河北省棗強(qiáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.己知函數(shù)〃x)=lnx-2Y的導(dǎo)函數(shù)為尸(外，則不等式(的解集為()

A.(-2,2)B.[-另)C.(。⑵口.(*)

2.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)(x,y)數(shù)據(jù)中去掉。(3,10)后，下列說法錯(cuò)誤的是()

7-￡(10,12)

?。(3,10)

-C(4,5)

.?僅2,4)

41,3)

Ox

A.殘差平方和變小B.相關(guān)系數(shù)/?變大

C.決定系數(shù)店變大D.解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變?nèi)?/p>

3.投資A,B兩種股票，每股收益的分布列如下表：

股票人收益分布列

收益X-202

概率0.10.30.6

股票4收益分布列

收益Y012

概率0.30.40.3

下列說法正確的是()

A.投資股票A的期望收益較小B.投資股票8的期望收益較小

C.投資股票4的風(fēng)險(xiǎn)比投資股票4的風(fēng)險(xiǎn)小D.投資股票4的風(fēng)險(xiǎn)比投資股票A的風(fēng)

險(xiǎn)小

4,若函數(shù)/(x)=or+cosx在(3，內(nèi))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(0,-Ko)C.-)D.(-1,+co)

5.在一個(gè)不透明的容器中裝7塊形狀相同的酥性餅干，其中2塊是蔥香餅干，2塊是芝麻

餅干，3塊是奶油餅干，每次從中任意抽取I塊，抽出的餅干不再放回，則在第1次推到的

不是奶油餅干的條件下，第2次抽到的是奶油餅干的概率為（）

A.!B.-C.~D.一

4324

6.如圖所示，一個(gè)正四棱臺的上底邊長與側(cè)棱長相等，口為下底邊長的一半，一個(gè)側(cè)面的

面積為12百，則該正四棱臺的體積為（）

7.已知（2x+l）”=%+平+冢++一爐展開式中,只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則

40-4+°2一/+.?（）

A.-1024B.-1C.1D.1024

8.小王到某公司面試，一共要回答3道題，每道題答對得2分，答錯(cuò)倒扣1分，設(shè)他每道題

答對的概率均為〃（。<〃<1），且每道題答對與否相互獨(dú)立，記小王答完3道題的總得分為X，

則當(dāng)E（X）+O（X）取得最大值時(shí)，〃=（）

二、多選題

9.隨著時(shí)代發(fā)展，我國新能源汽車逐漸火爆起來.卜表是2025年我國某市1~5月份新能

源汽車銷最》（單位：干耦）與月份x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

月份XI2345

銷量）’55m68

現(xiàn)已求得y與X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為3=O.6X+4.2,貝I」（）

試卷第2頁，共6頁

A.〃z=6B.)，與x負(fù)相關(guān)

C.y與尤的樣本相關(guān)系數(shù)一定小于1D.由已知數(shù)據(jù)可以分析，7月份該市新能源

汽車銷量約為0.84萬輛

10.函數(shù)/")=d和g(x)=e-的導(dǎo)函數(shù)分別為f\x)=ev和g'(x)=七、,若/“)="和

g(x)=eT在”=/處的切線分另IJ為乙，/2,則()

A.l\-L

B./,///2

C.卜4在工軸上的截距之差的絕對值為2

D.卜4在1軸上的截距之積的取值范圍為［1,+8)

II.從申、乙、丙、丁4幺男牛和小紅、小花、小欣3名女牛中詵派3人參加A,B,C活

動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，則()

A.共有210種不同的安排方法

B.若男生甲必須參加其中的一項(xiàng)活動(dòng)，則共有120種不同的安排方法

C.若3人中必須既有男生又有女生，則有180種不同的安排方法

D.若小紅必須參加且不能安排A活動(dòng)，則有120和不同的安排方法

三、填空題

12.(2-3幻5的二項(xiàng)展開式中，產(chǎn)項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.在三棱錐。一八8C中，PA_L平面==AC=2,BC=2四,點(diǎn)。為一，44內(nèi)(包

含邊界)一點(diǎn)，且如_LCD,則點(diǎn)。的軌跡的長度為.

14.甲、乙兩個(gè)小朋友做游戲，游戲規(guī)則：用0,1兩個(gè)數(shù)字從左往右排成一個(gè)五位數(shù)(允

許第一位為0,數(shù)字可重復(fù)使用)，若五位數(shù)中的1的個(gè)數(shù)比0的個(gè)數(shù)多，則甲勝，反之，

乙勝，勝方得2分，另一方得-1分，重復(fù)100次這樣的游戲，甲得分的均值為.

四、解答題

15.2026中國演出交易會、呼和浩特市將接棒成都成為下一屆主辦城市、聚焦演出行業(yè)創(chuàng)

新與產(chǎn)業(yè)鏈合作.該活動(dòng)是國內(nèi)演出行業(yè)規(guī)模最大、影響力最強(qiáng)的品牌活動(dòng)之一，預(yù)計(jì)吸引

(2)若某人隨機(jī)在甲、乙兩家汽車店購買一輛汽車，如果在甲汽車店購買，那么購買新能源

汽車的概率為0.6；如果在乙汽車店購買，那么購買新能源汽車的概率為0.8,求這個(gè)人購買

的是新能源汽車的概率.

88

參考數(shù)據(jù)：=460,￡衲=379.5.

r-l

￡(七—初片一月

附：回歸直線中9=b=---------,a=y-bx.

f(菁F

M

17.己知函數(shù)/(x)=ae4'-2(。-1)/“一4人.

(1)若〃=(),求f(x)在x=()處的切線方程；

(2)若aN0,求了⑶的單調(diào)區(qū)間;

⑶求八x)的極大值.

18.小張每周都去同一家商店購買一箱蘋果，該商店的售貨員說出售的每箱蘋果的平均質(zhì)量

是5000克，上下浮動(dòng)不超過100克.根據(jù)售貨員的表述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理想模型是該商店所出售

的每箱蘋果的質(zhì)量服從期望為5000克，標(biāo)準(zhǔn)差為100克的正態(tài)分布.

⑴若隨機(jī)變量g服從正態(tài)分布N(M/)，從g的所有取值中隨機(jī)抽取〃亞2)個(gè)數(shù)據(jù),

/2\

記這〃個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為X,則隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N?

k〃)

(i)若該售貨員所說屬實(shí)，則小張從該商店隨機(jī)購買25箱蘋果，記這25箱蘋果的平均質(zhì)

量為丫，求P“W4940).

(ii)若小張每周都會將從該商店買來的蘋果按箱進(jìn)行稱重并記錄，25周后，得到的數(shù)據(jù)都

在(49(X),5100)內(nèi)，計(jì)算出這25箱蘋果質(zhì)量的平均值為4938.77克.小張舉報(bào)了該商店，從概

率的角度說明小張舉報(bào)該商店的理由.

⑵若該售貨員所說屬實(shí)，則現(xiàn)從該商店隨機(jī)抽取100箱蘋果，記這100箱蘋果中質(zhì)量在

(4900,5200)內(nèi)的箱數(shù)為Z，求Z的方差.(結(jié)果保留兩位小數(shù))

附：①若隨機(jī)變量"服從上態(tài)分布N(〃,/)，則P(〃一卜。.6827,

P(/z-2cr<//<//+2<r)?0.9545,P(//-3cr<?;<//4-3。)?0.9973：

②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.

?江“1-0.6827八，1-0.9545八八”.1-0.9973八~、，《

③參考數(shù)據(jù)：--------=0.1587,---------=0.02275,---------=0.00135,

222

0.6827x().3173?0.2166,().8186x().1814?0.1485

19.若存在正實(shí)數(shù)。，對任意xe。，使得〃工/(6工2〃，則稱函數(shù)/6)在D上是一個(gè)“。一

有界函數(shù)

⑴已知函數(shù)〃力=乎在上是一個(gè)“〃一有界函數(shù)''，求〃的取值范圍；

⑵證明：函數(shù)月("=匕學(xué)?在(0胃)上是一個(gè)[―有界函數(shù)”；

i]]]2/一〃

+++

(3)設(shè)證明：tan?0ton1n(nn>+:J>2〃+1?

2tan-3tan-//tan-

23n

試卷第6頁，共6頁

《河北省棗強(qiáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號1234567891()

答案DDDACDCCACDAC

題號11

答案AC

1.D

【分析】求導(dǎo),然后解分式不等式即可.

【詳解】/(力的定義域?yàn)?0,+8),==

XX

1一4r八(A21r\

----->04r1一1v01

因?yàn)?>0,所以/'(">()=x，解得?！慈?/p>

?x>02

x>0

故選：D

2.D

【分析】利用散點(diǎn)圖分析數(shù)據(jù)，判斷相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，殘差的平方和的變化情況.

【詳解】從散點(diǎn)圖可分析出，若去掉。點(diǎn)，

則解釋變量x與響應(yīng)變量y的線性相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，

所以相關(guān)系數(shù)一變大，決定系數(shù)R2變大，殘差平方和變小，

故選：D.

3.D

【分析】根據(jù)表格求出兩者的期望和方差，進(jìn)而得到答案.

【詳解】股票A收益X的期望為七(X)=-2x0.1+0x0.3+2x0.6=l,

方差為。(乂)=(-2-1八0.1+(0-1)，0.3+(2-1八0.6=1.8,

股票B收益Y的期望為曲丫)=0x0.3+1x04+2x0.3=1,

方差為。(y)=(O-1)、0.3+(1-1)10.4+(2-1)2又0.3=。.6,

所以E(x)=E(y),z)(x)>z)(y),

投資股票A的期望收益等于投資股票B的期望收益，

投資股票4的風(fēng)險(xiǎn)比投資股票A的風(fēng)險(xiǎn)小.

故選：D.

4.A

答案第1頁，共12頁

【分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，建立不等式，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，可得答案.

【詳解】由/（力="+8",求導(dǎo)可得r（x）=a-sinx,由題意可得廣（“知，

ftjsinxG[-l,l],則心1,

當(dāng)。=1時(shí)，由/'（可沒有變號零點(diǎn)，符合題意.

故選：A.

5.C

【分析】令事件A表示第1次抽到的不是奶油餅干，事件〃表示第2次抽到的是奶油餅干,

利用條件概率公式2（用力="詈即可求解?.

【詳解】令事件A表示第1次抽到的不是奶油餅干，事件8表示第2次抽到的是奶油餅干,

2

-

44327I

/

-(X---

7\42

-

---7

767

故選：c.

6.D

【分析】檢驗(yàn)所給定條件，結(jié)合正四楂臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四極臺的高擴(kuò)底面邊長，再利用

臺體的體積公式計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)則A8=2a,正四棱臺的各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為

正方形，

在四邊形中，過點(diǎn)A/乍AELA8于點(diǎn)七，AE=；（〃-〃）《，則4公正。，

右2

S.叫A?*”=苧/=124，解得。=4，

在平面ACGA中，過點(diǎn)A作AF_L4C于點(diǎn)〃，則4戶為正四棱臺的高,

.且4F'=；x（8x/i-4夜）=2拉，因此/\.=1人H一4產(chǎn)=/6—8=2忘,

答案第2頁，共12頁

該正四楂臺的體積為V=」(42+"短+8〉2人=生2.

33

故選：D

7.C

【分析】由題意先求〃，令工=-1即可求解.

【詳解】由題意有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C〉又只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以g=5,

解得〃=10,

令x=-1有12x(—1)+1]=%—q+%—/++《0=(—1J=1，

故選：C.

8.C

【分析】設(shè)答對題的個(gè)數(shù)為y,由條件可得y~8(3,〃)，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式和方差公式

求E(y),D(r),根據(jù)關(guān)系X=3V-3,結(jié)合期望性質(zhì)和方差性質(zhì)求E(x),D(x),由此

可得E(x)+O(x)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求結(jié)論.

【詳解】設(shè)答對題的個(gè)數(shù)為y,由己知可得y~8(3,p),

所以E(y)=3p,D(y)=3p(i-p),

因?yàn)槊康李}答對得2分，答錯(cuò)倒扣1分，X為小王答完3道題的總得分，

所以X=2y-(3-y)=3Y-3,

所以E(X)=3E(Y)-3=9p-3,

D(X)=9D(y)=9x3p(l-p)=27p(1-p),

所以七(X)+O(X)=-27〃2+36〃-3=-27(p-g)+9,又O<P<1,

所以當(dāng)p=：時(shí)，E(X)+D(X)取最大值，最大值為9.

故選：C.

9.ACD

【分析】求出依據(jù)回歸方程求得亍，從而可求〃?，故可判斷A,根據(jù)回歸系數(shù)為正判斷

B,求出相關(guān)系數(shù)判斷C,求出預(yù)測值判斷D.

答案第3頁，共12頁

1+2+3+4+5

【詳解】由題設(shè)的數(shù)據(jù)可得工==3,故y=0.6x3+4.2=6,

5

5+5+〃?+6+8

故=6,故，〃=30—10—14=6,故A正確;

5

因?yàn)?.6〉0,故y與4正相關(guān)，故B錯(cuò)誤;

而當(dāng)x=7時(shí)，y=0.6x7-4.2=8.4,故7月份該市新能源汽車銷量約為0.84萬輛，故D正

確；

由表中數(shù)據(jù)可得￡(%-對=10，￡(乂一寸=1+1+1+0+4=7,

1=11=1

而2a-可2=i°，z&-工)(乂-力7,

r-lJ-I

ZU-^)(X-7)7

故「二昌；r故c正確；

JXU-x)

Vr=lV1=1

故選：ACD.

10.AC

【分析】AB選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到兩直線的斜率，得到斜率之積為-1,A正確，B

錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，求出兩切線方程，得到在x軸上的截距，判斷出C正確，D錯(cuò)誤.

【詳解】AB選項(xiàng)，4的斜率為r（A））=e"，t的斜率為g'1）=-e』,

所以尸(%)<(%)=?'°?(-€?)=-/=-1,故A正確，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，4的方程為）=e"令y=0得，x=x0-l,

，2的方程為）』ef=-6』（工一七），令y=0得，x=%+l,

故《，4在x軸上的截距之差的絕對值為K+1-（與-1）|=2,C正確；

D選項(xiàng)，心《在x軸上的截距之積為（3-1）（3+1）=片-IN-1,D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.AC

【分析】對于A將4名男生和3名女生安排3個(gè)人參加AbC活動(dòng)，則有A；即可判斷，對

于B先安排甲，再安排剩下的，利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解，對于C既有男生又有女生則

有C；C；+C；C1再安排參加3項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可判斷，對于D先安排小紅，

答案第4頁，共12頁

再安排剩下即可計(jì)算.

【詳解】對于A：將4名男生和3名女生安排3個(gè)人參加人及。活動(dòng)，則有A；=7x6x5=210,

故A正確；

對于B：若男生甲必須參加其中的一項(xiàng)活動(dòng)，則先將甲安排一項(xiàng)活動(dòng)有C；中排法，

再將剩卜.的2項(xiàng)活動(dòng)安排給剩下的6人有A；,則共有C；A：=90種排法，故B錯(cuò)誤：

對于C：若3人中必須既有男生又有女生，則有(C；C：+C；C)A；=30x6=180,故C正確；

對于D：小紅必須參加且不能安排A活動(dòng)，則安排小紅參加民C活動(dòng)中選一項(xiàng)有C；種排法,

剩下2項(xiàng)活動(dòng)安排給剩下6個(gè)人，則有A；,所以共有C；A：=6()種排法，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.720

【分析】寫出二項(xiàng)展開式為通項(xiàng)公式，然后令r=2即可得解.

【詳解】(2-3x)5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式加=C；25-r.(-3A)z=(-3)r.25-rC；Z,

令r=2得(=(-3)2.CT=720/,/項(xiàng)的系數(shù)為720.

故答案為：720

13.沼乃

【分析】根據(jù)題意，證得AC_L平面八鉆，得到AC/8D,由3￡>_LC￡>,證得AO_L8O,

得到點(diǎn)O落在以A8為直徑的半圓上，結(jié)合圓的周長公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)镻A_L平面48C,且ACu平面44C,所以~4_LAC

又由A8=AC=2.8C=2、E,可得A8?+AC2=3。2,所以AB/AC,

又因?yàn)镻八=且廣A48u平面附3,所以ACJ?平面以5,

因?yàn)?/)u平面FA4,所以

如圖所示，連接82AD,若BD上CD,且81AC=C,且CDACu平面ACO,

所以BO_Z平面AC。，

又因?yàn)锳Du平面AC。，所以

即在平面R3內(nèi)，若AO_L8D,則比>_LCD,即點(diǎn)。落在以A8為直徑的四分之一圓上，

因?yàn)锳B=2,所以點(diǎn)。的機(jī)跡長度為兀x與=g.

答案第5頁，共12頁

14.50

【分析】方法一:由題意，甲獲勝的次數(shù)服從二項(xiàng)分布以100,5人則甲獲勝的次數(shù)的均值為

100x1=50,即可求得甲得分的均值；方法二：由題意，可求得甲獲勝的概率尸(A)=g,進(jìn)

而求出甲得分的均值.

【詳解】方法一:根據(jù)題意，每個(gè)數(shù)位是“0”或的機(jī)會為等,

且事件“五位數(shù)中1的個(gè)數(shù)比。的個(gè)數(shù)多”與事件“五位數(shù)中0的個(gè)數(shù)比1的個(gè)數(shù)多”包含的樣

本點(diǎn)個(gè)數(shù)相同,

因此甲勝的概率為重復(fù)100次這樣的游戲，則甲獲勝的次數(shù)服從二項(xiàng)分布

則甲獲勝的次數(shù)的均值為100x,=50,因此甲得分的均值為2x50+(7)x50=50.

故答案為：50.

方法二：記“一次游戲中，甲獲勝”為事件A,因?yàn)槊總€(gè)教位是“0”或“1”的概率均為

所以P(A)=C；x(￡|*出+口出嗚)+0出

故一次游戲中甲得分的均值為2x；+(T)x(l-；］=；,

重復(fù)100次這樣的游戲，甲得分的均值為100xg=50.

故答案為：50.

15.(1)見解析

(2)在犯錯(cuò)概率不超過0.05的情況下，認(rèn)為學(xué)生成績優(yōu)秀是否與性別沒有關(guān)系

(3)分布列見解析；［

O

【分析】(1)根據(jù)題意完善列聯(lián)表即可；

(2)計(jì)算卡方，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)即可求解：

答案第6頁，共12頁

（3）利用分層抽樣先求抽到的成績優(yōu)秀的男生和女生人數(shù)，再確定X的可能取值，求出對

應(yīng)的概率，即可求解.

【詳解】（1）由題意有

優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)

男生305080

女生5050100

合計(jì)80100180

⑵由⑴:然就。）々—

所以在犯錯(cuò)概率不超過0.05的情況下，認(rèn)為學(xué)生成績優(yōu)秀是否與性別沒有關(guān)系；

（3）由題意有成績優(yōu)秀的男生抽取人數(shù)為30x2Q=3人，女生抽取的人數(shù)為50、2Q=5人,

8080

所以X的可能取值為0,1,2,3,

所以「（、=。）*="（x=］）=署嘴唳=2)=等=京-3)爺吟

jZojZo

"+3，二二位

565628288

16.(I)y=0.64.r+1.52

(2)0.7

【分析】（1）由數(shù)據(jù)求得回歸方程系數(shù)，即可求解;

（2）由全概率公式即可求解;

屋掙尸6,

【詳解】(1)x==7,

3l=i

答案第7頁，共12頁

3”,-8x.y

379.5-8x7x643,5

由參考數(shù)據(jù)，；=V--------^0.64

460-8x7,一NT

Z—2

i=l

-A-435

所以4=），-"=6-3x7。1.52

68

故廣告費(fèi)投入y關(guān)于年銷含量入的回歸方程為），=0.64x+L52.

（2）設(shè)A="在甲汽車店購買汽車''，分=”在乙汽車店購買汽車”,

4=”購買的是新能源汽車”，

P（A）=P（修）=0.5,P（A：IA）=0.6,P（A2IB,）=0.8,

由全概率公式得，P（4）=P（A）P（4I4）+P（4）P（&IM）=0.5X0.6+0.5X0.8=（）.7.

17.（I）y=2

⑵答案見解析

⑶答案見解析

【分析】（1）由函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得斜率與切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程,

可得答案；

（2）由函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可

得答案；

（3）由函數(shù)求導(dǎo)，利用極大值的判定條件，根據(jù)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案

【詳解】（1）由。=0,則〃x）=2e2'-4x,求導(dǎo)可得r（x）=4e2*-4,

所以函數(shù)/（x）在x=0處的切線斜率％=:（。）=。，/（0）=2,

故切線方程為）』2=0"-0）,化簡可得y=2.

（2）由/（x）=ae4x_2（a_l）e2*_4x,求導(dǎo)可得/'（司=4，汜4'_4（。_1”2'_4,

化簡可得了。）=4體筋+1）伊-1），

當(dāng)4=0時(shí)，r（x）=4（e2'-l）,令r（x）=0得x=0,

由r（x）＜o(jì)得不＜（）,由r（x）＞。得x＞。，

所以函數(shù)/（X）在（y,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增；

答案第8頁，共12頁

當(dāng)〃〉()時(shí)，令r(x)=o得x=o,由r(x)<o得xvo,由ra)>o得%>0,

所以函數(shù)/(1)在(3，。)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得

當(dāng).20時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).

(3)由(2)可知當(dāng)〃之0時(shí)，”丫)無極大值：

當(dāng)代0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)廣(力=4(血2、1)e一1),則令/。)=0得x=-gln(F)或0,

當(dāng)一1<〃<0時(shí)，即0<—In(-a),

由了'(X)<。得x<0或x>-gln(-〃)，由/,(^)>0^0<^<-^ln(-￡z),

所以函數(shù)/(力的極大值為/1；ln(—a))=21n(—a)—5；

當(dāng)。二一1時(shí)，即一;皿-司=0,則/'(力<0,函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞減，無極大值;

當(dāng)av-1時(shí)，即一51n(-a]<0,

由/'(6<0得4>0或工〈一3111(-4),由/'(4)>0得一gin(-a)vxv。，

所以函數(shù)/(x)的極大值為/(。)=2-七

綜上所述，當(dāng)。=-1或。20時(shí)，函數(shù)/(X)無極大值；

2

當(dāng)一1<〃<0時(shí)，函數(shù)“X)的極大值為21n(-4)-,；

當(dāng)av-1時(shí)，函數(shù)/(%)的極大值為2-a.

18.(1)(i)0.00135；(ii)理由見解析；

(2)14.85.

【分析】(1)(i)根據(jù)已知y~N(5000,202),應(yīng)用特殊區(qū)間的概率及正態(tài)分布的對稱性求

P(r<4940)；(ii)根據(jù)(i)結(jié)果及已知小概率事件的定義得結(jié)論；

(2)設(shè)該大型超市所出售的每箱蘋果的質(zhì)量為K,且K~N(5OOO,1(X)2),應(yīng)用特殊區(qū)間的

概率求得P(4900<K<5200)=0.8186,進(jìn)而有Z~8(10008186)并應(yīng)用二項(xiàng)分布的方差公

式求方差.

答案第9頁，共12頁

【詳解】(1)(i)依題意得，噤=400=20,所以y~N(5(X)O,2()2).

設(shè)〃=5000,0-,=20,因?yàn)镻(〃-35<丫W(wǎng)〃+3歷)a0.9973,

則?(y<4940)二尸(y45000-3x20)=—=0.00135；

(ii)由⑴得尸“44%0卜0.00135.

囚為小張計(jì)算出這25箱車果質(zhì)量的平均值為4938.77克，且4938.77<4940,

所以0.00135<0.05,則小張購買的這25箱蘋果質(zhì)量的平均值為4938.77克屬于小概率事件,

小概率事件基本不會發(fā)生，這就是小張舉報(bào)該超市的理由.

(2)設(shè)該大型超市所出售的每箱蘋果的質(zhì)量為K,則K~N(5OOO』O()2).

設(shè)〃=5000。=100,由4900=5000-100,5200=5000+2x100,

得P(4900<K<5200)=5000-100<K<5000+200)

~“r、0.6827+0.9545

=P(//-cr<K</.i+2。)x-------------=0n.o8i1o86r,

根據(jù)題意，得隨機(jī)變量Z~8(100,0.8186),故。(Z)=100x0.8186x(l-0.8186卜14.85.

32

19.(1)[—,-]

2九n

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)〃力=乎在今微上的單調(diào)性，求得

2a>-

==j依題解不等式27t即得；

a<—

n

Z\--

jrI1

(2)由題意，將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化成需證“xe0,-時(shí)，1X2<1-COSX<^A-2",分別構(gòu)造函數(shù)

〃?(工)=3￡+8§1_],工《()，1)和函數(shù)女(刈=:/+8馱_]/{0弓)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單

調(diào)性，完成證明：

2

(3)利用(2),可得當(dāng)0<x<9時(shí)，cosx>I-匕且x>sinr,利用該結(jié)論，化簡放縮得到

22

11112(\1)

蒜繼而推出當(dāng)〃GN*時(shí)，嬴r左二7〔罰一亦再利用

nn

裂項(xiàng)相消法即可得證.

答案第10頁，共12頁

【詳解】⑴由函數(shù)小）=?在花上是一個(gè)“。一有界函數(shù)”,

,、Acosx-sinr../.

由/（x）=----------,令x=Acosx-sinx,

則〃'（x）=—Kiru<0,因此力（x）在上單調(diào)遞減，

即rw<o,

因此/（X）在龍上單調(diào)遞減，故