2.11函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2.了解指數(shù)函數(shù)、k數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增

長”“直線上升”等不同函數(shù)類型增長的含義.

陞備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基&何扣「

教材回扣

1.六種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型J(x)=ax+b(a,8為常數(shù)，。。0)

二次函數(shù)模型/(x)=ax2-^-bx-\-c(a,b,c為常數(shù)，”W0)

指數(shù)型

危)=府+0,b,e為常數(shù),AO且aKl,b^O)

函數(shù)模型

對(duì)數(shù)型

f(x)=b\oQx+c(a,b,。為常數(shù)，a>0且aWl,bWO)

函數(shù)模型(l

n

箱型函數(shù)模型flx)=ax-^-b(atb,n為常數(shù)，aWO,〃W0)

“對(duì)勾”函

y=x+"(。為常數(shù)，?>())

數(shù)模型X

2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較

y=axy=logax-尸產(chǎn)

項(xiàng)目

31)3D(〃>0)

在(0,+8)

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

上的單調(diào)性

隨〃值變

增長速度越來越快越來越慢

化而不同

隨x值增大，圖象與2隨X值增大，圖象與三

圖象的變化隨〃值變化而不同

地接近平行軸接近平行

W=J教材拓展

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成

倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果

對(duì)實(shí)際問題的合理性.

基礎(chǔ)檢測

1.判斷（正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫"X"）

（1）某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出

售，則每件還能獲利.（X）

（2）函數(shù)j，=2'的函數(shù)值比y=.F的函數(shù)值大.（X）

（3）不存在xo,使axoV.vKulo&xoXX）

（4）在（0,+8）上，隨著x的增大，的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于），=K（心1）

的增長速度.（J）

2.（人教A版必修第一冊(cè)Pl55T9改編）已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走

勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元，他可以在4至〃的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，

且買賣能夠立即成交（其他費(fèi)用忽略不計(jì)）.如果他在白時(shí)刻已經(jīng)賣出所有商品，那么他將獲得

的最大利潤是（D）

8

7

6

5

4

。，］。時(shí)間

A.40萬元B.60萬元

C.80萬元D.120萬元

解析：當(dāng)甲商品的價(jià)梆為6元時(shí)，該商人全部買入甲商品，可以買120+6=20（萬份），在

/2時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20X2=40（萬元）；當(dāng)乙商品的價(jià)格為4元時(shí)，該商人買入乙商品，

可以買（120+40）+4=40（萬份），在久時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40X2=80（萬元）.故該商人共

獲利40+80=120（萬元）.故選D.

3.（人教A版必修第一冊(cè)P119T5改編）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（D）

A.y=2v+l—1B.y=x3

C.j/=21og2AD.y=x71

解析：將各點(diǎn)（x,y）分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是丁=/一

1.故選D.

4.（人教B版必修第二冊(cè)P43例2改編）從盛滿10L純硫酸的容器里倒出1L,然后用水

填滿，這樣繼續(xù)下去，第三次填滿后的硫酸濃度為（D）

A.70.4%B.67.2%

C.81%D.72.9%

解析：每次填滿后，硫酸濃度都是原來的I）,所以第三次填滿后的硫酸濃度為

厝_故選，

母鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)助講

考點(diǎn)1利用函數(shù)圖象刻畫變化過程

【例1】（2024?內(nèi)蒙古赤峰一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，按逆時(shí)經(jīng)方向

沿周長為/的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O,。兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)夕走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，

那么點(diǎn)夕所走的圖形是（D）

D

【解析】對(duì)于A,點(diǎn)P在第一條邊上時(shí)，y=x,但點(diǎn)尸在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y是隨

x的增大先減?。p到最小時(shí)y即為三角形的第二條邊上的高的長度），再增大，對(duì)比圖象可知,

A錯(cuò)誤；對(duì)于B,y與x的函數(shù)圖象一定不是對(duì)稱的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,一開始y與x的關(guān)系

不是線性的，C錯(cuò)誤；對(duì)『D,因?yàn)楹瘮?shù)圖象左右對(duì)稱，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊

長為a,點(diǎn)、P在第一條邊上時(shí)（即時(shí)），y=x,點(diǎn)P在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即aWW2a

時(shí)），y=4+1—02,依然單調(diào)遞增，點(diǎn)P在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即2aWxW3a時(shí)），y=

儲(chǔ)+（3。-x）2,單調(diào)遞減，點(diǎn)產(chǎn)在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即4a時(shí)），y=4o-x,單調(diào)遞

減，且已知y關(guān)于x的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2a=；（其中/=4。）對(duì)稱，D正確.敗選D.

U規(guī)律總結(jié)K

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程是否吻合的方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖

象.

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)記是否

吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】如圖是一個(gè)無水游泳池，是一個(gè)四棱柱，游泳池是由一

個(gè)長方體切掠一個(gè)三棱柱得到的.現(xiàn)在向泳池注水，如果進(jìn)水速度是均勻的（單位時(shí)間內(nèi)注入

的水量不變），水面與力8的交點(diǎn)為則力M的高度〃隨時(shí)間/變化的圖象可能是（A）

解析：由題意可知，當(dāng)往游泳池內(nèi)注水時(shí)，游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀，且直棱柱的

高不變，剛開始水面面積逐漸增大，水的高度增長得越來越慢，當(dāng)水面經(jīng)過。點(diǎn)后，水面的

面積為定值，水的高度勻速增長，故符合條件的函數(shù)圖象為A中的圖象.故選A.

考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【例2】（1）記水的質(zhì)量為d=S-I并且d越大，水質(zhì)量越好.若S不變，且力=2.1,

Inn

必=2.2,則〃?與〃2的關(guān)系為（C)

A.n\<m

B.〃|>〃2

C.若S〈l,則川<〃2；若,則

D.若Svl,則若S>1,則〃1V〃2

S~\s-i

d\=—2.1,

Inn\wi=e2.i,

,,,_,EIS-1S~1

【解析】由題意可得5-1解得s-\若41,則>,

di==2.2,2.12.2

In“2〃2=e2.2.

s-\s-\

q—iS'

可得C2.1>C2.2,即若S=1,則口.得“|=〃2=1：若Svl,則<?

2.12.22.12.2

S-lS-}

nJ得e21vc22,即”|V〃2.結(jié)合選項(xiàng)可知C正確，A.B.D錯(cuò)誤.故選C.

（2）（2024?廣東茂名一模）Gompertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有代謝

預(yù)測、腫瘤生長預(yù)測、有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測、工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為人外

=kah'（其中Q0,枕>0,〃為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷

售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e（e為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若x=l表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)

明年（x=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么人的值為（A）

C.5-1D.5+1

【解析】由a=e，得到/（x）=ke"，，當(dāng)*=1時(shí)，川）=%〃'；當(dāng)x=2時(shí)，JQ）=k

1「2

/尸2依題意，明年（X=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，得竺一=0〃一之一人一】=e,.?.l—1=1,

C.廠】vb2b

ke

-[±551

即接+6—1=0，解得力=.??%>（）,.??/）=故選A.

22

規(guī)律總結(jié)

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)的值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（1）（2024?四川德陽三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社

會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度武單位：℃）滿

足函數(shù)關(guān)系2=€"飛4,5為常數(shù)），若該果蔬在7c的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21c的保鮮

時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度（假設(shè)物流過

程中恒溫）最高不能超過（A）

A.14cB.15℃

C.13℃D.16*C

e7（?+/>=288,

解析：依題意，得、+人'則即e%=\顯然質(zhì)0,設(shè)物流過程中果蔬

/|。+6=32,93

的儲(chǔ)藏溫度為，C,于是呼+6296=3七2】。+6=€a.缶"+。=>40+3解得點(diǎn)+6214”+一因此

/C14,所以物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過14°C.故選A.

（2）（2024?湖南長沙三模）地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏宸級(jí)最

早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為M=lg/f-lg4），其中

M表示某地地震的里氏震級(jí)，力表示該地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅，兒表示這

次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅

為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（參考數(shù)據(jù)：

lg2E）.3）（B）

A.6.3級(jí)B.6.4級(jí)

C.7.4級(jí)D.7.6級(jí)

解析：由題意，某地地震波的最大振幅為5（）（）0,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為（）.002,

可得M=lg5000—lg0.002=lg10^0°-Ig]；00=4—愴2一（也2—3）=7—2國2比6.4.故選8.

考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【例3】雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向.某企

業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析?，每生產(chǎn)M單位：千輛）獲利必x）（單位：萬

30x+350,0<xW2,

元）,%)=，該公司預(yù)計(jì)全年其他成本總投入為Q0x+10）萬

l-2x2+40x4-340,206,

元.由市場調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記全在利潤為/(x)(單位：萬元).

⑴求函數(shù)火X)的解析式.

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千耦時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請(qǐng)說明理由.

【解】(1)由已知得/(x)=%(x)-(20x+10),

30x+350,0<xW2,

又用(x)=,

-Zd+gLfO,2<xW6,

10x+340,(KtW2,

［一十20x+330,2<XW6.

(2)當(dāng)0aW2時(shí),危)=10x+340,則當(dāng)0aW2時(shí)，/(x)W/(2)=360；

當(dāng)2qW6時(shí)，,/(x)=-2A-2+20.r+330=-2(x-5)2+380,即x=5時(shí)，,Ax)max=380.

V360<380,?；危)的最大值為380,

故當(dāng)年產(chǎn)量為5千輛時(shí)，該企業(yè)利潤最大，最大利澗是380萬元.

,規(guī)律總結(jié)

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建

立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的答案.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)(2024?湖南益陽三模)二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場常用

年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每

年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價(jià)格不超過8萬元.根據(jù)年限折

舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是皿勿WN)萬元，則機(jī)=(C)

A.13B.14

C.15D.16

解析：依題意，加(1—20%)(1—10%)內(nèi)8,解得機(jī)W8=10000°,又〃?￡N,則“

0.8X0.946561

最大為15.故選C.

(2)某廠以x千克〃J、時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求IWXWIO),每小時(shí)可獲得

利潤loo('+1―元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度

是(C)

A.2千克/小時(shí)B.3千克/小時(shí)

C.4千克/小時(shí)D.6千克/小時(shí)

解析：設(shè)生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為/(》)元，則/(x)=l0°TOOb"+1-3=10

+1+3

13+令，=1,貝1)雙。=10000：—21

ooolx

x10

I"25

+r+3)=~20000_16_l，故當(dāng)Z=1時(shí)，g⑺的值最大，此時(shí)x=4.故選C.

4

課時(shí)作業(yè)16

EK基礎(chǔ)鞏固

1.（5分）（2024?山東泰安模擬）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助

視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記

錄法的數(shù)據(jù)P滿足L=5+lgV.已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5席5.0,

記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為人,匕，則匕的值所在區(qū)間是（D）

V\

A.（1.5,2）B.（2,2.5）

C.（2.5,3）D,（3,3.5）

5.0=5+lg匕，uv

解析：依題意，得兩式相減得0.5=愴匕一lg%=lg也，解得/2=]（）O5

4.5=5+lgV\yV\V\

=10e（3,3.5）.故選D.

2.（5分）某農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)尺與可見葉片數(shù)x進(jìn)行分析研究，其關(guān)系

可以用函數(shù)R=15ea'（n為常數(shù)）表示.若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30,

則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：In2P（）.7,In

3.5F.7）（C）

A.15B.16

C.17D.18

解析：由題意知30=15e%,；?e7a=2,則等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得7a=ln2=0.7,

—.1,???R=15e0Jx「；82.5=15e°[*,.*.eOJx=5.5,A0.1x=ln5.5^1,7,二彳公17.故選C.

3.（5分）（2024?四川涼山州三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢

氣中污染物含量乂單位：mg/L）與過濾時(shí)間《單位：h）的關(guān)系為y=yoe"Uo,。均為正的常數(shù)）.

已知前5小時(shí)過濾抻了10%污染物，那么污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（最終結(jié)果精確到Ih,

參考數(shù)據(jù)：1g2*0.301,1g3Po.477）（D）

A.43hB.38h

C.33hD.28h

解析：令f=0,得丁=/，又前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，，（1-lO%）yo=j，oe+,則。

9in10

In,n2=ln2=5ln2

10=9,???當(dāng)污染物過濾掉50%時(shí)，（1—5（）%）川則/=

in10

55

9

5g：=51g2-33（h）,污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33—5=28（h）.故選D.

Is10l-21g3

s9

4.（5分）（2024?北京朝陽區(qū)二模）假設(shè)某飛行器在空斗高速飛行時(shí)所受的阻力/滿足公式/

=；QCS1A其中p是空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，/是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，

C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物

理量為功率P=//當(dāng)p,S不變，/比原來提高10%時(shí)，二列說法正確的是（C）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則。比原來提高超過40%

C.為使P不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

解析：由題意，P=W，所以尸="CSU,c=2P,對(duì)于A,當(dāng)p,s,c不

pSS

變，/比原來提高10%時(shí)，則Pi=；"CS（l+10%）3“=；pCS（l.l）3“=1.331?》CSJ,所以產(chǎn)

比原來提高超過30%,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由A的分析知，尸i=1.331?%CS）,所以尸比原

來提高不超過40%,故B錯(cuò)誤：對(duì)于C,當(dāng)p,S,P不變，/比原來提高10%時(shí)，G=

^0.75-,所以。比原來降低不超過30%,故C正確：對(duì)于D,由C的分析

1.331pSdpSB

知，。比原來降低不超過30%,故D錯(cuò)誤.故選C.

5.（5分）（2024?北京豐臺(tái)區(qū)一模）按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其

中A系列以AO,A1,…來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)：

①A0規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1：2；

②將Ai（i=0,1,…，9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為A（i+1）規(guī)格紙張（如圖）.

某班級(jí)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙張

40張，A2規(guī)格紙張10張，A1規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格紙張的張

數(shù)為（C）

解析：依題意1張A0規(guī)格紙張可以裁剪出2張A1,或4張A2或16張A4,設(shè)一張A0

規(guī)格紙張的面積為X,則一張A1規(guī)格紙張的面積為屋，一張A2規(guī)格紙張的面積為I,

24

張A4規(guī)格紙張的面積為.，依題意總共需要的紙張的面積為40X1+l（）xl+5xl=7x

161642

+1x,所以至少需要提供8張AO規(guī)格紙張，其中將3張A0裁出5張A1和2張A2：將2

2

張A0裁出8張A2；將剩下的3張A0裁出3X16=48（張）A4,即共可以裁出5張A1、1（）張

A2、48張A4.故選C.

6.（5分）（2024?廣東韶關(guān)二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量做單位：平方米）

的計(jì)算公式是％=（長+4）X（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面

積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）

是（C）

A.10000B.10480

C.10816D.10818

00000+]

解析：設(shè)矩形場地的長為x米，則寬為1°°°°米，/=（x+4）lxJ=4X+40000+

XX

10016224A-40000+10016=10816,當(dāng)且僅當(dāng)4X=400°°,即x=100時(shí)，等號(hào)成立.所

XX

以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為1x10816=10816（元）.故選C.

7.（6分）（多選）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從力地出發(fā)前往8

地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘.乙騎行25分鐘

后，甲以原速的;繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時(shí)間，甲先到達(dá)8地，乙一直保持原速前往8地.在

此過程中，甲、乙兩人相距的路程乂單位：米）與乙騎行的時(shí)間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系如

圖所示，則下列說法正確的是（ABD）

W米

052586x/分鐘

A.乙的速度為300米/分鐘

B.25分鐘后甲的速度為400米/分鐘

C.乙比甲晚14分鐘到達(dá)占地

D.4，8兩地之間的路程為29400米

解析：因?yàn)橐冶燃自绯霭l(fā)5分鐘，由題圖知乙的速度為?；°°=300（米/分鐘），故A正確；

設(shè)題甲的原速度為匕由圖可知25X300—（25—5）/=2S00,解得『=250米/分鐘，所以25

分鐘后甲的速度為250x8=400（米/分鐘），故B正確；根據(jù)題圖當(dāng)x=86時(shí)，甲到達(dá)8地，

5

此時(shí)乙距離8地還有250X20+400X（86-25）-300X86=3600（米），所以還需要

12（分鐘），所以乙比甲晚12分鐘到達(dá)4地，故C不正確；利用甲行駛的路程計(jì)算可得.A,

8兩地之間的路程為250X20+400X（86-25）=29400（米），故D正確.故選ABD.

8.（6分）（多選）（2024?河南鄭州一模）溶液酸堿度是通過pH來計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為

pH=-lg[H],其中[H']表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.例如純凈水中氫離子的

濃度為10,摩爾/升，則純凈水的pH是7.當(dāng)pH<7時(shí)，溶液呈酸性，當(dāng)pH>7時(shí)，溶液呈堿

性，當(dāng)pH=7（例如：純凈水）時(shí)，溶液呈中性.我國規(guī)定飲用水的pH值在6.5?8.5之間，則

下列選項(xiàng)正確的是（參考數(shù)據(jù)：Ig2-O.3）（ABC）

A.若蘇打水的pH是8,則蘇打水中的氫離子濃度為10*摩爾/升

B.若胃酸中氫離子的濃度為2.5X10】摩爾/升，則胃酸的pH約為1.6

C.若海水的氫離了?濃度是純凈水的10工6倍，則海水的pH是8.6

D.若某種水中氫離子的濃度為4X10-7摩爾/升，則該種水適合飲用

解析：對(duì)于A,若蘇打水的pH是8,即pH=-lg[H+]=8,所以出+]=10'即蘇打水

中的氫離子濃度為104摩爾/升，所以A正確；對(duì)于B,若胃酸中氫離子的濃度為2.5X10-2

摩爾/升，則pH=-lg（2.5X10-2）=-1g2.5—lgIO』？一（lg10-lg4）=1+21g2^1.6,所以B

正確;對(duì)于C,若海水的氫離子濃度是純凈水的1（尸6倍，則海水的氫離子濃度是1（）16.1（尸

=10-86,因此pH=-1g10-8.6=86即海水的pH是8.6,所以C正確；對(duì)于D,若某種水中

氫離子的濃度為4X10,摩爾/升,則pH=-1g（4X1O-7）=-lg4-lg10-7=7-21g2^6.4,而

6.4不在6.5?8.5范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，所以D錯(cuò)誤.故選ABC.

9.（5分）（2024?廣東廣州模擬）“阿托秒”是一種時(shí)間的國際單位，“阿托秒”等于10

秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時(shí)間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到“一尺之桶，

日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之趣”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過11

天才能使剩下“趣”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為3X108

米/秒,1g2*0.3,lg3ao.48）

解析：依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為2X10/8x3X108=6X10*（米），經(jīng)過〃

天后，剩余的長度米，由/（〃）v6X10」。，得U”<6X10」。，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得

n>log（6XI0*」g（6X?）」0Tg6J—0g2+lg3（0—0.78~3073,而〃”，則

lg11g2lg20.3

12

77=31?所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.

10.（5分）某單位幫助農(nóng)戶銷售當(dāng)?shù)靥厣a(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本是30元/千克，產(chǎn)品的日銷

售量產(chǎn)（單位：千克）與售價(jià)M單位：元/千克）滿足關(guān)系式尸（幻=產(chǎn)-3x'30?50’要

.112—2r?50sxW56,

使農(nóng)戶獲得日利潤最大，則該產(chǎn)品售價(jià)為盤元/千克.

一3。-42）2+432,30<x<50,

解析：由題意可知農(nóng)戶的日利潤仍=。-30）?尸（x）=,

[-2（x-43）2+338,50WxW56,

由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：若3OWx〈5O,則當(dāng)x=42時(shí)，%>皿=432；若50?6,則

當(dāng)X—50時(shí)，用心一24（X432.故x—42時(shí)，日利潤取得最大值432元.

11.(15分)某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過20萬元時(shí)，

按銷售利潤的10%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷售利潤超過20萬元時(shí)，若超出4萬元,則超出部分按210g2(4

+5)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，記獎(jiǎng)金為,(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元).

(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式；

(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得10萬元的獎(jiǎng)金，那么他的錯(cuò)售利潤是多少萬元？

解：(1)根據(jù)題意可知,當(dāng)0&W20時(shí),產(chǎn)O.lx；

當(dāng)x>20時(shí)，y=0.1X20+21og2(x-20+5)=2+2log2(x-15).

O.IJ,04W20,

所以可得獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式為y=

24-2log2(x—15)?x>20.

(2)易知當(dāng)0WxW20時(shí)，獎(jiǎng)金不可能為10萬元，所以令2+21og2(x-15)=10,即Iog2(x

—15)=4,解得x=31.

即業(yè)務(wù)員老江的銷售利潤是31萬元.

12.(16分)某旅游開發(fā)公司計(jì)劃2025年開發(fā)新的游玩項(xiàng)目，全年需投入固定成木500

萬元，若該項(xiàng)目在2025年有x萬游客，則需另投入成本尸(x)萬元，且P(x)=

2^+24*—380,0<x<10,

4800_,該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為50元，政府為鼓勵(lì)企業(yè)更好發(fā)

O3A?oROUn9Xv>iInU9

X

展，每年給該旅游開發(fā)公司財(cái)政補(bǔ)貼10戈萬元.

⑴求2025年該旅游公司開發(fā)的游玩項(xiàng)目的利潤L(x)(單位：萬元)關(guān)于人數(shù)式單位：萬人)

的函數(shù)關(guān)系式：(利潤=收入一成本)

(2)當(dāng)2025年的游客為多少時(shí)，該游玩項(xiàng)目所獲利淮最大？最大利潤是多少？

解：(1)依題意得〃x)=50x+10x—P(x)—500=60x—P(x)—500,

>.r2+?4r—380,0<r<10,

又P(x尸一,4800

63x+—8Q6A0n,x3>1in0,

x

所以當(dāng)0q<10時(shí)，〃x)=60x—產(chǎn)(X)-500=60X-500-(2J2+24X-380)=

—2x2~}~36x—120,

C..4800R上4800]

i,_1|63x+—8601|3x+

當(dāng)x21()時(shí)，L(x)=60x-P(x)~500=6O.r-500-1xxJ+

360,所以

一2.產(chǎn)+36<—120,0<x<10,

L(x)=f,+4800]

—IxJ+360,10.

⑵當(dāng)(Kt<10時(shí).，L(x)=-Zv2+36x-120=-2(x-9)2+42,

所以當(dāng)x=9時(shí)，Z.Cv)naX=42；

￡「48叫

當(dāng)x210時(shí)，A(x)=-lxJ+360W—23x-4800+360=120,

當(dāng)且僅當(dāng)3X=480°,即A-=40時(shí)，￡（x）max=120.

X

因?yàn)?2042,所以當(dāng)x=40時(shí)，￡（x）取得最大值120,即當(dāng)2025年的游客為40萬人時(shí),

該游玩項(xiàng)目所獲利潤最大，最大利潤是120萬元.

省素養(yǎng)提升4

13.（5分）在我國，每年因酒后駕車引發(fā)的交通事故達(dá)數(shù)萬起，酒后駕車已經(jīng)成為交通事

故的第一大“殺手”.《中華人民共和國道路交通安全法》中規(guī)定：酒后駕車是指車輛駕駛員

血液中的酒精含量大于或者等于20mg/10（）mL.某課題小組研究發(fā)現(xiàn)人體血液中的酒精含量

■（。（單位：mg/10（）mL）與飲酒后經(jīng)過的時(shí)間，（單位：h）近似滿足關(guān)系式”。=

5%X（—P+2/+1）,

f9）-1其中〃為飲酒者的體重（單位：kg）,m為酒精攝入量（單

xlioj,e1,

W

位：mL）.根據(jù)上述關(guān)系式，已知某駕駛員體重75kg,他快速飲用了含150mL酒精的白酒，

若要合法駕駛車輛，最少需在（參考數(shù)據(jù)：ln2、0.69,ln3F.l,ln5F.61）（B）

A.12小時(shí)后B.24小時(shí)后

C.26小時(shí)后D.28小時(shí)后

解析：當(dāng)OWkl時(shí),V(t)=5°WX(-f+2z+1)=-50w[(/-1)2-2],所以■“)》■(())=

ww

50x150=100>20,不能合法駕駛車輛，當(dāng)彥1時(shí)，令々)=10°'"XLo]r=

75W

200x(10^^20,即(io)I,所以Ll>ln2+ln5-23,所以。24