實(shí)數(shù)壓軸題（10大題型，50題）

題型歸納

題型一：平方根的新定義問題

題型二：立方根的新定義問題

題型三；估算類的新材料（新方法）問題

題型四：平方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律問題

題型五：立方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律問題

題型六：立方根的性質(zhì)

題型七：大數(shù)的立方根求法

題型八：根式的規(guī)律探究

題型九：實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算綜合

題型十：實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

:題型專練

題型一：平方根的新定義問題

1.124-25七年級下?安徽合肥?期中）定義：對任意實(shí)數(shù)乂⑶表示不超過x的最大整數(shù)，如艮14］=3,

［1］=1,［-1.2］=-2.對數(shù)字227進(jìn)行如下運(yùn)算：①［同］=15；②［而］=3；③［司=1,這樣對數(shù)字

227運(yùn)算3次后的值就為1,像這樣對一個正整數(shù)總可以經(jīng)過若干次運(yùn)算后值為1,則數(shù)字1234經(jīng)過（）

次運(yùn)算后的結(jié)果為1.

A.3B.4C.5D.6

2.（24-25七年級下?山東臨沂?期口）對于整數(shù)〃，定義［〃］為不大于6的最大整數(shù)，例如：

p］=2,［句=2.對72進(jìn)行如下操作：72第一次［J72］=8第二次［猶］=2第三次［去］=1,即對72進(jìn)

行3次操作后變?yōu)?,對整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,則加的最大值為（）

A.80B.6400C.6560D.6561

3.（22-23七年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)〃，我們規(guī)定用｛右｝表示不小于〃的最小整數(shù)，稱｛右

｝為。根整數(shù).如｛而｝=4.

⑴計算｛囪｝=;（2）現(xiàn)對。進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為2為止.例如對12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一

次｛a｝=4,再進(jìn)行第二次求根整數(shù)｛4｝=2,表示對12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2,對101進(jìn)行連

續(xù)求根整數(shù)，一次后結(jié)果為2；⑶若｛0｝=3,寫出滿足題意的，〃的整數(shù)值.

4.（24-25七年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)小我們規(guī)定：用符號[&]表示不大于右的最大整數(shù)，

稱[右]為。的根整數(shù)，例如：[W]=3,[VU）]=3,[V15]=3.

（1）仿照以上方法計算：[后卜_；[同卜一.⑵若[?]=3,寫出滿足題意的所有x的整數(shù)

值一.

如果我們對。連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次[加]=3-[0]=1,這

時候結(jié)果為1.（3）對290連續(xù)求根整數(shù)，一次之后結(jié)果為L（4）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)

果為1的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是.

5.（24?25七年級下?江西南昌?期口）閱讀材料:

材料一：定義卜]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[2.5]=2,[3]=3,

材料二：定義新運(yùn)算⑷-網(wǎng)，如2.5*2=[2.5]-[2]=2-2=0,對有序?qū)崝?shù)對（。㈤.

若滿足a"=l,則稱該有序數(shù)對為“望一”數(shù)對：

若滿足a*b=0,則稱該有序數(shù)對為"望音”數(shù)對.

⑴計算的值；

⑵下.列數(shù)對是"望一”數(shù)對的有,是“望音"數(shù)對的有.（填序號）

①（"仞；②（-1.5,-2.5）；③出呵

⑶計算：VF*V2+>/3*V4+>/5*V6+..-+V2023*72024-.

題型二：立方根的新定義問題

6.(24-25七年級下?廣東陽江?期中)定義：若點(diǎn)(。力)滿足6-方=(6)2力20),則稱這個點(diǎn)(。力)

為“理想點(diǎn)〃.例如，V9-6=(V6)?-9,故點(diǎn)(9,6)是“理想點(diǎn)〃.

⑴點(diǎn)力(4,3),8(16,8),C(25,15)中，不是“理想點(diǎn)〃的是.⑵若點(diǎn)。仁")是"理想點(diǎn)〃，求x的值.

⑶是否存在點(diǎn)"(〃?，〃])，使點(diǎn)”是“理想點(diǎn)〃？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

7.(24-25八年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí))新定義:若無理數(shù)"的被開方數(shù)HT為正整數(shù))滿足1<7<(〃+

(其中〃為正整數(shù))，則稱無理數(shù)"的“青一區(qū)間"為+同理規(guī)定無理數(shù)-"的"青一區(qū)間〃為

(W例如:因?yàn)镕<2<22,所以所以&的“青一區(qū)間”為(1,2),的甯一區(qū)間〃為

(-2,-1),請解答下列問題：

(1)717的"青一區(qū)間"是；-V23的"青一區(qū)間"是；

⑵若無理數(shù)-右(。為正整數(shù))的“青一區(qū)間〃為(-3,-2),而！的“青一區(qū)間”為。,4),求時的值；

⑶實(shí)數(shù)x,乃滿足關(guān)系式：x+"m=Jx+y-280+j280-4-y.求加的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間〃.

9.（24-25七年級下?福建龍巖?期3）小聰是個愛思考的好學(xué)生，他利用Oeepse水模型設(shè)計了兩種數(shù)學(xué)程序

變換：

力變換：輸入數(shù)。一發(fā)出指令1：對數(shù)。取立方根（正）一發(fā)出指令2：取不小于該立方根（夜）的最小整數(shù)一

輸出數(shù)x.

B變換:輸入數(shù)“620）一發(fā)出指令1：對數(shù)力取算術(shù)平方根（6）一發(fā)出指令2：把〃減去1一輸出數(shù)V.

如：6經(jīng)過一次A變換得到2,7經(jīng)過一次8變換得到4—1.小聰.根據(jù)該程序變換，設(shè)計并解答「如下4個

問題：

①輸入數(shù)。=25,經(jīng)過一次A變換得到的輸出數(shù)、是3；

②輸入數(shù)8=16,經(jīng)過一次B變換得到的輸出數(shù)N是3；

③輸入數(shù)人經(jīng)過一次8變換得到7,若3y=2〃，則/）的值為9；

④。經(jīng)過?一次A變換得到x,x再經(jīng)過一次4變換得到1,則。的取值范圍是27K〃K64.

利用Qeepse或驗(yàn)證結(jié)果，小聰解答正確的序號是.

10.（24-25七年級下?湖南湘西?階段練習(xí)）請認(rèn)真閱讀下面的材料，再解答問題.依照平方根（即二次方根）

和立方根（即三次方根）的定義，可給出四次方根、五次方根的定義.比如：若./=磯。20）,則x叫。的

二次方根；若V=a,則x叫a的三次方根：若/=a（“>0）,則x叫a的四次方根。

⑴81的四次方根為；-32的五次方根為；

（2）若瘧T有意義，則。的取值范圍是:⑶求x的值：1（2X-4）4-8=0.

題型三：估算類的新材料（新方法）問題

11.（24-25七年級下?江蘇南通?期中）

材料一：材料二：

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了改進(jìn)求算術(shù)平方根近似值的方法，

其核心思想是通過"以面命之"和"求其微數(shù)”來處理開方開不盡的情況.其近似公式可

我們可以用以下方

概括為：設(shè)N為待開方的正數(shù)，若其算術(shù)平方根的整數(shù)部分為。（即

法表示無理數(shù)，的

/<N<（a+l）2）,余數(shù)為〃=N-a?,則N的算術(shù)平方根的近似值為：

小數(shù)部分.

^Q+---.

2a+\

\-4<7<9,

以N=107為例：v102=100<107,112=121>107,

.\a=10,r=107-100=7.

即2<后<3,.?.77

代入公式得Vn^H10+^^y=10+（=10+gal（）.33.

的整數(shù)部分為2,

.?.療的小數(shù)部分為

這一結(jié)果與現(xiàn)代方法所求近似值雖有誤差，但在古代數(shù)學(xué)中已屬先進(jìn)成果.

y/1-2?

任務(wù)：（1）利用材料一中的方法，回的小數(shù)部分等于;

⑵利用材料二中的方法，洞的近似值為（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（3）已知lO+VJ—x+y,其中k為整數(shù)，且結(jié)合所給材料，求式子”-5（”上『"的算術(shù)平方根

的近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

12.（24-25八年級上?福建泉州?期末）6（〃為正整數(shù)）的近似值可以這樣估算：G就,其中〃?是最接

近”的完全平方數(shù).如：而￡售關(guān)=4.5,這與科學(xué)計算器計算國的結(jié)果4.4721…，很接近.

26-m

⑴按照以上方法，可知反?---="此時m=

2ylm

（2）某數(shù)學(xué)興趣小組提出以下求行的方法:

解：，:屈<曬<后,即4〈同<5,設(shè)而=4+x，其中0<x<l,則2（）=（4+x『，即20=16+8x+/，

當(dāng)0vx<l時，可忽略犬，所以20~16+8X，解得x=0.5,即癡之4.5.

請任選一種方法求回的近似值（精確到0.1）.

13.（24-25八年級上?成都?期中）在沒有帶開方功能的計算器的情況下，我們可以用下面的方法得到?（〃

為正整數(shù)）的近似值為（A為正整數(shù)），并通過迭代逐漸減小的值來提高%的精確度，以求才的近

似值為例，迭代過程如下：

①先估計⑺的范圍并確定迭代的初始值外.?,?"<近<6,二2<—<3,取q=2+?=2.5.

②通過計算修=（%）-〃和4+i=4-恤得到精確度更高的近似值％…

2%

請根據(jù)以上信息，完成下面的問題（此題中記不。2.6458,以下結(jié)果都要求寫成小數(shù)形式）：

（1）當(dāng)％=1時，〃?]=^y~-=,。2=%-嗎=,%一療卜：

（2）當(dāng)"=2時,求〃?2（精確到0.001）.外,3-同的值.

14.（2024?山西呂梁?三模）閱讀材料,并解決下列問題：

在學(xué)習(xí)無理數(shù)的估算時用了“無限逼近法”，借助計算器可以估算無理數(shù)的近似值，我們還可以用下面的方法

來探索無理數(shù)的近似值.我們知道，面積為2的正方形的邊長為近，易知行＞1.因此可設(shè)啦=l+x.如

圖1所示構(gòu)造邊長為1+x的正方形，則它的面積為（加『=2,

根據(jù)圖中面積關(guān)系，得/+2x+l=2,

略去得2x+1^2,解得工之0.5,.?.&=l+x°1.5，

易知正＜1.5,因此可設(shè)正=1.5-x.如圖2所示構(gòu)造邊長為1.5-入?的正方形，則它的面積為（應(yīng)了=2,

⑴上述的分析過程中，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是.（填序號即可）

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計C.分類討論D.轉(zhuǎn)化

⑵把上述內(nèi)容補(bǔ)充完整，使正的近似值更加準(zhǔn)確.（結(jié)果精確到0.001）

15.（23-24七年級下?福建廈門?期中）閱讀材料，完成下列任務(wù)：

材料一：我們可以用以下方法表示無理數(shù)近的小數(shù)部分.

???4<7<9,.?."<五（折即2<近<3.

??.S的整數(shù)部分為2.的小數(shù)部分為仃-2.

材料二：我們可以用以下方法求無理數(shù)斌的近似值（保留兩;立小數(shù)）.

???陶積為107的止方形的邊長是V?而，JH0<VW7<11,

???設(shè)J而=10+x，其中0<x<l.畫出邊長為10+x的正方形，如圖：根據(jù)圖中面積，得

102+2X10X+X2=107.

當(dāng)d較小時，忽略Y，得20x+10（）°l（）7.解得工40.35..?.而？=10+工才10.35.

任務(wù)：（1）利用材料一中的方法，求后的小數(shù)部分；⑵利用材料二中的方法，探究危的近似值（保留

兩位小數(shù)）.（備注：請畫出示意圖、標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

題型四：平方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律問題

16.（24-25七年級下?重慶渝北?期中）用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下:

n0.06250.6256.2562.5625625062500???

40.250.79062.57.9062579.06250???

根據(jù)以上規(guī)律，若JTTTai.31,>/171之4.14,則（

A.41.4B.13.1C.414D.131

17.（24-25七年級下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）利用計算器計算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下:

???A/0.0625J0.625J6.25,62.5A/625V6250J62500—

???0.250.79062.57.9062579.06250???

根據(jù)以上規(guī)律，若疹ia5.08，V158?1.6b則J0.258=()

A.0.161B.0.508C.16.1D.50.8

18.（24-25七年級下?山東濱州?期中）根據(jù)以下表格里的數(shù)據(jù):

m2.02420.24202.4202420240

yfmS81.4224.49914.2244.99142.2

M70.02024?

19.（24?25八年級下?重慶?期中）按要求填空:

（1）填表并觀察規(guī)律:

a0.00040.044400

8

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:

已知：屈=2.408,則癡U=______;已知：70.0068=0.0825,4=8.25，貝產(chǎn)=

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明.

a0.00040.044400

80.020.2220

20.(24-25七年級下?山東濱州?階段練習(xí))愛學(xué)習(xí)愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù):

???J0.0324J0.324J3.24J32.4V324>/3240,32400???

???0.180.5691.85.691856.9180???

⑴你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大二

⑵已知6*1.732(精確到().001),并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：血而々_,>/300

(3)已知所麗=102,4=102亦=1020,則x=—，y=.(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換

成立方根，你能根據(jù)力之.442,直接說出婀和廊麗的近似值嗎？

題型五：立方根的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律問題

21.(24-25七年級下?廣東江門?階段練習(xí))觀察下表，并解答下列問題.

a???0.0000010.001110001000000???

—0.01X1y100???

⑴表格中工=，;(2)若版。5.326,%^53.26,則。=(用含有力的代數(shù)式表示

c)；

(3)已知痂a0.6694,^3?1.442?^30?3.107.0-y300?，V(M)3?;

②用鐵皮制作一個封閉的正方體，使它的體枳為3000立方米，則需要多大面積的鐵皮？(參考數(shù)據(jù)：

0.66942之0.45，1.442?之2.08，3.1072?9.65)

22.（24-25七年級下?廣東汕頭?期中）（1）填表:

a0.0000080.00888000

（2）觀察上表，表中數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)的移動與它的立方根孔的小數(shù)點(diǎn)的移動之間有何規(guī)律？請用語言敘述

這個規(guī)律：:

（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答：

①己知30.214ao.5981,1.289,s/2L4?2.776,則次1而介于哪兩個整數(shù)之間？

②已知"0.001843aoi226,貝I瓦石。；

③用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體枳是1.843立方米，問需要多大面積的鐵皮？（結(jié)果精確到0.01

平方米）

23.（2025七年級下?廣東?專題練習(xí)）根據(jù)如表，回答下列問題:

a0.0002160.216216216000

0.060.6660

⑴想一想表中數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)的移動與它的立方根底的小數(shù)點(diǎn)的移動之間有何規(guī)律？

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答：①已知網(wǎng)^^0.5981,次方2X9,河了之2.776,則#214。介于哪兩個整數(shù)

之間？②已知#0.001843.0.1226,則正石乏.③用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體積是1.843

立方米，問需要多大面積的鐵皮？（結(jié)果精確到0.（）1平方米）

24.（24-25七年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）在學(xué)習(xí)了《實(shí)數(shù)》這一章的內(nèi)容后，徐老師帶著同學(xué)們一起進(jìn)行對知

識的探究.觀察下面式子的規(guī)律，解答問題.

V1600=40?Vl6=4,V0?T6=0.4.…

必2,^8000=20>^8000000=200...

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（1）①如果被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，那么它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向—移動一位.

②如果被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動三位，那么它的立方根的小數(shù)點(diǎn)向移動_____位.

【應(yīng)用規(guī)律】（2）①已知而°28.28，那么我。,Voxi8?.

②已知2.466,分.24.66,那么x=.

【拓展】（3）己知J6而。0.1732,^3000=14.422,貝1]26=,2^3=.

25.（24-25七年級下?河南商丘?階段練習(xí)）觀察下列規(guī)律并回答問題：

^/-0.002197=-0.13,V-2.197=-1.3,^-2197=-13,...

（1）7-2197000=，2.197XU=;

（2）已知底=2.35,若取=0.235,用含x的代數(shù)式表示y,則丁=

（3）當(dāng)。20時，根據(jù)上述規(guī)律比較揚(yáng)與。的大小情況.

題型六：立方根的性質(zhì)

26.（23-24八年級上?河北唐山?期中）甲、乙、丙三人對平方根和立方根進(jìn)行了研究，以下是他們?nèi)说慕Y(jié)

論：甲：當(dāng)時，"=〃乙：avO時，-后=-0丙:當(dāng)。>0時，M=-弘則下列說法王確的是

)

A.只有甲、乙正確B.只有甲、丙正確C.甲、乙、丙葫正確D.甲、乙、丙都不正確

27.（24-25八年級下?浙江?期中）根據(jù)立方根的意義填空:

觀察上述結(jié)果，猜想對干實(shí)數(shù)?或/等干什么？對干式子（〃22,“是整數(shù)）的化簡.你有怎樣的認(rèn)

識？

28.（24-25七年級下?四川南充?階段練習(xí)）閱讀理解，觀察下列式子:

①網(wǎng)+4=2+（-2）=0；@Vl+VZT=l+（-l）=O；

+=()=0；

?Viooo+^-1000=10+(-10)=0；④^5Or4

根據(jù)，述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：

⑴巾等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)a,b,若

，則指+加=0;反之也成立.

⑵根據(jù)上述的真命題，解答問題：若次W與行花的值互為相反數(shù)，求-反的值.

29.（24-25八年級上?江蘇?期中）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？他進(jìn)

行了如下步驟：

①首先進(jìn)行了估算：因?yàn)?（）3=1COO,1OO3=IOOOOOO,所以#50653是兩位數(shù);

②其次觀察了立方數(shù)：r=1,23=8,33=27,43=64f=125,63=216,73=343,G=512,9。=729；猜想“50653

的個位數(shù)字是7：

③接著將50653往前移動3位小數(shù)點(diǎn)后約為50,因?yàn)?，=27,43=64,所以獨(dú)曲的十位波字應(yīng)為3,

于是猜想450653=37,驗(yàn)證得：50653的立方根是37；

④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)〃得到日兩=-37,同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個

數(shù)的立方根也互為相反數(shù)：反之也成立.

請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：（1*117649=—;（2）若圻二元+痣=0,則工=；

⑶已知VT五+2=x，且每二T與研二五互為相反數(shù)，求占歹的值.

30.（24-25七年級下?山東日照?期中）閱讀一：數(shù)學(xué)活動課上，張老師說：“正是無理數(shù)，無理數(shù)就是無限

不循環(huán)小數(shù)，同學(xué)們，你能把近的小數(shù)部分全部寫出來嗎？“大家議論紛紛，晶晶同學(xué)說：“要把它的小數(shù)

部分全部寫出來是非常難的，但我們可以用（應(yīng)-1）表示它的小數(shù)部分.〃張老師說：“晶晶同學(xué)的說法是正

確的，因?yàn)檠恼麛?shù)部分是1，洛這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，”請你解答：己知

8+石=工+丁，其中x是一個整數(shù)，且0<"1,請你求出2.丫+（6-F廣”的立方根.

閱讀二：我們知道。+6=0時，"+3=0也成立，若將a看成/的立方根，〃看成//的立方根，我們能否

得出這樣的結(jié)論：若兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)也互為相反數(shù).

（1）試舉一個例子來判斷上述猜測結(jié)論是否成立；

（2）若喬不與右二？互為相反數(shù)，求（1-4）刈，的值.

題型七：大數(shù)的立方根求法

31.（24-25七年級下?重慶渝北?期末）求59319的立方根，解答如下：

@vViooo=10,4/1000000=100,又???1000<59319<1000000,10<^59319<100，二能確定59319的立

方根是個兩位數(shù).

②59319的個位數(shù)是9又93=729,???能確定59319的立方根的個位數(shù)是9.

③劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而炳〈病〈癇，則3c病<4,可得30<。59319<40,由

此能確定59319的立:方根的十位數(shù)是3,因此59319的立方根是39.根據(jù)以上步驟求出314432的立方根

是.

32.（24-25七年級下?山東臨沂?期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客

閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根.華羅庚脫口而出：39.乘客十分驚訝,

忙問計算的奧秘.你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：（1）由

105=1000,100'=1000000,可以確定/5931）是兩位數(shù).由59319的個位上的數(shù)是9.可以確定/59319的

個位上的數(shù)字是9,如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而二=27,4、=64,由此可以確定59319

的十位上的數(shù)字是3.據(jù)以上方法可得何演=.

33.（24-25七年級下?陜西延安?期中）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座

的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：某正整數(shù)〃的立方是59319,求這個正整數(shù)〃.華羅庚脫口而出：39.

華羅庚迅速求出立方根的過程如下：

①由10,=1000,1003=1000000,可以確定〃是兩位數(shù);

②由30:27000,40:64000,27000<59319<64000可知，〃的十位上的數(shù)字是3；

③考慮到1至9的立方中，只有9的立方的個位上的數(shù)字是9,所以確定〃的個位上的數(shù)字是9,所以

“=39.

請你根據(jù)上述步驟求出74088的立方根是

34.（24-25七年級下?遼寧鞍山?階段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問題：

（一）大家知道正是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,

于是小明用0-1來表示夜的小數(shù)部分.

例如：貶<不<邪,即2<e<3,.?.近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為6-2.

（1）如果6的小數(shù)部分為9的整數(shù)部分為b,則。=，b=.

（2）已知。是標(biāo)的整數(shù)部分，。是它的小數(shù)部分，求《尸+僅一可丁的平方根.

（二）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力

題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙.

你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：

（1）由廣=1，io3=[ooo,]oo3=1（）00000,能確定#59319是兩位數(shù);

（2）由59319的個位上的數(shù)是9,能確定159319的個位上的數(shù)是9；

（3）如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而33=27,4,=54,由此能確定病殺的十位上的數(shù)是3；

（4）己知110592是整數(shù)的立方，按照.上述方法，請你直接寫H；：V110592=.

35.（24-25七年級下?湖北武漢?期中）口算求立方根：我國數(shù)學(xué)家華羅庚有一次在飛機(jī)上看到他的助手閱讀

的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319,求它的立方根.華羅庚脫口說出答案.你知道他是怎樣迅速準(zhǔn)確

地計算出結(jié)果的嗎？請按照下面的方法試一試：

⑴求［59319.

①由101=1000J001=1000000,可以確定計算V59319的結(jié)果是位數(shù)；

②由59319的個位上的數(shù)是9,可以確定炳府的個位上的數(shù)是；

③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而3、=270=64,可以確定上59319的十位上的數(shù)是

，由此求得-59319=.

⑵請你根據(jù)（1）中求立方根的方法，請確定它們的立方根（直接寫出結(jié)果）：

①196830110592（3）-117649@0.531441

題型八：根式的規(guī)律探究

36.（24-25七年級下?重慶?期中）如圖所示為一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣.

第一行1行

第二行62指任

第三行明般3如日瓦

第四行4V17719V20

根據(jù)數(shù)陣規(guī)律，第八行第十三個數(shù)是（）

A.V72B.VTTc.V70D.769

37.（24-25八年級下?湖南株洲?階段練習(xí)）觀察下列各式：Jl+!+-l=l+-L,Jl+-l+-l=l+

r221x2V22322x3

卜**=息…,請你根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出第〃

1+個式子：________.

招=4

38.（24-25八年級下?湖北黃岡?期中）小明做數(shù)學(xué)題時,發(fā)現(xiàn),

39.（2025七年級下?福建?專題練習(xí)）觀察下列一組算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律:

⑴觀察算式規(guī)律，計算,5x9+4=；719x23+4=.

⑵用含正整數(shù)〃的式子表示上述算式的規(guī)律：.

⑶計算：Jlx5+4-j2x6+4+j3x7+4-j4x8+4+―+j2021x2025+4.

40.（24-25八年級上?河南平頂山?期中）觀察下列各式:

第2個等式:

第4個等式:

根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（二）直接寫出第5個等式：

⑵按照上面每個等式反映的規(guī)律，第〃個等式為.

⑶利用上述規(guī)律化簡：心+小加/x*x個.

題型九：實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算綜合

41.(24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?期末)我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零

的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得，如果辦+方=0,其中。、人為有

理數(shù)，x為無理數(shù)，那么。=0,且6=0,運(yùn)用上述知識解決下列問題：

⑴如果&(。+2)—6+3=0,其中。、6為有理數(shù)，那么〃=,b=：

(2)如果2力-"5/1(〃+力-4)=5,其中。、方為有理數(shù)，求。+泌的算術(shù)平方根；

(3)若。、8都是有理數(shù)，且/+2b+J7(〃+4)=17,試求a+b的立方根.

42.(23-24七年級下?福建福州?期中)閱讀并理解：

已知4、人是有理數(shù)，并且滿足等式5-6。=28+：石-4,求。、。的值.

解：6-品=2H2癢*

3

...5一百4=(2Z)-67)4--JA/3.

根據(jù)：有理數(shù)部分和無理數(shù)部分對應(yīng)相等，

.,2

r2b—a=ja=—

可得2,解得｛

3件不

請解答：⑴若1+2&=a+60+2,其中。，力為有理數(shù)，貝1恒=—，b=

⑵已知。、力是有理數(shù)，若〃(&-1)+h3+&)=5+3/，求”+力的平方根.

43.(24-25七年級下?安徽淮北?階段練習(xí))閱讀材料：我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù),

任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得，如果

〃次+〃=0,其中〃7、〃為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么〃?=0,“=0.運(yùn)用上述知識解決下列問題:

⑴若小、〃均為有理數(shù)，且+6+〃—2=0,求〃的立方根；

(2)若加〃均為有理數(shù)，且(〃?+1)血+/〃-17=2&一，」,求小和〃的值.

44.(24-25八年級上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不

為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果G+/)=0,其中八b

為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么。=0,且8=(),運(yùn)用上述知識解決下列問題：

⑴如果(〃+2)&-6+3=0,其中心〃為有理數(shù)，那么。=_,b=_；

(2)如果助-。-(〃+6-4)退=5,其中a、b為有理數(shù)，求3a+2b的值；

⑶若八》都是有理數(shù)，且力+26+e+4)々=17,試求〃+力的立方根.

45.（23-24七年級下?湖北恩施?期中）【閱讀理解】

【材料一】血是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此&的小數(shù)部分不可能全部寫出來，但可用近-1

來表示正的小數(shù)部分.因?yàn)镼的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.由此得到一個

真命題：

如果亞=a+b