專(zhuān)題13-積和商的變化規(guī)律

小升初數(shù)學(xué)模塊化思維提升

（知識(shí)梳理+典題精講+專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）

知例梳理

1、積的變化規(guī)律：

（D如果一個(gè)因數(shù)乘或除以一個(gè)數(shù)，另一個(gè)因數(shù)不變，那么，它們的積也來(lái)或

除以同一個(gè)數(shù)。

（2）如果一個(gè)因數(shù)乘或除以一個(gè)數(shù)，另一個(gè)因數(shù)除以或乘同一個(gè)數(shù)，那么，它

們的積不變。

2、商的變化規(guī)律：

①除數(shù)不變，被除數(shù)乘（除以）一個(gè)數(shù)，商也乘（除以）同一個(gè)數(shù)；

②被除數(shù)不變，除數(shù)乘（除以）一個(gè)數(shù)，商除以（乘）同一個(gè)數(shù)；

③被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘（除以）同一個(gè)數(shù)，商不變。

I

當(dāng)觀(guān)褊，］

【典例一】根據(jù)43x79=3397,直接寫(xiě)出下面各題的得數(shù)。

43x0.79=0.43x7.9=33.97+7.9=

【分析】積的變化規(guī)律：

（1）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮?除外），另一個(gè)因數(shù)不變，那么它

們的積也擴(kuò)大（或縮小）同樣的倍數(shù)；

（2）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍（0除外），另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，那么它

們的積不變。

【解答】解：

43x0.79=33.970.43x7.9=3.39733.97+7.9=4.3

故答案為:33.97；3.397;4.30

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查積的變化規(guī)律的應(yīng)用。

【典例二】媽媽準(zhǔn)備用96元錢(qián)買(mǎi)一些花苗來(lái)美化自家的院子。

花苗的單價(jià)2468

（元）

花苗的棵數(shù)

————

（株）

（1）請(qǐng)將表格填寫(xiě)完整。

（2）你發(fā)現(xiàn)了什么？

【分析】我們通過(guò)認(rèn)真觀(guān)察統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn)，總錢(qián)數(shù)+花苗的單價(jià)=花苗的裸數(shù)；

計(jì)算出花苗的棵數(shù)，同時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)花苗總錢(qián)數(shù)是一定的，花苗的單價(jià)越小，買(mǎi)的棵

數(shù)就越多。

【解答】解：96+2=48（株）

96+4=24（株）

96-6=16（株）

96-8=12（株）

（1）填表如下：

花苗的單價(jià)2468

（元）

花苗的棵數(shù)48241612

（株）

（2）我發(fā)現(xiàn)花苗總錢(qián)數(shù)是一定的，花苗的單價(jià)越小，買(mǎi)的棵數(shù)就越多。

故答案為：48,24,16,12o

【點(diǎn)評(píng)】明確“總錢(qián)數(shù)+花苗的單價(jià)=花苗的棵數(shù)：”是解答此題的關(guān)鍵。

專(zhuān)項(xiàng)制射

一.選擇題（共8小題）

1.與23.8x0.54得數(shù)相同的算式是（）

A.0.238x5.4B.0.238x54C.238x5.4D.2.38x0.54

【分析】如果一個(gè)因數(shù)乘或除以幾（0除外），另一個(gè)因數(shù)除以或乘相同的數(shù)，那

么，它們的積不變。

【解答】解：A0.238x5.4,相比于原式是一個(gè)因數(shù)除以100,另一個(gè)因數(shù)乘10,

得數(shù)不相同；

80.238x54,相比于原式是一個(gè)因數(shù)除以100,另一個(gè)因數(shù)乘100,得數(shù)相同；

0.238x5.4,相比于原式是一個(gè)因數(shù)乘10,另一個(gè)因數(shù)也乘10,得數(shù)不相同；

7）.2.38x0.54,相比于原式是一個(gè)因數(shù)除以10,另一個(gè)因數(shù)不變，得數(shù)不相同。

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了積不變性質(zhì)的運(yùn)用。

2.如果把兩個(gè)數(shù)的積由165.2改成1.652,一個(gè)因數(shù)不變，那么另一個(gè)因數(shù)就

應(yīng)（）

A.擴(kuò)大到原來(lái)的10倍。B.縮小到原來(lái)的工。

10

C.擴(kuò)大到原來(lái)的100培。D.縮小到原來(lái)的」_。

100

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律：如果一個(gè)因數(shù)縮小到原來(lái)的幾分之一，另一個(gè)因數(shù)

不變，那么積也縮小到原來(lái)的幾分之一；據(jù)此解答。

【解答】解：如果把兩個(gè)數(shù)的積由165.2改成1.652,相當(dāng)于積縮小到原來(lái)的——，

100

一個(gè)因數(shù)不變，那么另一個(gè)因數(shù)就應(yīng)縮小到原來(lái)的一二。

100

故選：DO

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握積的變化規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵。

3.一個(gè)不等于0的數(shù)除以』，再乘』，結(jié)果（）

A.比原數(shù)大B.比原數(shù)小C.與原數(shù)相等

A.4.48+0.14=32B.22.4+2.8=8C.224+14=16D.0.224+16=1.4

【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律，確定商隨被除數(shù)乘幾或除以幾，或隨除數(shù)乘幾除以

幾反而除以幾乘幾作答。

【解答】解：A式中，被除數(shù)乘2,除數(shù)不變，商應(yīng)該也乘2,結(jié)果正確。

8式中，被除數(shù)乘10,除數(shù)乘20,所以商應(yīng)該先乘10再除以20,相當(dāng)于除以

2,結(jié)果正確。

。式中，被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘100,商不變，結(jié)果正確。

。式中，被除數(shù)除以10,商16改作除數(shù)，除數(shù)0.14改作商應(yīng)該也除以10,結(jié)

果應(yīng)該是0.014,而不是1.4,結(jié)果錯(cuò)誤。

綜上可得：不正確的一項(xiàng)是。。

故選：。。

【點(diǎn)評(píng)】商不變規(guī)律主要體現(xiàn)為三個(gè)方面：

一是除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾或除以幾，商也隨之乘幾或除以幾。

二是被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾或除以幾，商反而除以幾或乘幾。

三是被除數(shù)、除數(shù)都變，商先隨被除數(shù)乘或除以相同的數(shù)（0除外），再隨除數(shù)乘

幾或除以幾而除以幾或乘幾（0除外）。

7.根據(jù)□+△=9（Z^wO）,可知下面選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.（nx3）-（Ax3）=9B.（D+3）^（A+3）=9

C.（□+5）+（△+5）=9

【分析】商的變化規(guī)律：

①除數(shù)不變，被除數(shù)乘（除以）一個(gè)數(shù)（0除外），商也乘（除以）同一個(gè)教；

②被除數(shù)不變，除數(shù)來(lái)（除以）一個(gè)數(shù)（0除外），商除以（乘）同一個(gè)數(shù)；

③被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘（除以）同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

【解答】解：根據(jù)□+4=9（△工0）,可知下面選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（口+3）+（/\+3）=9。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了商的變化規(guī)律。

8.帆+〃=26……7（〃］，“為大于零的自然數(shù)），當(dāng)冽，〃同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的100倍

時(shí)，結(jié)果是（）

A.2600……7B.26……7C.26……700D.2600……700

【分析】被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變，余數(shù)也同時(shí)

乘或除以一個(gè)相同的效（0除外）。據(jù)此判斷即可。

【解答】解：〃?+〃=26.......7（小，〃為大于零的自然數(shù)），當(dāng)〃？，〃同時(shí)擴(kuò)大到原

來(lái)的100倍時(shí)，結(jié)果是26.......700o

故選：C。

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握商的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

二.填空題（共6小題）

9.已次口43.2+16=2.7,刃卜么4.32+1.6=2.7,0.432+0.16=。

【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；

據(jù)此解答。

【解答】解：已知43.2+16=2.7,那么4.32+1.6=2.7,0.432+0.16=2.7。

故答案為：2.7,2.7o

【點(diǎn)評(píng)】此題考查商不變規(guī)律的運(yùn)用：只有被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘?或除以相同的教

（0除外），商才不變。

10.在橫線(xiàn)上填上“〉”“〈”或。

0.5-5-0.9_>_0.5

0.55x0.960,55

1.26+0.981.26x0.98

【分析】一個(gè)數(shù)（0除外）除以小于1的數(shù)（0除外），商大于這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)（0除

外）乘小于1的數(shù)，積小于這個(gè)數(shù)；據(jù)此解答。

【解答】解：0.54-0.9>0.5

0.55x0.96<0.55

1.264-0.98>1.26x0.98

故答案為：>,<,

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不用計(jì)算判斷因數(shù)與積之間、商與被除數(shù)之間大小關(guān)系的方

法。

11.根據(jù)45x125=5625直接寫(xiě)出下面各題的積。

45x1250=56250

xl25=562500

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律：兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾，

積也會(huì)隨之乘幾；據(jù)此解答。

【解答】解：根據(jù)45x125=5625,可得：

45x1250=56250

4500x125=562500

故答案為：56250,4500o

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是積的變化規(guī)律，準(zhǔn)確判斷因數(shù)發(fā)生的變化是解決本題的關(guān)

鍵。

12.如果AxW>W,則A一定大于1。（填“大于”、“小于”或“等于”

IIII---------

）

【分析】一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)；據(jù)此解答。

【解答】解：如果則A一定大于1。

11II

故答案為：大于。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了不用計(jì)算判斷因數(shù)與積之間大小關(guān)系的方法。

13.在算式a+儀〃、8二0）中，當(dāng)b_<1_時(shí)，商大于a;當(dāng)〃時(shí)，商小于a;

當(dāng)〃時(shí)，商等于4。

【分析】一個(gè)數(shù)（0除外）除以一個(gè)小于1的數(shù)，商大于這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)（0除外）

除以一個(gè)大于1的數(shù)，商小于這個(gè)數(shù)；一個(gè)數(shù)除以1,商等于這個(gè)數(shù)。據(jù)此解答。

【解答】解：在算式4+0（4、8工0）中，當(dāng)Z>V1時(shí)，商大于4；當(dāng)〃>1時(shí)，商小于

a;當(dāng)。=1時(shí)，商等于

故答案為：V1,>1,=lo

【點(diǎn)評(píng)】解答本題需熟練掌握商的變化規(guī)律及用字母表示數(shù)的方法。

14.兩個(gè)數(shù)相除商80余20,如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小到原來(lái)的,，那么商是

10

80,余數(shù)是o

【分析】被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變，余數(shù)也同時(shí)

乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外）。據(jù)此判斷即可。

【解答】解：兩個(gè)數(shù)和除商80余20,如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小到原來(lái)的看，

那么商是80,余數(shù)是20x'=2。

10

故答案為：80,2o

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握商不變的規(guī)律和余數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

三.計(jì)算題（共3小題）

15.根據(jù)43x79=3397,直接寫(xiě)出下面各題的得數(shù)。

43x0.79=0.43x7.9=33.97+7.9=

【分析】積的變化規(guī)律：

（1）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮?除外），另一個(gè)因數(shù)不變，那么它

們的積也擴(kuò)大（或縮小）同樣的倍數(shù)；

（2）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍（0除外），另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，那么它

們的積不變。

【解答】解：

43x0.79=33.970.43x7.9=3.39733.97+7.9=4.3

故答案為：33.97；3.397；4.3。

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查積的變化規(guī)律的應(yīng)用。

16.根據(jù)26x14=364,寫(xiě)出下面各式的得數(shù).

2.6x0.14=

0.014x26=

36.4+1.4=

364+1.4=

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大或縮小幾倍（0除外）,

積也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)；如果兩個(gè)因數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（0除外），積擴(kuò)大的

倍數(shù)就等于兩個(gè)因數(shù)擴(kuò)大倍數(shù)的乘積；兩個(gè)因數(shù)都縮小相同的倍數(shù)（0除外），積

縮小的信數(shù)等于兩個(gè)因數(shù)縮小倍數(shù)的乘積；由此解答.

【解答】解：根據(jù)26x14=364,可得：

2.6x0.14=0.364

0.014x26=0.364

36.4+1.4=26

364+1.4=260.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是積的變化規(guī)律的靈活應(yīng)用.

17.根據(jù)每組題的第1題的商,寫(xiě)出下面兩題的茍。

56+2=45+9=40+5=72+9=

560-20=90-18=120+5=7204-90=

560+2=180?36=280?35=72004-900=

【分析】商的變化規(guī)律：除數(shù)不變,被除數(shù)擴(kuò)大至J原來(lái)的幾倍或縮小到原來(lái)的幾

分之一，商就擴(kuò)大到相同的倍數(shù)或縮小到原來(lái)的幾分之一（0除外）：在除法算式

中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

【解答】解:

56+2=2845+9=540+5=872+9=8

560?20=2890?18=5120+5=24720?90=8

5604-2=280180+36=5280?35=872004-900=8

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用。

四.應(yīng)用題（共7小題）

18.幸福社區(qū)的中心廣場(chǎng)有一塊寬是6米、面積是114平方米的長(zhǎng)方形草坪，如

果長(zhǎng)不變，寬擴(kuò)大到18米。擴(kuò)大后的草坪面積是多少？

【分析】長(zhǎng)方形的面積公式：S=abf根據(jù)因數(shù)與枳的變化規(guī)律，一個(gè)因數(shù)不變，

另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，積也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，據(jù)此解答。

【解答】解：18+6=3

114x3=342(平方米)

答：擴(kuò)大后的草坪面積是342平方米。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查長(zhǎng)方形的面積公式以及積的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用。

19.一個(gè)長(zhǎng)方形魚(yú)塘的面積是2000平方米，擴(kuò)建后長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的5倍，寬擴(kuò)

大到原來(lái)的4倍。擴(kuò)建后魚(yú)塘的面積是多少公頃？

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)>寬，長(zhǎng)擴(kuò)大到

原來(lái)的5倍，寬擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，所以面積擴(kuò)大到原來(lái)的20倍，再根據(jù)面積

單位平方米和公頃之間的進(jìn)率為10000,據(jù)此計(jì)算。

【解答】解：原來(lái)的面積：原來(lái)的長(zhǎng)x原來(lái)的寬=2（XX）（平方米）

擴(kuò)大后的面積：（原來(lái)的長(zhǎng)x5）x（原來(lái)的寬x4）=原來(lái)的面積x20=2000x20=40000

（平方米）=4（公頃）

答：擴(kuò)建后的魚(yú)塘的面積是4公頃。

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算方法以及積的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

20.聰聰學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，不考慮0參與運(yùn)算的情況下：一個(gè)數(shù)加上另一個(gè)數(shù)，

和比原數(shù)大；一個(gè)數(shù)減去另一個(gè)數(shù)，差比原數(shù)??；而乘法運(yùn)算則有不一樣的規(guī)律，

一個(gè)數(shù)乘比1大的數(shù)，積才會(huì)比原數(shù)大，乘比1小的數(shù)，積卻比原數(shù)小，聰聰舉

例險(xiǎn)證乘法運(yùn)算的規(guī)律，他的想法如圖，請(qǐng)你仿照聰聰?shù)姆椒ㄕf(shuō)明：

（1）ax->a

3

（2）ax-<a

5

聰聰是這樣想的：

因?yàn)閍X1.03

=aX(1+0.03)

=aXl+aXO.O3

=a+0.03a

又因?yàn)镼+0.03G>。

所以，aXLO3>a

【分析】依據(jù)乘法分配律和積的變化規(guī)律解答。

【解答】解：（1）因?yàn)?3

3

2

=ax(l+-)

=〃xl+ax—

3

2

=a+—a

3

又因?yàn)閍+—a>a,

3

所以o

3

(2)因?yàn)閍x?

5

=ax(l--)

5

,2

=axl-ax-

5

2

=a——a

5

又因?yàn)閍-,ava,

3

所以ax—vao

5

【點(diǎn)評(píng)】掌握積的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵。

21.兩個(gè)因數(shù)相乘，如果第一個(gè)因數(shù)增加1.3,積就增加9.1;第二個(gè)因數(shù)減少

3,積就減少5.7,這兩個(gè)因數(shù)分別是多少？

【分析】第一個(gè)因數(shù)增加1.3,積就增加9.1,那么第二個(gè)因數(shù)是(9.1+1.3);

第二個(gè)因數(shù)減少3,積就減少5.7,則第一個(gè)因數(shù)是(5.7+3)。

【解答】解：9.1-13=7

5.7+3=19

答：這兩個(gè)因數(shù)分別是7和1.9。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是積的變化規(guī)律的靈活應(yīng)用。

22.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)加上5,積增加80:如果另一個(gè)因數(shù)減少4,積就

減少100。原來(lái)兩個(gè)