1.3幾何證明舉例青島版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：120分考試時(shí)間：120分鐘命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.用反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若QJLb,clb,則?！?時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（）

A.a//bB.c//bC.a與c相交D.a與匕相交

2.用反證法證明"三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于60。”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（）

A.三角形三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)角不大于60。

B.三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)角不小于60。

C.三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)角大于60。

D.三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60°

3.某個(gè)命題的結(jié)論為“％,y,z三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)為止數(shù)”，現(xiàn)用反證法證明，假設(shè)止確的是（）

A.假設(shè)三個(gè)數(shù)都是正數(shù)B.假設(shè)三個(gè)數(shù)都為非正數(shù)

C.假設(shè)三個(gè)數(shù)至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)D.假設(shè)三個(gè)數(shù)中至多有兩個(gè)為非正數(shù)

4.用反證法證明“直角三角形兩個(gè)較小的內(nèi)角之和等于90?！睍r(shí).第一步應(yīng)假設(shè)直角三角形（）

A.兩個(gè)較小的內(nèi)角之和小于90°B.兩個(gè)較小的內(nèi)角之和大于90°

C.兩個(gè)較小的內(nèi)角之和等于90°D.兩個(gè)較小的內(nèi)角之和不等于90°

5.用反證法證明命題”鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45?！睍r(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中（）

A.有一個(gè)內(nèi)角小于45。B.每一個(gè)內(nèi)角都小于45。

C.有一個(gè)內(nèi)角大于等于45。D.每一個(gè)內(nèi)角都大于等于45。

6.利用反證法證明命題”在△/18C中，若88=4。，則48V90?！睍r(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.LB>90°B.Z/?>90°C.ABACD.AB>AC

7.牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是

直角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）

A.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角B,一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是鈍角

C.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是銳角D.一個(gè)三角形中有一個(gè)角是直角

8.牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一.”那么我們用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a_L

b,c工b,貝i」a〃c”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（）

A.a//bB.c//bC.a與b相交D.a與c相交

9.下列說法正確的是（）

A.六邊形的外角和大于五邊形的外角和

B.?個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段可能垂直

C.三角形的三條角平分線相交于?點(diǎn)，并且這?點(diǎn)到三條邊的距離相等

D.用反證法證明命題"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60?！睍r(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角

大于60。

10.用反證法證明“若Q>b>。,則小>〃，，，應(yīng)假設(shè)（）

A.a2<b2B.a2=b2C.a2>b2D.a2<b2

11.用反證法證明“若ab=0,則d=0或3=0時(shí)“，第一步應(yīng)假設(shè)（）

A.QH0或bW0B.aW0且b。0C.a=0或b=0D.a=0且b=0

12.用反證法證明命題：“己知△48。中，AB=AC,求證：乙8V90。.”第一步應(yīng)先假設(shè)（）

A.LB>90°B.Z.B>90°C.乙B<90°D.ABHAC

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.如圖，AC,FC分別平分4B4D,乙BFD,且分別與尸B,4D相交于點(diǎn)G,，.已知乙8=40。，ZD=50°,

則/C的大小為.

D

14.命題“如果=/，那么舊二網(wǎng)，，的逆命題是.

15.如圖，在團(tuán)48c中，AB>AC,4。是N84C的平分線，4M是BC邊上的中線.用反證法說明點(diǎn)M與點(diǎn)0

不重合.

16.用反證法證明”在A/IBC中，AB=c,BC=a,CA=b,>/4且NCH90。，那么小+爐工

。2.”應(yīng)先假設(shè)_____.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

如圖，五角星中乙B,ZC,ZD,NE的和是多少度？請證明你的結(jié)論。

18.(本小題8分)

(1)如圖，乙1+43=180°,Z.C=110°,求43的度數(shù).

(2)在(1)的證明過程中，你應(yīng)用了哪一對互為逆命題的真命題?

19.(本小題8分)

如圖，在△4BC中，AB=AC,點(diǎn)D,E,尸分別在48,BC,AC1.,且BE=CF,AD+EC=AB.

(1)求證：△DE尸是等腰三角形;

(2)用反證法證明△Z)EF不可能是直角三角形.

20.(本小題8分)

反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法.請將下面運(yùn)用反證法進(jìn)行證明的過程補(bǔ)全.

已知：在△力BC中，=求證：ZC<90°.

證明：假設(shè)______.

AB=AC,

如圖，已知：在A/IBC中，zc>LB.

求證：AB>AC.

證明：假設(shè)力B=AC,

???乙C=_____(______).

假設(shè),

-----(------)?

(完成以下說理過程)

25.(本小題8分)

(1)已知：如圖，直線48、CD、E/被直線8F所截，ZF+Z1=18O°,42=/3.求證：zB+ZF=180°.

(2)你在(1)的證明過程中應(yīng)用了哪兩個(gè)互逆的真命題.

答案和解析

1.【答案】C

【4鋁斤】略

2.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成

立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定

一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成

立，可據(jù)此進(jìn)行判斷.

【解答】

解：根據(jù)不大十的反面是大于，

則第一步應(yīng)是假設(shè)三角形三內(nèi)角都大于60。.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考杳反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定.根據(jù)反證法的步驟，

假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，利用：“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒有”即可得出正確選項(xiàng).

【解答】

解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定：個(gè)也沒有”；

即“假設(shè)三個(gè)數(shù)都為非正數(shù)”.

故選：B.

4.【答案】D

【解析】解：用反證法證明“直角三角形兩個(gè)較小的內(nèi)角之和等于90?！睍r(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)直角三角形兩

個(gè)較小的內(nèi)角之和不等于90。，

故選:D.

根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反而成立解答即可.

本題考查了反證法，解此題的關(guān)鍵要懂得反證法的意義和步驟，在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)，要注意考慮結(jié)論的

反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

5.【答案】。

【解析】【分析】

本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.

反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立：（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾：（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)

論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有?種，那么否定?種就可以了，如果有多種

情況，則必須一一否定.

熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：用反證法證明"鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45?！睍r(shí)，

應(yīng)先假設(shè)鈍角三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于45。，

即每一個(gè)內(nèi)角都大于等于45。.

故選D.

6.【答案】4

【解析】解：用反證法證明命題“在中，若｛8=4。，則48<90?！睍r(shí)，應(yīng)假設(shè)若則

90°,

故選：A.

反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此達(dá)行解答.

本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反

面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

7【答案】A

【解析】略

8.【答案】D

【解略

9.【答案】C

【解析】解：4、邊形的外角和等丁五邊形的外角和，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

以一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等，正確，符合題意；

。、用反證法證明命題"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中三個(gè)個(gè)內(nèi)角

都大于60。，原說法錯(cuò)誤，不符合題意，

故選：C.

分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角，角平分線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)及反證法對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，角平分線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)及反證法，熟知以上知識是解題的關(guān)

鍵.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從

假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.根據(jù)反證法的一般步驟：先假設(shè)結(jié)論不成立進(jìn)行解答.

【解答】

解：用反證法證明“若Q>b>0,則的第一步是假設(shè)<b2.

故選Q.

11.【答案】B

【解析】解：用反證法證明“若而=0,則a=0或6=0時(shí)”，反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成

立，反而成立，

二第一步應(yīng)假設(shè)QH0,ELbH0*

故選:B.

根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷.

本題考查了反證法，有理數(shù)的乘法，解答本題的關(guān)鍵要明確反證法證明的步驟：（1）假設(shè)原命題結(jié)論不成

立，反而成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，得出矛盾，說明假設(shè)不成立；（3）原命題正確.

12.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查了反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推

理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確.直接利用反證法的第一步分

析得出答案.

【解答】

解：用反證法證明命題：“己知△A8C,AB=AC,求證：乙BV9（T.”第步應(yīng)先假設(shè)乙8N90c.

故選A.

13.【答案】45。

/45度

【解析】本題考查了角平分線的定義，三角形的外角和性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵.

利用外角和內(nèi)角的關(guān)系，用41、23、44、匕。表示42、乙3與乙C,再利用等式的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】解：???AC,“分別平分乙BAD,Z.BFD,

:.zl=z2,z.3=z.4.

vZ.AGF=41+,Z.AGF=43+4C,

/I+乙8=43+4C①.

同理N4+N0=N2+NC②.

①+②，得+z5+z4+zD=z3+zC+z2+zC,

:.+Z-D=2zC,

vLB=40。，ZD=50°,

ZC=45°.

故答案為：45°.

14.【答案】如果同=固,那么。2=]

【解析】【分析】

本題考查了原命題與逆命題，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的

結(jié)論乂是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.據(jù)

此解答即可.

【解答】

解：“如果小=82,那么同=|川”的逆命題是：如果同=網(wǎng)，那么小=爐.

故答案為如果同=回,那么。2=乂.

15.【答案】假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合，延長AM到N,使4M=MN,連接BN,可證得回力MC三團(tuán)NM8,則有

^MAC==AC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得=/AMC,可得到力C=48得出矛盾，假設(shè)不

成立.

【解析】本題主要考查反證法，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性

質(zhì).假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，延長4M到N,使AM=MN,連接BN,可證得回力MC三團(tuán)NMB,有ZM4C=

乙MNB和BN=AC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得乙8/4M=乙MAC,可得到AC=A8得出矛盾，假設(shè)不成立.

【詳解】證明：假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合.延長4M到N,使力M=MN,連接BN.

A

N

在團(tuán)力MC和團(tuán)NMB中，

???4M是BC邊.上的中線.

:.BM=CM,

vZ.AMC=乙NMB,AM=MN,

.?.國4MCm國NMB（SAS）；

AZ.MAC=Z.MNB,BN=ACx

4M（AD）是4C的平分線，

???4BAM=LMAC,

:.LMNB=LBMA,

則BN=AB,

即4c=4B,與AB>AC相矛盾.

因而M與點(diǎn)。重合是錯(cuò)誤的.

所以點(diǎn)M與點(diǎn)。不重合.

16.【答案】a2+b2=c2

【解析】解：在中，AB=c,BC=a,CA=b,4C>/B>匕力且匕CH90°,那么小+排裝。？,

應(yīng)先假設(shè)小+匕2=。2.

故答案為：a2+b2=c2.

根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可求解.

本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：z/14-zF+zC+zD+zF=180°o

證明：因?yàn)橐?FQ=/C+4E,乙4QF=4B+乙。（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）,

4力+^LAFQ+乙4Q尸=180。（三角形內(nèi)角和定理），

所以△力+乙8++匕0+乙￡=180。（等量代換）。

【解析】見答案

18.【答案】解：(1)VZ1+Z5=18O°,

AD//BC.

:.Z2+zf=180°.

又=110°,

Z2=70°.

z3=z2=70。.

(2)應(yīng)用了“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”和“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這一對互逆的真命題.

【解析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、命題與定理等知識點(diǎn)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行、兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，可以得到42+乙。=180。，根據(jù)已知條件=110。，因?yàn)镹2與43是對頂

角，故可求得43的度數(shù)；

(2)在(1)的解答過程中，平行線的判定和性質(zhì)就是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行、兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補(bǔ)的應(yīng)用，故可知它們是互逆的真命題.

19.【答案】見解析;

不可能，理由見解析.

【解析】(1)證明：???/W+EC=48=40+DB,

:.EC=DB,

又=4C,

乙B=AC,

在Z.8ED與ACFE中，

BD=CE

乙B=Z.C?

BE=CF

：.〉BED94CFE(SAS),

:.DE=EF,

.?.△DE/是等腰三角形；

(2)解：不可能，理由如下：

假設(shè)△。七尸是等腰直角二角形，

則/DEF=90°,

???乙DEB+乙BDE=90。，

:.乙B=90°,

???乙C=90,

：.△DEF不可能是等腰直角三角形.

（1）根據(jù)力。+￡。=48，可知EC=08,再利用54s證明△BEOgaCFE,得OE=EF,即可證明結(jié)論；

（2）假設(shè)ADEF是等腰直角三角形，則NDEF=90。，由（2）知4；）2尸=乙8=90。，則假設(shè)不成立.

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等

知識，證明△BEDgACFE是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】“？90。三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）相矛盾此假設(shè)

【解析】證明：假設(shè)490。.

'：AB=AC,

z5=zC>90°,

N4+4B+ZT>180°,

這與三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）相矛盾.

.??此假設(shè)不成立.

:.乙C<90°.

故答案為：ZC>900；三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）相矛盾；此假設(shè).

根據(jù)反證法的證明步驟分析即可.

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)

假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確.

21.【答案】【小題1】

逆命題：P為等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，若PA=PB=PC,則點(diǎn)尸到三邊的距離相等.

該逆命題成立.證明略

【小題2】略

【解析】1.略

2.略

22.【答案】【小題1】

略

【小題2】

真

【解析】1.略

2.略

23.【答案】證明：連接。E,

假設(shè)BD和CE互相平分，

匹功形EBCD是平行四功形，

BE//CD,

?.?