第十五章二次根式（單元測試）（試卷滿分120分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（本大題共16個小題，共38分，1~6小題每題3分，7~16小題每題2分.每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（2024·河北邢臺·模擬預測）計算：的值為（

）A．2024 B．1012 C．1 D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的混合運算，先變除法為乘法，再根據(jù)二次根式乘法運算法則計算即可．【詳解】解：，故選C．2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如果，那么（）A．4 B．5 C．6 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)即可確定x的值，進而求得y的值，則所求代數(shù)式即可求解．【詳解】解：由題意得，，，解得，，則，∴，故選：B．3．（23-24八年級·河北邯鄲·模擬預測）若，則的值不可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題關鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當?shù)扔诟鱾€數(shù)時，計算的值，然后根據(jù)計算結(jié)果進行判斷即可．【詳解】解：A．，的值可以是，故此選項不符合題意；B．，的值不可以是，故此選項符合題意；C．，的值可以是，故此選項不符合題意；D．，的值可以是，故此選項不符合題意；故選：B4．（23-24八年級上·河北廊坊·期中）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．14【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡是解此題的關鍵．首先把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定n的值．【詳解】解：，∵是整數(shù)，n是一個正整數(shù)，∴n的最小值是7．故選：C．5．（23-24八年級·河北邯鄲·階段練習）某零件上有一個長方形孔，其面積為，長為，則這個孔的寬為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的除法法則是解決本題的關鍵．利用“長方形的面積長方形的長=長方形的寬”計算即可．【詳解】解：故選：A6．（23-24八年級上·河北保定·期末）關于下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥．小紅說：“最簡二次根式只有①④．”小亮說：“我認為最簡二次根式只有③⑥．”則（

）A．小紅說的對 B．小亮說的對C．小紅和小亮合在一起對 D．小紅和小亮合在一起也不對【答案】C【分析】本題主要考查了最簡二次根式，正確把握最簡二次根式的定義是解題關鍵．直接利用最簡二次根式的定義分析判斷即可解答．【詳解】解：①，③，④，⑥是最最簡二次根式；②，⑤不是最簡二次根式．故小紅和小亮合在一起對．故選：C．7．（2023·河北邯鄲·三模）如圖，數(shù)軸上有，，，，四點，根據(jù)圖中各點表示的數(shù)，表示數(shù)的點會落在（

）

A．點和之間 B．點和之間 C．點和之間 D．點和之間【答案】B【分析】根據(jù)，先估算出的取值范圍，再估算出的取值范圍，進而確定在數(shù)軸上的位置即可．【詳解】解：，∵，∴，即4，∴，即，∴表示數(shù)的點會落在點A和B之間．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的乘法，無理數(shù)的估算，實數(shù)與數(shù)軸等知識，準確的計算并掌握無理數(shù)估算的方法是解決本題的關鍵．8．（2024·河北秦皇島·一模）若使算式“”的運算結(jié)果最小，則“”表示的運算符號是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算和大小比較，掌握二次根式的運算是解題的關鍵．分別把四個選項中的符號代入計算，再比較結(jié)果的大小即可．【詳解】解：，，，，∵，∴〇表示的運算符號是“”時，運算結(jié)果最小，故選：B．9．（23-24八年級·河北滄州·階段練習）如圖，正方形Ⅰ的邊長為a，面積為12；正方形Ⅱ的邊長為b，面積為27．那么代數(shù)式的結(jié)果為（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的混合運算，算術平方根的應用，熟練掌握和運用二次根式的混合運算是解決本題的關鍵．首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得，，再根據(jù)二次根式的混合運算法則進行運算，即可求解．【詳解】解：由題意知，，，．故選：A．10．（2024·河北石家莊·二模）下列二次根式中，能與進行合并的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，同類二次根式的定義等知識點，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．【詳解】A.，與是同類二次根式，能合并，該選項符合題意；B.與不是同類二次根式，不能合并，該選項不符合題意；C.，與不是同類二次根式，不能合并，該選項不符合題意；D.，與不是同類二次根式，不能合并，該選項不符合題意；故選：A．11．（23-24八年級上·河北邯鄲·階段練習）已知等式：；……，關于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：（為正整數(shù)）；結(jié)論Ⅱ：A．Ⅰ，Ⅱ都對 B．Ⅰ，Ⅱ都不對 C．Ⅰ對，Ⅱ不對 D．Ⅰ不對，Ⅱ?qū)Α敬鸢浮緾【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題關鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．先根據(jù)分式的通分和二次根式的性質(zhì)證明Ⅰ中的等式成立，再由Ⅰ中的等式求出，再代入進行計算，然后判斷即可．【詳解】解：Ⅰ：∵左邊左邊=右邊，（n為正整數(shù)），Ⅱ：（n為正整數(shù)），，，綜上可知：Ⅰ對，Ⅱ不對，故選：C12．（2024·河北唐山·二模）設n為正整數(shù)，且，則n的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，先根據(jù)二次根式的混合運算法則進行計算，再進行無理數(shù)的估算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，∵，即：，∴，∴，故選B．13．（2024·河北秦皇島·一模）已知，，則代數(shù)式的值為（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡求值．先根據(jù)已知條件，求出和的值，再把所求代數(shù)式分解因式，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：B．14．（23-24八年級上·河北廊坊·階段練習）如圖，正方形的邊長為，面積為8；正方形的邊長為，面積為32．計算的結(jié)果為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次根式的實際應用，根據(jù)正方形的面積求出的值，再進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選B．15．（23-24八年級上·河北張家口·期末）二次根式除法可以這樣做：如．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結(jié)論：①將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以；②若是的小數(shù)部分，則的值為；③比較兩個二次根式的大?。?；④計算．以上結(jié)論正確的是（

）A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③【答案】D【分析】本題考查利用分式的基本性質(zhì)、平方差公式進行分母有理化．①類比示例，利用分式的基本性質(zhì)進行分母有理化；②估計無理數(shù)的整數(shù)部分，求出小數(shù)部分，進而分母有理化進行化簡；③通過分母有理化，比較兩個二次根式的大??；④通過分母有理化找到題中無理式求和的運算規(guī)律，從而化簡求出值．【詳解】解：①，故將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以，故①正確；②∵a是的小數(shù)部分，∴，∴，故②錯誤；③∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③正確；④∵，故④錯誤；綜上，①③正確．故選：D．16．（23-24八年級上·河北承德·期末）一塊長為、寬為的木板，采用如圖的方式，要在這塊木板上截出兩個面積分別是和的正方形木板，甲同學說：想要截出來的兩個小正方形的邊長均小于木板的長和寬，所以可以截出；乙同學說：想要截出來的兩個小正方形的邊長之和大于木板的長，所以不能截出．下面對于甲、乙兩名同學說法判斷正確的是（

）A．甲同學說的對 B．乙同學說的對 C．甲、乙兩名同學說的都對 D．無法判斷【答案】B【分析】先利用算術平方根求出每個正方形的邊長，求出兩個小正方形的邊長之和，與長方形的長比較即可．【詳解】解:∵兩個面積分別是和的正方形木板，邊長分別為，，∵兩個正方形邊長之和為＞7dm，∴乙同學說法想要截出來的兩個小正方形的邊長之和大于木板的長，所以不能截出正確．故選擇B．【點睛】本題考查正方形面積求邊長，二次根式的和，比較無理數(shù)的大小，掌握以上知識是解題關鍵．二、填空題（本大題共4個小題，共12分；17~18小題各2分，19~20小題各4分，每空2分，答案寫在答題卡上）17．（23-24八年級上·河北廊坊·階段練習）若是整數(shù)，寫出一個符合條件的整數(shù)n的值：．【答案】1（答案不唯一）【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意完全平方數(shù)即可求解．【詳解】解：∵是整數(shù)，∴可以為1或4或16，則整數(shù)n的值對應為16或4或1，故答案為：1（答案不唯一）.18．（23-24八年級上·河北秦皇島·期末）計算：（1）；（2）．（3）；（4）．【答案】245【分析】（1）根據(jù)平方差公式和二次根式的運算法則求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式和二次根式的運算法則求解即可；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和除法運算法則求解即可；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法運算法則求解即可．【詳解】解：（1）故答案為：2；（2），故答案為：；（3），故答案為：4；（4）故答案為：5．【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法和除法運算法則，平方差公式和完全平方公式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則．19．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習）已知是實數(shù)，且滿足．（1）；（2）．【答案】/【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的加減，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零、二次根式的加減的運算法則是解此題的關鍵．（1）根據(jù)二次根式有意義的條件得出，，從而得出，即可得解；（2）將代入式子，求出的值，再將的值代入計算即可．【詳解】解：（1）由題意得：，，解得：，故答案為：；（2）由（1）得：，，，故答案為：．20．（23-24八年級上·河北邢臺·階段練習）在算式“○□”中，“○”表示實數(shù)，“□”表示“”“”“”“”中的某一個運算符號．（1）當“□”表示“－”時，運算結(jié)果為，則“○”表示的數(shù)為；（2）若“○”表示的是（）中所求的數(shù)，當算式的結(jié)果最大時，“□”表示的運算符號是．【答案】【分析】（）設“○”表示的數(shù)為，根據(jù)二次根式的加減運算進行計算即可求解；（）根據(jù)題意，分別計算當“□”表示“”“”“”“”中的某一個運算符號時的算式，即可求解；本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的大小比較，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（）設“○”表示的數(shù)為，則，解得：，∴“○”表示的數(shù)為，故答案為：；（）由（）得：“○”表示的數(shù)為，當“□”運算符號是“”時，，當“□”運算符號是“”時，，當“□”運算符號是“”時，，當“□”運算符號是“”時，，∴，∴“□”表示的運算符號是“”，故答案為：．三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（23-24八年級上·河北廊坊·階段練習）計算下列各小題．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確計算．（1）根據(jù)二次根式混合運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式混合運算法則和二次根式性質(zhì)進行計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．22．（24-25八年級上·黑龍江綏化·階段練習）已知：，，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值：（1）先求出，，再根據(jù)進行求解即可；（2）根據(jù)進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴；（2）解：∵，，∴．23．（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最簡二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡二次根式，原因見解析【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：（1）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含能開得盡方的因式；（2）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．（3）是最簡二次根式，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（4）是最簡二次根式，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（5）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．（6）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．24．（24-25八年級上·河南駐馬店·階段練習）小明在二次根式分母有理化問題：已知，他是這樣分析與解答的：，請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：_______，_______；(2)計算：．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合運算，分子分母同乘以有理化因式是解題的關鍵．（1）分子分母分別乘以，，即得答案；（2）根