1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的基本性質(zhì)章節(jié)綜合2一、單選題1．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．以上結(jié)果都不對(duì)2．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知定義在上的函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，，給出下列四種說法：①，使得是一個(gè)增函數(shù)；②，使得是一個(gè)奇函數(shù)；③，使得在區(qū)間上有唯一零點(diǎn).其中，正確的說法個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·北京·北師大二附中高一期中）已知函數(shù)f(x)=x|x|，若對(duì)任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(-∞，-1) B．(-∞，-1] C．(-∞，-2) D．(-∞，-2]4．（2021·北京·清華附中高一期中）下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是（）A． B． C． D．5．（2021·北京·北師大二附中高一期中）已知函數(shù)g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函數(shù)，且g(1)=3，則g(-1)=()A．-1 B．-3 C．1 D．36．（2021·北京·人大附中高一期中）張老師國慶期間駕駛電動(dòng)車錯(cuò)峰出行，并記錄了兩次“行車數(shù)據(jù)”，如下表：記錄時(shí)間累計(jì)里程（單位：公里）平均耗電量（單位：kW·h/公里）剩余續(xù)航里程（單位：公里）2021年10月2日20003802021年10月3日2200166（注：累計(jì)里程指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，累計(jì)耗電量指汽車從出廠開始累計(jì)消耗的電量，平均耗電量＝累計(jì)耗電量累計(jì)里程，剩余續(xù)航里程＝剩余電量平均耗電量），下面對(duì)該車在兩次記錄時(shí)間段內(nèi)行駛100公里的耗電量估計(jì)正確的是（）A． B． C． D．二、多選題7．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）下列四個(gè)函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．三、填空題8．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，若對(duì)于，，，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.9．（2021·北京·人大附中高一期中）若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.10．（2021·北京·清華附中高一期中）函數(shù)的值域是_______________11．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間中，則的值是______.12．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若時(shí)，，則________.13．（2021·北京四中高一期中）對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是___________．14．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的有_____________.①②③④⑤15．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）寫出“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的一個(gè)充分不必要條件：___________.16．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，且對(duì)于都有，則不等式的解集為___________.17．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定義在非零實(shí)數(shù)上的奇函數(shù)，滿足，則等于______.18．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)______________.四、解答題19．（2021·北京·清華附中高一期中）已知是定義在上的函數(shù)，滿足下列兩個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，恒成立；②對(duì)任意的，都有．（1）求和的值；（2）證明：為奇函數(shù)，并且；（3）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，直接寫出關(guān)于的不等式的解集20．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知定義在上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）用單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性；（3）若對(duì)于，不等式恒成立，求的取值范圍.21．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）若函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，若存在非零?shí)數(shù)使得，都有，且，則稱為上的函數(shù).（1）已知函數(shù)，函數(shù)，判斷與是否為區(qū)間上的函數(shù)，并說明理由；（2）已知函數(shù)，且是區(qū)間上的函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；（3）如果是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，且為上的函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數(shù)且.（1）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性；（2）證明函數(shù)在上是增函數(shù).23．（2021·北京·北師大二附中高一期中）己知函數(shù)(b，c為常數(shù))，f(1)=4，f(2)=5.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；.（2）用定義證明∶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).24．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）若時(shí)，方程僅有一實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25．（2021·北京八十中高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式，以及零點(diǎn)．（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．（3）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．（只需寫出結(jié)論）（4）在所給出的平面直角坐標(biāo)系上，作出在定義域R上的示意圖．26．（2021·北京·清華附中高一期中）已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若，函數(shù)的圖像恒在圖像下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．27．（2021·北京四中高一期中）已知函數(shù)．（1）應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．注：證明（1）只能用函數(shù)單調(diào)性定義證明．五、雙空題28．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）若定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，則：（1）__________；（2）當(dāng)時(shí)，_________.

參考答案1．C【分析】當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，再討論當(dāng)時(shí)不等式的解集，綜合即得解.【詳解】解：奇函數(shù)在上為增函數(shù)，（1），函數(shù)在上為增函數(shù)，且（1），當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，則不等式等價(jià)為時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上不等式的解為或，故不等式的解集為：.故選：C2．B【分析】舉反例和，，得到①②錯(cuò)誤，計(jì)算滿足有唯一零點(diǎn)，得到答案.【詳解】①，，故①錯(cuò)誤；②若，使得是一個(gè)奇函數(shù)，則，，，，故假設(shè)不成立，②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，③正確.故選：B.3．C【分析】首先結(jié)合已知條件可知為奇函數(shù)，利用奇偶性的對(duì)稱性和函數(shù)解析式求出單調(diào)性，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和恒成立含義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故為奇函?shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，從而，即對(duì)任意的x≤1恒成立，從而，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C.4．C【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性與值域可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為偶函數(shù)，值域?yàn)?，不滿足條件；對(duì)于B，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，值域?yàn)?，不滿足條件；對(duì)于C，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，滿足條件；對(duì)于D，函數(shù)為奇函數(shù)，值域?yàn)?，不滿足條件.故選：C.5．C【分析】結(jié)合已知條件首先求出，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出，進(jìn)而即可求出.【詳解】由題意可知，，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故.故選：C.6．B【分析】根據(jù)題目中耗電量的定義，算出形勢200公里的平均耗電量乘以公里數(shù)即為答案.【詳解】解：由題意得：累計(jì)200公里內(nèi)的平均耗電量：行駛100公里的耗電量：故選：B7．AB【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)偶函數(shù)，又該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D不正確.故選：AB.8．【分析】先求出，進(jìn)而求出與的解析式，，，都有，等價(jià)于，有，對(duì)進(jìn)行分類討論,求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)椋?，則所以，故所以，令，，，都有等價(jià)于，有當(dāng)，即時(shí)與在上單調(diào)遞減，故，所以，解得：結(jié)合得：當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，，所以，化簡：，解得結(jié)合得：當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，解得結(jié)合得：當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且對(duì)稱軸更靠近，故，所以，解得結(jié)合求得：當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且對(duì)稱軸更靠近，故，所以，解得結(jié)合得：當(dāng)時(shí)與在上單調(diào)遞增，故，所以，解得結(jié)合得：綜上所述：故答案為：9．【分析】利用變換主元法將看成自變量，將看成參數(shù)即可求解.【詳解】解：不等式對(duì)一切恒成立將看成自變量，將看成參數(shù)，將不等式化為：對(duì)一切恒成立令即對(duì)一切恒成立等價(jià)于即解得：或所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：當(dāng)所給不等式或者等式有兩個(gè)變量時(shí)，將已知變量看成自變量，所求變量看成參數(shù)，即變換主元法進(jìn)行求解.10．【分析】利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的值域.【詳解】任取、且，即，則，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，同理可證函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)椋?，，所以，，因此，函?shù)的值域?yàn)?故答案為：.11．【分析】先判斷出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又由，，可得出存在唯一的零點(diǎn)在區(qū)間中，由此可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)在區(qū)間中，又函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間中，所以，故答案為：.12．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，以及，可得函數(shù)的解析式.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，且，又時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以，所以，故答案為：.13．【分析】根據(jù)定義運(yùn)算法則化簡，畫出的圖像，結(jié)合圖像可求出c的取值范圍【詳解】因?yàn)?，所以由圖可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍是.故答案為：14．②③⑤【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義及常見函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】對(duì)于①，為偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，為奇函數(shù)且值域?yàn)镽，故②正確；對(duì)于③，為奇函數(shù)且值域?yàn)镽，故③正確；對(duì)于④，為非奇非偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，為奇函數(shù)且值域?yàn)镽，故⑤正確.故答案為：②③⑤.15．（答案不唯一）【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，再利用充分條件、必要條件的定義即得.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，所以“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的一個(gè)充分不必要條件為.故答案為：（答案不唯一）16．【分析】由題可得函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，不等式等價(jià)于或，解之即得.【詳解】∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，∴，又都有，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，由得，由得，或，∴.故答案為：17．【分析】由可得，再根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】∵，∴，∵為定義在非零實(shí)數(shù)上的奇函數(shù)，∴，即，∴.故答案為：.18．【分析】由題可得函數(shù)的的圖象經(jīng)過點(diǎn)，再利用圖象的平移即得.【詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以函數(shù)的的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn).故答案為：.19．（1），.（2）證明見解析（3）【分析】（1）令，可得求得，再令，可得求得.（2）分別令和，求得，進(jìn)而得到，得出函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，再令，結(jié)合，即可得到.（3）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，證得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立，令，可得，因?yàn)?，所以，令，可得，即，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，恒成立，所以.（2）解：由題意，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，可得，令，可得，用代換，可得，所以，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)為定義域上的奇函數(shù).令，可得，因?yàn)?，可得，?（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，則不等式，即為，因?yàn)?，所以，由函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，設(shè)且，可得，則所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為，解得，解不等式的解集為.20．（1）（2）單調(diào)遞增，證明見解析.（3）【分析】（1）由奇函數(shù)列方程，可求出a；（2）先判斷在R上單減，利用單調(diào)性的定義可證明；（3）利用為奇函數(shù)及在R上單增，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，利用分離參數(shù)法求出k的范圍.（1）解：∵為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，∴，所以.經(jīng)檢驗(yàn)成立（2）解：由（1）知：，則在R上單增，下面進(jìn)行證明：任取，且，∴∵為增函數(shù)，，∴，∴，∴，∴在R上單增.（3）解：∵為奇函數(shù)，∴對(duì)任意，不等式恒成立可化為：對(duì)任意恒成立，又在R上單增，不等式等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即恒成立.記，，只需，所以，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：①一般用或；②有時(shí)為了計(jì)算簡便，我們可以對(duì)x取特殊值:或；（2）證明函數(shù)的單調(diào)性一般用：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；（3）分離參數(shù)法是解決恒（能）成立問題的常用方法.21．（1）函數(shù)是區(qū)間上的函數(shù)，不是，理由見解析；（2）1；（3）存在，.【分析】（1）利用上的函數(shù)的定義檢驗(yàn)函數(shù)和即得解；（2）化簡得對(duì)于恒成立，求函數(shù)的最值即得解；（3）利用得到，再作出函數(shù)的圖象分析即得解.（1）解：對(duì)于函數(shù)，，,，所以函數(shù)是區(qū)間上的函數(shù).對(duì)于函數(shù)函數(shù)，,,,，所以函數(shù)是區(qū)間上的函數(shù).（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)，，,,且是區(qū)間上的函數(shù)，所以對(duì)于恒成立，所以對(duì)于恒成立，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），所以，所以正整數(shù)的最小值為1.（3）解：由題得，所以.當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象如圖所示，，因?yàn)闉樯系暮瘮?shù)，所以對(duì)于恒成立，所以，因?yàn)?，所?22．（1）是奇函數(shù)，證明過程見解析；（2）證明過程見解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的表達(dá)式，再利用奇偶性的定義即可判斷；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.（1）函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，證明過程如下.證明：函數(shù)且，即的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)（2）證明：設(shè)，，且，則又，，即函數(shù)在上是增函數(shù).23．（1）（2）證明見解析【分析】(1)結(jié)合已知條件利用待定系數(shù)法求解即可；(2)首先設(shè)任意的，，且，然后利用作差法比較和大小，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明.（1）由題意可知，，解得，，故函數(shù)f(x)的解析式為：.（2）設(shè)任意的，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，，即，從而，即，故函?shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).24．（1）（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，所以，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可求解.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為僅有一個(gè)負(fù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，又由，所以函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，方程僅有一實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，即僅有一個(gè)負(fù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，，即僅有一個(gè)負(fù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程僅有一個(gè)負(fù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程為，解得或，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程的兩個(gè)根同號(hào)，由，解得或，若，方程為，解得，不符合題意；若，方程為，解得，符合題意，綜上所述，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.25．（1），零點(diǎn)為；（2）在上是單調(diào)遞減，證明見解析．（3）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（4）函數(shù)圖象見解析；【分析】（1）依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再由，即可求出、，從而求出函數(shù)解析式，再令，求出，