專題2.9弧長及扇形的面積（舉一反三講義）

【蘇科版】

題型歸納

【題型1利用弧長公式求弧長】

【題型2利用弧長公式求長度】

【題型3利用弧長公式求圓心角】

【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】

【題型5利用扇形面積公式求面積】

【題型6求弓形面積】

【題型7求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】

【題型8不規(guī)則圖形的面積計(jì)算】

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1弧長公式

在半徑為火的圓中，因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的弧長就是圓周長C=2;rR,所以1。的圓心角

所對(duì)的弧長是梁，即噂，于是〃。的圓心角所對(duì)的弧長為/=4?2加=鬻，弧長為/

3601X036018U

的弧所對(duì)的圓心角為〃=粵度.

知識(shí)點(diǎn)2扇形的面積公式

1.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積

S=〃R2,所以圓心角是1。的扇形面積是小，于是圓心角為〃。的扇形面枳是S嗎形=皿，

360磯360

還可以用弧長表示扇形面積，諂形其中/為扇形的弧長.

試卷第1頁，共12頁

【題型1利用弧長公式求弧長】

【例1】（2例5,青海?中考真題）

1.如圖，線段力笈經(jīng)過圓心O,交。O于點(diǎn)A,C,月。為OO的弦，連接月。,

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）已知4c=2,求發(fā)的長（結(jié)果保留兀）.

【變式1一11（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）

2.西安“不倒翁小姐蛆”再次讓全國人民領(lǐng)略了大唐的風(fēng)采，同時(shí)催生了眾多富有文化特色

的文創(chuàng)產(chǎn)品（如圖①），圖②是從正面看到該不倒翁的形狀示意圖（設(shè)圓心為O）.已知不

倒翁的邊緣口，P8分別與。。相切于點(diǎn)力，B.若該圓的半徑是3cm,ZP=60°,則石花

的長是（）

圖①圖②

A.6兀cmB.47tcmC.371cmD.271cm

【變式1-2]（24-25九年級(jí)上?河北滄州?期末）

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力（-4,0）,^（0,2）,。（4,0）,且點(diǎn)以。在就

上.若/胡。=22.5。，則前的長為

試卷第2頁，共12頁

B

A（）Dx

【變式1-3]（2025?河南駐馬店?三模）

4.如圖，是由眾多邊長為2的正三角形組成的網(wǎng)格，B.C.。均為頂點(diǎn)，則說小的長為

（）

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A2療口行「二14

A?------7tD?-----7T。.九D.—兀

3223

【題型2利用弧長公式求長度】

【例2】（2025?福建廈門?二模）

5.如圖，PM切于點(diǎn)P,弦??！?。/，若NOMP=30。,劣弧。。的弧長為則線

C.3D.兀

【變式2—1]（2025?安徽合肥一模）

6.如圖1,這是中國古建筑中的正六邊形窗戶設(shè)計(jì)圖，圖2是由其抽象而成的正六邊形

2

ABCDEF,。。是它的外接圓，連接OC,OD,作OG1CQ.若劣弧CO的長為一乃，則

3

OG=

試卷第3頁，共12頁

【變式2一2]（2025?廣西欽州?一模）

7.如圖為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似地看作扇環(huán)，其中行

211

長度為三萬米，蕊長度為R萬米，圓心角乙400=60。，則裙長為米.

JIJ

()

A

圖2

【變式2一3]（24-25九年級(jí)上?北京朝陽?期中）

8.圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與8

之間的距離為10cm,雙翼的弧4P與弧8。的長都為12冗，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角

A.72cmB.（72V3+10）cmC.（7272+10）cmD.82cm

【題型3利用弧長公式求圓心角】

【例3】

9.小明陪弟弟玩積木的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)放在同一水平面上的兩個(gè)積木的橫截面分別是以

MN=20cm為直徑的半圓。和邊長為4cm的正方形力8C0,P,。分別為半圓。上的點(diǎn),

試卷第4頁，共12頁

如圖1所示，此時(shí)半圓。與水平面恰好切于點(diǎn)P,4P=12cm,延長。。與半圓。分別交于

點(diǎn)E,F.將半圓。向右無滑動(dòng)滾動(dòng)，使點(diǎn)。落在半圓。上，此時(shí)半圓。與水平面恰好切

于點(diǎn)。，如圖2所示.

圖1圖2

⑴在圖1中，求弦E尸的長；

（2）在圖2中，求回所對(duì)的圓心角度數(shù)；（結(jié)果保留兀）

【變式3一1】

10.一個(gè)扇形的弧長是3知cm,半徑是6cm,則此扇形的圓心角是度.

【變式3—2】

11.一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的直徑是8cm,當(dāng)重物上升2?rcm時(shí)，滑輪的一條半

徑04繞軸心。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度為（）

----.

7\、滑輪

1）▲

ipdt

?重物

A.60°B.90°C120°D.180°

【變式3一3］（2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）

12.“輪動(dòng)發(fā)石車”在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，模型驅(qū)劭部分如圖所示，其中。財(cái),ON的半

徑分別是1cm和8cm,當(dāng)OM順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí),ON上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)〃。，則〃=______.

?N

【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】

【例4】（2025?河北衡水?噢擬預(yù)測(cè)）

試卷第5頁，共12頁

13.如下圖，等邊△/18C的邊長為2,ZVIB。在直線/上繞其右下角的頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。

至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至圖②位置，…，以此類推，這樣連

續(xù)旋轉(zhuǎn)9次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是.

14.如圖，將等邊AABC的邊AC逐漸變成以B為圓心、BA為半徑的介，長度不變,

AB、BC的長度也不變，則乙ABC的度數(shù)大小由60。變?yōu)椋ǎ?/p>

虺）。

D.

7t

【變式4一2］（2025?貴州畢節(jié)?一模）

15.如圖①，是一底面為正方形的石凳，其底面邊長為30cm,圖②是其底面示意圖，工人

在沒有滑動(dòng)的情況下，將石凳繞著點(diǎn)A在地面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)60。時(shí)，點(diǎn)。在地面劃出

的痕跡長為（）

圖①

A.1Q^cmB.10V2^cmC.10>/3^cmD.20^,cm

【變式4一3］（2025?安徽滁州?一模）

16.如圖，邊長為2瓜m的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)。，0/1垂直平分邊。，垂足為8,

AB=\7cm,用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90。，則點(diǎn)4在該過程中所經(jīng)過的路徑長為（）

試卷第6頁，共12頁

A.（17+百）兀cmB.（17+2石）7tcmC.10兀cmD.2071cm

【題型5_利用扇形面積公式求面積】

【例5】（2025?湖南常德?二模）

17.圖1為人行通道扇形閘門，圖2為其上半部分的平面示意圖.閘門關(guān)閉狀態(tài)時(shí),扇形力

與扇形8NC相交于點(diǎn)C,且兩扇形的半徑分別是矩形4WNB的兩對(duì)邊4必和8N.已知

"N=60cm,圓心角//l”C=N8MC=30。，則扇形4WC的面積等于cm2.（結(jié)果

保留不）

【變式5一1］（2025?山東聊城?三模）

18.如圖，44為OO的直徑，00的切線CE交歷i的延長線于點(diǎn)足點(diǎn)。在部上,

（2）如圖2,若NCEB=2NCBE,OE=5近,求扇形80。的面積.

【變式5一2］（2025?四川南充?三模）

19.如圖，正五邊形和正六邊形有公共邊力8=5cm.以點(diǎn)A為圓心，力8為半徑畫圓.則扇

形48的面積為一.

試卷第7頁，共12頁

【變式5一3］（2025?河南洛陽?三模）

20.如圖，圓。是等邊三角形48c的外接圓，點(diǎn)力是弧8C的中點(diǎn)，連接8。、CD.以點(diǎn)

。為圓心，3。的長為半徑在圓。內(nèi)畫弧，陰影部分的面積為竽，則等邊三角形48C的

邊長為（）

B.472

【題型6求弓形面積】

【例6】（2025?江蘇南通?二模）

21.如圖，矩形力中，AB=A6,AD=2,以48為直徑作半圓。，則圖中陰影部分

的面積是（）

48

A.4^-8B.2^-4—7C-----

【變式6一1］（2025?寧夏中衛(wèi)?三模）

22.如圖，分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以三角形邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖

形是“勒洛三角形”，若等邊三角形的邊長＜8=2,則“勒洛三角形”與等邊4/18。圍成陰影部

分的面積等于—（結(jié)果保留兀）.

試卷第8頁，共12頁

A

23.家庭折疊型餐桌兩邊翻開后成圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊48和CO平行且相等（如

圖②），小華用皮尺量出80=1米，8。=0.5米，則陰影部分的面積為（）

尼邛卜方米

平方米D.

【變式6一3］（2025?遼寧鐵嶺?二模）

24.如圖，在等腰三角形力8C中，AB=AC,HD=DC.DE上AC于點(diǎn)、E,。。是△力4。

的外接圓,交C4的延長線于點(diǎn)F.

（1）判斷并說明DE與OO的位置關(guān)系；

⑵當(dāng)N8=30。，=l時(shí)，求弧"'與弦力廠所圍成的弓形面積（陰影部分）.

【題型7求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】

【例7】（2025?四川達(dá)州?二模）

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A/18C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4（0,4）,8（0,2）,C（3,2）.

試卷第9頁，共12頁

（1）將A/18c以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)270。，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的并求出力C邊旋轉(zhuǎn)掃過

的面積.

（2）將ZU8c平移后得到AJ282c2,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的g標(biāo)為（2,2）,求的面積.

【變式7一1］（2025?江蘇連云港一模）

26.如圖，在等腰直角三角形48C中，直角邊長是2,若將此三角形繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，那么斜邊48掃過的面積為（）

A.兀B.-n-2C.2兀D.2n-2

2

【變式7—2］（24—25七年級(jí)下?江蘇無錫?期中）

27.當(dāng)汽車在雨天行駛時(shí)，為了看清道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器.如圖所示

是某汽車的一個(gè)雨刷器示意圖，雨刷器桿OM與雨刷43在.”處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），若

測(cè)得4。=80?！ǎ?0=20皿，當(dāng)桿。必繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)90。時(shí)，雨刷掃過的面積是（）

A.1600祀〃/B.1500乃5?2C.900乃5?2D.800.TCW2

【變式7-3］（2025?山東東營?模擬預(yù)測(cè)）

試卷第10頁，共12頁

28.如圖，在RtZUBC中，48c=90。，N84C=30。，AC=2.RtZUBC可以繞點(diǎn)4旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為60。，連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩次，分別得到Rt△力4G和Rl△4&G，則圖中陰影部分

的面積為.

【題型8不規(guī)則圖形的面積計(jì)算】

【例8】（2025?湖北襄陽?一模）

29.如圖，48是。。的直徑，C,E是。。上兩點(diǎn)，4C平分NBAE,交/￡的延

（1）求證：CO是。。的切線：

（2）若,4E=〃C=2,求圖中陰影部分的面積.

【變式8一1］（2025?山東青島?中考真題）

30.如圖，在扇形力。8中，408=30。，0/=26，點(diǎn)。在。臺(tái)上，且OC=/C.延長C3到

D,使。。=0.以。，CO為鄰邊作平行四邊形力則圖中陰影部分的面積為

（結(jié)果保留不）.

31.如圖，在RtZ\/18。中，ZC=90°,4c=8C,點(diǎn)。在邊上，04=2后，以。為圓

心，04長為半徑作半圓，恰好與BC相切于點(diǎn)O,交力B于點(diǎn)E,則陰影部分的.

試卷第11頁，共12頁

B

【變式8一3］（2025?四川資陽?中考真題）

32.如圖，在正六邊形48CQE尸中，AB=2,連接4C,4E,以點(diǎn)。為圓心、CO的長為

半徑作圓弧CE,則圖中陰影部分的面積是.

試卷第12頁，共12頁

1.(1)見解析

⑵3

【分析】本題主要考查了切線的判定，弧長公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì).

(1)先由三角形內(nèi)角和定理得出/力。4=120。，再根據(jù)。力=。。得乙4=NOD4=30。，進(jìn)

而可得NODB=90°,再根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論：

(2)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得設(shè)OQ=OC=〃，則/":(r+Z),

求出「，再得NOOB=N/+NOD4=60。，然后根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OQ,

?.?4=/8=30。，

:"ADB=180。-N4-=120°,

vOA-OD,

.?./月=/。。月=30。，

.??/0。8=120。-30。=90。，

.'.OD1BD,

且O力是。。的半徑，

???直線4。是。。的切線：

(2)解：在RSOOB中，/0。8=90。,/4=30。,

:.OD=-OB,

2

設(shè)O0=OC=r,

1

.-.r=-(rz+2),

解得/-2,

vZDOB=ZJ+/ODA=60°,

?我的長為:鬻*?

2.B

答案第1頁，共27頁

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，多邊形內(nèi)用和.利用切線的性質(zhì)可得

NP4O=NPBO=90。,進(jìn)而得到/力。？=120。，以及痂所對(duì)圓心角，最后利用弧長公式

求解即可.

【詳解】解：如圖，連接04,OB,

P

AfivPA,PB分別與相切于點(diǎn)/,B,

M

/.ZPAO=ZPBO=9Q°,

;ZP=60°,

/.404=120°,

麗所對(duì)圓心角為360：4104=240。,

???該圓半徑是3cm,

.---.八曰240x；rx3,(、

「?4W8的長是———=4;r(cm),

1oU

故選:B.

3.—

44

【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，涉及勾股定理，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的2倍關(guān)系,

以及弧長的計(jì)算.解題的關(guān)鍵是求出圓的半徑與左所對(duì)的圓心角.根據(jù)4Q1O8,延長80

到圓心E,在町A。創(chuàng)設(shè)未知數(shù)求出半徑的長，根據(jù)同孤所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍,

即可求出命圓心角4EC=45。，利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：???4-4,0),D(4,0),

AO=DO,

C_Ly軸，

???圓心在y軸上，

設(shè)圓心為點(diǎn)￡連接CE、AE.DE,

答案第2頁，共27頁

???在坐標(biāo)系中：4-4,0),例0,2),D(4,0),

可知：AO=OD=4,OB=2,

此時(shí)由于半徑相等：AE=BE=DE,

.?.設(shè)OE=x,則4E=8E=2+x,

???由題可知：ADLBE.

.??在?△0口中有勾股定理：AO2-^OE2=AE2,

.-.42+x2=(x+2)2,解得：x=3,

.??半徑為：5,

???同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍，Z5JC=22.5°,

:"BEC=2NBAC=45°,

45xnx5_5n

啟的長為:

18()F

故答案為：

4.A

【分析】如圖，由題意可得：。為反方所在圓的圓心，為格點(diǎn)，取格點(diǎn)4旦F,連接

OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD,過O作OH_L力。于，，QBF處DOAmBDE,可得

△BOD為等邊三角形,ZBOD=60°,求解OD=』2+⑻=腐=26；再利用弧長公式

計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，由題意可得：O為標(biāo)所在圓的圓心，為格點(diǎn)，取格點(diǎn)/，連接

OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD,過。作OH_L力。于”，

答案第3頁，共27頁

???由題意可得：OF=4=BE=AD,Z,OFB=120°=ZBED=ZOAD,BF=OA=DE=2,

：.QBF處DOA處BDE,

：.OB=DO=BD,

???△8。。為等邊三角形，

由等i力三角形的性質(zhì)可得：ZAOH=30°,0/1=2,而N4〃O=90°.

??AH=1,OH=422-\2=5

:.DH=5,

???8="+（可=728=277；

..近的長60兀x2近二亞口

1803

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊二.角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性

質(zhì)，弧長的計(jì)算，三角形的外接圓的圓心的確定，作出圖形是解本題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)：連接OP，。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得出根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)得出MO=2尸O,進(jìn)而得出△8。是等邊三角形，貝匕/"。=60。，根據(jù)劣弧

的弧長為設(shè)。尸=〃，得出〃=1,進(jìn)一步即可求解.

【詳解】解：如圖,連接。尸。。,

答案第4頁，共27頁

：.OP1PM,

-.?zawp=3o°,

AZPOM=60°,MO=IPO

-,-PQ//OM,

.?.NOP。=60。，

?：OP=OQ,

.?.△OPQ是等功三角形，

.?.ZPO0=6O°

?.?劣弧尸。的弧長為。，設(shè)02=廠，

6071

:.---nr=—

1803

解得：r=1

.'.OM=2PO=2f

故選：B.

6.V3

【分析】先求出中心角NCOQ=60。，再根據(jù)弧長公式求得半徑為2,然后解RtaOG。即可.

【詳解】解：???正六邊形A8CDM,。。是它的外接圓，

.?.中心角ZCOD=至360-°=60。，

6

???劣弧CQ的長為：乃，

:.—2n=6-0--^---x-O--D--,

3180

解得：。。=2,

-OG1CD,OC=OD

.?.NGOQ=』NCOO=30。，

答案第5頁，共27頁

???OG=OCxcosZ.GOD=柩，

故答案為：G.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓圓與正多邊形，解直角三角形，中心角的求解，弧長公式，綜合性較

強(qiáng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.1

【分析】本題考查了扇形的弧長公式.解題的關(guān)鍵在于王確的計(jì)算.

由題意知，/而=如常=|乃，七="鬻'=9乃，計(jì)算求解08的值，然后根據(jù)

48=。8-。力計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題思知=~=7乃，前=180=胃''

解得04=9，0B=?，

JJ

.?.AB=OB-O4=l,

故答案為：1.

8.D

【分析】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)力作力￡_L。，過點(diǎn)8作8"_L。。，在

中，可求得力E同理可求得8/=18。，再由弧長公式可求得4E=8尸=36cm,即

22

可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)/作4E_LCP,過點(diǎn)8作8/J.。。，如圖，

則Rt△力CE中，ZPCA=30,

:.AE=—AC,

2

RtABD尸中,/BDQ=30,

:.BF=-BDt

2

答案第6頁，共27頁

???雙翼的弧AP與弧BQ的長都為12兀，NPCA=NBDQ=30°,

30^-xAC,_30TTXBD..

???------=11.71,--------=12^,

180180

:.AC=BD=72cm,

AE=BF=36cm,

???雙翼邊緣的端點(diǎn)4與8之間的距離為l()cm,

???當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為36+36+10=82cm,

故選：D.

9.(l)￡F=16cm；

【分析】（1）如圖1,連接OE,OP,O尸與EF交于點(diǎn)T,可得四邊形4O7P為矩形，得

到0P1E7L夕7=力。=4（：01,進(jìn)而得/?7'=尸7.由"\二20（：01可得。7=6011.在n2\?！?'

中，利用勾股定理求出￡7,即可求解；

（2）如圖2,連接。。，OD,延長。交。。于點(diǎn)G,可得四邊形4OGQ為矩形，得到

AQ=DG,QG=AD=4cm,Z.OGD=90°?由MN=20cm可得OG=6cm,進(jìn)而由勾股

定理得QG=8cm,即得4Q=OG=8cm,得到用的長為4P-40=4cm,再根據(jù)弧長公

式即可求解；

【詳解】（1）解：如圖1,連接OE,OP,OP與EF交于點(diǎn)、T,

M__Q_N

^^T\Q^F|?.?半圓。與水平面相切于點(diǎn)尸，OP為半圓。的半徑，四邊形力BCO

圖1

為正方形,

AOPA=Z.DAP=AADT=90°,

???四邊形力。9為矩形,

.-.OP1EF,PT=AD=4cm,

ET=FT

?:MN=20cm,

...OE=OP=10cm,

答案第7頁，共27頁

：.0T=6cm,

.?.在RtZ\O￡T中，F(xiàn)r=V102-62=8(cm),

.?.Eb=2￡T=16cm；

(2)解：如圖2,連接5?,OD,延長CO交。。于點(diǎn)G,

Mi-n

???四邊形/BCD為正方形，半圓。與水平面相切于點(diǎn)Q,。。為半圓O

Q4B

圖2

的半徑，

："GQA=ZDAQ=ZADG=90°,

四邊形4OG。為矩形，

AQ=DG,QG=AD=4cm,ZOGD=90°,

vMN=20cm,

...OO=O0=lOcm,

:.OG=6cm,

???在RtZXOQG中，Z)G=7102-62=8(cm)，

...A0=￡)G=8cm,

???=12cm,

二所的長為4P-力。=4cm,

10/m.

二----=4,

180

解得〃二一

it

衛(wèi))。

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

弧長公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

1().36

【分析】利用弧長公式列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為〃O.

答案第8頁，共27頁

+6n兀?6

由題意得：產(chǎn)百,

解得：“=36.

故答案為36.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】本題考查了弧長公式的計(jì)算，重物上升271cm時(shí)，即弧長是27tcm,設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度

是〃。，利用弧長公式計(jì)算即可得出答案，熟練掌握弧長公式是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???滑輪的直徑是8cm,

二?滑輪的半徑是4cm,

設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度是〃°，

》r/mx4C

由題意得：=2兀,

IOV

解得：〃=90,

???滑輪的?條半徑。4繞軸心。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為90。，

故選:B.

12.135

【分析】本題主要考查了利用弧長求解圓心角度數(shù).先求出點(diǎn)尸移動(dòng)的距離，再根據(jù)弧長

公式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P移動(dòng)的距離為3x2兀xl=6nm,

解得：”135.

故答案為：135.

13.8乃

【分析】本題考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運(yùn)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長

的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)犍.首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長，發(fā)現(xiàn)每3次循

環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖所示，

AAAA?V\AAAA

BCA\82c34B$CbAiC9

C\AzB、C&AsC7Av.Bq

答案第9頁，共27頁

解：轉(zhuǎn)動(dòng)一次頂點(diǎn)/至點(diǎn)4,旋轉(zhuǎn)120。，路線長是：^X^x2=^,

Ic()3

轉(zhuǎn)動(dòng)第二次頂點(diǎn)4至點(diǎn)出，未動(dòng)，路線長是：0,

轉(zhuǎn)動(dòng)第三次頂點(diǎn)4至點(diǎn)4,旋轉(zhuǎn)120。，路線長是：黑x;rx2=。不，

ISO3

以此類推，每三次循環(huán)，

48

故頂點(diǎn)N轉(zhuǎn)動(dòng)三次經(jīng)過的路線長為：=1萬，

???9次旋轉(zhuǎn)重復(fù)了9+3=3(遍)，

Q

???頂點(diǎn)月轉(zhuǎn)動(dòng)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和為：§乃x3=8萬.

故答案為：8萬.

14.D

【分析】設(shè)NABC的度數(shù)為n,根據(jù)弧長的計(jì)算公式把已知條件代入計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)ZABC的度數(shù)大小由60變?yōu)閚,

則AC=^^,由AC=AB,

Io0

反為180

解傳n=---

冗

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算和等邊三角形的性質(zhì)，掌握弧長的計(jì)算公式1=窯是解題

1oU

的關(guān)鍵.

15.B

【分析】本題主要考查勾段定理和弧長公式的應(yīng)用.解題關(guān)鍵在于確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓

弧，利用勾股定理求出圓弧所在圓的半徑，再準(zhǔn)確運(yùn)用弧長公式進(jìn)行計(jì)算.本題需要先確定

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)弧長公式計(jì)算軌跡長度.點(diǎn)。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，其運(yùn)動(dòng)軌跡

是以A為圓心，力。長為半徑的一段圓弧，先求出力C的長度，再利用弧長公式計(jì)算.

【詳解】解：???底面是邊長為30cm的正方形，

???對(duì)角線AC的長度為Co2.3()2=j2x30?=30>/2cm.

???“=60。，半徑=二4。=20缶m.

???點(diǎn)C在地面劃出的痕跡長/=60x4x308=10近兀cm.

180

16.C

答案第1()頁，共27頁

【分析】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，弧長公式,

利用正六邊形的性質(zhì)和勾股定理求出(陽的長度，進(jìn)而得到。力的長度，最后根據(jù)弧長公式

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接OD0C.

??.△OOC是等邊三角形,

?*-OD=OC=DC=2>/3ciii，

-OBLCD,

BC=BD=Gem,

：?OB=ylOD2-BD2=3cm，

vAB=17cm,

???OA=OB+AB=20cm,

???點(diǎn)力在該過程中所經(jīng)過的路徑長=笠3=lO^-(cm).

180

故選：c.

17.300乃

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積公式，熟練掌握相關(guān)

知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

證明△CMN是等邊三角形，求出/LW=CM=60cin,得到

S用形/眩=笞疾=歿黑=300乃(cm。即可得到答案?

【詳解】解：:矩形力MN8,

AM=BN,4AMN=/BNM=90°,

???N4WC=/8NC=30。，

...4cMN=4AMN-ZAMN=60°,4CNM=/BNM-4BNC=60°,

答案第11頁，共27頁

AM=CM、BN=CN,

CM=BN,

「.△CMN是等邊三角形,

:.CM=MN=60cm,

AM=CM=60cm,

30乃4小30.7x602

?9=300萬(cm2)，

360360

故答案為：300乃

18.(1)見解析

吟

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，求扇形面積，勾股定理，等

腰三角形的性質(zhì)與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵。

(1)由切線的性質(zhì)可得/。8=90。，則NC￡4+N3=90。，再由等邊對(duì)等角和三角形外角的

性質(zhì)得到N3=2/2,再證明/4=N2,NCW+/3=90。，即可證明NCE4=NO。.

(2)先證明N3=NC￡4=45。，則N4=22.5。，由圓周角定理得到/OO8=2/4=45。，進(jìn)

一步求出C。=5,據(jù)此利用扇形面積計(jì)算公式求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接CO,

???CE是。。的切線,

ZOCE=90°,

ZCE^+Z3=90°,

：OC=OB,

???Z1=Z2,

/.Z3=Z1+Z2=2Z2,

vJc=5D>

N4=N2,

為直徑,

...ZJC/?=90°,

答案第12頁，共27頁

/.ZC4O+Z4+Z2=90°,即/。。+/3=90。，

:"CEA=Z.CAD.

(2)解：如圖，連接CQDO,由(1)得N3=2/2=2/4,

:"CEA=N3,

???NEC。=90。，

.?.Z3=N*=45。,

/.Z4=22.5°,

.../"M=2N4=450.

?：OE=56,

CO=5,

454x5z25

S"形BOD=-------=—兀.

3608

，八557r

19.——cm

6

【分析】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出

NCAB、N。/出的度數(shù)，利用扇形面積公式計(jì)算即可，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)

角和公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由正五邊形和正六邊形可得：NC"=("27180。=108。,

(6-2)x180°

NDAB=----』-----=120°,

5

Z.CAD=3600-Z.CAB-/DAB=360°-108°-120°=l32>,

色132X^-X52132X^X2555兀

???扇形4c。的面積為---------=----------=——cm'

3603606

故答案為：竺cn?.

6

20.C

【分析】連接04、OD,。。與4C交于點(diǎn)E.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)，得到/〃QC=120。，再結(jié)合扇形面積公式，求出80=4,由垂徑定理可得4E=CE,

答案第13頁，共27頁

0C18C,BD=CD,再解直角三角形，得至ljBE=2退，從而得到反?=4/§，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接04、OD,與8。交于點(diǎn)E.

4ABe是等邊三角形,

...AA=60°,

???四邊形N8C。內(nèi)接于。。,

4+/8。。=180°,

Z5￡)C=120°,

???陰影部分的面積為粵,

1204BQ?162r

:.--------=---,

3603

/.5D2=16,

:.BD=4（負(fù)值舍去），

???0。是半徑，點(diǎn)。是弧8C的中點(diǎn),

BE=CE,OCLBCtBD=CD,

NDBC=NDCB=30°,

:.DE=-BD=2

2t

BE=>JBD2-DE2=2y/3，

BC=2BE=A0

等邊三角形ABC的邊長為4j5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，扇形面積，垂徑定理，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識(shí)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.B

【分析】本題主要考查了求扇形面積，垂徑定理，勾股定理.設(shè)C。與半圓。交于點(diǎn)E,F,

答案第14頁，共27頁

過點(diǎn)。作OMJLCO于點(diǎn)W,則QW=4O=2,CE=4丘=2也,根據(jù)垂徑

定理可得E/二2屈W,乙FCM=LKM,再結(jié)合勾股定理可得,g=26=4,

從而得到/既加=90。，然后根據(jù)%形4一4防，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)C。與半圓O交于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)。作OM_LCO于點(diǎn)〃，則

OM=AD=2.CE=\陽=1x4亞=2也,

22

/A'、、：r//\\

、I?

AoB

??.EF=2EM,AFCM=Z￡OW,

:間:A/CE2-=2、

:.OM=EM,B~—2d/=4,

.?.△EOM是等腰直角三角形，

：?LFCM=乙KM=45。，

.??NEQF=90°,

???圖中陰影部分的面積是q_c_903（2.）屋2--2冗4?

J房形￡0尸0AEOF-3602Z4

故選：B.

22.2九一3G

【分析】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn),4作

AHtBC于H,由等邊三角形的性質(zhì)得到4c8=60。，BH=；BC=\,則由勾股定理可得

AH=^AB2-BH2=百，再根據(jù)S叨影=3（S成形心-&?。┯?jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)4作力〃_L8C于，，

???△49C是等邊三角形，"=2,

BC=AB=2,Z.ACB=60°,

:.BH=>BC=\,

2

??AH=dAB°-BH2=也?

答案第15頁，共27頁

K>ACB9MBe

J60nx22

=3-----x-2-x--V3

3602

=2n-3V3,

故答案為：2n—35/3.

【分析】此題主要考查了勾股定理以及扇形面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，熟練掌握

特殊角的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)圓心為O,連接CO,過點(diǎn)。作OE_LC。于點(diǎn)￡,進(jìn)

而得出CD,EO的長以及Z.COD的度數(shù)，進(jìn)而由S弓形⑺面弟一S審影coo—S11ca,得出弓形CD的面

積，進(jìn)一步即可求得陰影部分的面積.

【詳解】解：設(shè)圓心為O,連接CO,過點(diǎn)。作OE_LCD于點(diǎn)E,

圖②

由題意可得出：NBCD=90。,

.??8。是€＞。的直徑，

1米，4C=0.5米，

:.BC=gBD,CD=《BD?-CD2=等米,

ZBDC=30°,

：.OE=-OD=-^t

24

?：（JC=OD,

答案第16頁，共27頁

：.40CD=NBDC=30。,

.??"00=120°,

」xL回仇闔平方米,

S弓形面積=S扇膨C00-S^OD

3602421216

，陰影部分的面積為：2x平方米.

???故選：B.

24.(1)直線OE與。。的位置關(guān)系是相切，理由見解析；

2

(2)-7T-y/3.

【分析】(1)連接OO,由等腰三角形三合一定理可得4。/8C,故有乙408=90。，所以

力用為。。的百■杼,從而得到。。是△力8c中位線，則OD〃4C,得到OE1OO,最后由切

線的判定即可求證；

(2)連接0/，過。作0//_L力尸于點(diǎn)〃，證明4。/尸是等邊三角形，則有乙1?！?60。，

40〃=3()。，OA=AF,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得4Q=24E=2,AB=2AD=4,

OA=AF=2,AH=\,最后通過弓形面積為S凰形的■即可求解.

【詳解】(1)解：直線QE與。。的位置關(guān)系是相切，理由：

連接O。，

?：AB=AC,BD=DC,

/.AD1BC,

???//O8=90。，

.?.48為。。的直徑，

???OA-OB,

是△Z8C中位線,

：.OD〃AC,

答案第17頁，共27頁

VDE1AC,

：.DELOD,

???o。是O。的半徑，

??.DE與OO相切;

(2)解：如圖，連接。尸，過。作OH14產(chǎn)于點(diǎn)”,

???AH=FH,

?：AB=AC,ZB=30°,

.-.Z5=ZC=30°,

：.ZOAF=ZB+ZC=GO0,

,:OA=OF,

.?.△。力/是等邊三角形，

.?.N/。尸=60。，N4O"=30。，OA=AF,

???408=90。，ZC=30°,

:.ZDAC=60°,

vDE1AC,

.-.ZJ￡D=90°,

/ADE=30°,

???AD=2AE=2,

同理：AB=2AD=4,

OA=AF=2,

二AH=1,

由勾股定理得：OH=ylOA2-AH2=722-12，

???弓形面積為S扇形48-S,A0F

60萬x2?1

----------X2x6

3602

答案第18頁，共27頁

二|?乃一VJ.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

25.(1)見解析，4C邊旋轉(zhuǎn)掃過的面積”

4

(2)見解析，A/1GG的面積為事27或;3

【分析】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形變化一平移，利用網(wǎng)格求三角形的面積,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換、平移變換的性質(zhì).

(1)分類討論：①當(dāng)A48C以。為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。時(shí)；②當(dāng)A48C以。為旋轉(zhuǎn)中

心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。時(shí)，逐一作圖求解即可；

(2)根據(jù)力(0,4)向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度得到4(2,2),即可作

圖，冉由①當(dāng)A48C'以。為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。時(shí)：②當(dāng)A48c以。為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)270。時(shí)，分類討論,即可解答.

【詳解】(1)解：①當(dāng)A/8C以。為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。時(shí)，如圖，設(shè)以。。為半徑的

圓與軸交于點(diǎn)色石，

由4(0,4),C(3,2)得04=4,OC=yl22+32=>/\3?

???旋轉(zhuǎn),

ZAOC=ZA}OC^

??&=#，

答案第19頁，共27頁