第一章勾股定理第3節(jié)勾股定理的應(yīng)用

1.

運(yùn)用勾股定理解決實際問題，關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形

模型，把實際問題抽象為幾何問題。2.

勾股定理的兩種常用方法：一是已知直角三角形的兩

條邊，根據(jù)勾股定理求出第三邊；二是將直角三角形中的

某一邊設(shè)為未知量，根據(jù)勾股定理建立方程，通過解方程

求得未知量的值，進(jìn)而解決問題。

直接利用勾股定理解決問題【例1】如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，到河

的距離分別為AC＝10

km，BD＝30

km，且CD＝30

km?，F(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A，B兩鎮(zhèn)供水，

鋪設(shè)水管的費(fèi)用為3萬元/km，請你在河流CD上選擇建水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少萬元。解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，與CD的交點(diǎn)

為M，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)。如圖構(gòu)造Rt△BA'K，則可得A'K＝CD＝30

km。DK＝A'C＝AC＝10

km，所以BK＝BD＋DK＝40

km，由勾股定理得A'B＝50

km，即AM＋BM＝50

km，所以總費(fèi)用為50×3＝150（萬元），答：總費(fèi)用為150萬元。歸納總結(jié)本題考查勾股定理及軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵

是確定自來水廠的位置M，需要作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接點(diǎn)

B和點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，與河的交點(diǎn)即為自來水廠的位置M，

然后構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可。?跟蹤訓(xùn)練1.

一架梯子長25

m，如圖，將這架梯子斜靠在一面墻

上，此時梯子底端到墻腳的距離BO為7

m。（1）這個梯子的頂端距離水平地面有多高？這個梯子的頂端距水平地面24

m。（2）如果梯子的頂端下滑了4

m，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？梯子的底端在水平方向滑動了8

m。

利用勾股定理構(gòu)造方程解決問題【例2】蕩秋千（圖1）是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一

種運(yùn)動。有一天，趙彬在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋

千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5

m，將它往前推

送1.8

m（水平距離BC＝1.8

m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝1.1

m，秋千的繩索始終拉直，求繩索AD的長度。解：由題意得∠ACB＝90°，AB＝AD，BC＝1.8

m，設(shè)繩索AD的長度為x

m，則由AC＝AD＋DE－CE，得AC＝x＋0.5－1.1＝（x－0.6）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，所以x2＝1.82＋（x－0.6）2，解得x＝3，答：繩索AD的長度是3

m。歸納總結(jié)本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理建立

方程是解題的關(guān)鍵。設(shè)繩索AD的長度為x

m，則AC＝

（x－

0.6）

m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，

解方程即可。?跟蹤訓(xùn)練2.

池塘中有一株荷花的莖長為OA，無風(fēng)時露出水面的部

分AC＝0.4

m，如果把這株荷花向旁邊拉至它的頂端A恰

好到達(dá)池塘的水面B處，此時荷花頂端離原來位置的距離

BC＝1.2

m，則這株荷花的莖長OA的長為

2

m

。2

m

1.

如圖，貨車卸貨時支架側(cè)面是Rt△ABC，其中∠ACB

＝90°，已知AB＝2.5

m，AC＝2

m，則BC的長為

（A）A.1.5

mB.2

mC.2.5

mD.3

m第1題圖A2.

如圖是一個三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8

dm，3

dm，2

dm。A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，

點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻

沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（B）A.15

dmB.17

dmC.20

dmD.25

dm第2題圖B3.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝

3，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE的長

為（D）B.3第3題圖D4.

如圖，一個梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO

＝2

m。若梯子的頂端沿墻下滑0.5

m，這時梯子的底端也

恰好外移0.5

m，則梯子的長度AB為（A）A.2.5

mB.3

mC.1.5

mD.3.5

m第4題圖A5.

山坡上有甲、乙兩棵樹，由于大風(fēng)，甲樹被從4

m處攔

腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根

部C處。已知AB＝4

m，BC＝13

m，兩棵樹的水平距離

為12

m，求甲樹原來的高度。甲樹原來的高度是19

m。

1.

如圖所示的是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、

高分別為20

dm，3

dm，2

dm，A和B是這個臺階的兩個

相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到B點(diǎn)的最短路程為（

B）A.30

dmB.25

dmC.20

dmD.35

dm第1題圖B2.

如圖，一棵垂直于地面且高度為7

m的“風(fēng)景樹”被臺

風(fēng)折斷，樹頂A落在離樹底部C的1

m處，則這棵樹折斷

的位置離地面的高度為（C）第2題圖C3.

如圖，某自動感應(yīng)門的正上方處裝著一個感應(yīng)器，離

地高度AB＝2.5

m，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時

（AD≤2.2

m），感應(yīng)門就會自動打開。一個身高1.6

m

的學(xué)生（CD＝1.6

m）正對門，緩慢走到離門1.2

m的地方時（BC＝1.2

m），感應(yīng)門

會

自動打開。（填“會”或“不會”）會第3題圖4.

如圖，在離水面高度為8

m的岸上，有人用繩子拉船靠

岸，開始時繩子BC的長為17

m，此人以1

m/s的速度收

繩，7

s后船移動到點(diǎn)D的位置。若繩子一直保持是直的，

則船向岸邊移動了

9

m。第4題圖95.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

D為AC上一點(diǎn)。若BD是∠ABC的平分線，則AD

＝

5

。第5題圖56.

如圖所示，某中學(xué)院內(nèi)有一塊不規(guī)則的四邊形空地

ABCD，學(xué)校計劃在空地上鋪懸浮地板。經(jīng)測量，

∠ABC＝90°

，BC＝6

m，AB＝8

m，AD＝26

m，CD

＝24

m。（1）求空地ABCD的面積。空地ABCD的面積是144

m2。（2）若每鋪1

m2懸浮地板需要120元，問：總共需投入多少元？總共需投入資金17

280元。

7.

如圖，在筆直的公路上，A，B兩點(diǎn)相距25

km，C，

D為兩村莊所在位置，DA＝10

km，CB＝15

km，

DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B。現(xiàn)要在AB上建一個中

轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在

距A多遠(yuǎn)處。E應(yīng)建在距A點(diǎn)15

km處。8.

在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第九章《勾股》

中記載了這樣的一個問題：“今有開門去

（kǔn）一尺，

不合二寸，問門廣幾何?！庇脭?shù)學(xué)方法理解意思是：推開

如圖所示的兩扇門AD和BC，門邊緣D，C兩點(diǎn)到門檻的

距離是1尺（即C，D到線段AB的距離為1尺），兩扇門

的間隙CD為2寸，則門寬AB是多少寸？（1尺＝10寸）門寬AB是101寸。

9.

森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大。直升機(jī)

灑水是一種撲滅火源的高效方式。如圖所示，有一臺救火

直升機(jī)沿東西方向由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個

著火點(diǎn)，點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為600

m

和800

m，且AB＝1

000

m，直升機(jī)中心周圍500

m以內(nèi)可以受到灑水影響。（1）著火點(diǎn)C受灑水