第十四章全等三角形

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一、單選題

1.如圖，點、E,/在線段8c上，△ABF與ADCE全等，點A與點、D,點8與點C是對應頂點，AF

與DE交于點M,則（）

A.NBB.NAC./EMFD.ZAFB

2.如圖，在VA3c和J）律中，如果AC'="*C=".，在下列條件中不能保證△ABCg△。及'的

是（）

A.ZACB=ZFB.AB=DEC.ZA=ZDD.AC//DF

3.縱橫交錯的公路和鐵路將4B,C三個村莊連成一個如圖所示的三角形區(qū)域.若建一個到三條道路

的距離相等的物流倉儲基地，則這個基地應該建在（）

A.VABC的三條高線的交點B.VABC的三條中線的交點

C.V48C的三條角平分線的交點D.VA8C的三邊垂直平分線的交點

4.下列給出的條件中，具有（）的兩個圖形一定是全等的.

A.形狀相同B.周長相等C.面積相等D.能夠完全重合

5.如圖，兩個全等直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點4到C的方向平移到..O斯的

位皆，48=10.00=4.36=21,平移距離為6,則△OEC的面積為（）

6.下列說法正確的是（）

A.到一個角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上

B.面積相等的兩個三角形一定是全等三角形

C.兩個等邊三角形是全等三角形

D.有兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等

7.如圖，在梯形A8CO中，AB//CD,AD=DC=CBtAC±BC,那么下列結論不正確的是（）

A.AC=2CDB.ZABC=6（r

C.NCBD=NDBAD.BD1AD

8.如圖，在四邊形八BC。中，是它的對角線，八。=€7）,若8/）平分/ABC,NA=119。，則NQC8

的度數(shù)為（）

9.如圖，在邊長為2夜的正方形4BCO中，點E、尸分別是邊AB、BC的中點，連接EC、。廣交于

點。，點G、”分別是EC、/。的中點，連接G",則G”的長度為（）

H應「而Vio

D.C.---nU.---

225

10.如圖，VA8c的角平分線A。、中線班:相交于點O.有下列兩個結論：①AO是，ABE的角平分

線；②B。是△/W。的中線.其中（）

A.只有①正確B,只有②正確C.①和②都正確D.①和②都不正確

11.如圖，在V{3c中，ZC=60°,Z5=50°.以點人為圓心，適當長為半徑畫弧，交/W于點。，

交AC于點E；再分別以點。，E為圓心，大于;。后的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）相

交于點P，作射線4P，與邊相交于點尸，則加E的大小為（）

12.如圖，在平行四邊形ABC。紙片中，NBAD=45。，AB=IO.將紙片折疊，使得點A的對應點A'

落在BC邊上，折痕EF交AB、AD、AA'分別于點E、F、G.繼續(xù)折疊紙片，使得點C的疝應點C

落在A'F上.連接GC',則GC'的最小值為（）

D.—

4

二、填空題

13.到角的兩邊距離相等的點.在,所以，如果點P到/AO8兩邊的距離相等，那么射線。。

是

三、解答題

18.先觀察猜想結論，再動手驗證.

⑴如圖.圓例和圓N哪個大？

⑵如圖，兩條線是否為直線？

19.如圖，B。是NA8C的平分線，AB=BC,點E在上，連接CE,DF±AE,DGLCE,垂

足分別是RG.

(1)求證：4

(2)求證：DF=DG.

E

BC

20.如圖，在V4BC中，人。是中線，上是人。上一點，且此二AC.求證：/BED=4DAC.

21.如圖，在VABC中,。為邊BC上一點，E為邊而上一點，且A石=6,連接A力，尸為AQ的

中點.連接E尸并延長,交AC于點G,在向G上截取點”，使FH=FE,連接GD,若HG=CG.

⑴求證：/XAEF^ADHF;

(2)求證：ZB=2ZGDC.

22.如圖，點4,D,B,E在同一條直線上，AD=BE,I3C//EFfBC=EF.判斷AC與￡）產(chǎn)的位

置關系，并說明理山.

23.如圖，在VA8C中，A8=AC=2,N8=40。，點。在線段8c上運動（。不與8、。重合），連

接AO,作NADE=40。,。石交線段AC于及

A

⑴當/友訊二115。時，/明。=_。：點。從B向C運動時，N8D4逐漸變_（填“大”或“小”）；

（2）當。C等于多少時，△ABD94DCE,請說明理由；

⑶在點。的運動過程中，VAOE的形狀也在改變，判斷當N8D4等于多少度時，VAOE是等腰三角

形.

24.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB=AD,CB=CD,點E是CD上一點,連接BE交AC

于點巴連接下

⑴求證：四邊形A3C。是菱形；

⑵試探究臺￡滿足什么條件時，，EFD=/BCD,并說明理由.

《第十四章全等三角形》參考答案

題號1234567891()

答案ACCDADABAA

題號1112

答案DB

1.A

【分析】根據(jù)全等三角形的對立角相等，即可得出結論.

【詳解】解：^ABF冬Z\DCE,

:?/DCE=/B；

故選A.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì).解題的關鍵是找準對■應角.

2.C

【分析】本題考查三角形全等的判定定理，能熟記并掌握判定定理是解題關鍵，判定兩個三角形全等

的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.利用三角形全等的判定定理即可求解.

【詳解】A、可用SAS判定三角形全等；

B、可用SSS判定三角形全等：

C、所給的條件構成SSA,不能判定三角形全等；

D、由AC〃。尸可得NAC8=//，所以可用SAS判定三角形全等.

故選：C.

3.C

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)角平分線的性

質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，即可得到答案.

【詳解】解：到三條道路的距離相等的物流倉儲基地，

二?這個基地應該建在V4BC的三條角平分線的交點，

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)全等三角形的定義即可求解.

【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義，可得具有能夠完全重合的兩個圖形一定是全等的，

故選：D.

【點睛】本題考查的是全等圖形的概念，掌握能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形是解題的關鍵.

5.A

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，首先由平移的性質(zhì)知然后

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由平移的性質(zhì)知"，

所以BE=CF=6,DE=AB=\O,

所以OE=OE-DO=10—4=6.

因為3/=21,

所以反?=21-6-6=9,

所以△OEC的面積為gx6x9=27.

2

故選A.

6.D

【分析】根據(jù)先平分線的判定可判斷選項A錯誤，根據(jù)全等三角形的判定可判斷選項B、C錯誤，選

項D正確，即可得.

【詳解】解：A、根據(jù)角平分線的判定“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上”，選項說

法錯誤，不符合題意；

B、能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，選項說法錯誤，不符合題意；

C、兩個等邊三角形不是全等三角形，再有一條對應邊相等才行，選項說法錯誤，不符合題意；

D、有兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等，選項說法正確，符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握這些知識點.

7.A

【分析】A、根據(jù)三角形的三邊關系即可得出A不正確；8、通過等腰梯形的性質(zhì)結合全等三角形的

判定與性質(zhì)即可得出NAQ8=90。，從而得出8正確;。、由梯形的性質(zhì)得出A8〃CD,結合角的計算

即可得出NA8O60。,即C正確;Q、由平行線的性質(zhì)結合等腰三角形的性質(zhì)即可得出ND4ONC4從

即。正確.綜上即可得出結論.

【詳解】A、???AD=/X?,

：.AC<AD+DC=2CD,

故4不正確；

B、???四邊形ABCD是等腰梯形,

???ZABC=ZBAD,

在&A8c和退。中，

BC=AD

</ARC=/RAD,

AB=BA

???△A8d8AO(SAS),

.\ZBAC=ZABD,

*：AB//CD,

:?/CDB=/ABD,NA8C+/DC8=180。,

，：DC=CB,

：.NCDB=NCBD=NABD=NBAC,

*/ZACB-9O0,

：.ZCDB=ZCBD=Z/IBD=30°,

???/A8C=/A3O+NCBO=60。，B正確，

C、'：AB//CD,

：.ZCDA=ZDBA,

?:BC=DC,

:,NCBD^CDB=/DBA,C正確.

D、*：/\DAB^/\CBA,

：.NADB=NBCA.

ACIBC,

???ZADB=ZBCA=90°,

：.DB±AD,。正確；

故選:A.

【點睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),

解題的關鍵是逐項分析四個選項的正誤.本題屬于中檔題，檔顯繁瑣，但好在該題為選擇題，只需山

三角形的三邊關系得出A不正確即可.

8.B

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟練掌握角平分線的性

質(zhì)定理是關鍵.過點。作力尸_L8C,垂足分別為證明Rt~AD慮RtCDF(HL),即

可得到答案.

【詳解】解：過點。作。EJ＞刖，。尸"LBC,垂足分別為瓦產(chǎn)，

???3。平分/45。，

工DE=DF,

:ZZM/?=119°,

ZDAE=\S00-ZBAD=6i0,

VAD=CD,DE=DF,

Rt.AOEgRt一CO/(HL),

，/DCB=NDAE=61。,

故選：B

9.A

【分析】連接C"并延長交力。于P，連接。￡,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到乙4=90o,4O〃8C,A4=A3=4C=2

及，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=C辰&，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結論.

【詳解】解：連接C"并延長交人。于P，連接PE，

???四邊形A8CQ是正方形，

，NA=90。，AD//BC,AB=AD=BC=2&.,

???￡,尸分別是邊人氏4C的中點,

AE=CF-；x2及二及,

,:ADUBC,

：.ZDPH=/FCH,

?；NDHP=NFHC,且DH=FH,

:.△PDH妾4CFH(AAS),

:?PD=CF=g，

:,AP=AD-PD二母,

：?PE=〃尸+4爐=7(V2)2+(V2)2=2，

?一點G,H分別是EC,CP的中點，

：.GH=-EP=\x

2

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的

關鍵.

10.A

【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形的中線，解本題的關鍵在熟練掌握相關性質(zhì)、定義.根

據(jù)題意得到AO是/8AC的角平分線，即可判斷①；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得到￡是4c是中點，而

。不一定是A。的中點，即可得到②.

【詳解】解：AD是VA4c的角平分線，

則A。是N/MC的角平分線，

，A。是A/WE的角平分線，故①正確；

8E是三角形VABC的中線，

則七是AC是中點，而。不一定是AO的中點，故②錯誤.

故選：A.

11.D

【分析】本題主要考查了角平分線的作法、三角形內(nèi)角和定理等知識點，掌握角平分線的尺規(guī)作圖法

成為解題的關鍵.

由三角形內(nèi)角和可得4AC=70再根據(jù)作圖過程可得AP平分/8AC,UPZBAF=35°,然后根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解:???在VA3c中，ZC=60°,々=50",

/.Z&4C=18O°ZC2=70。，

由作圖過程可得：小平分NfiAC,

ZBAF=-ZBAC=350

2t

，ZAFfi=180°-Zfi-Z&4F=95°.

故選D.

12.B

【分析】如圖，作GH_L4。，BRLAD,GP工A，,^QLAD,利用角平分線和中位線的性質(zhì)求得GP

的長度，根據(jù)垂線段最短，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G”_LH。，BR±AD,GP_LA'F,A'Q_LAO,

TN840=45。，AB=10

???△48R為等腰直角三角形，AR=BR=5O

由題意可得，政垂直平分A4'，GH//BR//A:Q,BR=AfQ=542

，AG=A'G,ZAFE=ZAFE

，HG=GP=-^C=—,

在心△GPU中，GPvGC,當尸、C兩點重合時，GP=GC

即GC'的最小值為逑

2

故選:B.

【點睛】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，垂線

段最短，解題的關鍵是作出合適的輔助線，靈活運用相關性質(zhì)進行求解.

13.這個角的平分線上NA0B的平分線

【分析】根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，由此解答即可.

【詳解】解:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.如果NA08內(nèi)一點P到NA08

兩邊的距離相等，那么射線0P是NAO8的平分線.

故答案為：這個角的平分線上，NAO3的平分線.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和判定，解決此題的關鍵是要熟練掌握角的內(nèi)部到角的兩邊

的距離相等的點在角的平分線上.

14.3.5

【分析】過C點作CFVAB^F,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CF=CE,再證明/?/△ACE^RtLACF

得到AF=AE,證明△CBr也△0/)￡得至lj8F=QE,然后利用等線段代換，利用AFFE得至ij\\+DE=\S-DE,

從而可求出?！甑拈L.

【詳解】解：過C點作。尸，月4于R如圖，

〈AC平分NZMO,CE±ADtCFLAB,

：.CF=CE,

在心ZMCE?和町MC尸中，

AC=AC

CF=CE'

:.RmACE%Rt&ACF(HL),

：.AF=AE,

???N48C+NS180。，NA/3C+NC4/=180°,

：.ZCBF=ZD,

在ACB尸和ACOE中，

ZCBF=ND

NCFB=/CED,

CF=CE

:.△CBF學ACDE(AAS),

:?BF=DE,

\'AF=AE,

.\AB+BF=AD-DE,

即11+￡>E=18?O￡,

DE=3.5cm.

故答案為：3.5.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了全等三角

形的判定與性質(zhì).

15.105

【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)可得ZA=/V,3/D,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得4=105。，進一步

可得乙4’的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形/仍8空四邊形AMc'。'，

ZA=A,ND=ND?

,/ZD=105。,

:.ND=105。,

?:?B90?,ZC=60°,

:.NA=105。，

:.Z4=105°,

故答案為：105.

【點睛】本題考查了全等圖形，四邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關鍵.

16.(V5+l,2)/(l+>/5,2)

【分析】利用勾股定理先求解04=11-0/+J(2-0/二后再證明==逐，從而可得答案.

【詳解】解：??.點A坐標為(1,2),

,OA=7(1-0)2+7(2-0)2=技

Vt-AOBC,

\AC//OB,

\?APO?POB,

由作圖可得：OP平分NA08,

\?AOP?BOP,

\?AOP?APO,

\AP=AO=y/5,

故答案為：(6+1,2卜

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應用，角平分線的作圖與計算，等腰三角形的

判定，理解題意，證明八。=八。是解本題的關鍵.

17.5

【分析】根據(jù)尸RAE尸，得出4G為/84C的角平分線，得到GM=G”即可求；1必A8G的面積.

【詳解】

連接。尸、EF,過點尸作GM_AB,交A8于點、M

;在以A為圓心的圓中，AD=AE,以。、E為圓心的半徑。廣二￡F

AD=AE

...DF=EF

AF=AF

：?ADF-AEF

工ZDAF=ZFAE

???AG為284C的角平分線

GMLAB,GH1AC

.?.GM=GH=2

???S/fBxGM=gx5x2=5

故答案為：5.

【點睛】本題考查全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的相關知識.

18.(1)一樣大；

⑵是直線；

【分析】先觀察猜想得出結論，然后動手驗證即可.

【詳解】(I)觀察猜想得出的結論：圓M比圓N大，

驗證：用重疊法比較，圓M和圓N一樣大；

(2)觀察猜想得出的結論:I,〃，不是兩條直線，

驗證：用支持比較，/，機是兩條直線；

【點睛】此題目主要考查了同學們能觀察圖形的形狀和大小，培養(yǎng)識圖能力.

19.(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)4。是NA8C的平分線，可得NABE=NCBE,進而根據(jù)邊角邊證明AABE2△CBE

即可;

(2)由(1)得NA￡B=NCE8,從而ZAED=NCED,由。尸_LAE,DG1CE,根據(jù)角平分線上的點

到角的兩邊的距離相等，可得。尸二OG.

【詳解】(I)8D是/ABC的平分線，

ZABE=/CBE,

在…ABE與ACBE中,

AB=BC

-NABE=NCBE

BE=BE

???/XABE號MBE,

(2)4ABE建MBE

ZAEB=NCEB,

；?ZAED=ZCED,

又???O/7_LAE,ZX71CE,

:?DF=DG.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)是解題

的關鍵.

20.見解析

【分析】本題主要考查了仝等三角形的判定和性質(zhì).過點。作。/于點凡過點"作"GJ"八/),

交A。的延長線于點G,先證明歸/為名尸，可得BG=CF,可證明Rt^BGEgRtATEA,即可

求證.

【詳解】證明：如圖，過點。作。/_1_4￡＞于點尸，過點8作3G_LA。，交4。的延長線于點G,

ZG=ZCFD=90°.

AO是VA8C的中線,

/.BD=CD.

又：NBDG=NCDF,

NBDG小CDF,

；.BG=CF.

在RtABGE^nRt^CFA中,

BE=CA,

BG=CF

RtABGE^RtACM(HL),

:.乙BED=4DAC.

21.(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的

關鍵.

(1)根據(jù)為4。的中點得Ab=。尸，進而可依據(jù)SAS判定A4痔和尸全等；

(2)根據(jù)樣和b全等得NE4歹二/”。立AE=DH=CD,則再根據(jù)平行線的

性質(zhì)得/加心=N8,然后依據(jù)SSS判定△O〃G和△OCG全等，則NGDC=NGDH,進而得

NHDC=2NGDC,由此即可得出結論，

【詳解】(1)證明：點r是A。的中點，

:.AF=DF,

在AAM和/中，

AF=DF

ZAFE=NDFH,

FE=FH

/.△4E廠烏△力，尸(SAS):

(2)證明：.△4所且△?！?，

;.AE=DH,ZEAF=ZHDF,

：.AB//DH,

/./B=/HDC,

?:AE=CD,

：.DH=CD,

在△"GO和△CG。中,

DH=CD

HG=CG,

DG=DG

△HGDgACGD(SSS),

??"HDG=/CDG,

/./HDC=2/GDC,

..N8=2NGDC.

22.AC//DF,理由見解析

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZABC=NE,根據(jù)等式的性質(zhì)得出=根據(jù)SAS證明△ABC斯，得出NA=NE",

然后根據(jù)平行線的判定即可得出結論.

【詳解】解：AC//DF

理由：VBC//EF,

工ZABC=NE,

AD=BE,

AAD+BD=BE+BD,^AB=DE，

在VA8C和1)所中，

BC=EF

</ABC=NE,

AB=DE

J△ABC/4DEF,

，NA=ZED/L

:.AC//DF.

23.(1)25。；小

(2)2,理由見解析

⑶當408=110°或80。時，VAOE是等腰三角形

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)隹和定理，將已知數(shù)值代入即可求出NBA。，根據(jù)點。的運動方向可判

定N8D4的變化情況.

(2)假設△ABOgZXOCE,利用全等三角形的對應邊相等得出A8=ZX?=2,即可求得答案.

(3)假設A4￡>E是等腰三角形，分為三種情況:①當=乙位E=乙回=4(^,根據(jù)aNC,

得出此時不符合；②當=時，求出ZZME=NO￡A=700,求出N8AC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理求出一胡￡),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N3QA即可；③當￡4=石。時，求出ND4C,求出

NBAD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/AO8.

【詳解】(1)解：ZBAD=18(F-ZABD-ZBDA=180°-40°-115°=25°；

從圖中可以得知，點。從8向C運動時，N8D4逐漸變??；

故答案為：25。；??；

(2)解：??Z￡DC+N￡m=ZnAB+/B,4=4a4=40°,

/./EDC=NDAB,

??N8=NC,

??當OC=4B=2時，A48Q會ADCE；

(3)解：\AB=AC,

.?.N8=NC=40°,

①當AO=AE時，Z47)E=ZA￡D=4O°,