第7講立體幾何中的向量方法(一)一證明平行與垂直

［最新考綱］

1.理解直線的方向向量及平面的法向量.

2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.

3.能用向量方法證明立體兒何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.

知識梳理

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

—?

(1)直線的方向向量：/是空間一直線，A,B是直線/上任意兩點，則稱為直

線/的方向向量，與蔡平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)〃，力是平面。內(nèi)兩不共線向量，〃為平

面。的法向量，則求法向量的方程組為「八

2.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表不

直線人,/2的方向向量分別h//hn\//nz^n\=hii

為M2./山2_L〃2卜〃2=0

直線/的方向向量為〃，平l//a

面a的法向量為m/_Lan//m^n=Am

平面a,4的法向量分別為a//pn//m^n=Am

〃，m.a邛〃_1_〃2臺〃/九=0

辨析感悟

1.平行關(guān)系

(1)直線的方向向量是唯一確定的.(X)

(2)兩不重合直線(和C的方向向量分別為砧=(1,0,-1),口=(一2。2),則/i

與/2的位置關(guān)系是平行.(J)

2.垂直關(guān)系

(3)已知AB=(2,2,1)，AC=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是no=

士生~y

(4)(2014.青島質(zhì)檢改編)如圖所示，在正方體A3CD—43QO1中，。是底面正方

形A8CQ的中心，M是。I。的中點，N是的中點，則直線NO,AM的位置

關(guān)系是異面垂直.(J)

［感悟?提升］

1.一是切莫混清向量平行與向量垂直的坐標表示，二是理解直線平行與直線方

向向量平行的差異，如(2).否則易造成解題不嚴謹.

2.利用向量知識證明空間位置關(guān)系，要注意立體幾何中相關(guān)定理的活用，如證

明直線。〃〃，可證向量〃=m，若用直線方向向量與平面法向量垂直判定線面平

行，必需強調(diào)直線在平面外等.

學(xué)生用物第125^

考點一利用空間向量證明平行問題

【例1】如圖所示，在正方體48co—A山Ci0中，M,N分別是CiC,B\G

的中點.求證：MN〃平面43D

審題路線若用向量證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為判定向量MN〃O4,或證明MN與

平面的法向量垂直.

證明法一如圖所示，以。為原點，。4,DC,ODi所在直線分別為工軸、y

軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1,則可求得“0,1,

心，1,1),0(0,0,0),Ai(lQl),B(l,l,0).于是0,1j,。4=(1,0/),

―?

OB=(1』,0).

設(shè)平面4B。的法向量是〃=(x,)，，z).

ff[x+z=0,

則〃QAinO,且〃QBn。，得1,

x+y=O.

取x=l,得y=-1,z=-1.

/i=(1?-1,-1).

又MM〃=&0,；)(1,-1,-1)=0,

—?

；?MN上小

又MNQ平面44),

???MN〃平面4BD

-A-A-A???―A?-?-A?-A-A-?

法二MN=C\N-C\M=^C]B\-^C\C=^D}A}-D}D）=^DA].：.MN//DA\t

又〈MN與D4i不共線，

：.MN//DA\f

又?.?MNa平面46。，AQU平面A|6D,

?\MN〃平面413D

規(guī)律方法（1）恰當建立坐標系,準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法

證明平行和垂直的關(guān)鍵.

（2）證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為

零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向

量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何

的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算.

【訓(xùn)練1】（2013?浙江卷選編）如圖，在四面體A48中，AO_L平面。CO,13C

證明(1)如圖所示，以O(shè)為坐標原點，以射線0P為z軸的正半軸建立空間直

角坐標系o—xyz.

則0(()。,。)，A(0,-3.0),

3(420)，C(-4,2,0),?((),(),4).

于是人戶一(0,3,4),

BC=(—8,0,0)，

：.APBC=(0,34)-(-8,0,0)=0,

所以AP_LBC,BPAP1BC.

(2)由(1)知|AP|=5,

又|AM|=3,且點M在線段AP上，

?-3f公912、

??AM=gAP=(0,5,yj,

—?—?—?

XBC=(-8,0,0),AC=(—4,5,0),24=(一4,-5,0),

.??BM=3A+AM=(-4,—y,5，

f(.1612A

則APBW=(()34)1-4,-y,yJ=0,

：.AP±BMfB|JAPLBM,

又根據(jù)(1)的結(jié)論知APLBC,

???AP_L平面BMC,于是AMJ_平面BMC.

又AMU平面AMC,故平面AMC_L平面8cM.

規(guī)律方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的

坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.

(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明

面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要

能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.

【訓(xùn)練2】如圖所示，在直三棱柱ABC—A3G中，ZVIBC為

BF

等腰直角三角形，ZR4C=90°,且A8=A4,D,E,尸分別為BiA,CiC,BC

的中點.求證：

(1)。七〃平面ABC；

(2)BiF_L平面4EE

證明如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)—xyz,

令A(yù)5=A4i=4,

則A(0,0,0),￡(0,4,2),尸(2,2,0。8(4,0,0),3(4,0,4).

⑴取中點為M則M2,0,0),

XC(0,4,0),0(2,0,2),

-?-?

/.￡)￡=(-2,4,0),NC=(—2,4,0),

——■?

:,DE=NC.：.DE〃NC,

又NC在平面4BC內(nèi)，故。石〃平面ABC

—?—?-?

(2)辦F=(-2,2,-4),EF=Q,-2,一2),AF=(2,2,0),

BiF?ET=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,

則B尸J_E凡ABiFlEF,

―?-?

VBiFAF=(-2)X2+2X24-(-4)X0=0,

：.BiFlAFfBPBxFLAF.

又,：AFCEF=F,?,?8凡L平面4￡足

學(xué)生用書，第126頁

考點三利用空間向量解決探索性問題

【例3】(2014.福州調(diào)研)如圖,在長方體ABCD-43CO］中,AA\=AD=\f

E為。的中點.

(1)求證：BEJ_A￡h；

B

⑵在棱A4i上是否存在一點P,使得OP〃平面若存在，求AP的長；若

不存在，說明理由.

審題路線由長方體特征，以A為坐標原點建立空間坐標系，從而將幾何位置

關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算.第（1）問證明第（2）問是存在性問題，由0P與

平面3AE的法向量垂直，通過計算作出判定.

⑴證明以A為原點，A8,AD,A4的方向分別為x

軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）.

冬八0),3(a0,l).

設(shè)則A(0,0,0),￡)(0,1,0),Di(0J,l),

故AQi=(0,l,l),1，-1)，A8i=(a,0,l),AE=(務(wù)1,0

*：AD\B\E=—?X0+1X1+(—1)X1=0,

：.B\ELAD\,

⑵解假設(shè)在棱A4i上存在一點P((),0,zo).

-A

使得〃平面8AE，此時。。=(0,—1,zo).

又設(shè)平面BAE的法向量〃=Q,y,z).

rr[or+z=0,

???〃_L平面BAE,：.nLAB^n±AEf得J

2+y=o.

取x=l,得平面BiAE的一個法向量〃=(1,—a)

要使OP〃平面BAE,只要〃J_QP,有/—4ZO=0,

解得zo=1.

又平面BiAE,

???存在點P,滿足。P〃平面此時

規(guī)律方法立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種:

(1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再

加以證明，得出結(jié)論；

(2)假設(shè)所求的點或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達已知條件，根據(jù)題目進行求解,若

能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在.本

題是設(shè)出點P的坐標，借助向量運算，判定關(guān)于zo的方程是否有解.

BC

【訓(xùn)練3】如圖所示，四棱錐S—A3c。的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底

面邊長的啦倍，尸為側(cè)棱SQ上的點.

(1)求證：AC.LSD.

⑵若SOJ?平面%C,則側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE〃平面附C.若存在,

求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.

⑴證明連接BQ,設(shè)AC交8。于0,則AC_L8D

由題意知SO_L平面ABCD.

—?—?—?

以O(shè)為坐標原點，0B,030S分別為K軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角

坐標系如圖.

設(shè)底面邊長為則高SO=*a,

于是00,o,當

乎4,0,0),

于是OC=(o,*a,o|,S￡)=(一乎a,0,一當。,

-?-?

則。CSQ=0.故OC_L5D.從而ACLSD.

(2)解棱SC上存在一點E使BE〃平面以C

理由如下：

—?

由已知條件知DS是平面PAC的一個法向量，

旦OS=(乎a,0,*a),CS=(o,—乎a,乎J，

BC=[_*a,()1

-?—>">—>—?-?-?

設(shè)CE=fCS,WJBE=BC+CE=BC+tCS=

(啦啦〃、述]

I—2f)，ydth

ff1

由3EDS=O0F=Q.

J

―?—>

:.當SE：EC=2：1時，BE工DS.

又BE不在平面玄。內(nèi)，故3E〃平面RIC.

|課堂小結(jié)I

1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工

具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降

低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”特“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.

2.兩種思路：（1）選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向

量的線性運算進行判斷.（2）建立空間坐標系，進行向量的坐標運算，根據(jù)運算

結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題.

3.運用向量知識判定空間位置關(guān)系，仍然離不開幾何定理.如用直線的方句向

量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外.

思想方法8——運用空間向量研究空間位置關(guān)系中的轉(zhuǎn)化思想

【典例】(2013?陜西卷)如圖，四棱柱ABCQ-A出GD的底面43CO是正方形,

O為底面中心，4O_L平面ABCQ,AB=AA\=y[l.

(1)證明:4c，平面BBQQ；

(2)求平面OCBi與平面BBiDiD的夾角0的大小.

⑴證明法一由題設(shè)易知。4,OB,04兩兩垂直，以。為原點建立直角坐

標系，如圖.

???A8=A4i=啦，

.?.04=03=04=1,

A4(1,0,0),8(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,一1,0),Ai(OQl).①

VAiC=(-l,O,-I),6。=(0,-2,0),BBi=(-l,O,l),

—>—>—>—?

：.A\CBD=O,4CBBi=0,②

：.A}C1BD,4CJ_88,且88m8Q=B,

??.4C_L平面BBiDiD.③

法二,..AiOJ?平面ABC。，

：.A\O±BD.

又底面A8CQ是正方形，

：.BD±ACf???8O_L平面AiOC,

：.BD±A\C.④

又04是AC的中垂線，

：.A\A=A\C=y12,且AC=2,

：.AC2=AAI+A\C2,

：.△A4C是直角三角形，

：.AAi±A\C,

又BB\//AA\,

：.A\CA-BB\,以BBiCBD=B,

?,.AC_L平面BB\D\D.⑤

⑵解設(shè)平面OCBi的法向量〃=(x,)，，z).

V(9C=(-1AO),08=(—1,1,1),

=

ii,OC—,E=0,

{n-OB]——x+y+z=0,

x=0,

???取〃=(0,1,-1),

{y=-z,

由(1)知，AiC=(-l,0,一1)是平面BBOiO的法向量，

f11

Acos^=|cos<w,x啦=].?

7TTT

又OWOW],0=y

[反思感悟](1)轉(zhuǎn)化化歸是求解空間幾何的基本思想方法：①中將空間位置、數(shù)量

關(guān)系坐標化.②和③體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，以及將線線垂直轉(zhuǎn)化為

向量的數(shù)量積為0.在④與⑤中主要實施線面、線線垂直的轉(zhuǎn)化.⑥中把求“平面

夾角的余弦值”轉(zhuǎn)化為“兩平面法向量夾角的余弦值”.

⑵空間向量將“空間位置關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“向量的運算”.應(yīng)用的核心是要充分

認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼?，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是

正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理

條件要完備.

【自主體驗】.

如圖，在直三棱柱ABC—481cl中，AC.LBC,。為A3的中點，AC=BC=

BBi.

求證：

(2)3G〃平面CAiD.

證明如圖，以G點為原點，CIAI,CiBi,CC所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標系.設(shè)AC=BC=BB=2,則4(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),

4(2,0,0),Bi(0,2,0),Ci(0,0,0),￡)(1,1,2).

(1)由于BG=(O,-2,-2),

—?

AB=(—2,2,-2),

-??

所以8G/Bi=0—4+4=0,

—?-?

因此故，GJ_A8i.

(2)連接4C,取4c的中點E,連接。七，由于E(l,0,1),

—>―?

所以匹=(0,1.1)又56=(0,-2,-2),

所以EO=-；8G,又EO和8G不共線，

所以EO〃8G,又OEU平面C4O,

8GQ平面C4O,故8。〃平面C4D

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時:40分鐘)

一、選擇題

1.已知平面a,4的法向量分別為〃=(—2,3,-5),0=(3,—1,4),貝1」().

A.a//flB.a邛

C.a、￡相交但不垂直D.以上都不正確

解析????力-yW手，，〃與。不是共線向量，又???〃》=-2X3+3X(—l)

+(—5)X4=-29W0,「?〃與。不垂直，，平面。與平面夕相交但不垂直.

答案C

—?—?—?

2.若A6=2C。+〃CE,則直線A6與平面CDE的位置關(guān)系是().

A,相交B.平行

C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

—?—?―?—?—?—?

解析V/1B=2CD+//CE,：.AByCD,CE共面.則人8與平面COE?的位置關(guān)系

是平行或在平面內(nèi).

答案D

3.(2014?泰安質(zhì)檢)己知A(l,0,0),5(0,1,0),C((),0,l)三點，向量〃=(1,1,1),則以

n為方向向量的直線/與平面ABC的關(guān)系是().

A.垂直B.不垂直

C.平行D.以上都有可能

―?—?—?-?

解析易知A8=(-l,1,0),AC=(-1,0,1),??.OB〃=-1X1+1X1+0=0,???AC/i

―?—?

=0,AC-Lih即AC_L/,又與4。是平面ABC內(nèi)兩相交

直線，..?/_!_平面ABC.

答案A

4.

如圖，在長方體ABCQ—48clDi中，AB=2,44|=小，AD=2?P為CiOi

的中點，歷為8C的中點.則AM與的位置關(guān)系為().

A.平行B.異面

C.垂直D.以上都不對

解析

以。點為原點，分別以D4,DC,。4所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系D-xyz,

依題意，可得，D(0,0,0),P(O,1,<3),C(0,2,0),A(2啦,0,0),M(啦，2,0).

:?PM=(樞2,())-((),!,g)=(啦，1,一，§),

—*

AM=(?2,0)一(26，0,0)=(一啦，2,0),

—?—?

:.PMAM=W，1,一市)?(一也，2,0)=0,

—?—?

即PM_LAM,：.AMLPM.

答案C

5.

如圖，正方形A8CD與矩形AC￡下所在平面互相垂直，AB=?A/=1,M在

EF上,且AM〃平面8OE.則M點的坐標為().

B.eq,l,l)B.惇,9,1)

C.eqD.eqD.停坐,，

解析連接0E,由AM〃平面且AMU平面ACEF,平面ACEbQ平面BDE

=0E,:.AM//EO,

又。是正方形ABCQ對角線交點，

???M為線段即的中點.

在空間坐標系中，E(0,OJ),F(也出，1).

由中點坐標公式，知點M的坐標。亭，乎，1/

答案C

二、填空題

6.已知平面。和平面6的法向量分別為〃=(1,1,2),b=(x,-2,3),且小成，

貝Ijx=.

解析,:a邛,，〃仍=X—2+6=0,則X=-4.

答案一4

7.已知平面a內(nèi)的三點4(0,0/)，8(0,1,0),C(1,0,0),平面用的一個法向量〃=(一

1,-1,-1).則不重合的兩個平面a與4的位置關(guān)系是.

—?—?—?—?—?

解析AB=(O,1,-1),AC=(1,O,-1),：.n-AB=Q,n-AC=O9：.nLAB,nA.

AC,故〃也是a的一個法向量.又,：a與B不重合、：,a〃p.

答案平行

—?

8.已知點尸是平行四邊形ABC。所在的平面外一點，如果AB=(2,-1,-4),

—?―?―?

AD=(4,2,0),AP=(—1,2,-1).對于結(jié)論：?APLAB；?AP±AD；③AP是平

―?—>

面ABCQ的法向量；④4P〃&)淇中正確的是_______.

―?—?—?-?

解析?.?ABAP=(),ADAP=(),

AD1,AP.則①②正確.

又A8與AO不平行，

—?

???AP是平面ABC。的法向量，則③正確.

—?—?―?―?

由于3￡>=4。-AB=(2,3,4),4P=(—1,2,-1),

—?—>

???8。與A尸不平行，故④錯誤.

答案①②③

三、解答題

9.

如圖所示，平面外￡>_L平面ABC。，A8C。為正方形，△以。是直角三角形，且

PA=AD=2fE,F,G分別是線段%,PD,CQ的中點.求證：〃平面芯廠G.

證明???平面力。_1_平面ABCD且ABCD為正方形,

???A8,4P,AD兩兩垂直，以4為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系4

-xyzt則A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l)?F(0,l,l),

G(l,2,0).

―?—?-?

APB=(2,0,一2),FE=(0,-1,0),FG=(1,I,-1),

—?—?—?

設(shè)PB=sFE+tFG,

即(2,0,-2)=5(0,-l,0)+/(l,l,-1),

：.<尸Ls=‘0,解得s=7=2..??P一B=2一戶E+2一FG,

【一尸一2,

又與FG不共線，：.PB,尸E與FG共面.

*/P8Q平面EFG,：.PB〃平面EFG.

1().

BA

如圖所示，在四棱錐P-4AC力中，平面ABC力.PC=2,在四邊形ARO

中，ZB=ZC=90°,AB=4,CD=1,點M在尸8上，PB=4PM,P3與平面

A5C。成30。的角.

⑴求證：CM〃平面以D；

(2)求證：平面%8_1_平面B4D.

證明

p

以C為坐標原點，C8所在直線為x軸，CO所在直線為），軸，CP所在直線為z

軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.

???PC_L平面ABC。，

???ZPBC為PB與平面ABCD所成的角，

AZPBC=30°.VPC=2,:?BC=25PB=4.

.,.D（0,I,0）,B（2小,0,0）,4（2小，4,0）,P（0,0,2）,???QP=（0,

-1,2）,DA=（2小,3,0）,CM=（孚,0,1j,

QP〃=0,

-即

{D4〃=0,

-y+2z=0,

.2小1+3y=0,_近

令y=2,得〃=（—3,2,1）.

??,nCM=一3X坐+2X0+lx|=0,AwlCM,

又CM。平面以D,「.CM〃平面附D

⑵取AF的中點K,并連接

則七（小，2,1）,BE=（一小,2,1）,

?；PB=AB,C.BELPA.

-A-A

又BEDA=（-事,2,1）.（2事,3,0）=0,

：.BE1DA,則BEJ_OA.

???％GO4=A.???BE_L平面PAD,

又TBEU平面必8,.I平面布B_L平面布O.

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、選擇題

1.己知A3=(l,5,-2),5c=(3,1,z),若A5J_3C,BP={x~\,)，，一3),且

3PJ_平面A3c貝L+y的值為().

A.eqB.eqC.eqD.eq

-A-A-A-A

解析,：ABLBC,：.ABBC=0,即3+5—2z=0,得z=4,又BPJL平面ABC,

：.BPLAB,BPLBC,

則卜一葉"+6=。,

y=一號.于是x+y=4015=25