專題37幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題

?方法技巧

問(wèn)題分析

“費(fèi)馬點(diǎn)”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn),主要分為兩種情況：

(I)當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于12()。的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)6。度，從而將“不等三爪圖''中

三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題。

(2)當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).

費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題解題的核心技巧：

旋轉(zhuǎn)60。-＞構(gòu)造等邊二角形將“不等二爪圖”中二條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上令利用兩點(diǎn)之間線段最短

求解問(wèn)題

模型展示：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC的值最小.

當(dāng)點(diǎn)P滿足NAPB=NBPC=NCPA=120。，則PA+PB+PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

特別地，△ABC中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A

(這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°)

費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：

I.費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。

2.費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為12()。。

最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。證明過(guò)程：

將AAPC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AQE,連接PQ,則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PO+PB+PC,當(dāng)B、P、0、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE

回題型精講

B'C

【答案】6>/3

【詳解】

將ABMN繞點(diǎn)、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BNE,ZMBN=ZCBE=60°,AMN=BM

VMC=NE/.AM+MB+CM=AM+MN+NE.當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)夫線時(shí)取最小值A(chǔ)E.

故答案為66.

A、

D

M

BC

N

E

【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),

將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：AAMB^AENB：

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。?/p>

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由;

【答案】

(1)△AMB^AENB,證明略。

(2)①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小.

②連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM+BM+CM的值最小，圖略

(3)41

【解析】解：⑴?二△ABE是等邊三角形，

ABA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,

ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NBMA=NNBE.

又?.?MB=NB,

r.AAMB^AENB(SAS)

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小

②如圖，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AM+BM+CM的值最小

理由如下：連接MN.由⑴知，△AMBZ^ENB,

???AM=EN.

VZMBN=60°,MB=NB,

AABMN是等邊三角形.

???BM=MN.

.??AM+BM+CM=EN+MN+CM

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

???當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)

⑶過(guò)E點(diǎn)作EF1BC交CB的延長(zhǎng)線于F,

.,.ZEBF=90o-600=30o,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則BF=3X,EF=-.

22

在RSEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

解得，x=V2(舍去負(fù)值).

???正方形的邊長(zhǎng)為行

M提分作業(yè)

1.如圖，已知矩形/WCO,人8=4,BC=6,點(diǎn)、M為矩形內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)E為8C邊上任意一點(diǎn)，則M4+MO+ME

的最小值為.

【分析】依然構(gòu)造60。旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為?條直線段.

分別以4。、AM為邊構(gòu)造等邊△A。尸、等邊aAMG,連接FG,

易讓△AMQgZ\AGE:.MD=GF

ME+MA+MD=ME+EG+GF

過(guò)F作FHLBC交BC于H點(diǎn),線段切的長(zhǎng)即為所求的最小值.

2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60。，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，

將AABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△EBF,當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）

【答案】D

【詳解】

解：如圖，

???將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△EBF,

/.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

???△BFG是等邊三角形.

.\BF=BG=FG,.

，AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，

???當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，

過(guò)E點(diǎn)作EFXBC交CB的延長(zhǎng)線于F,

.?.ZEBF=180°l20o=60°,

VBC=4,

???BF=2,EF=2g,在RSEFC中，

VEF^+FC^EC2,

：.EC=4y/3.

VZCBE=120°,

???ZBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,

AEF=BF=FG,

故選：D.

3.如圖，已知矩形/WCQ,AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)、E為BC邊上任意一點(diǎn)，則M4+MO+ME

的最小值為_(kāi)_____.

【解析】依然構(gòu)造60。旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF.等邊△AMG,連接FG,

易證△AM。出△AGF,：.MD=GF

???ME+MA+MD=ME+EG+GF

If

8憶--------------^=^(7

【解析】如圖，連接AC，把△AEC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△GFC,連接E/、BG、AG,

可知AEFC、ZMGC都是等邊三角形，則EF=CE.又FG二AE,

:?AE+BE+CE=BE+EF+FG.

???點(diǎn)8、點(diǎn)G為定點(diǎn)(G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。所得).

:.線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、〃兩點(diǎn)都在8G上.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為。，那么

5.已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。ZAGC=ZAGB=ZBGC=120°.

求證：GA+GB+GC的值最小.

【解析】證明：將ABGC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，5SGRDB.ro△CGB^ACPD；

???ZCPD=ZCGB=120°,CG=CRGB=PD.BC=DC,ZGCB=ZPCD.

■:ZGCP=60°,.\ZBCD=60°,AAGCPBCD都是等邊三角形。

VZAGC=120°,ZCGP=60°.AA.G、P三點(diǎn)一線。

,/ZCPD=I2O°,ZCPG=60°.AG.P、D三點(diǎn)一線。

AAGsGP、PD三條線段同在一條直線上。

*/GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

???G點(diǎn)是等腰三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的那?點(diǎn)

6.若點(diǎn)P為4人8。所在平面上一點(diǎn)，且/AP8=N8PC=/C弘=120。，則點(diǎn)P叫做△A8C的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)若。為銳角△A8C的費(fèi)馬點(diǎn)，且乙48c=60。，PA=3,PC=4,則P8的值為；

(2)如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△AC9,連結(jié)B所.求證：B夕過(guò)△A8C的費(fèi)馬點(diǎn)P,且89=以

+PB+PC.

A_______________

【解析】（1）VZPAB+ZPBA=1800-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZPAB=ZPBC,

又?:ZAPB=ZBPC=120°,AAABP^ABCP,

(2)設(shè)點(diǎn)。為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即NAP4=N4PC=NCP4=120。

如圖，把△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△夕CE,連結(jié)PE,則AEPC為正三角形.

V=ZAPC=120°,ZPEC=60°,,N8EC+NPEC=180。，即P、E、8'三點(diǎn)在同一一直線上,

VZBPC=120°,ZCPE=60°,ZBPC+NCPE=180°,即B、P、E三點(diǎn)在同一直線上

???3、F、E、B'四點(diǎn)在同一宜線上，即，ZT過(guò)A/WC的費(fèi)馬點(diǎn)P.

又PE=PC,B'E=PA,/.BB'=EB,+PBJi-PE=PA+PBJi-PC.

(1)如圖1,將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整(無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法)；②求砂2的取值范圍；

(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

【詳解】

(1)①如圖△DCF即為所求;

②丁四邊形ABCD是正方形,

?，?BC=AB=2&,ZB=90°,ZDAE=ZADC=45°,

■:AADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCF,

AZDCF=ZDAE=45°,AE=CF,

???NECF=ZACD+ZDCF=90°,

設(shè)AE=CF=x,EF2=y,則EC=4-x,

Ay=(4-x)24-x2=2x2-8x4-l6(J(0<x<4).

即y=2(x-2)2+8,

V2>0,

???x=2時(shí)，y有最小值，最小值為8,

當(dāng)x=4時(shí)，y最大值=16,

A8<EF2<16.

(2)如圖中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4AFG,連接EG,DF.作FH