河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.（x-iyu的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.-C；。B.Cf0C.-C：oD.

2.變量x與），的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如卜圖所示，據(jù)此可以推斷變量工與），之間（）

y八

8-?

6-

4-*

2--■

11111??

O1~~2~~3~~4~~5X

A.很可能存在負(fù)相關(guān)B.一定存在負(fù)相關(guān)

C.很可能存在正相關(guān)D.一定不存在正相關(guān)

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為力，若q+%+%=15,%+&+牝=21,則兀=（）

A.72B.100C.144D.156

4.設(shè)隨機(jī)變量X~N（（）,22）,隨機(jī)變量y?N（0.32）,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.尸（|X|G）vP（|y|Ml）B.P（X<0）=P（Y<0）

C.P（-2<X<2）=Pi-3<r<3）D.P（X<-2）+P（X<2）=l

5.若直線y="是曲線y=mx+i的一條切線，則人（）

A.-B.1C.eD.e2

e

6.函數(shù)=加+以+1的圖象如圖所示，則（）

7]\r

A.a<0B.b>0C.c<0D.d<0

7.已知圓C:(x+2『+)；=4,直線/:("7+l)x+2)，-l+m=O(〃zwR),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.直線/與圓C不可能相切

B.當(dāng)〃7=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

C.恰有三條直線與圓C和圓V+),2_2x+8〉+8=0都相切

D.直線/與直線2工-(〃?+1))，=()垂直

8.如圖，在正方體中，過(guò)點(diǎn)A作一平面a,使得正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在a

的同一側(cè)，且A，B,。三個(gè)點(diǎn)到。的距離分別為3,4,5,則該正方體的棱長(zhǎng)為()

&

/"/

A.4x/2B.572C.40D.12

二、多選題

9.(多選題)已知點(diǎn)4一3,—4),8(6,3)到直線/：ar+y+l=0的距離相等，則實(shí)數(shù)。的值

等于()

A.-B.

9~3

\_

C.—D.

93

10.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，有四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的外觀相同的箱子，其中只有一個(gè)箱子

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

里有獎(jiǎng)品（只有主持人知道哪個(gè)箱子有獎(jiǎng)品）.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在四個(gè)箱子中選

擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由抽獎(jiǎng)人獲得.抽獎(jiǎng)人首次隨機(jī)選擇了一個(gè)箱子，在抽

獎(jiǎng)人打開之前，主持人先打開了剩下的三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子，此時(shí)抽獎(jiǎng)入有一次重新選

擇的機(jī)會(huì)，則以下說(shuō)法正確的有（）

A.抽獎(jiǎng)人在初始選擇中，每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率均為:

4

B.主持人打開一個(gè)空箱子后，每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率均為g,抽獎(jiǎng)人不必?fù)Q選箱子

C.主持人打開一個(gè)空箱子后，抽獎(jiǎng)人換選剩下兩個(gè)未開箱中的一個(gè)可使中獎(jiǎng)概率升至?

O

D.每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率始終為;，主持人打開一個(gè)空箱子后，抽獎(jiǎng)人不必?fù)Q選箱子

11.如圖，陰影部分（含邊界）所示的四葉圖是由拋物線C：y2=2px（p>0）繞其頂點(diǎn)分別

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，180。，270。后所得的三條曲線及C圍成的，若P=l,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.開口向上的拋物線的方程為y=

B.四葉圖上兩點(diǎn)間距離的最大值為2夜

C.動(dòng)直線x+），=/（代R）被第一象限的葉子所截得的弦長(zhǎng)的最大值為當(dāng)

D.四葉圖的面積大于4且小于8

三、填空題

12.與橢圓工+《=1有公共焦點(diǎn)，且漸近線方程為），=？["的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___.

49244

13.從4名男生和3名女生中選出3人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，要求選出的3人中必須有女生,

且男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，則有種不同選法（用數(shù)字作答）.

14.如圖，兩條異面直線〃、力所成的角為?在直線a”上分別取點(diǎn)4,七和點(diǎn)A,F,使

AA

(1)求A;

(2)若Z?=c=3,點(diǎn)DE,F分別在邊AC,BC,A3上，6=1,將△用步沿著線段對(duì)

折后，恰好使得點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，求.QEE的面積.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃頂和為S。，且《=1,5”=《勺”(〃￡產(chǎn)).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵在數(shù)列｛2｝中，包=4+1。83工，求數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)和

18.如圖，在四棱錐2ABe。中，平面A4O_L平面ABCO,底面ABCO是邊長(zhǎng)為2的菱形,

NB4O=60。，PA=PD=42,￡是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.

⑴求證：AIUPB；

(2)是否存在點(diǎn)Q,使。。與平面。EQ所成角的正弦值為更，若存在，求瞿的值；若不存

5iC

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

已知橢圓C:/+/=lg"O)的離心率為當(dāng)

19.，且點(diǎn)A(百」)在橢圓上

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵橢圓。的左焦點(diǎn)為F，若T為直線人=-3上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸且與"'垂直的直線交橢圓。丁

P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M

(i)證明：點(diǎn)M在宜線07上(0為原點(diǎn))；

(ii)求AOP。的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)7的坐標(biāo).

20.已知函數(shù)/(x)=er-e-v+ax(aeR).

⑴當(dāng)〃=-2時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性;

⑵若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)演，與，

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：＞〃+2.

司一9

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《河南省洛陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CACABCBBBCAC

題號(hào)11

答案ACD

1.C

【分析】先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),通過(guò)通項(xiàng)即可求解.

【詳解】由題得乙二￡。產(chǎn)r(-l)?=OJ2,10),

令r=5,所以7；=C：OX5(T)5=—C：OX5,

所以3-1尸的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是-C1

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖以及相關(guān)關(guān)系的定義判斷即可.

【詳解】從散點(diǎn)圖看，這些點(diǎn)在一條線的附近，且從左上角到右下角呈遞減的趨勢(shì),

所以據(jù)此可以推斷變量x與y之間可能存在負(fù)相關(guān).

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式、求和公式”算得解.

【詳解】由41+%+%=3%=15,解得%=5,

由42+%+%=3%=21,解得%=7,

所以d=〃4一/=7-5=2,q=6-2〃=5-4=1,

所以工=124+^^x1=12+132=144,

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閄~N(O,22),則〃=0,5=2,y~Mo3),則〃=0,%=3,

對(duì)于A：因?yàn)?<%，所以隨機(jī)變量X所對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更瘦高，數(shù)據(jù)更集中，

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

所以尸(|x|wi)>p(|y|wi),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由于兩個(gè)隨機(jī)變量的均值都為0,所以p(x?o)=p(y?o)=g,故B正確；

對(duì)于C：P(-2<X<2)=P(//-cr1<X<z/+cr1),P(-3<r<3)=P(x/-cr2<X<//+cF2),

所以尸(―2KX42)=P(—34丫43),故C正確；

對(duì)于D：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，P(X<-2)=P(X>2),

所以尸(XW-2)+P(X<2)=尸(X<2)+P(X22)=1,故D正確.

故選：A.

5.B

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(41na+l),由斜率得出&=5,乂切點(diǎn)在切線上，則lna+l=①，解方

程組即0J.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(a』na+l),因丁=一，則切線斜率為一,即攵=/

又點(diǎn)(c/Jna+l)在切線y=丘上，則hi〃+l=hr,解得々=1.

故選：B.

6.C

【分析】先求解出了'(X)，再根據(jù)/(X)的圖象分析4/Md的取值情況，由此判斷出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(力=?1+匕/+以+d,所以/'(力=3加+2/2K+C,

由圖象可知：/(%)先增后減再增，所以廣(力先為正，再為負(fù)，最后又為正，所以。>0,

因?yàn)?，9為/("的兩個(gè)極值點(diǎn)，且%9<0,所以以〈°，所以cvO，

又因?yàn)椤?)>0,所以d>0.

由結(jié)合圖象可知3ap+2歷+c=0的一正一負(fù)兩根中，正根的絕對(duì)值大于負(fù)根的絕對(duì)值，

故兩根之和大于0,即-?>0.

5a

由。>0可知Z>v0.

綜上可知：t?>0,〃<(),c<0,〃>().

故選：C.

7.B

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】對(duì)于A項(xiàng)，求出直線/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，即可判斷；對(duì)于B

項(xiàng)，代入,〃=0,得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案：對(duì)于C項(xiàng)，根

據(jù)兩直線的系數(shù)計(jì)算即可得出；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓

心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，整理直線/:(〃?+l)x+2)，—l+〃?=0Q〃eR)

可得出m(r+1)+.r+2y-l=0,

解方程組|x+2；_]=0可得二;，直線/過(guò)定點(diǎn)A(T1).

圓C:(x+2)2+)，2=4的圓心為C(-2,0),半徑為〃=2,

則|AC|=J(_2+])2+(0_l)2=正<2,

所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，即直線/過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)，

所以，直線/與圓。一定用交，不可能相切.故A正確；

對(duì)于B項(xiàng),當(dāng)〃?=0時(shí)，直線/化為x+2)，-l=0.

此時(shí)有圓心。(一2,0)到直線/的距高d=里”=攣，且1<d<2,

VI'+225

因此圓C上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于I.故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，圓/+)，2—2x+8y+8=0可化為(x-iy+()，+4)2=9,

圓心為M(LT),半徑為R=3.

因?yàn)閨MC|=5=r+R,所以兩圓外切，

即恰有三條直線與圓。和圓V+丁―+8、，+8=0都相切，故C正確:

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?〃?+1)X2-2(〃7+1)=O,

所以直線/與直線2x-(，〃+l)y=0垂直，故D項(xiàng)正確.

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

故選：B

8.B

【分析】以A為原點(diǎn)建系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，平面。的法向量為〃?=a，yz),根據(jù)點(diǎn)到

面的距離公式列出關(guān)于％y，ZM的方程組即可求解.

【詳解】以A為原點(diǎn)，ADAZAAA所在直線為川*軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為〃，

則4(0,0,0)，4(0,0,4),8(040),￡>(40,0),0件0仁，4(4?！?,

則A4,=(0,0,a),A3=(0,G,0),AO=(a,0,0),04=(—/a—9，

設(shè)平面儀的法向量為〃7=(x,)\z),

M?可|同AD-m

則一3,-5,

|,M|J/+9+z?

則x2+y2+z2

令f=25k,y2=16k.z2=9k,k>(),則50A=a2,

設(shè)AQcAA=。，則。為線段A。的中點(diǎn),

因A，。到。的距離分別為3,5,則0到。的距離分別為4,

因Aea,且。為線段AQ的中點(diǎn)，則R到。的距離分別為8,

?川—|av+?z|_|a￥+?z|_|av+?z|

則=|x+z|=8,

帆y]x2+y2+z2V50la

又B到。的距離為4,則08〃a,PJiJ—^x+ay--|z=0,即2y=x+z,則|),|=4,

貝！j左=1,a=5\/2>

則該正方體的棱長(zhǎng)為5&.

故選：B

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】根據(jù)A和〃到直線/的距離相等，利用點(diǎn)A和點(diǎn)3到直線的距離公式，由

1-3?-44-11|6〃+3+1|一,

J------[=?/、?求解.

\la2+\

【詳解】因?yàn)锳和3到直線/的距離相等，由點(diǎn)A和點(diǎn)8到直線的距離公式,

|3a4I1|_|6<2I311|

可得

J/+1J/+1

化簡(jiǎn)得W+3|=|6a+4|,

所以3a+3=±(6a+4),

71

解得a二或一§，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，還考杳了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.AC

【分析】根據(jù)古典概型判斷A,B,D選項(xiàng)，根據(jù)條件概率判斷選項(xiàng)C.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，抽獎(jiǎng)人在不知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子的情況下，每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率均

為！,即A正確；

4

對(duì)于B選項(xiàng)，主持人打開一個(gè)空箱后，抽獎(jiǎng)人最初選的箱子中獎(jiǎng)的概率仍為;，而非?，剩

43

余未選的箱子中，每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率提高了，故抽獎(jiǎng)人需要換選箱子，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c選項(xiàng)，抽獎(jiǎng)人剛開始選錯(cuò)的概率為。，換選時(shí)在剩余的兩箱中選中獎(jiǎng)箱的概率為:，

42

所以抽獎(jiǎng)人換選剩下兩個(gè)未開箱中的一個(gè)可使中獎(jiǎng)概率為］,故C正確；

O

對(duì)于D選項(xiàng)，初始選擇后每個(gè)箱子中獎(jiǎng)的概率始終為;，但主持人打開空箱后，未選的箱

4

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

子概率變化了，并非始終為；，故抽獎(jiǎng)人需要換選箱子，故D錯(cuò)誤.

4

故選：AC

11.ACD

【分析】對(duì)于A,利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對(duì)稱軸變化，即可確定拋物線方程；對(duì)于B,

聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，四葉圖上兩點(diǎn)間距高的最大值為對(duì)FC,由圖

像對(duì)稱性，當(dāng)與0A平行的直線分別與拋物線相切時(shí)的弦取得最大，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求

切點(diǎn)根據(jù)對(duì)稱性再得到即可求弦長(zhǎng)最大值；對(duì)于D,第一象限花瓣的

面積大于四邊形。MAN的面積且小于以04為長(zhǎng)，MN為寬矩形的面積，求得相關(guān)面積即可.

【詳解】由題知〃開口向右的拋物線方程為2工，焦點(diǎn)

所以開口向上的拋物線方程為/=2），，即），=；/,故A正確；

y2=2xfx=2..

又2.=所以A2,2,

f=2），[y=2

根據(jù)對(duì)稱性可得四葉圖上兩點(diǎn)間距離的最大值為210Al=4a,故B錯(cuò)誤;

且在第一象限的區(qū)域關(guān)。4對(duì)稱，直線x+），=/與

直線。4垂直,

所以在第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大時(shí)，即作與04平行的直線分別與拋物線相切時(shí),

設(shè)切點(diǎn)為M，N,開口向上的拋物線方程為y=,

又y'=x=i,所以切點(diǎn)由對(duì)稱可得切點(diǎn)

此時(shí)弦長(zhǎng)最大值=故c正確;

由圖知第一象限花瓣的面積大于四邊形OMAN的面積,

且小于以。4為長(zhǎng)，MN為寬矩形的面積,

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

???MN1OA]MN\==2夜，.二SOMAN=1|M/V||OX|=1,

以O(shè)A為長(zhǎng)，MN為寬矩形的面積S=2五x"=2,

2

所以陰影區(qū)域面積大于4且小于8,故D正確；

故選：ACD.

12.--^-=1

169

【分析】通過(guò)橢圓表達(dá)式求得C?=25,再由漸近線得雙曲線4/的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的

。2=/+從即可求解.

【詳解】由題知/=49-24=25,焦點(diǎn)落在x軸，

又漸近線方程為丁=±1二則2所以￡=2,

又02=42+62=25,解得/=16?=9,故雙曲線的方程為二-￡=1.

169

故答案為：—-^-=1.

169

13.22

【分析】分甲入選，乙沒入選；乙入選，甲沒入選和甲乙均入選三種情況，求出不同選法相

加即可.

【詳解】若甲入選，乙沒入選，則從除甲乙外的5人中至少選擇1個(gè)女生，有C；C；+C；=7

種情況，

若乙入選，甲沒入選，則從除甲乙外的5人中隨便選擇2人，有C；=10種情況，

若甲乙均入選，則從除甲乙外的5人中隨便選擇1人，有C；=5種情況，

綜上,共有7+10+5=22種情況.

故答案為：22

14.夜或#/#或&

【分析】根據(jù)空間向最基本定理，將EF用￡4,AAA/；表示出來(lái)，借助于相關(guān)模長(zhǎng)、夾角

條件，利

用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律列出方程，求解即得.

【詳解】

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

7

則IE萬(wàn)『=(EA，+A4+A尸產(chǎn)WEA『+14*2+14用2+2^.^+2Al.AF+2E4.AF

當(dāng)E4'-AF=1時(shí)，可得1+/+4+2=9，解得：d=&：

當(dāng)EA-AP=-1時(shí)，可得l+/+4-2=9,解得d=娓.

綜上可知，即公垂線段AV的長(zhǎng)為&或指.

故答案為：母或瓜.

15.(1)能認(rèn)為不同性別的游客對(duì)該活動(dòng)的評(píng)價(jià)有差異；

37

⑵分布列見解析，

2o

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表并應(yīng)用卡方公式求卡方值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)基本思想得結(jié)論；

(2)由題設(shè)X所有可能取值為0,1,2,并求出對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列，進(jìn)而求期望.

【詳解】(I)零假設(shè)為不同性別的游客對(duì)該活動(dòng)的評(píng)價(jià)沒有差異.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到72=150x(30x60-20x40)2/5?5.357>3.841=x005?

50x1()0x70x8014

故依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷兒不成立，即能認(rèn)為不同性別的游客對(duì)

該活動(dòng)的評(píng)價(jià)有差異.

(2)根據(jù)題意，用頻率估計(jì)概率，女性對(duì)活動(dòng)非常滿意的概率為王40=亍4，男性對(duì)活動(dòng)非常

滿意的概率為崇:.

所以X所有可能取值為0,I,2,MP(X=O)=^-^UI-1J=A,

>

p(X=l)=h-llx-+-Xf|p(x=2)=-x-=-.

、，I7)47I28I7747

故X的分布列為

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

X012

3133

P

28287

n3.13337

E(X)=Ox—x1xF2x-=—.

,)2828728

16.⑴A=]

⑵遮

80

【分析】（I）由正弦定理和輔助角公式可得A=《；

（2）設(shè)BE=DE=x,則CE=3-x,在.CED中，由余弦定理可求解OE,同理OF,進(jìn)而求

解-DE尸面積.

【詳解】（1）由正弦定理，可得

sirt4cosc+\/3sirL4sinC=sinB+sinC?

sinAcosC+\/3sin4sinC=sin(A+C)+sinC,

sin人cosC+GsinAsinC=sin>4cosC+cos/lsinC+sinC,

，Gsin/l-cosA=I,即sin]=—.

k6)2

在VA4c中0<A<兀A=即4==.

666663

(2)設(shè)BE=ED=x,則CE=3-x.

在△CEO中，由余弦定理可得。序=5+CE2_2CD,/.cosg,

J

即x2=I2+(3-Jt)2-2xlx(3-x)x-,解得x=2.

25

7

同理，在△AH)中，由余弦定理可得?！?:.

4

又ZEDF=NB=5,

?c_1._177>/3_49>/3

??Scc——DE?DnFr?sinN/ErZn)/r一一x—x—x——-------?

阻n2254280

[1,(〃=1)，

",⑴"”=：2.3/(,?>2).

2

(2)7；=3”T+gl,neN\

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】(1)利用，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得勺.

[Sn-Sn_rn>2

(2)先由(1)得二=2-31+〃一1,再利用分組求和法求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)〃時(shí)，可得：&=2S|=24=2；

當(dāng)〃22時(shí)，Sn=1crfl+1,$“_|=我，

兩式相減，得即%=3(,

所以當(dāng)2時(shí)，｛4｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以%=2-3-々,

因?yàn)閰n=1不滿足上式，

所以叫[12,.3\(72=1),

(2)當(dāng)〃=1時(shí),4=1；

當(dāng)〃之2時(shí)，5,=323小，所以"=23-+〃_1,

0,2

A7；1=14-2(3+3+3++3"-2)+口+2+3+-1)]

〃=1時(shí)，3^+，!?=】，上式也成立.

??r=3+--------,〃eN.

“2

18.(1)證明見解析

⑵存在,震=;或土

【分析】(1)取AO中點(diǎn)。，連接OP,0B,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用線面垂直的判定定

理得4。3_平面PBO,進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PQ=/PC,則。卜2/,后,1一)，求出平面。EQ的

法向量，利用線面角的向量公式列方程求出匕即可得解.

【詳解】(I)證明：取4。中點(diǎn)0,連接OP,OB.

VPA=PD,/.HOA.AD,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

在菱形ABC。中，NBCD=60°,可得一陰。為等邊三角形,

ABO1AD,又???P0,BOu平面P80,且P0c80=0,

)

，")_1_平面/8。，???出?(=平面。8。，??.4)，心.

(2)解：VPOVAD,平面Q4DJL平面ABCO,平面BAQc平面A8C￡)=AD,

且POu平面處。，，PO_L平面A8CQ,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OP所在直線分別為x,y,2軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

MD(-l,0,0),E(TGO),P(0,0,l),c(—2,6,0),

假設(shè)存在點(diǎn)。滿足題意，設(shè)PQ=fPC,/?05，

則OQ=O尸+PQ=OP+f尸C=(0.0,l)+/(一2,6,-1)=卜2r,?』T),

.\C(-2r,V3M-r),DE=(0.V3.0),OQ=(「2f,G，T,DC=(-1,73,0),

設(shè)平面DEQ的法向量為n=(x,)，,z),

nDE=y/3y=0,

/iDC=(l-2/)x+x/3ry+(l-/)z=0,

t-\

令z=l,則y=。,x=----

1—2/

13

設(shè)0c與平面所成角為。，則，解得f=g或/=1.

JJ

???存在點(diǎn)Q,使得。。與平面?！闝所成角的正弦值為更，此時(shí)黑=；或"

5/(,J3

19.(1)—+^=1

62

(2)(i)證明見解析；(ii)面積最大值為白，點(diǎn)T的坐標(biāo)(-3,±1).

【分析】(1)利用離心率和橢圓過(guò)的點(diǎn)列方程求解即可;

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

（2）（i）設(shè)PQ,y）,Q（w，M，易知直線PQ的斜率不為O,設(shè)。。的方程為1=/號(hào)-2,

代入橢圓方程，韋達(dá)定理，求出PQ的中點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而有心”=女”，即可證明；

（ii）由（i）可得s.二巫晅亙,利用基本不等式求得△OPQ的面積最大值及此時(shí)

O,Q〃/+3

點(diǎn)T的坐標(biāo).

222

【詳解】（1）由題知￡=@，:…-旦a，Ah=a-^=^t

a333

a=

又（"）+—=1***?R?b=>/2?

???橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為E+f=1.

62

（2）（i）由題可設(shè)P（x，y）,。（9,丁2），PQ的中點(diǎn)為M（Xo，）b），

若青線PQ的斜率為0,不存在滿足"_LPQ的點(diǎn)。故設(shè)PQ的方程為x=〃?y-2,

代入橢圓方程得（>+3*一4⑺-2=0,

4〃?2m6

則)1+%=2,')'l')'2=-2"7，＞0=2?M=2-T

m+3m+3m+3m+3

的方程為）」0=T〃（X+2）,令K