廣東省肇慶市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二■.1->?wok=()

I-I

A.而B.—C.(5D.乎

2.已知sina=-5cosa,則sin2a=(

4422

A.--B.-C.--D.-

3.己知向量"、用.百=(_川，且a_L八則("6)("%卜(:

A.8B.-8C.-J3D.-2

4.已知五所學(xué)校的人數(shù)分別為750,1000,1500,1250,500.按分層隨機(jī)抽樣方法抽取100

名學(xué)生，抽取的五所學(xué)校的學(xué)生人數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為()

A.15B.20C.17.5D.30

5.已知。為VABC的邊8C的中點(diǎn)，。為A。上一點(diǎn)，且滿足。。=20A,設(shè)=6，AC=e2,

則澳二()

1-2一I-5-I■"7-2一1一

A..《一、6B.，一eC.D.、%一

6.將函數(shù)y=sinx-J5e、x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再將圖象向左平移3

個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，其中則?=(1

5Kx-Ttn

A.-B.C.-D.

1212R6

7.“投壺”游戲源于周代的射禮，是中國古代宴飲時(shí)的一種投擲游戲，要求游戲者站在一定

距離外，把箭投入壺中.甲、乙兩人開始投壺游戲，約定規(guī)則如F：如果投一次，箭入壺中，

原投擲入繼續(xù)投，如果箭沒有入壺，那么換另一個(gè)人投擲.若甲、乙兩人投箭入壺成功的概

率分別為:，:，甲先開始投擲，則第4次仍然由甲投擲的概率為()

741

A.B.C.

8.某公司為了調(diào)查員工的體重（單位：千克），因?yàn)榕畣T工遠(yuǎn)多于男員工，所以按性別分層，

用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知抽取的所有員工的體重的方差為120,女員工的平均

體重為50,方差為50,男員工的平均體重為70,方差為30.若樣本中有21名男員工，則

女員工的人數(shù)為（）

A.28B.35C.63D.48

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z=l—i的共軌復(fù)數(shù)的虛部為1

B.已知復(fù)數(shù)2=病一4+（機(jī)+2）i為純虛數(shù),則〃?二2

C.若復(fù)數(shù)z=（病一即〃+15）+（療一+8）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則4<m<5

D.若卜一2i|=3,貝打4口45

10.已知函數(shù)/（x）=2、in（2一；）下列說法正確的是（）

A./G）的圖象關(guān)于點(diǎn)|：（）］對(duì)稱

B./（x）在區(qū)間3上單調(diào)遞增

c.若/（跖）/（占）二一4，其中項(xiàng)工兩，則

D./（X）在區(qū)間:上的值域?yàn)椴贰?.2：

II.已知事件A,8發(fā)生的概率分別為『（/）=；,2（&）=；，下列說法正確的是（）

A.齊。（初卜1,則事件4,3相互獨(dú)立

B.若事件A,3互斥，則R山川?；

C.若事件A,B相互獨(dú)立，則。

D.若事件8發(fā)生時(shí)事件A一定發(fā)生，則二:

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知單位向量）,屈足I—*1=2,則「/二，）在力一方向上的投影向量等于_

（用向量表示）.

13.已處osaccs8二，，其中a.〃w|o.二，若tana—tun/3=6,則tan（a-/3）=------.

mI2J

14.記VABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosB=%cosA,若點(diǎn)尸滿足

uuuruuuruuuruuuruuuruuor?--1….

PA.PB=P13.PC=PC.PA，且滿足CQ-則8s±/CB=.

A

四、解答題

15.自農(nóng)業(yè)農(nóng)村部、財(cái)政部聯(lián)合發(fā)布《2024—2026年農(nóng)機(jī)購置與應(yīng)用補(bǔ)貼實(shí)施意見》以來，

廣東省結(jié)合本省實(shí)際，制定措施積極推動(dòng)農(nóng)業(yè)機(jī)械化向智能化、綠色化升級(jí).某地區(qū)在多家

果蔬基地升級(jí)設(shè)備后，對(duì)果蔬基地在一段時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量(單位：噸)做調(diào)查統(tǒng)計(jì)并將所有數(shù)

據(jù)分成[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]四組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求，〃的值并估計(jì)樣本重量的中位數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本重量的平均數(shù)與方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表).

16.已知所1用■邛.由(8+。(其中"卜扣),共住J

(1)求sin2a;

(2)求cosB;

(3床啊2

17.為了鼓勵(lì)社會(huì)力量參與科技創(chuàng)新拔尖人才貫通式培育工作，提高青少年對(duì)人工智能的整

體認(rèn)知和應(yīng)用水平，某地區(qū)面向該區(qū)青少年舉辦了“C++算法設(shè)計(jì)”科普公益大賽.

(1)若A,B,C三個(gè)賽區(qū)進(jìn)入決賽的分別有1人、2人、3人，現(xiàn)需從這6人中隨機(jī)選擇2

試卷第3頁，共4頁

《廣東省肇慶市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BADCBADCABDACD

題號(hào)11

答案ABD

I.B

［分，］法一：若二",根據(jù)模長公式二-二求解即可：法二：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)兜及

工1-11

復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.

2.A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得iana的值，結(jié)合二倍角公式與弦化切即可求解.

..2smaana2Una

【詳解】由題意得山”==一

5所則勿7T

故選：A.

3.D

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及模長的坐標(biāo)運(yùn)

算求結(jié)果.

【i，解】由"/>_一鴻一.彳導(dǎo)工==，所以。+/?)(.-〃)=u2-b2=1-3=-2

故選：D

4.C

【分析】由題可求出分層抽樣比為!，故五所學(xué)校抽取人數(shù)分別為：15,20,30,25,10,

根據(jù)第40百分位數(shù)的定義即可求解.

___________100____________J_

【詳解】由題M知分層抽樣比為;

7$O+IOOO+I?M)+⑵0+500一3

故五所學(xué)校抽取人數(shù)分別為：15,20,30,25,10,排序后分別為10,15,20,25,30.

因?yàn)?、°.4二2‘所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為空-175.

答案第I頁，共H頁

故選：c.

5.B

【分析】根據(jù)題意作圖，然后利用向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】如圖所示，因?yàn)?。為VA8C的邊8C的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?。=2OA,所以IO；ID,

6.A

【分析】根據(jù)輔助角公式化簡可得根據(jù)圖象變換"J'得新函數(shù)的解析式為

V-2Mn2,x*2r:根據(jù)新函數(shù)圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，可得入，-￡二:+履“-/),即可求

解.

［詳解］?=sinx-65Hx=2(故inx-印B>x=2sin。-；;經(jīng)過兩次變換后，新函數(shù)

的解析式為，=2sin2、?20-；

因?yàn)樾潞瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以“-彳=：.H(AeZ),所以。

因?yàn)?。，?:,所以8=；：.

故選：A.

7.D

【分析】根據(jù)題意確定基本事件，再應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.

【詳解】第4次仍然由甲投擲分為四類：

111

第一類，前三次均為甲中，概率為?xx-:

?22我

第二類，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率為!:

77Af\

答案第2頁，共11頁

第三類，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率為-

第四類，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率為［x］x?=J.

242A

所以第4次仍然由甲投擲的概率為????

869672

故選：D

8.C_

【分析】由題意，記樣本中女員工的平均體重和方差分別為占=50,s；=50,所占權(quán)重為

W(W>0.5),男員工的平均體重和方差分別為七=70,歐=30,所占權(quán)重為I-W,根據(jù)分

層抽樣的均值和方差公式即可求解w的值，進(jìn)而求解女員J2的人數(shù).

【詳解】由題意，記樣本中女員工的平均體重和方差分別為用工50,s；=50,所占權(quán)重為

w(w>0.5),

男員工的平均體重和方差分別為工370,學(xué)二30,所占權(quán)重為1?W,

所以樣本中全部員工的平均體重為M(I-702(?,

方差

52=肅］「(1-w)/+(-x27J="50+(20-20/7」+(1-*30+(-20/

=-400vir+4201V+30=120,

化簡得40m-42W+9=0,即(4w-3)(10w-3)=0,

解得W=0.75或w=0.3(舍)，

所以女員工的人數(shù)為：2，xll7563.

1-07^

故選：C.

9.ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類以及復(fù)數(shù)的幾何意義逐一判斷即可.

【詳解】復(fù)數(shù)Z=l-i的共匏復(fù)數(shù)為z,=1+i,其虛部為I,所以A正確；

由〃3-4=0且〃?+2/0,得〃?=2,所以B正確；

由蘇-8m+15>0且加?6加+8<0，得2<m<3,所以C錯(cuò)誤；

設(shè)z=x+yiUy￡R),則|二-2i=J(x-(『?(>-2)：=3，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)

答案第3頁，共11頁

（0,2）的距離為3,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)（0,0）的距離范圍為[1,5],D正確.

故選：ABD

10.ACD

【分析】代入法驗(yàn)證對(duì)稱中心判斷A：根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷B、C、D.

由|=2WD-（）.A正確：

今比+可捋-三彳.H/WZ.

2321212

所以/（r）的單調(diào)遞增區(qū)間為|-》履k./

顯然”:|不是上述區(qū)間的子集，B錯(cuò)誤；

IZ）

：/（大）/（電）=-4,

：/（占），/（?。┮粋€(gè)為/G）的最大值，另一個(gè)為/（%）的最小值，

由r=；=*則,7：L=；.c正確：

若”‘你》則1r寧O則面（*；卜隹1,即/（?。ā６稤正確.

故選：ACD

11.ABD

【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件的判定得事件A,8相互獨(dú)立，即可判斷A；由互斥事件概率求法、

概率的基本性質(zhì)依次判斷B、C、D.

【徉第】?"（彳）=；,=[:P（A8）=P（A）.P⑻，

:事件A二3相互獨(dú)立，貝！A,3相互獨(dú)立，A正確；

由4,B互斥,則P（.4u8）=hI卜巴8）=：,H正確：

:4,8相互獨(dú)立，則。（/8）=P（d）P（川=（,

???尸（/.8）=尸（4+。（加戶6）夕（8）=（，C錯(cuò)誤：

:6發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，：8UA,則。（/8）=?（H）=g?1】正確.

故選：ABD

答案第4頁，共11頁

12.-h

TTTT

【分析】由已知并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求〃力，根據(jù)投影向量的定義求a在方方向上的

投影向量.

【詳解】因?yàn)閄=2,所以J?W.》+}2=4,

又因?yàn)椤ǘ?

=1，所以=-1?

d-bb

所以下\b\

故答案為：-1；-b.

13.)/0.75

4

【分析】由已知，商數(shù)關(guān)系及差角正弦公式得wn(a用再結(jié)合角的范圍得

0)二:即可得.

■_sinasin6jwnacos6-casa^in6sinfcr-6)

【憚解】I?na-Uii6=-------------------=-----------=-s---------=6,

cosacos6cosacosffcosacosff

由casacos3二、，則、in(a-f,

..stn(a-S)3

.tan(a-8)=-\——<="

cos(ar-6)4

故答案為：-

4

14.*/02

【分析】由acos3=〃cosA借助正弦定理化簡，得到VABC的性質(zhì)。再由向量條件得到點(diǎn)P

的性質(zhì)，處理（7戶=〃￡1+!（7乩得到，〃的值，最后求出cos上AC8的值.

【詳解】解：由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA,:sin（A-8）=0,*：A-BG（-TT.77）,

:A=8,

:AABC為等腰三角形.由〃|/明—〃從"="得/'H代）:PB±（1

：PB,LAC,同理可證P4j_BC,PC.LAB,：P為V4BC的痛心.

如圖，延長CP交A8于點(diǎn)。，則。。_LA8且D為AB的中點(diǎn)，.?.而=相

答案第5頁，共11頁

:齊■血投此且C,P，。三點(diǎn)共線，；.方=3己7，所

AP?AC^CP^AC^1i](H.〃,_LCB,

6666

一一(5一I一、一

二川.即-H(Nn.

I6b)

：一：.cos上伍叫I(H?^|(H=()..I-H.

：C^l=CB[,

cosZ^ffi=1.

故答案為：;

15.(1)/?=0.03,中位數(shù)為47.5；

(2)平均數(shù)47,方差81.

【分析】(1)由頻率和為1列方程求參數(shù)值，根據(jù)中位數(shù)的定義及直方圖求中位數(shù)即可;

(2)根據(jù)宜方圖中平均投求法、及方差公式求平均數(shù)和方差.

【詳解】(1)：(0.01+0.02+m+0.04)x10=1,：m=0.03.

：(0.01+0.03)x10=0.4,(0.01+0.03+0.04)x10=0.8,

所以中位數(shù)落在區(qū)間［45,55)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為r

由(0.01+0.03)x10+(%—45)x0.04=0.5,得x=47.5.

(2)平:均數(shù)的估計(jì)值為()1，與工-。3，告差+?！?竺/+02)＜豈券=47,

方差的估計(jì)值為0.1x(30—47):+03x(40-47)'+0,4x(50-47)?+0.2x(60-47)2=81.

16.(1|sin2cr=-^

答案第6頁，共11頁

⑶嚕

【分析】（1）由題設(shè)及和角正弦公式可得=兩側(cè)平方并應(yīng)用平方關(guān)系、二

倍角正弦公式即可得:

（2）應(yīng)用平方關(guān)系求得cm；6j-：.再由差角余弦公式即可得：

（3）由已知及二倍角余弦公式得ex|；="結(jié)合角的范圍即可求值.

【詳解】（1）由題意知"sina?85?！鰟tsina-cosa=—!，

2243

..,|3

：.sm*a*cos'a?2smacosar=-,WJsin2a---,

44

（2）由題意，則MYbL哈\\

6

由題意知§?歷可「夕.則c可丁5卜.水

(2)0.26

（3）0.3744

【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式即可求解；

（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式與互斥事件的概率加法公式即可求解；

（3）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式與互斥事件的概率加法公式即可求解.

【詳解】（1）記來自人賽區(qū)的同學(xué)為人，來自5賽區(qū)的同學(xué)為從，B2,來自C賽區(qū)的同學(xué)

為G，G，。一設(shè)知="從6人中隨機(jī)選擇2人”：N:“選擇的兩人來自同一個(gè)賽區(qū)”.

則M={⑶8J,所與）,6,C.）,3,C2）,仇,G），（尻吟,?G）、（玩c2）,?G）,（壇G）.

（與G）,（”2,cJ，（G,G）,c'3）},有15種可能的結(jié)果.

答案第7頁，共11頁

N=｛（/?.,昆），（GC）.（G,C3）,（G,G）｝，有4種可能的結(jié)果.

所以尸（\）：，所以這兩人來自同一個(gè)賽區(qū)的概率為；.

（2）設(shè)。:“甲能解決問題”，七二“乙能解決問題“，6="甲不能解決問題”，E二“乙不能

解決問題”，“甲、乙兩名同學(xué)中恰好有一位同學(xué)能解決問題

顯然P（Q）=0.8,P（D）=0.2,P（E）=0.9,P（￡）?01.

因?yàn)槭录溁コ猓录?。，E相互獨(dú)立，

所以P（"UOE）=P（/）￡）+P（QE）=P（Z；）P（￡）+P（E）P（D）=0.8x0.1+0.9x0.2=0.26,

所以甲、乙兩名同學(xué)中恰好有一位同學(xué)能解決該題的概盅為0.26.

（3）設(shè)Fi二“兩輪測試中甲解決一道題“，入;“兩輪測試中甲解決兩道題”，

G="兩輪測試中7.解決一道題”.G”“兩輪測試中乙解決兩道題”.

”二"兩輪測試中甲、乙共解決三道題

P（F.）=（）.8x0.2+0.2x0.8=032:P（F）=0.8x（）.8=0.64：

P（G）=0.9x（）.1+0.|x0.9=0.18；P（G:）=0.9x0.9=0.81.

因?yàn)槿隚?,F2Gl互斥,事件E與G一尸2與Gi相互獨(dú)立，

所以P⑻=P（F,G2U/；G（）=P（居）尸（G2）+P（B）尸（G）=0.32X0.81+0.64X（）.18=0.3744,

所以兩輪測試中甲、乙共能解決三道題的概率為0.3744.

18.（I）sm4s1

⑵“理

3

⑶2.6

【分析】（1）由正弦定理集合同角基本關(guān)系即可求解：

（2）根據(jù)已知條件先求出sinC,結(jié)合正弦定理求出c=，力，根據(jù)面積公式即可求解?：

（3）利用正弦定理求出a值，再利用余弦定理求出。+c）-2標(biāo)?；=2,利用半角公式即面

積公式求得兒'（??（），兩式聯(lián)立求出8+。即可求解..

IA

【詳解】（1）由正弦定理二-;—―^—7.得4sin4sin8=3sinBcosA,

31/kinntinr

答案第8頁，共11頁

V^€(0.M),/.smB^O..'.$W=-?/.cosJ=-sin4

co$/43

vsm:^4-cos/f=1.49(0.*).1.sn/?日sin：/=L

，93

.*.smJ"25'又二曲/>0，

(2：由⑴知，sinJ=W=?,則cos/".

5cos/45

7j2

smf=sin(R-4-ZJ)=sin(.4+/J)=sin/cmB+cos/anB=

由正弦定理得「.c7h,

smBbS

S="Acsin/I=-6x—6x-=2?5=2^^,

22555X

43

3由1I)知cosA-.,sinA-4，

由正弦定理得o.M?而/■空*工?0,

由余弦定理得〃+/?2bccosA=a2,