2/2平面直角坐標(biāo)系中的面積問題【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積】 1【題型2一邊在坐標(biāo)軸上的圖形面積】 3【題型3平行于坐標(biāo)軸的圖形的面積】 6【題型4各邊都不在坐標(biāo)軸上的圖形的面積】 9【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標(biāo)】 13【題型6直線分面積求值】 16【題型7新定義問題中的面積】 20【題型8面積中的規(guī)律問題】 25【題型1與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積】【例1】（24-25七年級·吉林長春·期中）已知A（a，0）和B點（0，10）兩點，且AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于20，則a的值為（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4【答案】D【分析】根據(jù)點A、B的坐標(biāo)可找出OA、OB的長度，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于a的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】∵A（a，0），B（0，10），∴OA=|a|，OB=10，∴S△AOB=12OA?OB=12?10|a解得：a=±4．故選D．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于a的含絕對值符號的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（24-25七年級廣東清遠·七年級統(tǒng)考期末）已知A(0，4)，點B在x軸上，AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則點B的坐標(biāo)為(

)A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)【答案】B【詳解】∵三角形的面積=12×4×|OB|=2∴|OB|=1，∴B（1，0）或（-1，0）．故選：B.【點睛】此題主要考查了平面圖形與坐標(biāo)的關(guān)系，利用三角形的面積求出OB的長是關(guān)鍵，特別是要明確注意：在x軸上到原點的距離為一個定值的點有兩個.【變式1-2】（24-25七年級上·安徽安慶·期末）平面直角坐標(biāo)系中，我們把點Px,y的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值之和叫做點Px,y的勾股值，記為：「P（1）求點A-1,3的勾股值「（2）若點B在第一象限且滿足「B」=3，求滿足條件的所有【答案】（1）4；（2）9【分析】（1）由勾股值的定義即可求解；（2）設(shè)B點的坐標(biāo)為（x，y），由「B」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到y(tǒng)=-x+3，于是得到所有點B圍成的圖形是邊長為3的三角形，則面積可求．【詳解】解：（1）「A（2）設(shè)Bx,y，由「B」又B在第一象限，x>0，y>0，得x+y=3，即y=-x+3x>0,y>0，故所有點B組成的圖形與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為：3,0，0,3，故其面積為：12【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確理解勾股值的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（24-25七年級·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點Aa，0和點B0，5，且直線AB與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于A．4 B．4或-4 C．-4 D．2【答案】B【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，需注意坐標(biāo)軸上到一個點的距離為定值的點有2個．根據(jù)三角形的面積公式和已知條件求解，注意a取正負(fù)數(shù)都符合題意．【詳解】解：直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于10，Aa，那么5×|OA|÷2=10，解得：OA=4，所以a=4或a=-4．故選：B．【題型2一邊在坐標(biāo)軸上的圖形面積】【例2】（24-25七年級·江西南昌·期中）如圖是一塊不規(guī)則的四邊形地皮ABCO，各頂點坐標(biāo)分別為A-2,6，B-5,4，C-7,0，O0,0（圖上一個單位長度表示10米），則這塊地皮的面積是（A．25 B．250 C．2500 D．2200【答案】C【分析】根據(jù)S四邊形【詳解】解：如圖所示，A-2,6，B-5,4，CS四邊形==4+15+6=∵圖上一個單位長度表示10米，∴25×10×10=2500m故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（24-25七年級·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中C(-4,4)．則三角形ABC的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】底AB=4，高是點C到x軸的距離，根據(jù)三角形面積公式求得即可．【詳解】解：由圖象可知，A（0，0），B（4，0），∴AB＝4∵C（﹣4，4），點C到x軸的距離是4，△ABC的高就是4，∴S△ABC＝12×4×4＝故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式2-2】（24-25七年級·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOEA．3.5 B．2.5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)，求得OC,AC,OD,DE,CD，根據(jù)S△AOE【詳解】解：∵A4,3，B6,0，∴OC=4，AC=3,OD=5,DE=2，∴CD=1則S=12×4×3=3.5故選A【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（24-25七年級·安徽亳州·階段練習(xí)）已知點A1,0，B0,2，點P在x軸上，且三角形PAB的面積是3，則點P的坐標(biāo)是（A．0，-4 B．-2，0 C．0，-4或【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積求出AP的長，再分點P在點A的左邊與右邊兩種情況討論求解．【詳解】解：∵點B(0,2)，∴S解得AP=3，若點P在點A的左邊，則OP=AP-OA=3-1=2，此時，點P的坐標(biāo)為(-2,0)，若點P在點A的右邊，則OP=AP+OA=3+1=4，此時，點P的坐標(biāo)為(4,0)，綜上所述，點P的坐標(biāo)為(4,0)或(-2,0)，故選：D．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．【題型3平行于坐標(biāo)軸的圖形的面積】【例3】（24-25七年級·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D是整點（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)），則四邊形ABCD的面積是（

）個平方單位．A．152 B．15 C．10 D【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形在坐標(biāo)系中的位置得到AD∥x軸，AD=4--1【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A-1,2∴AD∥x軸，AD=4--1∴平行四邊形ABCD的面積=5×3=15，故選：B．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，正確理解平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（24-25七年級·北京順義·階段練習(xí)）由坐標(biāo)平面內(nèi)的三點A1,1,B3,1,C1,-3【答案】4【分析】根據(jù)A1,1,B3,1,C1,-3得AB=2,AB∥x【詳解】∵A∴AB=2,AB∥x軸，AC=4,AC∥y軸，∴△CAB是直角三角形，∴12故答案為：4．

【變式3-2】（24-25七年級·福建龍巖·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，由點Aa，2，BA．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)A和B兩點的縱坐標(biāo)相等，可得線段AB的長，再根據(jù)點C的縱坐標(biāo)，可得以AB為底的△ABC的高，從而△ABC的面積可求．【詳解】解析：由點Aa，2點C在直線y=-2上，AB與直線y=-2平行，且平行線間的距離為4，∴S=1故選：A．【點睛】本題考查了三角形的面積計算，明確平面直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)特點及如何求相應(yīng)線段的長，是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（24-25七年級·福建廈門·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．則四邊形ABCD的面積=【答案】2k-4/-4+2k【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，延長BA交y軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，延長AD交CF于點H，過點C作CG⊥AG于點G，根據(jù)A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k，得出CH=4-2=2，AH=n+4-n+2=2【詳解】解：延長BA交y軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，延長AD交CF于點H，過點C作CG⊥AG于點G，∵A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4∴AD∥y軸，∴AH∥CG，∴CH=4-2=2，AH=n+4-n+2DH=n+4-n+kBG=4-k，∴四邊形ABCD的面積為：2×2-=4-4+k-4+k=2k-4．故答案為：2k-4．【題型4各邊都不在坐標(biāo)軸上的圖形的面積】【例4】（24-25七年級·上海靜安·周測）如圖，三角形ABC的面積等于（

）A．12 B．1212 C．13 D【答案】D【分析】過點A作AD⊥x軸于D，利用SΔABC=S梯形BODA-S【詳解】過點A作AD⊥x軸于D，如圖所示：由題意可得，BO=3，OC=3，AD=6，CD=3，∴OD=6，∴SΔABC====27即SΔABC故選：D．【點睛】本題主要考查了利用和差法轉(zhuǎn)化求三角形的面積，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（24-25七年級·重慶長壽·期末）已知點A2,2，B1,0，點C在坐標(biāo)軸上，且三角形ABC的面積為2，請寫出所有滿足條件的點C的坐標(biāo)【答案】-1,0或3,0或0,2或0,-6【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)及三角形的面積，根據(jù)點C位于不同的數(shù)軸分類討論是解題的關(guān)鍵．分點C在x軸上和點C在y軸正半軸上和點C在y軸負(fù)半軸上上三種情況，利用三角形的面積公式求出BC或OC的長度，即可求解．【詳解】解：若點C在x軸上，則S△ABC解得BC=2，所以，點C的坐標(biāo)為1+2,0或1-2,0，即3,0或-1,0，若點C在y軸正半軸上，則S△CAB解得OC=2，所以，點C的坐標(biāo)為0,2，若點C在y軸負(fù)半軸上，則S△CAB解得OC=6，所以，點C的坐標(biāo)為0,-6，綜上所述，點C的坐標(biāo)為-1,0或3,0或0,2或0,-6，故答案為：-1,0或3,0或0,2或0,-6．【變式4-2】（24-25七年級·湖北鄂州·期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點都在網(wǎng)格點上，其中點C的坐標(biāo)為(1,1)．(1)寫出點A，B的坐標(biāo)A（______），B（______）；(2)將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到三角形A'B'C'，則點A'，B'，C'的坐標(biāo)分別是A'（______(3)計算三角形ABC的面積．【答案】(1)2,-2，4,2(2)0,-3，2,1，-1,0(3)5【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、平移等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)直角坐標(biāo)系中A,B,C三點的位置即可求解；（2）根據(jù)平移方向和距離即可求解；（3）利用“割補法”即可求解；【詳解】（1）解：根據(jù)直角坐標(biāo)系中A,B,C三點的位置可得：A2,-2，B故答案為：2,-2，4,2；（2）解：∵將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，∴A'2-2,-2-1，B'即：A'0,-3，B'故答案為：0,-3，2,1，-1,0；（3）解：三角形ABC的面積=3×4-1【變式4-3】（24-25七年級·湖北武漢·期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點A2,3，點B-3,-2，點C4,-3，則三角形ABCA．19 B．20 C．21 D．21.5【答案】B【分析】本題考查了三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．過點A作DE∥x軸，過點B作EF∥y軸，過點C作CD∥y軸，過點C作CF∥x軸，根據(jù)題意可得AD=2,【詳解】解：如圖，過點A作DE∥x軸，過點B作EF∥y軸，過點C作CD∥y軸，過點C作CF∥x軸，∵點A2,3，點B-3,-2，點∴AD=2,∴三角形ABC的面積是：6×7-1故選：B【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標(biāo)】【例5】（24-25七年級·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個頂點坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點P【答案】0,-1或0,3【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，熟練掌握點坐標(biāo)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)點P坐標(biāo)是0,a，先分別求出三角形ABP和三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形ABP和三角形ABC的面積相等建立方程，解方程即可得答案．【詳解】解：如圖，由題意，設(shè)點P坐標(biāo)是0,a，∵A0,1，B1,0，∴BC=2，AP=a-1，三角形ABC的BC邊上的高為1∴三角形ABC的面積為12×2×1=1，三角形ABP的面積為∵三角形ABP和三角形ABC的面積相等，∴a-12解得a=-1或a=3，則點P坐標(biāo)是0,-1或0,3，故答案為：0,-1或0,3．【變式5-1】（24-25七年級·江西南昌·期中）已知點A3,0，B0,4，點C在x軸上，且△BOC的面積是△ABC的面積的3倍，那么點C的坐標(biāo)可以為【答案】92,0【分析】本題主要考查圖形與坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是理解題意；設(shè)點Cx,0，則有AC=x-3，OB=4，然后根據(jù)△BOC與【詳解】解：設(shè)點Cx,0，則有AC=x-3，OB=4∵△BOC的面積是△ABC的面積的3倍，∴1解得：x=92或∴點C92,0故答案為92,0或【變式5-2】（24-25七年級·福建福州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A、B、C的坐標(biāo)分別為m-2,n，m-2,n+2023，5,t+2022，若△ABO的面積為△ABC面積的2【答案】12或16【分析】由A,B點的橫坐標(biāo)相等，得出AB∥y軸，AB=2023，點C到AB的距離為m-7，根據(jù)△ABO的面積為△ABC面積的【詳解】解：∵A、B、C的坐標(biāo)分別為(m-2,n),(m-2,n+2023),(5,t+2022)，∴AB∥y軸，點C到AB的距離為m-2-5∵若△ABO的面積為△ABC面積的2倍，∴1即m-2解得m=12或m=故答案為：m=12或m=16【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，兩點之間的距離，點到直線的距離，正確建立方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（24-25七年級·四川達州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸正半軸上，點B在x軸正半軸上，OA=2，OB=1，點C是第一象限內(nèi)一點且AC∥x軸，將線段AB經(jīng)過一定的平移得到線段CD，點A的對應(yīng)點為點D，點B的對應(yīng)點為點C，連接AD，S△ACD=6，點P為y軸上一動點，當(dāng)S△PAB=14S

【答案】0,-12或【分析】根據(jù)三角形的面積求出AC=6，然后利用平移的性質(zhì)可求點D坐標(biāo)，由三角形的面積公式可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AC于點E，在y軸取點P，連接PB，

∵AC∥x軸，將線段AB經(jīng)過一定的平移得到線段CD，OA=2∴DE=OA=2，∵S△ACD=6∴12AC·DE=6∴AC=6，∴點C6,2，∵將線段AB進行適當(dāng)?shù)钠揭频玫骄€段CD，OB=1，∴CE=OB=1，∴點D5,4，∵S△PAB=∴12AP×1=∴AP=52∵點A0,2，∴P0,-12或故答案為：0,-12或【點睛】本題考查了作圖-平移變換，平面直角坐標(biāo)系，三角形面積公式，坐標(biāo)的平移等知識，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6直線分面積求值】【例6】（24-25七年級·湖北十堰·期中）如圖，A-2,0、B0,3、C2,4、D3,0，點P在x軸上，直線CP將四邊形ABCD的面積分成1:2兩部分，則【答案】1【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，三角形的面積，作CE⊥x軸，CP與x軸交于點P，用分割法求出四邊形的面積，分類討論求出△PDC的面積，再求出PD的值，進而可得OP的值，根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，用分割法求出不規(guī)則圖形的面積，再進行計算是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作CE⊥x軸，CP與x軸交于點P，由題意可得，SS梯形S△EDC∴S四邊形∵S△PCD∴S△PCD①當(dāng)S△PCD∶S解得PD=2，∴點P的坐標(biāo)為1,0，∴OP=1；②當(dāng)S△PCD∶S解得PD=4，∴點P的坐標(biāo)為-1,0，∴OP=1；綜上所述，OP=1，故答案為：1．【變式6-1】（24-25七年級·遼寧葫蘆島·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中的圖案是由六個邊長為1的正方形組成的，B3,3，Aa,0是x軸上的動點，當(dāng)AB將圖案分成面積相等的兩部分時，a等于（A．1 B．43 C．32 D【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合題意列出方程S△ABC【詳解】解：如下圖，當(dāng)AB將圖案分成面積相等的兩部分時，則有S△ABC即12(3-a)×3=3，解得故選：A．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（24-25七年級·四川涼山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸上，點C在y軸上，CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．(1)直接寫出點A，B，C的坐標(biāo)；(2)若動點P從原點O出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當(dāng)直線PC把四邊形OABC分成面積相等的兩部分時，求點P的運動時間；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點Q，連接PQ，使△CPQ的面積與四邊形OABC的面積相等？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A12，0，B(2)4(3)Q10【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了線段長的求法，點的坐標(biāo)的確定，三角形四邊形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是△OPC面積的計算．（1）根據(jù)線段的長和線段的特點確定出點的坐標(biāo)；（2）先求出S四邊形OABC=32，從而得到12（3）根據(jù)四邊形OABC的面積求出△CPQ的面積是32，最后求出點Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點A、C在x軸上，OA=12．∴A12∵C在y軸上，OC=4，∴C0∵CB∥OA，CB=4，∴B4（2）解：∵S四邊形設(shè)運動時間t秒，∴OP=2t，

∴12∴t=4；（3）解：設(shè)Q0,y∵SΔCPQ∴12∴y1=20，y2=-12∴Q10，【變式6-3】（24-25七年級·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三角形的三個頂點坐標(biāo)分別是A0,1，B1,0，C1,2，點P在y軸上，設(shè)三角形ABP和三角形ABC的面積相等，那么點P【答案】0,-1或0,3【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，熟練掌握點坐標(biāo)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)點P坐標(biāo)是0,a，先分別求出三角形ABP和三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形ABP和三角形ABC的面積相等建立方程，解方程即可得答案．【詳解】解：如圖，由題意，設(shè)點P坐標(biāo)是0,a，∵A0,1，B1,0，∴BC=2，AP=a-1，三角形ABC的BC邊上的高為1∴三角形ABC的面積為12×2×1=1，三角形ABP的面積為∵三角形ABP和三角形ABC的面積相等，∴a-12解得a=-1或a=3，則點P坐標(biāo)是0,-1或0,3，故答案為：0,-1或0,3．【題型7新定義問題中的面積】【例7】（24-25七年級·廣東河源·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．例如：三點坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(-3，1)，C(2，-2)，則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．若D(1，2)、E(-2，1)、F(0，t)三點的“矩面積”為18，則t的值為()A．-3或7 B．-4或6 C．-4或7 D．-3或6【答案】C【分析】根據(jù)題意可以求得a的值，然后再對t進行討論，即可求得t的值．【詳解】由題意可得，“水平底”a=1-(-2)=3，當(dāng)t>2時，h=t-1，則3(t-1)=18，解得，t=7，故點F的坐標(biāo)為(0，7)；當(dāng)1≤t≤2時，h=2-1=1≠6，故此種情況不符合題意；當(dāng)t<1時，h=2-t，則3(2-t)=18，解得t=-4，故選：C．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，利用新定義解答問題．【變式7-1】（24-25七年級·北京·期中）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙扭線在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）①雙扭線圍成的面積小于6；②雙扭線內(nèi)部（包含邊界）包含11個整數(shù)點（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）；③雙扭線上任意一點到原點的距離不超過3；④假設(shè)點P為雙扭線上的一個點，A，B為雙扭線與x軸的交點，則滿足三角形PAB的面積等于3的P點有4個．A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，①根據(jù)S△OPB=12×3×1=32、雙扭線圍成的面積>4S△OPB即可判斷；②由圖即可判斷；③A,B【詳解】解：如圖所示：S△OPB由對稱性可知：雙扭線圍成的面積>4S△OPB=6由圖可知：雙扭線內(nèi)部包含4個整數(shù)點，邊界上有7個整數(shù)點，共11個，故②正確；由圖可知：A,B兩點與原點距離最大，為3，故③正確；設(shè)△PAB的高為h，∵S∴h=1由圖可知：點Q,P,M,N均滿足題意，故④正確；故選：C【變式7-2】（24-25七年級·福建廈門·期末）在平面直角標(biāo)系中，將橫、縱坐標(biāo)之和為6的點稱為“吉祥點”，現(xiàn)有以下結(jié)論：①第一象限內(nèi)有無數(shù)個“吉祥點”；②第三象限內(nèi)不存在“吉祥點”；③已知點A(-2,1)，B(-2,-3)，若點P是“吉祥點”且在坐標(biāo)軸上，則點P到直線AB的距離為8；④已知點C(-1,-1)，D(3,-1)，若點Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點”三角形QCD的面積記為S，則2<S<14．其中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)平面直角標(biāo)系中象限的特點，逐一判斷即可．【詳解】由橫、縱坐標(biāo)之和為6的點稱為“吉祥點”，則①第一象限內(nèi)有無數(shù)個“吉祥點”，故說法①正確；②∵第三象限的橫、縱坐標(biāo)都為負(fù)數(shù)，∴第三象限內(nèi)不存在“吉樣點”，故說法②正確；③∵A-2,1，B∴AB∥y軸，∵點P是“吉祥點”且在坐標(biāo)軸上，∴點P0,6或P則P到直線AB的距離為2或8，故說法③錯誤；④∵C-1,-1，D∴CD∥x軸，CD=4，∵點Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點”，∴設(shè)Q6-a,a，則有：0<a<6根據(jù)題意可知：S△QCD則：2<S<14，故說法④正確；綜上可知，說法①②④正確；故選D．【點睛】此題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵．【變式7-3】（24-25七年級·黑龍江牡丹江·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點Px1,y1，Qx2,y2，定義兩點的“分解距離”為：若x1-x2≥y1-y2，則x1-x2為P，Q的“分解距離”，即d分解根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)已知點A2,1，則d分解A,O=(2)若點Bx,4-x在第一象限，且d分解B,O(3)若點Cx,y（x≥0，y≥0），且d和C,O【答案】(1)2；3(2)3,1或1,3；(3)1,2，0,3，3,0；符合條件的點C在一條直線上；這條直線與坐標(biāo)軸圍成的面積為9【分析】本題主要考查坐標(biāo)系下兩點間的距離．理解并掌握d分解和d（1）根據(jù)d分解和d（2）分x=3或4-x（3）①根據(jù)d和C,O=x+y=3，x≥0【詳解】（1）解：∵2-0>∴d分解d和故答案為：2；3．（2）解：∵d分解∴x=3或4-x∵B點在第一象限，∴x=3或4-x=3，∴x=3或x=1，即點B的坐標(biāo)為3,1或1,3；（3）解：∵d和又∵x≥0，y≥0，∴x+y=3，當(dāng)x=1時，y=2，即此時C1,2當(dāng)x=0時，y=3，即此時C0,3當(dāng)x=3時，y=0，即此時C3,0∵符合條件的點C的橫縱坐標(biāo)符合x+y=3，即y=-x+3，∴符合條件的點C在一條直線上，如圖所示：這條直線與坐標(biāo)軸圍成的面積為S=1【題型8面積中的規(guī)律問題】【例8】（24-25七年級·遼寧撫順·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點按照圖中箭頭所示的方向運動，第1次從原點運動到點P1,-1，第2次運動到點A12,0，第3次運動到點A23,2，第4次運動到點A34,0，第5次運動到點A

【答案】1012【分析】根據(jù)圖形可得，當(dāng)點A的下標(biāo)為奇數(shù)時，該點在x軸上，再依次計算出△OPA1，△OPA【詳解】解：根據(jù)題意可得：A12,0，A34,0，A5∵P1,-1∴S△OPS△OPS△OPS△OP……S△OP當(dāng)2n+1=2023時，解得：n=1011，∴S△OP故答案為：1012．【點睛】本題主要主要考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和題意，總結(jié)出各個三角形面積變化的一半規(guī)律．【變式8-1】（24-25七年級·浙江寧波·期末）如圖，在一單位長度為1cm的方格紙上，依如所示的規(guī)律，設(shè)定點A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、?An，連接點O、A1、A2組成三角形，記為Δ1，連接O、A2、A3組成三角形，記為Δ2?，連O、An、An+1組成三角形，記為Δn

A．1275 B．2500 C．1225 D．1250【答案】A【分析】根據(jù)圖形計算發(fā)現(xiàn)：第一個三角形的面積是12×1×2=1，第二個三角形的面積是12×2×3=3，第三個圖形的面積是12×3×4=6，即第n個【詳解】由題意可得規(guī)律：第n個圖形的面積是12所以當(dāng)n為50時，△n的面積=1故選：A．【點睛】此題主要考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律，通過計算前面幾個具體圖形的面積發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向右、向上、向右、