1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編

集合章節(jié)綜合1一、單選題1．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2021·北京八中高一期中）對于集合A，定義了一種運(yùn)算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運(yùn)算“”的單位元素.例如：，運(yùn)算“”為普通乘法：存在，使得對任意都有，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素.下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”：①，運(yùn)算“”為普通減法；②，運(yùn)算“”為普通加法；③（其中M是任意非空集合，運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集.（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③3．（2021·北京師大附中高一期中）已知集合，集合A1，A2，A3滿足：①每個(gè)集合都恰有5個(gè)元素；②．集合Ai中元素的最大值與最小值之和稱為集合Ai的特征數(shù)，記為，則的最大值與最小值的和為（）A．56 B．72 C．87 D．964．（2021·北京·清華附中高一期中）設(shè)，集合，則（）A．對任意實(shí)數(shù) B．對任意實(shí)數(shù)C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，5．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，則（）A． B． C． D．6．（2021·北京·清華附中高一期中）已知集合，則（）A． B． C． D．7．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知集合，那么集合與集合的關(guān)系是（）A． B．C． D．8．（2021·北京·人大附中高一期中）已知全集，，，則（）A． B． C． D．二、填空題9．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值是__________10．（2021·北京·清華附中高一期中）對于實(shí)數(shù)集合、，定義，給出下列4個(gè)命題：①；②；③若，則；④若，則．其中，所有正確命題的序號(hào)是_____________．11．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)是__________.12．（2021·北京八中高一期中）稱有限集S的所有元素的乘積為S的“積數(shù)”，給定數(shù)集，則集合M的所有偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和為___________.13．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合A是集合的一個(gè)子集，對于，定義如下的三個(gè)結(jié)論中：①存在的兩個(gè)不同子集A，B，，都有且；②任取的兩個(gè)不同子集A，B，，都有；③設(shè)，則，都有.正確結(jié)論的序號(hào)是：______________.14．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為___________.15．（2021·北京八十中高一期中）設(shè)集合，則集合A的真子集有________個(gè)．16．（2021·北京·清華附中高一期中）若集合與集合相等，則實(shí)數(shù)_____________17．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合，則________.三、解答題18．（2021·北京·清華附中高一期中）設(shè)，集合，若個(gè)互不相同的非空集合，同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件，則稱是集合的“規(guī)范子集組”①；②對任意的，要么，要么中的一個(gè)是另一個(gè)的子集．（1）直接寫出集合的一個(gè)“規(guī)范子集組”（2）若是集合的“規(guī)范子集組”，（?。┣笞C：中至多有1個(gè)集合對，滿足且；（ⅱ）求的最大值19．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）對于任何給定集合S，用表示集合S的元素個(gè)數(shù)，用表示集合S的子集個(gè)數(shù).已知集合A，B，C滿足下列兩個(gè)條件：①，②，求的最小值.20．（2021·北京·人大附中高一期中）已知集合，對于A的一個(gè)子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素，，都有，則稱S具有性質(zhì)P.（1）當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由.（2）當(dāng)時(shí)，若集合S具有性質(zhì)P.①集合是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由；②求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.21．（2021·北京·人大附中高一期中）已知全集，非空集合A，B滿足，.（1）當(dāng)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合（1）若，全集，求；（2）從條件①和條件②選擇一個(gè)作為已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①∶若；條件②∶若23．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?（1）求集合；（2）若全集，，求；（3）若，求的取值范圍.24．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）設(shè)全集.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）（1）已知集合，集合，求.（2）已知，，求與的值.26．（2021·北京四中高一期中）已知集合，求：，，．27．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)全集為R，.（1）若，求和；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.28．（2021·北京師大附中高一期中）設(shè)，已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．29．（2021·北京·清華附中高一期中）已知集合，集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案1．A【分析】先化簡，再分與兩種情況討論即可求解【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足條件；當(dāng)時(shí)，由有：，解得；綜上可知：a的取值范圍是，故選：A2．D【分析】根據(jù)單位元素的定義，對三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：①若，運(yùn)算“”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②，運(yùn)算“”為普通加法，其單位元素為0；③（其中是任意非空集合），運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集，其單位元素為集合．故選：D．3．D【分析】根據(jù)題意分別列出三個(gè)集合特征數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的元素情況，再分別進(jìn)行計(jì)算各自的特征值，即可求解.【詳解】由題意集合，當(dāng)時(shí)，取得最小值，；當(dāng)時(shí)，取得最大值，；的最大值與最小值的和為：.故選：D.4．D【分析】將代入不等式可得，即可求出時(shí)的范圍，即可得出.【詳解】由解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：D.5．D【分析】化簡集合（用例舉法表示集合）再分析集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，

，選項(xiàng)D正確.

故選：D.6．C【分析】先求得集合，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，可得.故選：C.7．C【分析】化簡集合即得解.【詳解】由題得，所以.故選：C8．C【分析】根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義可求解.【詳解】，，，，.故選：C.9．【分析】由，分，兩種情況討論，結(jié)合集合中元素的互異性分析，即得解【詳解】由題意，（1）若，則，和集合中元素的互異性矛盾，不成立；（2）若，則，由（1）若，則，，成立故實(shí)數(shù)的值是故答案為：10．①②【分析】①根據(jù)新定義及加法交換律得到，②根據(jù)新定義及加法結(jié)合律得到，③④舉出特例，說明結(jié)論不成立.【詳解】①，，顯然，①正確②，，所以，②正確③當(dāng)，，由題意得：，但，③錯(cuò)誤；④當(dāng)，，，其中，，所以，但，④錯(cuò)誤故答案為：①②11．32【分析】化簡集合A,B，求出即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：3212．【分析】令，設(shè)的所有偶數(shù)個(gè)元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個(gè)元素的子集“積數(shù)”之和為，進(jìn)而根據(jù)，求解即可.【詳解】解：數(shù)集中共有99個(gè)不同的元素，設(shè)的所有偶數(shù)個(gè)元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個(gè)元素的子集“積數(shù)”之和為，令，所以，所以，，所以故答案為：13．①③【分析】對題目中給的新定義要充分理解，對于，或，可逐一對命題進(jìn)行判斷，舉實(shí)例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對于,定義,∴①例如正奇數(shù),正偶數(shù),∴,∴且,故①正確；②例如：,當(dāng)時(shí),；,；∴；故②錯(cuò)誤；對于③，若，則，則且，或且，或且，∴；若，則，則且，∴；∴任取的兩個(gè)不同子集，對任意都有，故③正確．∴所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①③．故答案為：①③．14．1【分析】由已知得，即有，解得或，分別代入檢驗(yàn)可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足集合的元素的互異性，故舍去，綜上得，故答案為：1.15．3【分析】先求出集合A，再根據(jù)元素個(gè)數(shù)得出真子集個(gè)數(shù).【詳解】，則集合A的真子集有個(gè).故答案為：3.16．0【分析】集合相等，則元素相同，分類討論，求出實(shí)數(shù)，注意驗(yàn)證是否滿足集合元素的互異性.【詳解】=，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)=，=，符合要求；當(dāng)時(shí)，，①時(shí)，=，與集合元素互異性矛盾，舍去；②時(shí)，=，=，此時(shí)≠，所以集合與集合不相等，舍去綜上，實(shí)數(shù)0故答案為：017．【分析】先求得，由此求得正確答案.【詳解】，，，所以.故答案為：18．（1）（2）（?。┮娊馕觯唬áⅲ痉治觥浚?）根據(jù)題意寫出答案即可；（2）（?。├梅醋C法證明即可；（ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，令，這樣取出的個(gè)集合滿足題意，用數(shù)學(xué)歸納法證明，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集，討論從而可得出答案.（1）解：設(shè)，令，則滿足且，所以的一個(gè)“規(guī)范子集組”為；（2）（ⅰ）證明：利用反證法證明：解：假設(shè)“存在兩個(gè)不同的集合對；”依題意即互補(bǔ)，不妨設(shè)對“規(guī)范k-子集組”來講：一方面，時(shí)，，另一方面，其中存在兩個(gè)不同的集合對；滿足，不妨設(shè)，即，再由“”，得，此時(shí)，要么，要么是的真子集，若，則，故，這與與矛盾；若是的真子集，則是的真子集，此時(shí)，且彼此都不是對方的子集，綜上，假設(shè)“存在兩個(gè)不同的集合對；”不成立，所以原結(jié)論成立，證畢.（ⅱ）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，令，這樣取出的個(gè)集合滿足題意，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，考慮中不為全集且元素個(gè)數(shù)最多的集合（記為，并設(shè)中有個(gè)元素），則，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集.由的選取，知②中的集合均為的子集，且依然滿足條件，由歸納假設(shè)可知②中的集合的個(gè)數(shù)不超過，而③中的集合均為的子集，有歸納假設(shè)可知集合的個(gè)數(shù)不超過，所以，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，所以均有，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合新定義問題，考查了分類討論思想，和數(shù)據(jù)分析能力，對邏輯推理能力要求比較高，難度較大.19．97【分析】由題知即，再利用容斥原理可得，，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，又∴，即，∴，又，∴，但，∴，同理，∴，當(dāng)時(shí)，，綜上，的最小值為97.20．（1）集合B不具有性質(zhì)P，集合C具有性質(zhì)P，理由見解析；（2）①T具有性質(zhì)P，理由見解析；②1346【分析】(1)當(dāng)時(shí),，結(jié)合新定義的性質(zhì)P可知集合不具有性質(zhì)；集合具有性質(zhì).(2)當(dāng)時(shí),,①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗(yàn)證即可說明集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個(gè)元素，由①可知，任給，，則與中必有個(gè)不超過，從而得到集合S與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過，然后利用性質(zhì)的定義進(jìn)行分析即可求得，即，解此不等式得.（1）當(dāng)時(shí)，集合，不具有性質(zhì)P.因?yàn)閷θ我獠淮笥?的正整數(shù)m，都可以找到該集合的兩個(gè)元素與，使得成立.集合具有性質(zhì)P.因?yàn)榭扇。瑢τ谠摷现腥我獾膬蓚€(gè)元素，使得；（2）當(dāng)時(shí)，集合，，①若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).首先因?yàn)椋稳?，其?因?yàn)?，所?從而，即，所以.由S具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，使得對S中的任意一對元素、，都有.對于上述正整數(shù)，從集合中任取一對元素，，其中、，則有.所以，集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個(gè)元素，由①可知，若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).任給，，則與中必有一個(gè)不超過.所以集合S與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過.不妨設(shè)S中有個(gè)元素、、、不超過.由集合S具有性質(zhì)，可知存在正整數(shù).使得對S中任意兩個(gè)元素、，都有.所以一定有、、、.又，故、、、.即集合A中至少有個(gè)元素不在子集S中，因此，所以，得.當(dāng)時(shí)，取，則易知對集合S中的任意兩個(gè)元素、，都有，即集合S具有性質(zhì).而此時(shí)集合S中有個(gè)元素，因此，集合S元素個(gè)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.21．（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可求出；（2）由題可得，根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組可求.（1）（1）當(dāng)時(shí)，，，，或；（2）若，則，又A，B為非空集合，，解得.22．（1）（2）條件①：；條件②：或【分析】（1），集合已知，根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義即可求解（2）條件①∶若，說明；條件②∶若，則的范圍與的范圍沒有公共部分，從而可以求解實(shí)數(shù)的取值范圍（1）由題得：集合，因?yàn)椋约?，全集，所以?）選擇條件①因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，由?）得：，若，則，解得：選擇條件②因?yàn)椋?，且，則或23．（1）（2）或（3）【分析】（1）由求解；（2）利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解；（3）根據(jù)，分，，討論求解.（1）解：，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?；?）因?yàn)槿?，，所以，則或，所以或；（3）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，綜上：的取值范圍.24．（1）或（2）或【分析