第十章二元一次方程組單元重難點(diǎn)題型歸納與訓(xùn)練題型歸納題型歸納題型講解題型講解一.二元一次方程(組)定義【題型解讀】此種題主要是根據(jù)二元一次方程(組)的概念，會(huì)識(shí)別，會(huì)求字母的取值或取值范圍.例1．下列方程是二元一次方程的是（

）A．x+2=1 B．x2+2y=2 C．y2例2．已知方程mx-5y=5x+ny-1化簡(jiǎn)后是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m，n的取值范圍分別是（

）A．m≠0,n≠0 B．m≠n C．m≠5,n≠5 D．m≠5,n≠-5例3．下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A．3x-y=51x+2y=6 B．x+2y=6xy=1 C．例4已知方程組m-8x=23x-ym-7=1是關(guān)于x對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．下列方程中，屬于二元一次方程的是（

）A．x+y=2 B．x2+y=0 C．xy=2 D2.下列選項(xiàng)是二元一次方程的是（）A．x+y2=2 B．x+2y3=0 C3．下列方程：①3x+13=8；②x-23+2y=4；③3x+3y=1；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．若3xm+1+2y2n-3=-5是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m，A．m=0,n=2 B．m=0,n=-2 C．m=2,n=-2 D．m=-2,n=15.若x|2m-3|+(m-2)y=6是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的值是（A．1或2 B．1 C．2 D．36．若x2m-6+m-2y=8是關(guān)于x、A．1 B．3.5 C．2 D．3.5或2.57．若方程a-5xa-4+5y=1是關(guān)于x，A．-5 B．±5 C．±4 D．58．若方程(a+3)x|a|-2+3y=1是關(guān)于x，yA．－3 B．±2 C．±3 D．3【解法提煉】根據(jù)定義，通過未知數(shù)的次數(shù)為1，未知數(shù)系數(shù)不等于0，建立方程求字母的取值二.解二元一次方程組【題型解讀】此種題型主要考查選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼舛淮畏匠探M例1．解方程組(1)3x+2y=4(2)3x+y=1(3)x+1(4)0.5x+0.7y=35對(duì)應(yīng)練習(xí)：1.解方程組(1)8-32x-4(2)3y-14(3)3x+y=-32x+5y=11(4)3x+7y=113y-5x=112．解方程組：(1)y=2x-3(2)4x-3y=113．解下列方程組：(1)4x-3y=17(2)2x+3y=40【解法提煉】1.當(dāng)相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，首選加減消元；2.當(dāng)位置數(shù)系數(shù)為±1時(shí)，可選擇代入消元；3.當(dāng)未知數(shù)系數(shù)較大，直接用兩種消元法解題較為麻煩，可先通過加減減小未知數(shù)的系數(shù)再適當(dāng)?shù)倪x取方法.三.特殊加減法解二元一次方程組【題型解讀】系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的數(shù)值較大，如果用常規(guī)的代入消元法、加減消元法來解，那么計(jì)算量很大，且易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.例1．解方程組14x+15y=16對(duì)應(yīng)練習(xí)：1.解方程組28x+33y=1832x+37y=222.解方程組33x-25y=413.解方程組2015x+1999y=2031,4.求關(guān)于x，y的方程組mx+m+1y=m+2【解法提煉】主要通過兩個(gè)方程加減，將未知數(shù)的系數(shù)變小或化成±1,以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的四.整體法求二元一次方程組的解【題型解讀】此類題型兩個(gè)方程組的未知數(shù)系數(shù)相同或者兩個(gè)方程中有相同的整體部分.例1．若關(guān)于x，y的方程組ax+by=cmx+ny=d的解為x=1y=3，則方程組ax-2+3by=cm例2．解方程組x+2例3.解方程組3對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=2．已知關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=3．若方程組2a-3b=163a+5b=5的解為a=5b=-2，則方程組2x+2-3y-14.解方程組2x+5y=35.解方程組26.已知6x+10y+z=53x+5y-2z=10，求3x+5y+z7.解二元一次方程組x-y38.解方程組：3(2x+y)-2(x-2y)=269.解方程組2(x+y)+3(x-y)=33(x+y)+2(x-y)=2【解法提煉】1.將兩個(gè)方程組相同未知數(shù)構(gòu)造為一樣，然后整體替換未知數(shù)部分2.兩個(gè)方程中構(gòu)造相同整體，整體代入解題3.構(gòu)造相同整體，整體換元求解五.利用整體思想求代數(shù)式的值【題型解讀】這種一般是兩個(gè)不含參的二元一次方程組，常規(guī)做法是直接解方程，但一般不是最優(yōu)方法，一般是構(gòu)造整體解決問題.例1．已知二元一次方程組2x+y=-3x+2y=-1，則x-y的值為（

A．2 B．-2 C．4 D．-4對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．已知x，y滿足方程組2x+3y=353x+2y=40，則x+yA．15 B．18 C．20 D．222.已知二元一次方程組2023x+2024y=942024x+2023y=8000，則x+y的值為3.已知二元一次方程組3x+2y=72x+3y=8，則x-y的值為_______【解法提煉】此種題一般是通過加減法構(gòu)造代數(shù)式整體求值六.二元一次方程組同解問題【題型解讀】這種一般是兩個(gè)含參二元一次方程組.例1.方程組x-y=-1ax-by=5和方程組x+2y=8ax+by=11的解相同，則ab=對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．已知方程組2x+6y=y-6ax-by=-4與方程組3x-5y=16bx+ay=-8的解相同，求2．關(guān)于x,y的方程組3x-y=54ax+5by=-22與2x+3y=-4ax-by=8有相同的解，求(-a)3．已知關(guān)于x、y的方程組3x-4y=2ax-by=-4和2x+5y=9bx+ay=3的解相同，求3a+b4．若關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組2x-y=bx-y=a與3x-2y=b+13y-5x=a-8有相同的解，則a,b在第_______【解法提煉】通過聯(lián)立不含參方程求解未知數(shù)的值，然后再求字母的取值七.二元一次方程組錯(cuò)解問題【題型解讀】這類題型一般涉及兩個(gè)人，因?yàn)榭村e(cuò)系數(shù)而錯(cuò)解引發(fā)的問題例1.甲、乙兩人同時(shí)解方程組ax+y=3??①2x-by=1②；甲看錯(cuò)了b，求得的解為x=1y=1；乙看錯(cuò)了a，求得的解為x=-1對(duì)應(yīng)練習(xí)：1.甲、乙兩人共同解方程組ax+5y=15①4x-by=-2②由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=-3y=-1，乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=4，則10a+b2．甲，乙兩名同學(xué)解方程組ax+y=4①4x-by=-2②．甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=-1y=2；乙看錯(cuò)了方程②中的(1)求a，b的值；(2)求123．甲乙兩人同時(shí)解方程組ax+by=8cx-3y=-2，甲正確解得x=1y=-1；乙因?yàn)槌e(cuò)c的值，解得x=2y=-6．求a，b【解法提煉】將方程組得解代入未看錯(cuò)得方程中求解八.含參二元一次方程組【題型解讀】一般是三個(gè)方程，分為兩種情況①一個(gè)含參方程②兩個(gè)含參方程例1如果方程組x+3y=10m①x-3y=4m②的解是二元一次方程3x-5y-32=0的一個(gè)解，那么m的值為（

A．7 B．6 C．3 D．2對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．已知x+4=-a+6y-3=a是關(guān)于x，y的方程組，則x+y的值為（

A．2 B．5 C．13 D．-12．若關(guān)于x、y的二元一次方程組x-2y=3m2x-y=6的解x、y互為相反數(shù)，則m=3．已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=k2x+y=k-2的解x，y的和為6，則k的值為4．關(guān)于x，y的方程組x+2y-6=0x-y+mx+2=0，若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，則m的值為【解法提煉】構(gòu)造整體聯(lián)立不含參方程解含參方程④消參九.二元一次方程組與行程問題【題型解讀】此種題型主要考查數(shù)學(xué)建模解決行程問題.例1．小明和小偉分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，小明騎自行車，小偉步行，沿同一道路相向勻速而行，出發(fā)24分鐘后兩人相遇．相遇時(shí)小明比小偉多行進(jìn)4.8千米，相遇后6分鐘小明到達(dá)B地．求A對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）甲、乙兩人分別在A、B兩地，以各自的速度同時(shí)出發(fā)．如果相向而行，兩人0.5h后相遇；如果同向而行，兩人2h后相遇；求甲從A地到B地需要多少時(shí)間．2．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）我們知道電動(dòng)車一般是由后輪驅(qū)動(dòng)，因此，后輪胎的磨損要超過前輪胎，假設(shè)前輪行駛6000公里報(bào)廢，后輪行駛4000公里報(bào)廢，如果在電動(dòng)車行駛?cè)羰锖螅瑢⑶昂筝嗊M(jìn)行對(duì)換，求這對(duì)輪胎最多可以行駛多少公里．3.（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）小明騎自行車去某景區(qū)，出發(fā)時(shí)，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到達(dá)景區(qū)，共用了1.5h；返回時(shí)，他先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走過平路，回到原出發(fā)點(diǎn)，共用了55【解法提煉】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確地理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．主要利用路程=速度×?xí)r間十.二元一次方程組與工程問題【題型解讀】此種題型主要考查數(shù)學(xué)建模解決工程問題.例1．（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）某市在落實(shí)國家“精準(zhǔn)扶貧”政策的過程中，為某村修建一條長(zhǎng)為400米的公路，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．甲工程隊(duì)獨(dú)立施工2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)聯(lián)合施工3天后，還剩50米的工程．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多施工2米，求甲、乙工程隊(duì)每天施工多少米．對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）有一項(xiàng)要生產(chǎn)154個(gè)零件的任務(wù)．若甲先做5天，乙再加入合作，則再做3天可超產(chǎn)2個(gè)；若乙先做5天，然后兩人合做3天，則還有13個(gè)零件未完成．求甲、乙每天生產(chǎn)多少個(gè)零件．2.（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）某電動(dòng)車制造廠接受了在預(yù)定期限內(nèi)生產(chǎn)一批電動(dòng)車的任務(wù)．若每天生產(chǎn)35輛，則差10輛完成任務(wù)；若每天生產(chǎn)40輛，則可超額生產(chǎn)20輛．該制造廠生產(chǎn)這批電動(dòng)車的預(yù)定期限是多少天，計(jì)劃生產(chǎn)多少輛電動(dòng)車．3．（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）（應(yīng)用意識(shí)）琳琳家準(zhǔn)備裝修一套新房．若甲、乙兩家裝修公司合作，需6周完成，共需裝修費(fèi)5.4萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費(fèi)5.1萬元，琳琳的爸爸媽媽商量后決定只選一家公司單獨(dú)完成．(1)如果從節(jié)約時(shí)間的角度考慮應(yīng)該選擇哪家公司？(2)如果從節(jié)約開支的角度考慮呢？【解法提煉】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確地理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．主要利用工作量=工作效率×?xí)r間十一.二元一次方程組與銷售問題【題型解讀】此種題型主要考查數(shù)學(xué)建模解決銷售問題.例1．某商場(chǎng)積極落實(shí)增收減支．具體目標(biāo)是：今年總銷售額比去年增加20%，總支出比去年減少20%．設(shè)該商場(chǎng)去年總銷售額為x億元，總支出為(1)請(qǐng)用含x，y的代數(shù)式填表：（不用化簡(jiǎn)）年份總銷售額/億元總支出/億元去年xy今年(2)已知該商場(chǎng)去年的利潤(rùn)為2億元．要確保今年的利潤(rùn)比去年增加1億元，則該商場(chǎng)今年的總銷售額和總支出分別為多少億元？（注：利潤(rùn)=總銷售額-總支出）對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年2月7日在哈爾濱舉行，吉祥物“濱濱”和“妮妮”在市場(chǎng)熱銷．某商場(chǎng)購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”共1000個(gè)，總共花費(fèi)18000元，其中一個(gè)“濱濱”進(jìn)價(jià)20元，一個(gè)“妮妮”進(jìn)價(jià)15元．(1)求商場(chǎng)購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”各多少個(gè)？(2)若一個(gè)“濱濱”的售價(jià)為28元，商場(chǎng)計(jì)劃售完這批“濱濱”和“妮妮”的利潤(rùn)率是40%，求一個(gè)“妮妮”的售價(jià)2．某體育用品商場(chǎng)銷售A，B兩款足球，售價(jià)和進(jìn)價(jià)如表：類型進(jìn)價(jià)售價(jià)A款m元120元B款n元90元若商場(chǎng)購進(jìn)5個(gè)A款足球和12個(gè)B款足球需1120元；該商場(chǎng)購進(jìn)10個(gè)A款足球和15個(gè)B款足球需1700元．(1)求m和n的值；(2)某校在該商場(chǎng)一次性購買A款足球x個(gè)和B款足球y個(gè)，共消費(fèi)3300元，那么該商場(chǎng)可獲利多少元？3．“預(yù)防為主，生命至上”．商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)一批消防器材進(jìn)行銷售，已知購進(jìn)15個(gè)干粉滅火器和20個(gè)消防自救呼吸器共需1500元，購進(jìn)20個(gè)干粉滅火器和25個(gè)消防自救呼吸器共需1950元．(1)求一個(gè)干粉滅火器和一個(gè)消防自救呼吸器的進(jìn)價(jià)分別是多少元；(2)該商場(chǎng)計(jì)劃用4800元購進(jìn)干粉滅火器和消防自救呼吸器共100個(gè)，銷售時(shí)，干粉滅火器在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加價(jià)30%進(jìn)行銷售；消防自救呼吸器每件加價(jià)10元進(jìn)行銷售，求全部【解法提煉】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確地理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．主要利用利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總售價(jià)=售價(jià)×數(shù)量，總進(jìn)價(jià)=進(jìn)價(jià)×數(shù)量十二.二元一次方程組與幾何問題【題型解讀】此種題型主要考查數(shù)學(xué)建模解決幾何問題..例1．（22-23七年級(jí)下·河南鶴壁·期中）把10個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼接成一個(gè)大長(zhǎng)方形（尺寸如圖所示），這個(gè)小長(zhǎng)方形的寬為cm．

對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，小紅看見了，說：“我來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的正方形，“咳，怎么中間還留了一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為1mm的小正方形！”設(shè)這些小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為xmm和ymm，則依題意可列二元一次方程組為

2．（23-24七年級(jí)下·江蘇常州·期中）如圖，用若干個(gè)形狀、大小完全相同的矩形紙片圍成正方形，4個(gè)矩形紙片圍成如圖①的正方形，其陰影部分的面積為25；8個(gè)矩形紙片圍成如圖②的正方形，陰影部分的面積為16；12個(gè)矩形紙片圍成如圖③的正方形，求其陰影部分的面積．

3．（24-25七年級(jí)上·福建三明·期末）問題情景：某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“無蓋長(zhǎng)方體紙盒的制作”實(shí)踐活動(dòng)．(1)綜合實(shí)踐小組利用邊長(zhǎng)為30厘米的正方形紙板制作出兩種不同方案的無蓋長(zhǎng)方體盒子．①根據(jù)圖1方式制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，先在紙板四角剪去四個(gè)同樣大小邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形，再沿虛線折合起來，則長(zhǎng)方體紙盒的底面積為______平方厘米；②根據(jù)圖2方式制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，先在紙板上剪去一個(gè)小長(zhǎng)方形，再沿虛線折合起來，已知AB=3AD，求該長(zhǎng)方體紙盒的體積；(2)小明按照?qǐng)D1的方式用邊長(zhǎng)為30厘米的正方形紙片制作了一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，小明想利用這個(gè)盒子研究無蓋長(zhǎng)方體的展開圖，他發(fā)現(xiàn)其中有一種展開圖外圍周長(zhǎng)為156厘米，求小明剪去的四個(gè)同樣大小的小正方形的邊長(zhǎng)．（求出所有可能的情況）【解法提煉】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確地理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．主要利用小長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)與大長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)之間關(guān)系建立等式十三.二元一次方程組與方案問題【題型解讀】此種題型主要考查數(shù)學(xué)建模解決方案問題.例1．某中學(xué)準(zhǔn)備去采購A、B兩種實(shí)驗(yàn)器材，下面是銷售人員呈現(xiàn)的兩次銷售記錄（每次銷售這兩種實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)都不變），如表：A（件）B（件）金額（元）第一次20101100第二次25201750(1)求A型實(shí)驗(yàn)器材與B型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)分別為多少元？(2)此中學(xué)打算同時(shí)采購A、B兩種實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)算為600元，請(qǐng)問共有幾種采購方案？對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）解答：設(shè)計(jì)煙花采購方案為吸引游客，浦江縣決定舉辦煙花節(jié)，需考慮如何采購煙花及煙花燃放時(shí)長(zhǎng)素材1已知購買3箱A型和2箱B型煙花需要600元，購買5箱A型和3箱B型煙花需要950元．素材2某煙花廠提供產(chǎn)品信息如下：（1）A型煙花每箱8發(fā)，B型煙花每箱12發(fā)．（2）即將推出新品C型煙花，每箱200元，每箱15發(fā)．（3）本廠生產(chǎn)的所有型號(hào)煙花每發(fā)保持5秒．（例如A型煙花燃放時(shí)間為40s）素材3（1）浦江縣準(zhǔn)備支出7800元（全部用完）購買煙花．（2）燃放煙花時(shí)逐箱不間斷燃放，且每次僅燃放一箱，假設(shè)每發(fā)煙花均能正常綻放，且間隔時(shí)長(zhǎng)保持不變，忽略每箱煙花之間的引燃時(shí)間．問題解決任務(wù)1確定單價(jià)求A、B型煙花每箱多少元？任務(wù)2確定方案①若僅購買A，B型煙花，可以燃放多少秒？確定方案②若同時(shí)采購A、B、C三種煙花，A型煙花的箱數(shù)是C型的5倍，如何采購使得燃放時(shí)間最長(zhǎng)？．2．（24-25七年級(jí)下·河北唐山·階段練習(xí)）每年的4月23日是世界讀書日，某校打算在世界讀書日當(dāng)天舉辦“閱讀分享演講比賽”，張老師負(fù)責(zé)這次比賽的獎(jiǎng)品采購工作，如下是他整理