，其中Λ是對(duì)角矩陣，V的列是特征向量。(3)假設(shè)我們想用PCA將數(shù)據(jù)降維到一維，請(qǐng)根據(jù)特征值的大小，選擇主要成分（特征向量），并給出數(shù)據(jù)投影到新的一維子空間后的表示（即投影后的數(shù)據(jù)點(diǎn)）。15.(15分)簡(jiǎn)述奇異值分解(SVD)在推薦系統(tǒng)中的應(yīng)用原理。假設(shè)我們有一個(gè)用戶-物品評(píng)分矩陣R（用戶在行，物品在列），其中部分元素已知（非零），其余元素為零（表示用戶未評(píng)價(jià)該物品）。解釋如何利用SVD（特別是截?cái)郤VD）來(lái)預(yù)測(cè)用戶對(duì)未評(píng)分物品的偏好度，并說(shuō)明這種方法的核心思想是什么。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.B5.B二、填空題6.37.已計(jì)算的8.是9.XVΣ?1(或等價(jià)形式UV?Σ?1)10.Moore-Penrose偽逆三、計(jì)算題11.(1)特征值:λ?=4,λ?=2;對(duì)應(yīng)特征向量:v?=[1,1]?/√2,v?=[-1,1]?/√2.(2)迭代一次:x?=A*x?=[3/2,5/2]?;迭代二次:x?=A*x?=[17/4,37/4]?;近似最大特征值λ≈4.25,近似特征向量x≈[17/√130,37/√130]?.12.(1)是，因?yàn)閨4|>|1|+|(-1)|=2。(2)Jacobi迭代公式:x^(k+1)=[(1/4)*b?-(-1/4)*b?,(-1/3)*b?+(2/3)*b?]?=[1/4,2/3]?+[1/4,-1/3]?*x^k.迭代法收斂。理由：系數(shù)矩陣[1/4,-1/3]的譜半徑ρ<1。13.(1)U=[[-0.40455,0.53452,0.71429],[-0.81131,0.53452,-0.07143],[-0.40455,-0.83207,0.40455]],Σ=[[14.64189,0,0],[0,1.15470,0],[0,0,0]],V?=[[-0.21484,-0.88729,0.40825],[0.52056,-0.24078,-0.81650],[0.83777,0.40186,0.40825]].(2)X?=U?Σ?V??=U?[[14.64189,0],[0,1.15470]]V??,其中U?是U的前兩列,Σ?是Σ的前兩個(gè)奇異值構(gòu)成的對(duì)角矩陣,V??是V?的前兩行。四、綜合應(yīng)用題14.(1)X=[[1,2,3,4,5],[2,3,5,4,6]],Σ=[[9.2,6.8],[6.8,5.2]].(2)Λ=[[9.2,0],[0,5.2]],V=[[-0.61045,-0.79192],[-0.79192,0.61045]].(3)選擇特征值9.2對(duì)應(yīng)的特征向量[-0.61045,-0.79192]?作為主成分。投影向量p=X*V[:,0]=[9.5,14.0,18.5,21.0,23.5]?.投影后數(shù)據(jù)點(diǎn)為p/||p||=[0.40455,0.59645,0.77037,0.87670,0.97012]?.15.SVD將用戶-物品評(píng)分矩陣R分解為R=UΣV?。U的行代表用戶在低維特征空間中的表