高三數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=(l—9)1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出z,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.

【詳解】復(fù)數(shù)2=(l-6i)i=6+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(6,1)位于第一象限.

故選:A

2.已知集合4={1,2,3,4,5,6},夕={戈|/一2式一3>0},則4|[3=()

A.0B.{1,2}C.{4,5,6}D.{1,2,3,4,5,6}

【答案】C

【解析】

【分析】先解一元二次不等式，求出集合中的元素，再根據(jù)集合交集的概念，求出結(jié)果.

【詳解】x2-2x-3>0?解得一1或工>3,

則集合8={x|xv—l或x>3},則Ac3={4,5,6}.

故選：C.

3.圓T2+=1與直線x+&y+l=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不確定的

【答案】A

【解析】

【分析】求出圓心到直線距離，進(jìn)而判斷位置關(guān)系.

j11,

［詳解】圓V+）戶=1圓心。（0,0）到直線X+72V+1=0的距離d="+（揚(yáng)2=耳＜，

所以圓/+）,2=1與直線H四）葉1=0的位置關(guān)系是相交.

故選：A

4已知向量%5滿足同=2*6,且打但一到,則卜一耳二（）

A.OB.3C.6D.373

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)B_L（方一口），得?。ㄈf(wàn)一口）=0,可求出幾萬(wàn)的值，維而根據(jù)卜一新工『，即可求得

答案.

【詳解】由題意知向量扇方滿足同=2刊=6,且辦他叫，

故大（5-〃）=0,b2-ha=0＞即32-＞。=0,.?.幾1=9，即23=9，

則卜_石卜JL=五一2萬(wàn)?『+戶=162-2x9+32=3技

故選：D

5.已知定義在R上的函數(shù)/（“滿足〃力一/（工一力=一/（￡,則〃2）=（）

A.OB.1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】通過(guò)賦值法先求出〃0）,/⑴，繼而求得“2）.

【詳解】由"X）—/（工一了）=一/。）得，

令上=1,），=（）,則/⑴_(tái)/⑴=_/（0）,得〃0）二0；

令x=y=l,則/（1）_/（。）=_/（1），得/（1）=0；

令.“2,y=l,則/（2）-〃1）=-〃1）,得"2）=0.

故選：A.

6.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=-5,，町用一=〃（〃+i）,則｛〃”｝中的項(xiàng)小于。的有（）

A.0項(xiàng)B.5項(xiàng)C.6項(xiàng)D.無(wú)數(shù)項(xiàng)

【答案】B

【解析】

f、

【分析】先確定,二為等差數(shù)列，求得通項(xiàng)公式，再得到&=〃2-6〃，進(jìn)而可求解.

.n.

[詳解]由4=_5,〃〃〃+1+=力（〃+1）,

可得：也一%=l,〃eN+，又4=-5,

〃+1n

所以數(shù)列｛?｝是以一5為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

所以%=〃-6,

n

所以%=n2-6n,

由%二〃2-6〃<0,可得：1Kzi<6,且〃EN+，

所以｛4｝中的項(xiàng)小于。的有5項(xiàng)，

故選:B

7.已知函數(shù)/（x）=sin（5+°）+力是奇函數(shù)，且X=兀是/（力的一個(gè)極值點(diǎn)，記/（x）的最小正周期

為丁，則丁的最大值為（）

A.兀B.2兀C.4兀D.—

2

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性解得8二履次eZ,再根據(jù)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為工=兀，進(jìn)而得到。，再正

弦函數(shù)的周期公式求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'（%）="11（3%+9）+匕是奇函數(shù)，

所以/（0）=0,且函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/（一#=一/*）,

有/（。）=Sin（p+b=0,

且sin（-3%+w）+b=-[sin（o>x+@）+b],即$也（一+尹）+sin（3x+@）+2b=0

■3

令z=”(f>0),則九二w,代入上式可得北國(guó)星工.

Cl

V2~9t

令/?)=峨，則/⑴=

=G+￥)2停局,其中，>0；

一f2

令/'0)=()得，=乎，當(dāng)匹卜.當(dāng)卜，/'(/)<(),/⑺為減函數(shù)，

當(dāng)tw停,+8)時(shí)，r⑴>。,%)為增函數(shù)，

所以/⑺的最小值為f(Y5)=走，所以1的最小值為1667rX1二色.

34匕943

故選:D

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=ln(aY)(awO),則()

A.當(dāng)。>0時(shí),/(冗)>0的解集為(：,+8)

氏若/(X)是增函數(shù)，則。的取值范圍為(0,+紇)

C.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線的斜率為一

【答案】ABC

【解析】

【分析】分類討論解不等式判斷選項(xiàng)A：分類討論函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)B：解方程得函數(shù)零點(diǎn)判斷選項(xiàng)

C；利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處切線的斜率判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。>()時(shí)，/(x)=ln(ax)>0,BPIn(ax)>Ini,

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù))，=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以解得

a

其解集為*"

,選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,/(X)=ln(ax),函數(shù)有意義有管;：，

當(dāng)”>0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),fW=Ina+Inx,

y=lnx在(0,+e)上單調(diào)遞增，所以〃力是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?-8,0),/(x)=ln(-a)+ln(-x),

y=ln(r)在(-8,0)上單調(diào)遞減，所以/(x)是減函數(shù).

若f(x)是增函數(shù)，則。的取值范圍為(0,+8),選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,令/(幻=ln(ax)=0,即ln(ax)=lnl,則ar=l,%=:(。00),

所以/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確：

對(duì)于D,。>0時(shí)，/(X)=ln(ax),求導(dǎo)得/'(")=已=3

則曲線)，=〃力在點(diǎn)處的切線斜率上=/<1)=1,

。<0時(shí)，/(x)在x=l處無(wú)意義，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC

3

10.從1,2,???,〃(〃之2且〃cN+)中任取兩個(gè)數(shù)，設(shè)這兩個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率為匕，已知己<1,則

〃的值可以為()

A.3B.4C.2024D.2025

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算，分〃為奇數(shù)偶數(shù)兩種情況求得兩數(shù)乘積為奇數(shù)的概率即可得到匕，

然后代入計(jì)算，逐一檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】從〃個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的組合數(shù)為C：=,

2

若兩數(shù)的乘積為奇數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)和偶數(shù)各有g(shù)個(gè)，

從四個(gè)奇數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的組合數(shù)為d=哭勺=的口，

2L228

葉時(shí)p_1c?-1_1n-2_4(n-l)-(n-2)_3n-2

町&一1一不一1一一1一-4(n-l)-'

〃+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),則奇數(shù)有

2

從四個(gè)奇數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)的組合數(shù)為C3=受學(xué)少=5+1,7,

2

rn+i(n+l)(n—1)

此時(shí)4=1一烹=1一三=1一答=甯

對(duì)干A,p=^|r=；＜p故A正確;

3qxjQ

對(duì)干B，「4=噗=：＞：，故B錯(cuò)誤;

勺xjoq

~y_xr_—n3x2024—260703一公it、口

對(duì)干C02024=7臺(tái)=訴＞［，故C錯(cuò)誤;

3X2025-16074/3

對(duì)于D,-------=----＜故D正確:

2025二4x202581004

故選：AD

11.已知橢圓。：［+營(yíng)=1（?！怠ā?）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,鳥(niǎo)，上頂點(diǎn)為A,直線斗鳥(niǎo)與。的另一個(gè)

交點(diǎn)為3，下列結(jié)論正確的是（）

A.若|A閭=2忸瑪|,則C的離心率為巫

3

B.若忸制=3忸可，則C的離心率為乎

C.若|陰=忸用，則C的離心率為如

3

D.若,則C的離心率為好

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，列出關(guān)于出c的方程，進(jìn)而求得

橢圓的離心率.

92

【詳解】由橢圓C：5+與=1,可得6（—c,0），E（c,0）,且4（0功），則|A￡|=|A周=4,

a~b~

對(duì)于A中，若卜周=2忸周，可得|叫=微，

又由橢圓的定義，可得忸周+怛周=2々，所以|“1|=2°-|*2|=聲，

在AAB”中，由余弦定理得cos乙4B&="叫:篙1

在AB*g中，可得cos乙08尸2=場(chǎng)嚅需產(chǎn)=苧工=堂，

2

2\BF2\\BFr\2x-xy-a

5a2，2

-----4c~-i

因?yàn)閏osNA84=cosNG8K,所以3-----=-,整理得二2二L,

■9/3

2

所以橢圓的離心率為e=￡=立，所以A正確；

a3

對(duì)于B中，若忸4=3忸周，因?yàn)殁钪?忸6|=勿,可得物1|二表|%|=去

7

在片和工中，由余弦定理得

A43cos/AB￡=§cos/耳BF2

5/、

-----4A。

7-?

2整理得\c=_L,

因?yàn)閏osZ.ABFX=cos/RBF2，所以

3、9a23

—a~

2

所以橢圓的離心率為G=￡=Y3,所以B正確;

a3

對(duì)于C中,若|知=|幽I，可得

由橢圓的定義,|由&=2a-|BFzl且一8]=\AF2\+\BF2\=a+\BF2\,

所以a+g—gl，可得忸周建，所以忸用二半

5a2.2

7--4c

在“孫和△明耳中，由余弦定理得cos/A明=3，cos/耳叫2

32

—a

2

5。42

-----4c',72?

因?yàn)閏osNA8G=cosN￡B用，所以號(hào)-----=-,整理得'=

2a

所以橢圓的離心率為6=￡=且，所以C不正確:

a3

對(duì)干D中，若干]_L8耳,設(shè)忸劇=■,則忸用=2々一〃,

由勾股定理，可得娟2+忸制之，即(a+〃)2=/+(2a—〃)2,

=

解得〃二二「BP|FF2I|BF/=。,

5c

由4(()/)，居(c,0),且4居,8三點(diǎn)共線，可得3(—,——),

'-33

(-C)2(r~|

代入橢圓。方程，可得%|=1,整理得/G

b2

所以橢圓C的離心率為e=￡=、5,所以D正確.

a5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若tan0——2,則——__________.

1-cos26

【答案】j

【解析】

【分析】利用二倍角公式以及同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)求值，即得答案.

1sin2/9+cos2/911115

【詳解】由于tan<9=-2,故------=一°?2,一二7J./

l-cos2。2sin022tan022x(-2)8

故答案為：|

o

13.已知拋物線C:y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為“，過(guò)點(diǎn)尸的直線與C交于A8兩點(diǎn)，若

|E4|=2|FB|=6,則〃=.

【答案】4

【解析】

【分析】延長(zhǎng)A3與準(zhǔn)線相交，利用拋物線定義以及相似比即可求出.

【詳解】如圖，設(shè)直線AB與準(zhǔn)線交于點(diǎn)”，分別過(guò)點(diǎn)A區(qū)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4，用，且準(zhǔn)線與x軸

的交點(diǎn)為后,

則由拋物線的定義可知，|A4j=|A尸1=6,忸蜀=|四=3,

網(wǎng)\BH\3\BH\..

則西=所研即_=,得8”=9,

6JB?H?+911

又回二網(wǎng)則二3二9

布‘得〃

又|尸娟\BH\+\BF\Kp

14.已知函數(shù)/（x）=一■、，若|/'（內(nèi)）一/'（七）|=】，則四一百的最小值為.

I1

【答案】4-25/3

【解析】

【分析】由題設(shè)有篇2言x,=與2+2產(chǎn)產(chǎn)）+4

=1,利用均值代換后可得2卜|卜2_*_4

分類討論后結(jié)合零點(diǎn)分布可求最小值.

【詳解】由題設(shè)得西￥與，

火）一⑸0即為叁-叁卜建

故2工]（X；+1）—29（X；+1j|=（K；+1）（-1；+1）,

整理得到：2年—wh/—1I=（X；+1乂石+1）,

AntS+tS—t

令占一則囚=三一,七二三一，

42=，，X]+x2=5,

故2中AH1rH1+產(chǎn)）+】,

故21flr-r2-4=卜一）?2（s??〃）?4,由對(duì)稱性不妨設(shè)1>0,

若Jzr+4,則T-(2-+8/-8)52+8/(/2+4)+(『+4)-=0,

故4=(2r+8r-8)2-32r(r2+4)-4(r2+4)2>0,

22222

故(z+4r-4)-8r(r+4)-(r+4)>0,

整理得:r4+16z2+16+8f-32/-8/2-8r3-32r-/4-8f2-16>0,

故矛盾.

若產(chǎn)<〃+4，則十一(2/一8.-8)/-81—+4)+(產(chǎn)+4)2=0,

設(shè)*=〃，則0?〃vJ+4，

故U2一⑵2一8—8)〃-8/(r2+4)+(/2+盯=0在[(),/+4)有解，

令g(〃)=〃2_(2/2_8/_8)〃_&(r+4)+(12+4)2,A2=64r>0,

故g(0)<0或

t-4r-4>0

「、2,」一8“/+4)+(/+4丫>0

故一8,(廣+4)+(廣+4)?()或I,

r2-4r-4>0

「，84<0/-8+4>0

故<一十一或卜-4-4>0,故d4-26，

、[r>0

故輸n=4—26即k—毛|.=4—26

故答案為：4一26.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

r2V2

15.已知雙曲線。：彳―方=1(0>0/>0)的左焦點(diǎn)為尸(一2,0),離心率為2.

(1)求。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線/與。交于A3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)尸，且P是M的中點(diǎn)，求

2

【答案】(1)工2-匕=1

3

50

(2)——

13

【解析】

【分析】(1)由已知求。，由。，仇C關(guān)系求從，寫出方程；

(2)由已知可得8(2,±3),求出直線/方程，聯(lián)立-消元-韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

c-2

由已知可得八，所以。=l,c=2,所以從=/_/=4_1=3，

-=2

a

2

所以。的方程為=

3

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镻是8b中點(diǎn)，所以點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為2,所以8(2,±3),

33

所以直線/的斜率々=土一，方程為/:y=±-(x+2),

44

3

y=±-(x+2)

由<’2，得39^2—36x—84=0，

X2--=1

<3

設(shè)A(%%),B(X2,%),則%+與二而，MW=-V，

所以|AS|=VTTFJa+tX中2==；X署*.

16.記V43c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為瓦c,已知sin?A4-sin2B+cos2C+sinAsinB=1.

(1)求C；

(2)若c=J7,asinC+csin8=3sinC，求VA3c的面積.

【答案】(1)c=—；

3

(2)近.

2

【解析】

【分析】(1)利用同角公式及正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解.

(2)利用正弦定理角化邊求出a+人，再利用(1)的結(jié)論及三侑形面積公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

在中.由sin?A+sin?A+codc+sinAsin△=1，得sin?Afsiin?J5+$inAstin4usin?C

由正弦定理得/十/J+ab=c2?由余弦定理得cosC-巴之——]_

lab2

27r

而OVCVTI,所以C=——.

3

【小問(wèn)2詳解】

由。$巾。+。$皿8=35血1。及正弦定理得。。+（力=35而c=J7，解得。+〃=3,

rtl（1）得7=。2=/+從+?！?（。+勿2-。力=9-。〃，解得帥=2,

所以VA3c的面積S,"Bc=1^sinC=Y-

17.某知識(shí)競(jìng)賽中有A及C三類問(wèn)題.參賽者從這三類問(wèn)題中抽取兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，要求這兩個(gè)問(wèn)題屬

于不同類別.回答正確一個(gè)A,B，C類問(wèn)題分別得30分，20分，10分，回答錯(cuò)誤得0分.已知甲參與了該

競(jìng)賽，且甲能正確回答A用C類問(wèn)題的概率分別為。5,0.6,0.8,每道問(wèn)題回答正確與否相互獨(dú)立，設(shè)甲

的累訂得分為X.

（1）若甲從A3兩類問(wèn)題中各抽取一個(gè)問(wèn)題回答，求X的分布列及期望；

（2）為使得累計(jì)得分更高，試分析，甲應(yīng)該從哪兩類問(wèn)題中抽口又問(wèn)題回答.

【答案】（1）分布列見(jiàn)詳解，E（X）=27

（2）從A,B兩類問(wèn)題中抽取問(wèn)題回答得分更高.

【解析】

【分析】（1）甲從兩類問(wèn)題中各抽取一個(gè)問(wèn)題回答，累計(jì)得分為X是這兩個(gè)問(wèn)題得分的總和，可取

0,20,30,50,計(jì)算每種概率的情況，即可列出分布列，求出期望；

⑵類比第一問(wèn)，求出8,C和AC的期望，選擇期望高的即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)甲I可答A類問(wèn)題正確為事件A,回答9類問(wèn)題正確為事件B,

則P（A）=0.5,P（8）=O6.累計(jì)得分X可以取以下幾種情況:0,20,30,50,

p（X=0）=P（AnB）=（1-P（A））（l-P（B））=0.5x04=0.2,

P（X=20）=P（AnB）=（1-P（A））xP（B）=0.5x0.6=0.3,

尸（X=30）=尸（Ac與）=P（A）?（1—P（8））=0.5x0.4=0.2,

P(X=50)=P(AcB)=P(A)?P(B)=0.5x0.6=0.3,

所以X的分布列為:

X0203050

p0.20.30.20.3

所以￡(X)=0x0.2+20x0.3+30x0.2+50x0.3=27.

【小問(wèn)2詳解】

從4,C兩類問(wèn)題中抽取一個(gè)問(wèn)題回答，設(shè)甲回答。類問(wèn)題正確為事件C,

則P(C)=0.8.累計(jì)得分y可以取以下幾種情況：0,10,30,40,

P(y=0)=P(AnC)=(l-P(A))(1-P(C))=0.5x0.2=0.l,

p(y=10)=P(AnC)=(l-P(A))xP(C)=O.5xO.8=0.4,

p(y=30)=P(4nC)=P(A)(1-P(C))=0.5x0.2=0.1,

P(Y=40)=P(4cC)=尸(4>P(C)=0.5x0.8=0.4,

所以y的分布列為：

Y0103040

p0.10.40.10.4

所以E(y)=0x0.1+10x0.4+30x0.1+40x0.4=23.

從8,C兩類問(wèn)題中抽取一個(gè)問(wèn)題回答，累計(jì)得分Z可以取以下幾種情況：0,10,20,30,

P(Z=0)=P(BnC)=(1-P(B))(1-P(C))=0.4X0.2=0.08,

P(Z=10)=P(石cCj=(1-P(B))xP(C)=0.4x0.8=0.32,

P(Z=20)=P(BnC)=P(Q)=0.6x0.2=0.12,

P(Z=30)=P(BcC)=P(B).P(C)=0.6x0.8=0.48,

所以Z的分布列為：

Z0102030

P0.080.320.120.48

所以E（Z）=0x0.08+10x0.32+20x0.12+30x0.48=20.

結(jié)合（1）,因?yàn)?0<23<27,所以甲應(yīng)該從A8兩類問(wèn)題中各抽取問(wèn)題回答.

18.如圖，B。是矩形43C。的對(duì)角線，以8。為折痕將△BCO折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)〃的位置.

P

（2）若A8=4,AO=2,二面角。一3。一C的大小為三，求直線族與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）由已知可證成_L平面PAO,進(jìn)而證明AO_L平面QA3即可.

（2）過(guò)點(diǎn)p作PELBD,PFLCE,作FG工BC,證明PE點(diǎn)?到平面ABCO距離，是并由二面

角P—BD—C求出PF,建立空訶直角坐標(biāo)系。一沖立，則點(diǎn)尸坐標(biāo)確定，利用線面角公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)I詳解】

因?yàn)?P_LAP,BP1PD，PAcPD=P,從尸,尸。（=平面必。，

所以小平面A4L>，AOu平面A4。，所以叱_LA。，

又AQJ_A」B，ABcBP=B，4氏3尸（=平面抬3,所以AD_L平面

又ADu平面ABC7），所以平面BAB_L平面ABC。.

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)點(diǎn)/作PEJ.BD，垂足為E，連接CE,則CEJ_BD,

所以"EC就是二面角P—8O—。的平面角.

OFFICE,垂足為F,則E~=PE-cosm=W，PF=PE-sin合告'

因?yàn)镃E1BD.PE1BD,PECCE=E,PE,CEu平面PCE,

所以8O_L平面PC￡,Mu平面PCE,所以8。J_尸產(chǎn),

又PFICE,CEcBD=E,CE,8。u平面4/3CQ,

所以PF1平面力BCD

過(guò)F作FG1BC,垂足為G,

因?yàn)椤鰿"G?△D8C,所以乙BDC=iFCG,

所以NG=C/：sm4"CG=笥x^=gCG=CF-cosZFCG=?x余=g

以D為原點(diǎn)，分別以O(shè)AOC所在直線為x，y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。一沖Z,

則0(0,0,0)4(2,0,0),8(240),C(04,0),尸6,雪)，

所以而=(W，字)，而=(段等)忌=(2，。，。)，

設(shè)平面PAD的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),

則區(qū).丫=0,即+蔡y+當(dāng)z=0,令y=VH，則x=0,z=_9,

J=0I2%=0

所以蔡=(0,代,一9)是平面24。的一個(gè)法向量.

設(shè)直線8P與平面小。所成角為。，則

-1|，X0X420%_

=BP』=____|5X。-史至5一途5X9|___________=-g-=逗

“麗一際而嬴jb；

即直線與平面PA。所成角的正弦值是巫.

4

19.已知函數(shù)〃x)=2.ilnx-or/+(為一2)x.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/。)在點(diǎn)(e/(e))處的切線方程；

(2)若討論/(力的單調(diào)性；

(3)若VXE0弓,/(x+l)<(f/-2+siav)(x+1),求。的取值范圍.

【答案】(1)y=2x-2e

(2)0<x<l時(shí)，/(力單調(diào)遞減，xNl時(shí)，/。)單調(diào)遞增,

(3)a>l

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程即可；

2

(2)確定函數(shù)定義域,求導(dǎo)f'(x)=21nx-2辦+2a,令g(x)=7'(x),求導(dǎo)g'(x)二一—2〃，由

可知g(x)=/'a)為增函數(shù)，結(jié)合r(i)=o即可確定/"(x)的符號(hào)得到函數(shù)單調(diào)性；

(3)先化簡(jiǎn)不等式21n(x+1)—or-sinxW。，令〃(x)=2In(x+1)-ar-sinx,x￡0,y,