2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)測試

數(shù)學(xué)試霞

一、單選題

函數(shù)〃力二炳百二句的定義域為（

1.)

(55153

A.5B.22C.一8句D.

彳5.75

2.“不等式/加2+X+4〃?>O在R上恒成立”的一個必要不充分條件是（)

1

A.m>—B.0<m<—C.m>—D.m<-

4488

恒有"誓則不等式

3.已知定義在R上的函數(shù)/（“滿足,且當(dāng)%1時,

/（1）>心+1）的解集為（）

C.(f-2)U停收)D.

A.(-2,0)B.-21l(-OO,-2)5°，+QO)

4.設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則於))

A.是偶函數(shù)，且在g,+8）單調(diào)遞增且在（一*）單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù),

C.是偶函數(shù)，且在（—，-；）單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在（9，-2單調(diào)遞減

LHI71j,則sin(2a+^n)=(

5.若『9一二)

6

24r24

A.---D.——

25B?總25

6.把函數(shù)），=.”幻圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的±倍?，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移9個單

位長度，得到函數(shù)），=可旺的圖像，則?。?（）

X74xn

A.sinB.sin—+一

12)212

.(八冗

C.sin2x-D.sin2x+—

[12；

7.已知非零向量。為滿足同=2瓦且則［與小的夾角為（）

n2兀

BD.——

A?T-?C丁3

8.如圖，已知正四棱錐P-A3CQ的所有棱長均為2,E為棱用的中點，則異面直線座與PC所成角的余

弦值為（）

c.-D.當(dāng)

3

二、多選題

9.若〃=(2,0),力=則()

A.。力=2B.卜+4=卜叫

C.。與6的夾角為3D.b在。方向上的投影向量為ga

10.如圖，正方體A8CO-A4G2的極長為1,則下列四個命題正確的是()

A.直線3c與平面ABCQ所成的角等于今

B.點C到面八的距離為正

2

c.兩條異面直線AC和3G所成的角為J

D.二面角。-8G-。的平面角的余弦值為-辛

11.如圖，在邊長為2的正方形人8c。中，E,尸分別是AC,CO的中點，G是打的中點，將“跳:，A4DF

分別沿4E,",折起，使8,。兩點重合于"，下列說法正確的是()

A.若把△(?所沿所繼續(xù)折起，。與〃恰好重合

B.AH1EF

C.四面體尸的外接球體積為幾尤

D.點〃在面4所上的射影為△AM的重心

三、填空題

12.在V4BC中，角A&C的對邊分別為。也c,已知吧C=3,cosB=!，V4BC的周長為7,則邊長b為___.

sinA6

13.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中不放回地隨機抽取3張,則抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不

小于10的概率為.

14.抽樣統(tǒng)計某位射擊運動員10次的訓(xùn)練成績分別為86,85,88,86,91,89,88,87,85,92,則該運

動員這10次成績的80%分位數(shù)為.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,sin(A-4)=sinC-sin3.

(1)求角A；

(2)若VABC外接圓的半徑為馬生，求VAAC面積的最大值.

3

16.如圖，三棱臺中：平面AC"_L平面ABC,NAC8=NACO=45。，DC=2BC.

(I)證明：EFLDB；

(II)求。尸與面。8c所成角的正弦值.

則f(x7)>/(2x+l)=ga-2Ag(2x)=|x-2|v|2X，

即得(X-2)'W，3/+4X-4)0.(3X-2)(X+2)>0

2

解得xv-2或4>§.

故選:C.

4.D

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出/(x)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出

/卜)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出/(“單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.

\乙)

【洋解】由〃x)=I川"+1|-1川2/—1|得/")定義域為Rxh關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,

乂/(-x)=In11-2A|-In|-2A--1|=ln|2x-l|-ln|2x-i-l|=-/(.v),

\/(%)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

11\Ii\

Qj=ln(2x+1)在一不，5上單調(diào)遞增，y=ln(l-2x)在:、,上單調(diào)遞減,

(11、

\/(X)在-不；上單調(diào)遞增，排除B；

當(dāng)xe(-oo,-時，/(x)=ln(-2x-i)-ln(l-2x)=ln|^-=ln|1+

???〃=1+=在1-8,-2上單調(diào)遞減，"〃)=ln〃在定義域自單調(diào)遞增，

2x-1\2)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(X)在.8，-；]上單調(diào)遞減，D正確.

乙)

故選：D.

5.B

【詳角星】因為cos(看-a)=].

所以cos^-2cz=cosl2^-a

故選：B

6.B

【詳解】解法一：函數(shù)y=/。)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=/(2x)的

圖象，再把所得曲線向右平移?人單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=/的圖象,

根據(jù)已知得到了函數(shù))，=sin1的圖象，所以/,卜一?)=sin(x—?)

令1=21用t71TVt7T

，則X=一+—,4-----+—

234212

所以f(，)=sin(；+W),所以f(x)=sin|尹京

解法二：由已知的函數(shù)y=sin(x-逆向變換,

第一步：向左平移？個單位長度，得到產(chǎn)sin1+?-訃sin(x+部勺圖象，

第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到丁=而|^+專)的圖象,

即為尸/(力的圖象，所以/(?="＞目.

故選：B.

7.A

由己知可得(〃—〃)?〃=(),結(jié)合已知計算可求得cos(a,〃)=g,進而可求夾角.

【詳解】因為(。―

所以,一科〃=0,所以〃./"/?=(),

所以同.忖85?/)一Wf=0,因為同=2忖,卜0,

所以cos(a./?=；,又因為。?〃力》471,所以a，〃〉=g.

所以a與〃的夾角為g.

故選：A.

8.B

根據(jù)題中條件連接AC,取AC的中點。，連接OE,OB,作出異面直線所成的角，利用余弦定理求解即可;

【詳解】連接AC,取AC的中點。，連接

P

AB

由寇意知，EOPC,則異面直線與尸C所成角為NSEO（或其補角）,

在△BE。中，EO=\,BO=jl、BE=6

BE2+EO1-BO2x/3

則cos/BEO

3BE2EO

則異面直線質(zhì)與PC所成角的余弦值為由.

3

故選:B.

9.AD

根據(jù)數(shù)量枳的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示判斷A、B、C,再根據(jù)投影向量的定義計算判斷D；

【詳解】解:因為"=(2,0),〃=所以〃./?=1X2+0X>/5=2,同=2,忖=+(6)=2，

所以〃+方,a-)=(1,-6),則卜+.=小32+(G)=26，d-￡>|=^!2+(-V3j=2,故AiE確，B錯誤;

八ab21兀

設(shè)。與人的夾角為6,則cos0=W「i=57I=5,因為。目0,句，所以。二三，故C錯誤;

ab1211

b在〃方向上的投影向量為WRvyQXiazzaa,故D正確；

故選：AD

10.AB

根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由點到平面的距離的求法即可判斷3;由異面直線所成角的定義及

求法即可判斷C；由平面角的定義及氽弦定理即可判斷￡>.

【詳解】解：如圖，取8G的中點“，連接CH,易證CVJ?平面人BGR,

所以ZC.BC是直線8c與平面ABCR所成的角為￡,故A正確；

點C到平面A4G2的距離為CH的長度為立，故8正確；

?

易證BC./MD,,所以異面直線DQ和BG所成的角為乙4"C或其補角,

因為.AC。為等邊三角形，所以兩條異面直線2c和8G所成的角為?，故C錯誤;

連接?！?，由8。二。。1,所以DHJ.BQ,又CHLBG，

所以NCH。為二面角BG-。的平面角,

易求得DH=旦,又CQ=1,CH=—,

22

由余弦定理可得cosNC〃0==旦，故。錯誤.

2DH?CH3

故選：AB.

11.ABC

根據(jù)==可說明〃與C恰好重合判斷A,根捱線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B,將四面體

A-HEF補成長方體，可求得其外接球半徑，進而求得外接球體積判斷C,根據(jù)線面垂直證明線線垂直,

說明點H在面AM上的射影為三角形的高的交點判斷D.

【詳解】對于A,因為HE=HF=CE=CF,故把△口：尸沿石尸繼續(xù)折起，。與〃恰好重合，A正確;

對干B,如圖，

因為AHLHE,AH工HF,HEcHF=H,HE,HFu^^HEF,

故A”_L平面而E/u平面”跖，故AH1EF,故B正確；

對于C,由折前平面圖形可知，HE,HF,HA兩兩垂直,將其補成相鄰三棱長為1,1,2的長方體,

則K方體外接球和四面體外接球相同，如圖，

長方體對角線長/=^22+12+12=而，所以長方體外接球的半徑為R=乎，

故外接球的體積為V=g兀｛半)=痼，故c正確；

對于D,設(shè)P為點H在平面A所上的射影，連接EP,AP,則小_LE/L

由B知A〃_LM,又AHHP=H,AH,HPU平面AHP,故EFJL平面A”P,

又APu平面4〃尸，故￡FJLA尸，

同理可證人廠IEP,即點尸為三角形△AM高線的交點，

所以點，在平面AEF上的射影為的垂心，故D錯誤，

綜上，正確答案為ABC,

故選：ABC

12.3

根據(jù)正弦定理得c=3〃，由周長得〃=7-4〃，最后利用余弦定理列方程求得。=1,即可得解.

【詳解】由坐=3及正弦定理得c=3。，由VA8C的周長為7得力=7-LC=7-癡，

sinA

故由cosB=g及余弦定理得=1,

62ac6

所以42+(3々)2一(7-40)2=3"(卻，

化簡得7/—56。+49=0，解得〃=1或。=7(舍去)，所以。=7-4=3.

故答案為：3

13.-/0.4

5

列舉基本事件，利用古典概型概率公式求解.

【詳解】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中不放回地隨機抽取3張，

樣本空間。=｛(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2.4,5),(3,4,5)｝共1()個基本事

件，即〃(Q)=10

用A表示“抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10”,則A=｛（1,4,5）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）｝共4個基本事件,

即〃（A）=4

/、〃⑷42

所以抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10的概率。（4=—祥=正=不

2

故答案為：

14.90

利用百分位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】將訓(xùn)練成績從小到大排序為：85,85,86,86,87,88,88,89,91,92,

QQiQ1

因為10x80%=8,所以該運動員這1（）次成績的80%分位數(shù)為氣三=90.

故答案為：90.

15.（1）A=W

⑵26

（1）先根據(jù)sin（A-8）=sinC-sin8展開，結(jié)合正弦和差化枳公式進行化簡，可得出cosA=；,進而得出

角A的值.

（2）根據(jù)題意和正弦定理可得出邊長"的值，再由第一問和余弦定理得出〃和c的關(guān)系從+1=。0+8,結(jié)

合基本不等式即可求出V4BC面積的最大值.

【詳解】（1）由sin（4-8）=sinC-sinb得，sin（A-B）=sin（A+B）-sinB,

所以sinB=sin(A+8)—sin(A-8)=2cosAsin3,又0<8<兀，所以sin8>0,

所以cosA=1,因為所以A==；

23

（2）由VA8C外接圓的半徑為辿，則得〃=生色sinA=2&?

33

由余弦定理得，cosA=+C~,即力:+（?=Z?c+8,

2bc

所以從+/=乩+8之3。,解得反48.

所以SM8c=gbcsinAV2g，故VA8C面積的最大值為2G.

16.（I）證明見解析：（II）2

3

【詳解】（I）I方法一上幾何證法

作OH_LAC交AC于〃，連接區(qū)”.

???平面4。/CJ■平面A8C,而平面AORTA平面ABC=AC,平面AQR7,

平面ABC,而8。u平面ABC,即有O"_L8C.

???ZACB=Z4CD=45°,

；?CD=42CH=2BC^>CH=42BC.

在中，BH2=CH2+BC2-2CH-fiCcos45°=BC2，即有^^+/、。”？，...BH±BC.

由棱臺的定義可知，EFHBC,所以￡>"_L$，BHLEF,而8〃。?！?"，

；?EV_L平面B//D,而皿u平面的/D,AEFLDB.

［方法二］【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系方法

作DO_L4c交AC于0.

???平面AOR7_L平面ABC,而平面AOR7。平面A8C=AC,OOu平面AOR7,

???￡Q1.平面ABC,以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

設(shè)。C=1「??ZAC8=ZAC7）=45。，DC=2BC=B

???BC=乎,??.0（0,0,1）,C（0,1.0）,8（；,；,0）,

，BCLBD,又?.?棱臺中BC//EF,：.EFA.BD；

［方法三］:三余弦定理法

??,平面ACFD1平面A3C,cosZBCD=cosZACBcosZACD=cos45°cos45°=-,

2

???/BCD=3°，

又TDC=2BC.

：.<CBD=90。,即C8_L3。，

又，：EFUBC,AEFLDB.

(H)［方法一］:幾何法

因為。C/C〃，所以。尸與平面08c所成角即為與C”平面DBC所成角.

作HGLBD于G,連接CG,由(1)可知，BC上平面BHD,

因為所以平面8CO_L平面W7D,而平面BCD、平面BHD=BD，

〃Gu平面BHD,工“G_L平面BCO.

即。”在平面08c內(nèi)的射影為CG,/"CG即為所求角.

BHDH42aa夜

在RlAHGC中,設(shè)8C=a,則CW=缶,HG=-------=-7=—=—f=a,

BD瓜i73

HG=\=0

:.sin4HCG

~CH~43~~

故"與平面DBC所成角的正弦值為立.

3

［方法二］【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系法

設(shè)平面BCD的法向量為“=（K），,z）,

由⑴得?。偂?1）取+3（）；

11八

—x-y+z=0

77