第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)菱形的性質(zhì)1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.也就是說(shuō)，菱形是特殊的平行四邊形.2.菱形的性質(zhì)：（1）菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線交點(diǎn).（2）菱形的兩組對(duì)邊分別平行且四條邊相等；兩條對(duì)角線互相垂直且平分；兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ).認(rèn)識(shí)菱形【例1】（原創(chuàng)題）下列圖案中，不是由菱形組成的是（C）先找出每個(gè)圖案中組成圖案的基本圖形，再根據(jù)定義判斷基本圖形是不是菱形，從而確定不是由菱形組成的圖案.菱形的對(duì)稱(chēng)性【例2】如圖，在菱形ABCD中，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.如果菱形ABCD的面積為42cm2，那么陰影部分的面積為22cm2.經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的每一條直線都能將菱形分為面積相等的兩部分.圖中陰影部分的面積等于菱形面積的一半，這是特殊四邊形對(duì)稱(chēng)性的一種廣泛運(yùn)用.菱形的性質(zhì)【例3】（周口模擬）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，M為邊CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，∠BAD＝60°，求△OCM的面積.解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，∴AB＝BC＝CD＝AD＝8.∵∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形.∴BD＝AD＝8.∵AC⊥BD，AC，BD互相平分，∴OD＝4，AO＝CO＝43.∵M(jìn)為邊CD的中點(diǎn)，∴S△OCM＝12S△OCD＝12×12×4×43＝本例可根據(jù)菱形的四條邊相等，由周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)，再利用等邊三角形的性質(zhì)求出其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)，利用勾股定理求出另一條對(duì)角線的長(zhǎng).1.（永城模擬）菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（B）A.是中心對(duì)稱(chēng)圖形B.鄰邊相等C.兩條對(duì)角線相等D.兩條對(duì)角線互相平分2.（周口模擬）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，則EF的長(zhǎng)為（B）第2題圖A.1 B.2 C.3 D.43.如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE＝64°.第3題圖4.（開(kāi)封模擬）如圖所示的木質(zhì)活動(dòng)衣帽架由三個(gè)全等的菱形組成，根據(jù)實(shí)際需要可調(diào)節(jié)A，E間的距離.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm，若A，E間的距離調(diào)節(jié)到60cm，則這個(gè)活動(dòng)衣帽架所圍成的面積為（B）第4題圖A.600cm2 B.6003cm2 C.4503cm2 D.9003cm25.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，連接EF，則EF的長(zhǎng)為132第5題圖6.（周口模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－3，3），C（1，－1），菱形ABCD的對(duì)角線BD交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，若BN＝2ND，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（D）第6題圖A.（32，72） B.（2，2C.（4，2） D.（2，4）7.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF.已知BF＝8，DF＝4，求CD的長(zhǎng).第7題圖CD＝5.1.（河南中考）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為CD的中點(diǎn).若OE＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（C）A.6 B.12 C.24 D.48第1題圖2.（甘孜州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）.第2題圖第2課時(shí)菱形的判定1.根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.菱形的判定定理：（1）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）四條邊相等的四邊形是菱形.尺規(guī)作菱形【例1】已知線段a，以a為邊長(zhǎng)作菱形ABCD.作法：作線段AB＝a，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在圓弧上任取一點(diǎn)D，分別以B，D為圓心，a的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C，則四邊形ABCD是要求作的菱形.作菱形一般是作四條長(zhǎng)度相等的線段，但由于四邊形具有不穩(wěn)定性，以對(duì)角線的長(zhǎng)所作的菱形是唯一的，而以這種方法作出的菱形不唯一.利用對(duì)角線互相垂直判定菱形【例2】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接EC，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE為菱形.證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE.∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，∴CD＝AE，且AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形.∵AB∥DE，∠BAC＝90°，∴∠COD＝∠BAC＝90°，即AC⊥DE.∴平行四邊形ADCE是菱形.利用對(duì)角線互相垂直證明菱形時(shí)，可以先證明四邊形是平行四邊形，再證明兩條對(duì)角線垂直.也可以直接證明四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分.可以利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)或垂直平分線的性質(zhì)來(lái)證明.利用四條邊相等判定菱形【例3】如圖，等腰梯形ABCD的兩條對(duì)角線AC＝BD，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形.證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，GH是△ADC的中位線，EH是△ABD的中位線.∴EF＝12AC，F(xiàn)G＝12BD，GH＝12AC，EH＝又∵AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH.∴四邊形EFGH是菱形.利用四條邊相等判定菱形時(shí)，可以求四條邊的長(zhǎng)度相等，也可利用等量代換證明構(gòu)成這個(gè)菱形的其中三條線段和第四條線段相等，還可利用全等三角形、等腰三角形等知識(shí)進(jìn)行代換.1.（濮陽(yáng)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加下列條件后仍不能判定平行四邊形ABCD是菱形的為（B）第1題圖A.AB＝AD B.AB⊥ADC.∠BAC＝∠DAC D.AC⊥BD2.如圖為某班同學(xué)在主題班會(huì)課上制作象征“平安歸來(lái)”的黃絲帶.絲帶重疊部分形成的圖形是（C）第2題圖A.三角形 B.矩形C.菱形 D.正方形3.（鄢陵模擬）下列條件中，能判定平行四邊形是菱形的為（A）A.對(duì)角線互相垂直 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分 D.有一個(gè)角是直角4.如圖，將△ABC沿著B(niǎo)C方向平移得到△DEF，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個(gè)條件可以是AD＝AB.（寫(xiě)出一個(gè)即可）（答案不唯一）第4題圖5.如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，則當(dāng)AF＝145時(shí)，四邊形BCEF是菱形第5題圖6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列條件：①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC.其中能判定四邊形ABCD是菱形的有①②④.（填序號(hào)）第6題圖7.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，連接MO并延長(zhǎng)MO到點(diǎn)N，使NO＝MO，連接BN與ND.若M是AC的中點(diǎn)，則四邊形BNDM的形狀是菱形.第7題圖8.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從C點(diǎn)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從A點(diǎn)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts（0＜t≤12.5），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.第8題圖（1）求證：AE＝DF.證明：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠C＝90°－∠A＝30°.由題意知CD＝4t，AE＝2t，∴DF＝12CD＝2t，∴AE＝DF（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°.∵∠B＝90°，∴∠B＝∠CFD，∴DF∥AB.由（1），得DF＝AE＝2t，∴四邊形ADFE是平行四邊形，當(dāng)AD＝AE時(shí)，平行四邊形AEFD是菱形，∴50－4t＝2t，解得t＝253即四邊形AEFD能成為菱形，此時(shí)t＝253（聊城中考）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）求證：AD＝CF.證明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA.∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF.（2）連接AF，CD.如果D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解：當(dāng)AC⊥BC時(shí)，四邊形ADCF是菱形.證明：由（1）知AD＝CF.∵AD∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝12AB＝AD∴平行四邊形ADCF是菱形.第3課時(shí)菱形的性質(zhì)與判定1.菱形的周長(zhǎng)公式為邊長(zhǎng)×4；面積公式為底×高或?qū)蔷€的積的一半.2.兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.菱形面積相關(guān)問(wèn)題【例1】（南陽(yáng)模擬）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB.分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C.連接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，則OC的長(zhǎng)為（C）A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm求四邊形的面積一般有兩種方法：一種方法是將四邊形分割成幾個(gè)特殊的圖形來(lái)求面積；另一種方法是先判定四邊形是特殊四邊形再求面積.利用垂直平分線的性質(zhì)判定菱形【例2】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且O為AC，BD的中點(diǎn)，AB＝10，AC＝16，BD＝12.四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并進(jìn)行證明.解：四邊形ABCD是菱形.證明：∵O為AC，BD的中點(diǎn)，∴OA＝OC＝12AC＝8，OB＝OD＝12BD＝∴四邊形ABCD為平行四邊形.∵AO2＋BO2＝100，AB2＝100，∴AO2＋BO2＝AB2.∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.∴平行四邊形ABCD是菱形.菱形有三種判定方法，求菱形的面積有兩種計(jì)算方法，解題時(shí)要根據(jù)已知條件靈活使用，并能與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合.1.下面對(duì)菱形的描述錯(cuò)誤的是（B）A.菱形的四條邊都相等B.對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形C.菱形的對(duì)角線互相垂直D.鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.如圖，在?ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC.E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠PEF＝（A）第2題圖A.35° B.45° C.55° D.70°3.（南陽(yáng)模擬）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接AE，DF，要使AE，DF互相垂直平分，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件不可能是（C）第3題圖A.AE⊥BC B.AB＝ACC.AE＝BC D.AE平分∠BAC4.如圖，將兩張對(duì)邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是菱形.（填“是”或“不是”）第4題圖5.如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是線段BD，AC的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足AB＝CD時(shí)，四邊形EGFH是菱形.第5題圖6.如圖，在?ABCD中，AB＝BC＝4.若對(duì)角線BD＝6，則?ABCD的面積為67.第6題圖7.如圖，在∠AOB中，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交射線OA于點(diǎn)C，交射線OB于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)E，作射線OE.若OC＝10，OE＝16，則C，D兩點(diǎn)之間的距離為（B）第7題圖A.10 B.12 C.14 D.838.如圖，直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，若AD＝CB，下面四個(gè)結(jié)論：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC.其中一定正確的有①②③.（填序號(hào)）第8題圖9.（焦作模擬）如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，連接CD.第9題圖（1）求證：四邊形ABCD是菱形；證明：∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，∴∠BAC＝∠DAC，∠ABD＝∠CBD.∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠DAC＝∠BAC，∴AB＝BC.∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，∴AB＝AD.∴AB＝BC＝AD.∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形.（2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的長(zhǎng).解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，O為BD中點(diǎn).∴∠AOD＝90°，OD＝12BD＝3∵∠ADB＝30°，∴AO＝12AD在Rt△AOD中，（12AD）2＋OD2＝AD2∴AD＝23.10.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD.過(guò)點(diǎn)O作EF⊥BD，分別交AB，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF，AF.第10題圖（1）求證：四邊形DEBF是菱形；證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∴△BOE≌△DOF（ASA）.∴BE＝DF.∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形.∵EF⊥BD，∴平行四邊形DEBF是菱形.（2）若AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝43，求AF的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，如圖.∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2.∵AD＋AB＝12，BD＝43，∴AD2＋（43）2＝（12－AD）2.解得AD＝4，AB＝8.∵AD∥EF，DF∥AE，∴四邊形ADFE為平行四邊形.∴DF＝AE＝BE＝4.∴BE＝DF＝BF＝4.∵AD＝EF＝4，∴EF＝BF.∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2.∴AG＝6.根據(jù)勾股定理，得FG＝42－22∴AF＝AG2＋FG2（鹽城中考）如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE，EF，AE.（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形.證明：∵D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，且DE＝12AC＝AF即DE∥AF，DE＝AF，∴四邊形ADEF為平行四邊形.（2）加上條件后，能使得四邊形ADEF為菱形.請(qǐng)從①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC這三個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空（填序號(hào)），并加以證明.②證明：∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE.∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴EF∥DA.∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF.∴AF＝EF.∴平行四邊形ADEF為菱形.③證明：∵EF∥AB且EF＝12AB，DE∥AC且DE＝12AC，AB＝∴EF＝DE，∴平行四邊形ADEF為菱形.2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.2.矩形的性質(zhì)：（1）矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對(duì)角線相等.3.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.認(rèn)識(shí)矩形【例1】下列圖案中，不是由矩形組成的為（C）先找出每個(gè)圖案中組成圖案的基本圖形，再根據(jù)定義判斷基本圖形是不是矩形.直角三角形的性質(zhì)【例2】（偃師模擬）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn).若AC＝8，CD＝5，則DE＝3.定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是三角形的邊的一個(gè)重要定理，若條件中又給出另一中點(diǎn)，則可結(jié)合三角形中位線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題.矩形的性質(zhì)【例3】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為O.（1）求證：△AOM≌△CON；證明：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠M＝∠N.∴△AOM≌△CON（AAS）.（2）若AB＝3，AD＝6，求AE的長(zhǎng).解：連接CE.∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，∴CE＝AE.設(shè)AE＝CE＝x，則DE＝6－x.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD2＋DE2＝CE2，即32＋（6－x）2＝x2，解得x＝154即AE的長(zhǎng)為154利用矩形的內(nèi)角是直角來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，可充分與直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)相結(jié)合；利用矩形的對(duì)角線相等來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，可充分與等邊三角形、全等三角形等知識(shí)相結(jié)合.1.（駐馬店模擬）矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（B）A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線互相垂直且相等2.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（C）第2題圖A.4 B.6 C.8 D.103.（夏邑模擬）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，若BC＝12，OB＝6.5，則OM的長(zhǎng)為（B）第3題圖A.1 B.2.5 C.3 D.54.已知一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為16，則這個(gè)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為8.5.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE＋EF的值為（C）第5題圖A.485 B.C.245 D.6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，且BP＝BA.連接AP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接BQ，則BQ的長(zhǎng)為317.第6題圖7.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB且BN⊥AM，垂足為N.第7題圖（1）求證：△ABN≌△MAD；證明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝∠D＝90°.∵AM＝AB，∴△ABN≌△MAD（AAS）.（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積.45－8.8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E為CD邊的中點(diǎn)，P為矩形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著A→B→C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.第8題圖（1）當(dāng)△APE是以EP為腰的等腰三角形時(shí)，求t的值.解：（1）當(dāng)AE＝PE時(shí)，點(diǎn)E在AP的垂直平分線上.∵四邊形ABCD是矩形，E為CD邊的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝2，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∴AP＝AB＝4，∴t＝42＝2當(dāng)EP＝AP時(shí)，點(diǎn)P在BC上，由勾股定理可得AB2＋BP2＝EC2＋CP2，即16＋BP2＝4＋（6－BP）2，解得BP＝2，∴t＝4+22＝3綜上所述，當(dāng)t＝2或3時(shí)，△APE是以EP為腰的等腰三角形.（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APE的周長(zhǎng)最??？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（2）如圖，延長(zhǎng)EC到點(diǎn)E'，使得E'C＝EC，連接AE'，交BC于點(diǎn)P.由對(duì)稱(chēng)可知此時(shí)△APE周長(zhǎng)最短.∵E'C＝EC＝2＝DE，∴DE'＝6＝AD，∴∠DAE'＝45°.∴∠BAP＝∠BPA＝45°.∴AB＝BP＝4.∴t＝4+42＝4即存在點(diǎn)P使△APE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)t的值為4.（吉林中考）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF＝14AC，連接EF.若AC＝10，則EF＝52第2課時(shí)矩形的判定1.根據(jù)定義，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.2.定理：（1）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.利用定義判定矩形【例1】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，BE＝DG，BF＝DH.（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；證明：（1）在?ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C.∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS）.∴EF＝HG.同理可證EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.（2）當(dāng)AB＝BC，且BE＝BF時(shí)，求證：四邊形EFGH是矩形.證明：（2）∵AB＝BC，BE＝BF，∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG.∴AE＝AH.∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝12（180°－∠B），∠AEH＝∠AHE＝12（180°－∠∴∠AEH＋∠BEF＝90°.即∠FEH＝90°.∴平行四邊形EFGH是矩形.在利用定義判定矩形時(shí)，先證明四邊形是平行四邊形，再證明有一個(gè)內(nèi)角是直角，可結(jié)合全等三角形、余角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題.利用對(duì)角線相等判定矩形【例2】如圖，在?ABCD中，E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，AH＝CF，AH∥CF.（1）求證：△AEH≌△CGF；證明：（1）延長(zhǎng)AH交CD于點(diǎn)P，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)Q，在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴AQ∥CP.∵AH∥CF，∴四邊形APCQ是平行四邊形，∴∠HAE＝∠FCG.又∵E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE＝12AB，CG＝12CD，∴AE＝又∵AH＝CF，∴△AEH≌△CGF（SAS）.（2）連接FH，若FH＝AD，求證：四邊形EFGH是矩形.證明：（2）連接EG.∵AH∥CF，∴∠AHF＝∠HFC.由（1）可得∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，∴∠AHF－∠AHE＝∠HFC－∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，∴HE∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵AE＝DG，AB∥CD，∴四邊形ADGE是平行四邊形，∴AD＝EG.∵FH＝AD，∴EG＝FH，∴平行四邊形EFGH是矩形.在證明對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形時(shí)，一般都是通過(guò)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等來(lái)進(jìn)行代換對(duì)角線相等，也可結(jié)合等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)來(lái)證明.根據(jù)三個(gè)角是直角判定矩形【例3】如圖，直線EF∥GH，MN與EF，GH分別相交于A，C兩點(diǎn)，AB，CB，CD，AD分別是∠EAN，∠GCM，∠MCH，∠FAN的平分線，求證：四邊形ABCD是矩形.證明：∵EF∥GH，∴∠EAC＋∠ACG＝180°，∠FAC＋∠ACH＝180°.∵AB平分∠EAC，CB平分∠ACG，∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠B＝90°.同理可證∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形.證明一個(gè)角是直角的方法：根據(jù)兩直線垂直得直角、根據(jù)平角的性質(zhì)或余角的性質(zhì)證明直角、根據(jù)平行線的性質(zhì)證明直角、根據(jù)等量代換得直角.1.要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（C）A.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等B.度量?jī)蓚€(gè)角是不是90°C.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等2.已知平行四邊形ABCD，下列條件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.其中能說(shuō)明平行四邊形ABCD是矩形的是（B）A.① B.② C.③ D.④3.如圖，為了檢查形狀為平行四邊形的書(shū)架ABCD的側(cè)邊是否與上、下邊都垂直，工人師傅用一根繩子比較了其對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)度，若二者長(zhǎng)度相等，則該書(shū)架的側(cè)邊與上、下邊都垂直，工人這樣判斷的主要依據(jù)是對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.第3題圖4.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，且BE＝DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A.下列條件能判定四邊形AECF為矩形的是（B）第4題圖A.OE＝BE B.AC＝2OEC.AE＝AF D.AC⊥BE5.如圖，在△ABC中，AB＝AC.將△ABC沿著B(niǎo)C方向平移得到△DEF，其中點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC相交于點(diǎn)O.連接AE，DC，AD，當(dāng)點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECD為矩形.第5題圖6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠FCA＝∠CEG.第6題圖（1）求證：AD∥CF；證明：（1）∵E，G分別是AC，DC中點(diǎn)，∴EG∥AD.∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF.∴AD∥CF.（2）求證：四邊形ADCF為矩形.證明：（2）∵AD∥CF，∴∠DAC＝∠ECF.∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴DE＝EF.∵AE＝CE，DE＝EF，∴四邊形ADCF為平行四邊形.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥CD.∴平行四邊形ADCF為矩形.7.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CG.當(dāng)AB與AC滿足AC＝2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形.第7題圖（六盤(pán)水中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.（1）求證：△ABE≌△CDF.證明：在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠BAC＝∠ACD.∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC∠DCF＝∠ACF＝12∠ACD∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA）.（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.解：當(dāng)△ABC滿足AB＝AC時(shí)，四邊形AECF是矩形.證明：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF.∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形.第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定1.矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相平分.2.要使平行四邊形成為矩形，需滿足的條件是一個(gè)內(nèi)角為直角或?qū)蔷€相等；要使一般四邊形成為矩形，需滿足的條件是三個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等且互相平分.計(jì)算線段最小值【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C是直角，AC＝2，BC＝4，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CA，求線段EF的最小值.解：連接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°.∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小.根據(jù)垂線段最短，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小.在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得AB＝25.又∵當(dāng)CP⊥AB時(shí)，S△ABC＝12·AC·BC＝12·AB·∴PC＝AC·BCAB＝2×4即線段EF長(zhǎng)的最小值為45在矩形中，可以利用對(duì)角線相等來(lái)轉(zhuǎn)換線段求最小值，這是矩形性質(zhì)的巧妙運(yùn)用.求周長(zhǎng)或面積【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF＝90°.（1）求證：四邊形ABDF是矩形；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB.又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形.∵∠BDF＝90°，∴平行四邊形ABDF是矩形.（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S.解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝AD2－DF∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝12BD·CD＝12×4×3＝∴S四邊形ABCF＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.在求相關(guān)圖形的面積時(shí)，通常將其分割為幾個(gè)易求面積的規(guī)則圖形，進(jìn)而根據(jù)圖形的性質(zhì)求出線段的長(zhǎng)計(jì)算各部分的面積，從而求出整個(gè)圖形的面積.矩形性質(zhì)和判定綜合運(yùn)用【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF和OF.（1）求證：四邊形AEFD是矩形；證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形.∵∠DFC＝90°，∴平行四邊形AEDF是矩形.（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的長(zhǎng).解：由（1）知四邊形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝5.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝5，OB＝OD.∵EC＝3，∴BE＝CF＝2，∴BF＝BC＋CF＝7.在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝AE＝AB2－BE2＝23，BD＝BF2＋DF2＝61.∵OB＝OD解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可以先通過(guò)已知條件使用合適的判定方法判定四邊形是矩形，再利用矩形的性質(zhì)解決問(wèn)題；也可以利用矩形的性質(zhì)證明全等三角形或平行四邊形，再判定另外的四邊形是矩形.解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用.1.（平頂山模擬）下列敘述錯(cuò)誤的是（D）A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.矩形的對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形2.如圖，點(diǎn)A，B在直線l1上，點(diǎn)C，D在直線l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，若點(diǎn)A到點(diǎn)D的直線距離是20cm，則點(diǎn)B到點(diǎn)C的直線距離為（B）第2題圖A.10cm B.20cmC.30cm D.40cm3.如圖，將一矩形紙片ABCD沿著虛線EF剪成兩個(gè)全等的四邊形紙片.根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度與角度，剪得的四邊形紙片中較短的邊AE的長(zhǎng)是3.第3題圖4.如圖所示，工人師傅制作一個(gè)矩形鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行.第4題圖先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料如圖（1）所示，使AB＝CD，EF＝GH.（1）擺放成如圖（2）的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是平行四邊形，它的依據(jù)是兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（2）將直尺緊靠窗框的一個(gè)角如圖（3），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)如圖（4），說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是矩形，它的依據(jù)是有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.5.（鄭州模擬）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AC＝20，BD＝10，則EF的最小值為25.第5題圖6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.第6題圖（1）求證：四邊形OEFG是矩形；證明：∵在菱形ABCD中，OB＝OD，E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形.又∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形.（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長(zhǎng).OE＝5，BG＝2.（德陽(yáng)中考）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝23cm，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），且0＜t＜3，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連接EF.（1）求證：四邊形EFGH是矩形.證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴EH∥FG.由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴FG＝12BF＝tcm，∴EH＝FG∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵∠FGH＝90°，∴平行四邊形EFGH是矩形.（2）連接FC，EC，點(diǎn)F，E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：△BFC與△DCE能夠全等.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝23cm，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝23cm，AB∥CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°.∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°，∴∠CDH＝90°－60°＝30°＝∠CBF，∴在Rt△CDH中，DH＝3.∵BF＝2tcm，EH＝tcm，∴DE＝（3－t）cm，∴當(dāng)BF＝DE時(shí)，△BFC≌△DEC（SAS），∴2t＝3－t，∴t＝1.3正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)1.正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.特殊四邊形的關(guān)系：正方形3.定理：（1）正方形的四個(gè)角都是直角；（2）正方形的四條邊相等；（3）正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.特殊四邊形之間的關(guān)系【例1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A）A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B.平行四邊形的對(duì)邊相等C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形正方形同時(shí)具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)，這就是正方形的特殊性，但反過(guò)來(lái)，正方形具有的特殊性質(zhì)其他四邊形不一定具有，要注意區(qū)別對(duì)待.正方形的性質(zhì)【例2】如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△PBC是等邊三角形，連接PA，PD.（1）求證：PA＝PD；證明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在等邊三角形PBC中，PB＝BC＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，∴AB＝PB＝PC＝CD，∠ABP＝∠DCP＝30°，∴△ABP≌△DCP（SAS），∴PA＝PD.（2）求∠PAD和∠PDA的度數(shù).解：由（1）知△ABP是等腰三角形，∠ABP＝30°，∴∠BAP＝∠BPA＝75°.又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝15°.正方形的性質(zhì)較多，解題時(shí)要根據(jù)條件及目的靈活運(yùn)用，主要用于計(jì)算線段長(zhǎng)和角度、證明三角形全等.正方形和三角形的綜合運(yùn)用【例3】如圖，P為正方形ABCD邊BC上任一點(diǎn)，BG⊥AP于點(diǎn)G，在AP的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AB＝BE，連接CE，作DM⊥AG于點(diǎn)M.（1）求證：DM＝AG；證明：∵DM⊥AG，BG⊥AP，∴∠AMD＝∠AGB＝90°.∵∠DAM＋∠GAB＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠GAB＝∠ADM.又∵AB＝AD，∴△ADM≌△BAG（AAS）.∴DM＝AG.（2）連接DE，若△ADE的面積為81，求AE的長(zhǎng).解：∵AB＝BE，BG⊥AP，∴AG＝GE.由（1）知AG＝DM，∴AG＝GE＝DM，即DM＝12AE∴SADE＝12DM·AE＝12·12AE·AE解得AE＝18，即AE的長(zhǎng)為18.將等腰三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)相結(jié)合，可解決很多關(guān)于角和邊的問(wèn)題，也能證明三角形全等.本題還結(jié)合三角形的面積列出方程求線段的長(zhǎng)，再次體現(xiàn)正方形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.1.（南陽(yáng)模擬）下列性質(zhì)中，是平行四邊形、矩形、菱形和正方形共有的為（C）A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相垂直C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線平分內(nèi)角2.如圖是以正方形的邊長(zhǎng)為直徑，在正方形內(nèi)畫(huà)半圓得到的圖形，則此圖形的對(duì)稱(chēng)軸有（B）第2題圖A.2條 B.4條 C.6條 D.8條3.如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形.若AB＝2，則OE的長(zhǎng)度為（B）第3題圖A.62 B.6 C.22 D.24.如圖，P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，且∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為135°.第4題圖5.如圖，四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，CE⊥BG于點(diǎn)E，DF⊥CE于點(diǎn)F.求證：DF＝BE＋EF.第5題圖證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF，∴∠CBE＝∠DCF.∴△CBE≌△DCF（AAS），∴CF＝BE，CE＝DF.∵CE＝EF＋CF，∴DF＝BE＋EF.6.（鄭州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為對(duì)角線的交點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（D）第6題圖A.（－2，3） B.（3，－3） C.（－3，2） D.（－3，3）7.如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC平移，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'滿足AA'＝13AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是4第7題圖8.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG.設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F，G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為（C）第8題圖A.2 B.2C.22 D.4（仙桃中考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對(duì)角線AC上與點(diǎn)A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值為3.其中正確結(jié)論有（C）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)第2課時(shí)正方形的判定1.定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形.2.特殊平行四邊形的關(guān)系：3.中點(diǎn)四邊形：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形，叫中點(diǎn)四邊形；凡對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形都是菱形；凡對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形都是矩形.正方形的判定【例1】（鄲城模擬）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（D）A.有一個(gè)角為直角的菱形是正方形B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形C.對(duì)角線相等的菱形是正方形D.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形掌握正方形的特殊性是解答本題的關(guān)鍵，記住正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)，在判定正方形時(shí)，也需要包含平行四邊形、菱形、矩形的判定.中點(diǎn)四邊形【例2】如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且AE＝BF.（1）試探索線段AF，DE的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.解：（1）AF＝DE.理由：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS）.∴AF＝DE.（2）連接EF，DF，分別取AE，EF，F(xiàn)D，DA的中點(diǎn)H，I，J，K，則四邊形HIJK是什么特殊的四邊形？請(qǐng)?jiān)趫D（2）中補(bǔ)全圖形并說(shuō)明理由.解：（2）四邊形HIJK是正方形.理由：如圖，點(diǎn)H，I，J，K分別是AE，EF，F(xiàn)D，DA的中點(diǎn)，∴HI＝KJ＝12AF，HK＝IJ＝12由（1）知AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四邊形HIJK是菱形.由（1）知△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF.∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠KHI＝90°，∴菱形HIJK是正方形.判斷中點(diǎn)四邊形的關(guān)鍵是利用中位線定理，在代換邊相等時(shí)也可利用三角形全等；在求直角時(shí)，通常利用余角的性質(zhì).正方形性質(zhì)及判定綜合運(yùn)用【例3】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝32，E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.（1）求證：矩形DEFG是正方形.證明：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，則∠MEN＝∠DNE＝∠FME＝90°.∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.又∵E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE.∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形.（2）探究：CE＋CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：CE＋CG的值是定值，定值為6.理由：∵在正方形DEFG和正方形ABCD中，DE＝DG，AD＝DC，∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC.∵AB＝BC＝32，∴AC＝AB2＋即CE＋CG的值為定值，定值為6.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需先判定四邊形為正方形，再結(jié)合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等進(jìn)行求解.1.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求證：四邊形AECF是正方形.第1題圖證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形.∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形.2.如圖，D為Rt△ABC中的一點(diǎn)，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（C）第2題圖A.7 B.15 C.16 D.253.如圖，?ABCD中，∠A＝45°，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且BE＝AB，連接BD，CE.第3題圖（1）求證：四邊形BDCE是正方形；證明：（1）在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD.∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BDCE是平行四邊形.∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.又∵AB＝BE，∴DB＝BE.∴四邊形BDCE是菱形.∴DE⊥BE，∴∠DBE＝90°，∴菱形BDCE是正方形.（2）P為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM，求證：AN＝2PB.證明：（2）由（1）知四邊形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°.∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°.∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM.∴△DBP≌△NMP（ASA）.∴DB＝MN.∴AB＝NM.∴AN＝BM.∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝2BP.∴AN＝2BP.4.如圖，在△ABC中，O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F.第4題圖（1）探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：（1）OE＝OF.理由：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠BCE.又∵M(jìn)N∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC.∵CF是∠BCA的外角平分線，∴∠OCF＝∠FCD.又∵M(jìn)N∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF.（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且△ABC滿足∠ACB為直角時(shí)，四邊形AECF是正方形.理由如下：∵EO＝FO，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO＋CO＝EO＋FO，∴AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形.∵M(jìn)N∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形.∴當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且△ABC滿足∠ACB為直角時(shí)，四邊形AECF是正方形.（興安盟中考）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)H.（1）求證：AD⊥EF.證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠AED＝∠AFD＝90°.∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴AD為EF的垂直平分線，∴AD⊥EF.（2）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：△ABC滿足∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形.理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形.∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形.專(zhuān)題一特殊四邊形的折疊、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題特殊四邊形的折疊1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若BE∶EC＝2∶1，則線段CH的長(zhǎng)是（D）第1題圖A.3 B.4 C.43 D.2.（麗水中考）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為EF.第2題圖（1）求證：△PDE≌△CDF；證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.由折疊得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，∴PD＝CD.∵∠PDF＝∠ADC，∴∠PDE＝∠CDF.在△PDE和△CDF中，∠∴△PDE≌△CDF（ASA）.（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G點(diǎn).∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4cm.在Rt△EGF中，由勾股定理得FG＝52－42＝設(shè)CF＝xcm.由（1）知PE＝AE＝BG＝xcm.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.由折疊得∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝BF＝（x＋3）cm.在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CD2＋CF2.∴x2＋42＝（x＋3）2，∴x＝76∴BC＝2x＋3＝73＋3＝163（動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題3.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（D）第3題圖A.當(dāng)t＝4s時(shí)，四邊形ABMP為矩形B.當(dāng)t＝5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形C.當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4sD.當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s或6s4.如圖，正方形ABCD中，AB＝3，E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG.H是CD上一點(diǎn)，且DH＝23CD，連接GH，則GH的最小值為22第4題圖5.如圖，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC邊的中點(diǎn)，E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.第5題圖解：如圖，連接DO，將線段DO繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM.∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM.∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2.∵正方形ABCD中，AB＝25，O是BC邊的中點(diǎn)，∴OC＝5，由勾股定理，得OD＝5，∴OM＝52.∵OF＋MF≥OM，∴OF≥52－2，∴線段OF長(zhǎng)的最小值為52－2.第一章復(fù)習(xí)課菱形的性質(zhì)與判定1.（自貢中考）如圖，菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A（－2，5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（B）第1題圖A.（5，－2）B.（2，－5）C.（2，5）D.（－2，－5）2.（大連中考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是5.第2題圖3.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋12PB的最小值是73第3題圖4.（北京中考）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF.第4題圖（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；證明：（1）在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.（2）若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形.證明：（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴DB⊥EF，∴平行四邊形EBFD是菱形.矩形的性質(zhì)與判定5.（呼和浩特中考）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（A）第5題圖A.23 B.3 C.25 D.326.（內(nèi)江中考）如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上.當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為2＋1.第6題圖7.（青海中考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為6.第7題圖8.如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB.第8題圖（1）如圖（1），求證：四邊形ABCD為矩形；證明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ADC＋∠BCD＝180°.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12∵OA＝OB，∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形.（2）如圖（2），P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE＋PF的值.6013正方形的性質(zhì)及判定9.（青島中考）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn).若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（B）第9題圖A.5 B.172 C.2 D.10.（張家界中考）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接DE，AE，CE，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交AE于點(diǎn)P，若DE＝DP＝1，PC＝6，下列結(jié)論：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③點(diǎn)C到直線DE的距離為3；④S正方形ABCD＝5＋22.其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②④.第10題圖11.如圖，以△ABC的各邊為邊長(zhǎng)，在邊BC的同側(cè)分別作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，連接AD，DE，EG.第11題圖（1）求證：△BDE≌△BAC.證明：∵四邊形ABDI，四邊形BCFE都是正方形，∴AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠DBA＝90°.∴∠ABC＝∠EBD，∴△BDE≌△BAC（SAS）.（2）①設(shè)∠BAC＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠EDA，∠DAG；②求證：四邊形ADEG是平行四邊形.①∠EDA＝α－45°，∠DAG＝225°－α.②證明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE.∵AD是正方形ABDI的對(duì)角線，∴∠BDA＝∠BAD＝45°.∵∠EDA＝∠BDE－∠BDA＝∠BDE－45°，∠DAG＝360°－∠GAC－∠BAC－∠BAD＝360°－90°－∠BAC－45°＝225°－∠BAC，∴∠EDA＋∠DAG＝∠BDE－45°＋225°－∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形.（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：當(dāng)∠BAC＝135°且AC＝2AB時(shí)，四邊形ADEG是正方形.理由：當(dāng)四邊形ADEG是正方形時(shí)，∠DAG＝90°，且AG＝AD.由（2）①知當(dāng)∠DAG＝90°時(shí)，∠BAC＝135°.∵四邊形ABDI是正方形，∴AD＝2AB.又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝2AB.∴當(dāng)∠BAC＝135°且AC＝2AB時(shí)，四邊形ADEG是正方形.12.如圖，在一個(gè)6×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A與點(diǎn)B在兩個(gè)格點(diǎn)上，以AB為一邊作菱形ABCD，若點(diǎn)C，D都在格點(diǎn)上，則這樣的菱形有5個(gè).第12題圖13.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AB在x軸的正半軸上，以A（1，0）為圓心，AC為半徑作圓交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo).第13題圖P（1－22，0）.14.（廣元中考）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB的中點(diǎn)，連接CE.第14題圖（1）求證：四邊形AECD為菱形；證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴AB＝2AE＝2BE.∵AB＝2CD，∴CD＝AE.又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四邊形AECD是菱形.（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積.23.第二章一元二次方程1認(rèn)識(shí)一元二次方程第1課時(shí)一元二次方程1.定義：等式兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，稱(chēng)為整式方程；只含有一個(gè)未知數(shù)，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的形式的方程，叫作一元二次方程.2.相關(guān)概念：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，ax2稱(chēng)為二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)；bx稱(chēng)為一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)；c稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng).3.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程的步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列代數(shù)式；④確定等量關(guān)系；⑤列方程.判斷一元二次方程【例1】下列方程中，是一元二次方程的為（A）A.（x＋1）2＝2 B.x3－2x＝1C.x2＋2y＝3 D.1x2＋1x－判斷一元二次方程需要抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）方程必須是整式方程；（2）只能含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.化簡(jiǎn)一元二次方程【例2】一元二次方程（3x－1）2＝mx2＋2mx化為一般形式后，若二次項(xiàng)系數(shù)為2，則一次項(xiàng)系數(shù)為－20或28.確定一元二次方程三項(xiàng)系數(shù)時(shí)，要將方程化為一般形式.確定系數(shù)時(shí)不要漏掉符號(hào).當(dāng)系數(shù)前是負(fù)號(hào)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù).根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程【例3】如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35m、寬20m的矩形.為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600m2，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為xm，則根據(jù)題意可列方程為（C）A.35×20－35x－20x＋2x2＝600B.35×20－35x－2×20x＝600C.（35－2x）（20－x）＝600D.（35－x）（20－2x）＝600根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程時(shí)，關(guān)鍵是找題中的等量關(guān)系，用代數(shù)式表示相關(guān)的量，列出符合題意的方程.1.（林州模擬）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（A）A.x2＋1＝0B.1x2＋2xC.ax2＋2x＋1＝0D.3x2－2xy－5y2＝02.一元二次方程x2－x2－1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（CA.0和2 B.1和1C.1和－12 D.－1和－3.若關(guān)于x的一元二次方程（m－3）x2＋m2x＝9x＋5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（D）A.0 B.±3 C.3 D.－34.（桐柏模擬）若關(guān)于x的方程（m＋1）x｜m｜＋1－mx＋6＝0是一元二次方程，則m的值是（C）A.－1 B.3C.1 D.1或－15.若（a－3）xb－2－5x－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a，b的取值為（D）A.a≠0，b＝4 B.a≠0，b＝2C.a≠－3，b＝4 D.a≠3，b＝46.下列方程：①x2－x＝0，②x2＋2x＋1＝（x＋2）2，③（x+1）22＝1，④2x＋1y＝13.7.已知關(guān)于x的一元二次方程（a＋c）x2－2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，當(dāng)x＝1時(shí)，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.解：△ABC是等腰三角形.理由：令x＝1，得（a＋c）－2b＋（a－c）＝0，解得a＝b，∴△ABC是等腰三角形.8.閱讀理解：定義：關(guān)于x的一元二次方程a1x2＋b1x＋c1＝0與a2x2＋b2x＋c2＝0，若方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足a1－a2＝0，b1＋b2＝0，c1·c2＝1，則這兩個(gè)方程互為“對(duì)稱(chēng)方程”.如求方程2x2－3x＋1＝0的“對(duì)稱(chēng)方程”，可以這樣思考：由方程2x2－3x＋1＝0可知a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根據(jù)a1－a2＝0，b1＋b2＝0，c1·c2＝1，分別求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)方程的“對(duì)稱(chēng)方程”.請(qǐng)用以上方法解決下面的問(wèn)題：（1）填空：方程x2－4x＋3＝0的“對(duì)稱(chēng)方程”是x2＋4x＋13＝0（2）若關(guān)于x的方程5x2－（m－1）x＋n＝0與5x2＋x＝1互為“對(duì)稱(chēng)方程”，求（m＋n）2026的值.1.（衢州中考）將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開(kāi)鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：15x（10－x）＝360.（不必化簡(jiǎn)）第2課時(shí)估算一元二次方程的解1.一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.2.逼近法求近似解：先根據(jù)所列方程確定未知數(shù)的取值范圍，取整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，縮小取值范圍后，再取一位小數(shù)進(jìn)行計(jì)算……最后確定方程的近似解.方程的解的運(yùn)用【例1】已知a是方程x2＋x－1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2026－2a2－2a的值是（C）A.2022 B.2023C.2024 D.2025利用方程的根解決問(wèn)題有兩種類(lèi)型：一是已知方程的根是一個(gè)數(shù)，將這個(gè)數(shù)代入方程，可求出待定系數(shù)的值；二是已知方程的根是一個(gè)字母，代入方程后，可求出含有這個(gè)字母的代數(shù)式的值.用逼近法求方程的解【例2】如圖，有一塊矩形硬紙板，長(zhǎng)30cm，寬20cm.在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子.當(dāng)剪去正方形的邊長(zhǎng)取何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為200cm2？（1）設(shè)未知數(shù)：設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm；（2）列方程：2×[（30－2x）＋（20－2x）]x＝200；（3）確定未知數(shù)的取值范圍：0＜x＜10；（4）填表求解：x12352×[（30－2x）＋（20－2x）]x92168228300x2.12.53.13.52×[（30－2x）＋（20－2x）]x174.72200233.12252方程的解為x＝2.5；（5）作答：當(dāng)剪去正方形的邊長(zhǎng)為2.5cm時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為200cm2.本題中的方程應(yīng)該有兩個(gè)根，但有一個(gè)根是10，因?yàn)?0－2x＝0，所以這個(gè)根不符合題意，這就說(shuō)明，利用逼近法求方程的根時(shí)，首先不能漏解，其次注意未知數(shù)的取值范圍，最后還需注意根的精確度.1.根據(jù)表格中的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（B）x5.315.325.335.34ax2＋bx＋c－0.05－0.030.010.06A.5.31＜x＜5.32 B.5.32＜x＜5.33C.5.33＜x＜5.34 D.5.34＜x＜5.352.已知m為方程x2＋3x－2024＝0的根，那么m3＋2m2－2027m＋2024的值為（B）A.－2024 B.0C.2024 D.40483.已知x＝－1是方程mx2＋nx＝0的根，則必有（C）A.m＋n＝0 B.m2＋n＝0C.m－n＝0 D.m2－n＝04.已知x＝－2是關(guān)于x的方程bx2＋5ax＋3＝0的根，則代數(shù)式17－20a＋8b的值為（A）A.11 B.14 C.20 D.235.若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0（a≠0）的一個(gè)解是x＝1，則2025－a－b的值是（D）A.2025 B.2026C.2027 D.20286.觀察表格，一元二次方程x2－x－1.1＝0最精確的一個(gè)近似解是x＝1.7.（精確到0.1）x1.51.61.71.81.9x2－x－1.1－0.35－0.140.090.340.617.若關(guān)于x的方程x2＋ax－2＝0有一個(gè)根是1，則a＝1.8.若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根為x＝2024，則一元二次方程a（x－1）2＋bx－b＝－2必有一根為（D）A.2022 B.2023 C.2024 D.20259.已知2＋3是關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值是（B）A.0 B.1 C.－3 D.－110.根據(jù)表格可確定方程x2－8x＋7.5＝0的一個(gè)解的范圍是1.0＜x＜1.1.x1.01.11.21.3x2－8x＋7.50.5－0.09－0.66－1.2111.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－60＝0的一個(gè)解，且a≠b，求a2－30.12.若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）必有一根是（C）A.0 B.－1C.1 D.無(wú)法確定13.若關(guān)于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋｜m｜－1＝0的一個(gè)根為0，則m的值為－1.14.可以用如下方法估計(jì)方程x2＋2x－10＝0的解：當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋2x－10＝－2＜0，當(dāng)x＝－5時(shí)，x2＋2x－10＝5＞0，所以方程有一個(gè)根在－5和2之間.（1）仿照上面的方法，找出方程x2＋2x－10＝0的另一個(gè)根在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間；解：（1）∵當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋2x－10＝－2＜0，當(dāng)x＝3時(shí)，x2＋2x－10＝5＞0，∴方程的另一個(gè)根在2和3之間.（2）若方程x2＋2x＋c＝0有一個(gè)根在0和1之間，求c的取值范圍.解：（2）∵方程x2＋2x＋c＝0有一個(gè)根在0和1之間，∴c>0，解得－3＜c＜0.1.（資陽(yáng)中考）若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一個(gè)根，則2a2＋4a的值是6.2.（連云港中考）若關(guān)于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一個(gè)根是x＝1，則m＋n的值是1.2用配方法求解一元二次方程第1課時(shí)用配方法解一元二次方程1.完全平方式：因?yàn)閍2±2ab＋b2＝（a±b）2，所以把a(bǔ)2±2ab＋b2叫作完全平方式.2.配方法：通過(guò)配成完全平方式的方法得到一元二次方程的解，這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為配方法.3.思路和方法：先將方程化為一元二次方程的一般形式，再將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，將左邊配成完全平方式，從而將方程化為（x＋m）2＝n的形式，當(dāng)n≥0時(shí)，兩邊同時(shí)開(kāi)平方，將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即可求出方程的根.完全平方式【例1】（1）把方程x2－10x＝3化成含有x的完全平方式是（x－5）2＝28；（2）若多項(xiàng)式a2＋ka＋25是完全平方式，則實(shí)數(shù)k的值是±10.在等式中進(jìn)行配方時(shí)，若缺少常數(shù)項(xiàng)，則在兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；若缺少一次項(xiàng)，則一次項(xiàng)的系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)的平方根的2倍，一次項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).用配方法解一元二次方程【例2】解方程：（1）x2＋6x＋9＝0；解：（1）原方程可轉(zhuǎn)化為（x＋3）2＝0，∴x＋3＝0，解得x＝－3，即原方程的解為x1＝x2＝－3.（2）x2－x－1＝0.解：（2）原方程可轉(zhuǎn)化為x2－x＝1.配方，得x2－x＋（12）2＝1＋（12）整理，得（x－12）2＝5兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得x－12＝±5∴x1＝12＋52＝1+52，x2＝12即原方程的根為x1＝1+52，x2＝利用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是配方，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可將方程左邊配成完全平方式.求增長(zhǎng)率問(wèn)題【例3】隨著旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客為1.6萬(wàn)人，4月份游客為2.5萬(wàn)人.（1）求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；解：（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意，得1.6（1＋x）2＝2.5，解得x1＝0.25，x2＝－2.25（舍去）.答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為25％.（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率.已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客最多是多少萬(wàn)人？解：（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬(wàn)人，依題意，得2.125＋y≤2.5（1＋25％），解得y≤1.答：最多是1萬(wàn)人.解決增長(zhǎng)率（或降低率）問(wèn)題時(shí)，所列出的方程含有完全平方式，用配方法（直接開(kāi)平方法）是最簡(jiǎn)單的方法.1.關(guān)于x的方程（x＋a）2＝b能直接開(kāi)平方求解的條件是（D）A.a≥0，b≥0 B.a≥0，b≤0C.a為任意數(shù)或b＜0 D.a為任意數(shù)且b≥02.（項(xiàng)城模擬）用配方法解方程x2＋6x＋8＝0，配方后得到的方程是（A）A.（x＋3）2＝1 B.（x＋3）2＝8 C.（x－3）2＝1 D.（x－3）2＝93.（林州模擬）“讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路.”某校為了豐富學(xué)生的閱歷知識(shí)，堅(jiān)持開(kāi)展課外閱讀活動(dòng)，學(xué)生人均閱讀量從七年級(jí)的每年100萬(wàn)字增加到九年級(jí)的每年121萬(wàn)字.設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（A）A.100（1＋x）2＝121B.100（1＋x％）