第二章二次函數(shù)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第5課時二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質(zhì)

1.

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象是

拋物，性質(zhì)如下：拋物線

a＞0a＜0開口方向

向上

向下

對稱軸向上向下

a＞0a＜0頂點坐標(biāo)增減性

增大減小減小增大a＞0a＜0最大（小）值y最小值＝

?

.y最大值＝

.

右

左

上

下

二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)【例1】（長葛模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①c＜0；②2a

＋b＝0；③a＋b＋c＜0；④b2－4ac＜0.其中正確的有（

C）CA.1個B.2個C.3個D.4個

根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷常數(shù)a，b，c的取值范圍是

解答這類問題的關(guān)鍵，解題過程中，涉及二次函數(shù)圖象

的諸多性質(zhì)，特別是頂點坐標(biāo)、對稱軸、特殊值等，需

要靈活掌握運(yùn)用.

綜合運(yùn)用【例2】如圖，已知二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象與y軸

相交于點A，其對稱軸與圖象相交于點B，與x軸相交于

點C.

（1）求AB的長；

（2）平移該二次函數(shù)的圖象得到一個新的圖象，設(shè)新圖

象的頂點為P，若新圖象經(jīng)過原點O，且∠POA＝

∠ABC，求新圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.解：（2）由（1）知點A的坐標(biāo)為（0，－1），將二次函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度經(jīng)過原點時，四

邊形ABPO是平行四邊形，∴∠POA＝∠ABC，此時滿足條件，∴新二次函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－2x.∵拋物線y＝x2－2x關(guān)于y軸對稱的拋物線表達(dá)式為y＝x2

＋2x，圖象經(jīng)過原點，且∠POA＝∠ABC，滿足條件，∴新二次函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－2x或y

＝x2＋2x.

本例綜合運(yùn)用了勾股定理求線段長，平移和對稱求

二次函數(shù)圖象的表達(dá)式，但解題的關(guān)鍵仍在于利用二次

函數(shù)的圖象性質(zhì)，同時體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，在今后的

學(xué)習(xí)中需多進(jìn)行拓展練習(xí).

1.

已知二次函數(shù)y＝2x2－4x＋5，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增

大而增大時，x的取值范圍是（B）A.

x＜1B.

x＞1C.

x＜2D.

x＞2B2.

已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞0，

c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（C）C3.

如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對稱軸為直

線x＝－1，且過點（0，1）.有以下四個結(jié)論：①abc＞

0，②a－b＋c＞1，③3a＋c＜0，④若頂點坐標(biāo)為（－

1，2），當(dāng)m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為－2，此時m的取值范圍是－3≤m≤－1.其中正確結(jié)論有（

A）A.4個B.3個C.2個D.1個第3題圖A4.

已知實數(shù)a，b滿足b－a＝1，則代數(shù)式a2＋2b－6a＋

7的最小值等于（A）A.5B.4C.3D.2A

C第5題圖A.B.C.D.6.

要將二次函數(shù)y＝x2的圖象平移后得到二次函數(shù)y＝x2

＋4x＋5的圖象，下列平移方法正確的是（A）A.

向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度B.

向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度C.

向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度D.

向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度A7.

二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3的圖象的頂點坐標(biāo)為

（－1，4）

.（－1，4）

8.

當(dāng)－1≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2－4x＋5有最大值m，

則m＝

10

.109.

二次函數(shù)y＝2x2－4x－1的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的新

圖象的表達(dá)式為

y＝－2（x＋1）2＋3

.y＝－2（x＋1）2＋310.

若實數(shù)x，y滿足x＋y2＝3，設(shè)s＝x2＋8y2，則s的取

值范圍是

s≥9

.s≥9

11.

（河南模擬）以x為自變量的二次函數(shù)y＝x2－2（b

－2）x＋b2－1的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)b的取值

范圍是（A）B.

b≥1或b≤－1C.

b≥2D.1≤b≤2A12.

已知二次函數(shù)y＝ax2－2x＋1（a≠0）圖象的對稱軸

為直線x＝1.（1）求a的值；

（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此圖象上，

且－1＜x1＜0，1＜x2＜2，比較y1與y2的大小，并說明

理由；解：（2）由（1）可知二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－2x＋

1＝（x－1）2.∵a＝1＞0，∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜1時，y隨x的增

大而減小.∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1－x1＜2，0＜x2－1＜1，結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)圖象開口向上時，距離對稱軸越遠(yuǎn)，

值越大，∴y1＞y2.（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與二次函數(shù)y＝ax2－2x＋1

的圖象交于點A，B，與二次函數(shù)y＝3（x－1）2的圖象

交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比.

13.

（河南模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，對稱軸為直線x

＝2，下列結(jié)論：①abc＞0；②4a＋b＝0；③若點A的坐

標(biāo)為（－1，0），則線段AB＝5；④若點M（x1，y1），N（x2，y2）在該函數(shù)圖象上，且滿足0＜x1＜1，2＜x2＜3，則y1＜y2.其中正確結(jié)論的序號為（D）A.

①②B.

②③C.

③④D.

②④第13題圖D14.

二次函數(shù)y＝－x2＋2mx－m2＋2的圖象與y軸交于點

C，過點C作直線l垂直于y軸，將二次函數(shù)的圖象在y軸

右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形

G，點M（m－1，y1），N（m＋1，y2）為圖形G上兩

點，若y1＜y2，則m的取值范圍是（D）A.

m＜－1或m＞0D.

－1＜m＜1D

第15題圖（1）在移動過程中，試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面

積；第15題圖解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ為等邊三角形.

（2）x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大

值？最大值是多少