四川省瀘縣第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={-1,0,1},8=[0,+巧,則A1B=()

A.{0,1}B.{1}C.[0,+oo)D.[1,+8)

2.己知命題〃:DxeR,e"-x-l>0,則3是().

A.VxsR,er-x-l<0

B.VxeR,cT-x-1<0

C.3x0G-A^-1<0

D.3x0GR,e"°-x0-l<0

3.復(fù)數(shù)匕1的虛部為()

1

A.-1B.1C.-iD.i

4.已知以是第一象限的角，P(x,3)為其終邊上的一點，且sina=；,則人=()

A.-6B.±6C.±6>/2D.一6上

5.已知平面向量b?則“a=力或a=-〃"是“卜卜W”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6,若41(冗-(1)=；,且]<(1<冗,則sin2a的值為()

A.一也B.—也C.逑D.逑

9999

7.設(shè)函數(shù)y=/(x)-f是奇函數(shù)若函數(shù)g(x)=/(x)+5J(4)=9,則g(-4)=()

A.28B.33C.38D.43

8.在VA8C中，點。在邊8c上，且滿足忸。=:忸C|,點E為線段A。上任意一點(除端

點外），若實數(shù)X，），滿足地…A+*C,則r7的最小值為（）

A.2&B.4夜+6C.2&+5D.9

二、多選題

9.下列選項中，值為!的是（）

4

A.sinl5sin75B.cos36cos72

Csin56+sin4Dtan15

cos56+cos41+tan215

10.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù),且是奇函數(shù)，當(dāng)—Ivxvl時，/（力=/,

則（）

A./（力的值域為卜川B.〃力的最小正周期為4

C.在卜川上有3個零點D./（5）=/（4）

11.如圖，在正方體4BCO-中，點尸在線段8c上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線平面AC。

B.三棱錐AG。的體枳為定值

C.異面直線AP與AD所成角的取值范圍是

D.當(dāng)P為瓦。的中點時，直線CP與平面所成角的正弦值為由

3

三、填空題

12.已知向量〃=（3,0）,。=（1,-2）,則。在〃上的投影向量的坐標(biāo)是

13.已知sin（a+g）=a,則sin（2a+看）=.

試卷第2頁，共4頁

14.在三棱錐尸-48C中，PA=PB=PC=2,AB=l,/ACB=j若該三棱錐的所有頂點均

6

在球。的表面上，則球。的表面積為.

四、解答題

15.已知向量|。卜6,卜卜|，

(1)求卜+力|;

⑵求〃與4-〃的夾角。.

16.已知函數(shù)/(')=4$以51+e)(/1>0,0>0,倒<5)的部分圖像如圖所示.

⑴求函數(shù)/(力的解析式，并求它的對稱中心的坐標(biāo)；

(2)將困數(shù)“X)的圖像向右平移〃?0</〃<個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，g(x)為偶函

數(shù)，求函數(shù)y=/(x)g(x)+=的單調(diào)遞減區(qū)間.

4

17.如圖，在四棱錐P-4BC￡>中，底面48CD是菱形，N4BC=60,且加=2,側(cè)棱小_L

底面ABC。，PA=\,E為PC中點、.

(I)證明：/比)_2平面尸AC；

(2)求三棱錐2-笈笈)的體積：

⑶求二面角尸-■的平面角的大小.

18.在VHBC中，角A,B,。所對的邊分別為“，b,。，滿足a(J5$in5+cos8)-8-。.

《四川省瀘縣第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案ADADAAADABDBCD

題號11

答案AB

1.A

【分析】利用交集的定義求解即可.

【詳解】因為A={-I.O,I}I=[O,+8),所以ADB={0,I},故A正確.

故選：A

2.D

【分析】利用命題的否定的求法求出力即可.

【詳解】因為命題〃：心€^^7-1>0是全稱命題，

所以是*oWR,e"-故D正確.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則，直接計算，再由復(fù)數(shù)的概念即可求解.

1-i_]i

【詳解】因為./八、所以復(fù)數(shù)上+1的虛部為-1,

1IS)1

故選：A.

4.D

【分析】利用三角函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合象限角的定義，可得答案.

31

【詳解】依題意，x<0,r=|OP|=V7+9,其中，。為坐標(biāo)原點，則sina=&+9=不,

所以x=-6>/^?

故選：D.

5.A

【分析】根據(jù)向量的基本概念，結(jié)合充分，必要條件，即可判斷選項.

【詳解】若a=b或〃=-〃，則忖=M，反過來，若卜|=1|，兩個向量的方向不確定，不能

推出a=〃或a=—b，

答案第1頁，共14頁

所以％〃或a=-二是力卜W”的充分不必要條件.

故選：A

6.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式求得sina的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosa,再利用

二倍角公式，求得sin2a的值.

【詳解】解：vsin(n-a)=sina=1,K^<a<n,

/.cosa=-\/l-sin2a=一,則sin2a=2sinacosa=一皿^,

39

故選A.

【點睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式進(jìn)行化簡三角

函數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性列出等式，然后根據(jù)g(4)的值求出g(-4)的值.

【詳解】由函數(shù))=/(可-/是奇函數(shù)可知〃力—月+/(—力—(—4=0,

因止匕可得/(x)+/(—x)=2d；

又g(x)=/(X)+5,因此g(4)=f(4)+5,g(T)=〃-4)+5；

兩式相加可得g(4)+g(-4)=〃4)+5+〃T)+5=2x42+10=42；

又g(4)=f(4)+5=14,因此g(-4)=42-14=28.

故選：A.

8.D

【分析】利用平面向量基本定理及共線向量定理的推論可得x+4y=l,且x>0,)>。，再根

據(jù)“1”的代換，運(yùn)用基本不等式可得答案.

【詳解】由步力|=(1HC|,BE=xBA+yBC=xBA+4yBD,

而點E為線段AO上除端點外的任意一點，則x+4〉，=l,且x>0,)，>0,

因此！+!=('+!)*+4丫)=5+竺+土之5+2/空?2=9,

xyxy'xyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)匕=土，即x=2y=：時取等號，

*y3

答案第2頁，共14頁

所以一+一的最小值為9.

故選：D

9.ABD

【分析】根據(jù)二倍角公式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦余弦公式等對每個選項逐一求解,

看值是否為:即可.

4

【詳解】對于A選項：sinl5sin75=sin15cos15=^sin30，符合題意；

apcqc—sin72cos72—sin144

對于B選項：cos36cos72==36cos36cos72=2___________=4

sin36sin36sin36

：；sin36二i,符合題意,

sin364

-MT〃?小岳sin56+sin4sin(30+26)+sin(30-26)2sin30cos26

對于C選項：=——-----=

cos56+cos4cos(30+26)+cos(30-26)2cos30cos26

=tan30=—，不符合題意；

3

sin15

一3Htan15rnci5sin15cos151.21”人

對于D選項：-——=_cosi^=__^----------=-sin30=-,符合，

I+tan'15,.sin15、■>sin'15+cos1524

1+(-------)-

cos15

故選：ABD.

10.BCD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對稱性得到函數(shù)圖象，即可判斷A、C,再求出周期，即可判

斷B、D.

【詳解】對于A,因為/(X-1)是奇函數(shù)，所以/(x)的圖象關(guān)于(-1,0)對稱，且

/(0-1)=/(-1)=0,

因為/(X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)'軸對稱，且當(dāng)—1VXV1時，f(x)=x\作出“X)的圖象,

如下圖所示：

答案第3頁，共14頁

由圖可知,由X)的值域為(-1,1),故A錯誤;

對于B,因為/(xT)是奇函數(shù)，所以f(r-l)=-/(xT),

gp/(-x-2)+/(x)=0,因為/(")為偶函數(shù),

所以/(T—2)=〃X+2),即〃%+2)=-/(力，

所以/(X+4)=-/(X+2),即f(x)=/(x+4),所以函數(shù)/(%)的最小正周期為4,故B正

確；

對于C,由圖象可得在［-1,1］上，/(x)的圖象與x軸有3個交點，所以函數(shù)/(“在［-川上

有3個零點，故C正確；

對于D,由題意得〃5)=〃1)=0,/(4)=/(0)=0,所以/(5)=/(4),故D正確.

故選：BCD.

11.AB

【分析】對于A：利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；對于B：根

據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解判斷即可；對于C：

根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解判斷即可；對于D：利用等體積法求點B到平面AG。

的距離，結(jié)合線面夾角的定義運(yùn)算求解.

【詳解】對于選項A：因為4萬GA為正方形，則AG18Q,

又因為平面A￡GA，AC|U平面A4GR,則

且BRc,BR,BB［u平面BBR,

所以AG_L平面MQ,

且3Ru平面BBR,可得4G

同理可得：D”BD、,

且4GCOG=c,AG，DGU平面AG。，

所以直線平面AG。，故A正確：

對于選項B：因為A4〃co,且A4=C。，則A4C。為平行四邊形，可得AO〃BC，

答案第4頁，共14頁

且AQu平面AG。，平面4G。，所以8c〃平面AG。，

又因為點p在線段與。上運(yùn)動，則P到平面4G。的距離為定值，

且；AG。的面積是定值，所以三棱錐P-AG。的體積為定值，故B正確;

對在選項c：由選項B可知：%?！ㄘ,

所以異面直線AP與A。所成角為直線A尸與直線的夾角.

又因為A4=AC=8C，則△ABC為等邊三角形，

當(dāng)〃為4c的中點時，直線AP與直線B.C的夾角最大，

可得AP_LBC，即直線心與直線4C的夾角為5；

當(dāng)尸與點片或C重合時，直線AP與直線8c的夾角最小，

可得直線"與直線BC的夾角為：；

所以異面直線AP與所成角的取值范圍是故C錯誤；

對于選項D：當(dāng)尸為片。的中點時，直線GP即為直線CB,

所以直線C/與平面4G。所成角即為直線GB與平面AG。所成角，

設(shè)點笈到平面4G。的距離為d,正方體的校長為2,

11Q

0^^.ACIO=2X2X2-4X-X2X-X2X2=-,

由等體積法可得：xdx:x2&x2jix*=：,解得d=拽，

32233

48

所以直線C避與平面4￡八所成角的正弦值為d；_屜,

8G2V23

即直線CP與平面AG。所成角的正弦值為如，故D錯誤；

3

答案第5頁，共14頁

故選：AB.

【點睛】關(guān)鍵點睛：I.利用平行關(guān)系可知異面直線AP與4。所成角為直線A尸與直線用C的

夾角，進(jìn)行分析求解;

2.利用等體積法求點〃到平面AG。的距離，可知直線與平面AG。所成角的正弦值為

BCJ

36

12.5，-5

【分析】根據(jù)投影向量的定義及向量的數(shù)量積、模運(yùn)算即可.

【洋解】結(jié)合題意可得：〃=1x3-2x0=3,

同=\?32+02=3,卜卜^（-2）-+12=技

設(shè)4與力的夾角為氏則8?箭=焉=冬

故面上的投影向量為同cos喧=停-1

故答案為：(|,三

【分析】根據(jù)已知條件，使用誘導(dǎo)公式及一倍角公式.化筒3n(2a+當(dāng)=2淅2(a+小-1,然

63

后代值即可.

【詳解】由題意，因為sin(a+?)=3，

34

所以

in（2a+t）=sin[2（a+g）-]71-C?0（兀?14

sin=-cos2ra+—=一1一2sirra+—=2sm-a+—1=2x

I3LI3；I3J-S

答案第6頁，共14頁

故答案為：-.

O

【分析】由三棱錐三條側(cè)棱相等可知三棱錐的外接球球心在正三棱錐的高上且點尸在底面的

射影即為［ABC的外心，可先由正弦定理求得二ABC外接圓半徑，再由勾股定理求得外接球半

徑/?,即可求得球的表面積.

【詳解】因為必=心=尸。=2,所以點P在平面ABC上的射影G為，A8C的外心，

如下圖，又AB=l,/AC8=m，所以V48c的外接圓的半徑iGCk'』：一

62sin—

6

從而三棱錐P-ABC的高為|PG|=7|rc|2-|GC|2=V22-l2=石.

2

2

設(shè)該二棱錐外接球的半徑為R，則I*+|GC|=|。?！?，即（行一2?產(chǎn)十產(chǎn)一A2,解得R「F，

15.(1)2

（2）?

【分析】⑴求出卜「力『=4,利用向量數(shù)量積運(yùn)算法貝闈到〃.0=（）,故|〃+力『=4,求出

模長；

（2）利用向量夾角余弦公式得到cos9=；,得到0=1.

【詳解】（1）1—q=jM）"=2,

故卜-陷=（〃-〃）=a-2ab+b=4,

答案第7頁，共14頁

故3-2々4+1=4，解得力=0，

故,+b=(〃+/?)=，+2。力+。~=3+0+1=4,

所以卜+@=2；

22

a-b3-11

(2)cos〃=

卜+4,-42x2~~2

又?！闧0,可，故。=1?

16.(l)f(x)=＞/3sin2x+$對稱中心的坐標(biāo)為償*0)(2€Z)

6)

nkitkitit

—+一,—4--,kwZ

62212

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)的圖像，求得A=G，0=2,再將點信⑹代入求得。哈

得到函數(shù)f(x)=VJ$in(2x+：J,結(jié)合二角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解;

(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得至lJg*)=6sin(2x-2〃?+t＞由g(x)為偶函數(shù)，求得

機(jī)=三，得至必。)=—百cos2x，化簡得至打=一聲卻4/+小，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解.

【詳解】⑴解：根據(jù)/⑴的圖像知A=6且音，所以「吟小可得

(0=2.

將點仔，百]代入得sin(2x^+e)=l且冏＜3解得e=g

koJ626

所以/(x)=x/5sin2%+.).

^2x+-=k7t(keZ),^x=--—(keZ),

6v7212

所以/("的圖像對稱中心的坐標(biāo)為1Mll,0)(丘Z).

(2)解：由將/(x)的圖像向右平移機(jī)(。＜，〃＜；)個單位，得到g(x)=Gsin2x-2m+^

因為g(x)為偶函數(shù)，可得一2〃?+m=E+g(我Z),所以〃一”一部wZ),

6226

又因為0＜根＜],可得川=方，所以g(x)=6sin(2x-5)=-6cos2x,

2\o

371

所以y=/(x)g(x)+：=-3cos2xsin2x+—+-=-3cos2x^sin2x+—cos2x+—

4I6；422J4

答案第8頁，共14頁

42242122J2V6J

令」+2EW4x+2K2E+￡,AGZ,nj^-—+-<x<—+—,/:eZ,

26262212

所以函數(shù)產(chǎn)/@)g*)+=的單調(diào)遞減區(qū)間為「一介"芻+』McZ.

4L62212

17.(1)證明見解析；

⑵《；

O

(3)45.

【分析】(1)由題設(shè)及線面垂直的性質(zhì)有8。J.AC、PAA.BD,再由線面垂直的判定證明

結(jié)論；

(2)由題設(shè)/一痛)=匕is=(%.)=(%一再應(yīng)用棱錐的體積公式求體積；

(3)設(shè)ACC80=O,連接0尸，OE,利用線面垂直易得NPO￡為二面角P-B/)-石的平

面角，結(jié)合已知求其大小即可.

【詳解】(1)因為底面ABCD是菱形，所以8。_LAC,又加_L底面ABCD,80u平面ABCD,

所以R4J.BO,又PA14C=A,PA,ACu平面Q4C,所以8OJ.平面Q4C.

(2)因為E是PC的中點，所以Vp_BED=VE_PBD=TVc-PB〉=TVp-BCD?

乙乙

因為sBCD=LS,\BCD=S個=6,又R4=l,PA_L平面4BCD,

V

所以％BFD=-PBCD=-X-5BCDPA=LXL義氐"曲.

r-or.lJ2?IJ[3,oC1/236

(3)設(shè)ACTBD=O,連接。尸，OE,

由(1)知，B。工平面PAC,又PO,EOu平面尸4C,

所以8O_LPO,BDLEO,則/PO石為二面角2-BD-E的平面角，

因為四邊形A8C￡)是菱形，/1ABC—60?AB=2?所以4c=2,

因為R4_L底面A3CO,47u平面A3。。，所以%_LAC,

在RtZXPAC中，^4=1,0為AC的中點，所以/<4=49=1,NPOA=45,

答案第9頁，共14頁

又E是PC的中點，。是AC的中點，所以PA//OE,所以4OE=90,

所以/POE=90-45=45，二面角P-AO-E的平面角為45.

18.(1)ZA=-

3

⑵①癢1;②[2&+6同

【分析】(I)由正弦定理化簡求值即可.

(2)①由平面向量基本定理、向量的運(yùn)算表示人。與人，c關(guān)系，根據(jù)余弦定理及基本不等

式運(yùn)算即可.

②由正弦定理表示8。,A8利用基本不等式求值即可.

【詳解】(I)v?(\/3sinB+cosB)=Z?+c,

由正弦定理得：sinA(君sin8+cos8)=sinB+sinC,

展開得：V3sinAsinA+sinAcos4=sinA+sin(A+A),

x/3sin4sinS=sinfi+sinBcosA，而Be(0,7C),sin3H0，

故GsinA-cos4=1,

”/吟i./吟1

zsinA---=I,..sinA----=—,

6jI6)

Ac(0,7t),故/A=^.

(2)

3

=AB+'AC-AB)

］一2-

=-AB+-AC,

33

答案第10頁，共14頁

.?.AZ）2=（；A3+|AC）

I--4?>41—--iJr

=-AB~+-AC~+-\AB\\AC\COS-

9991Hl3

=^ab2+^AC;2+l\AB\\AC\'

?.?AO=2,

、124,22,

:.4=-c+—b-+—be,

999

根據(jù)余弦定理：BC2=^+c2-2^cosp

,,、36（b2+c2-bc）

：.BC2=b2+c2-bc=-A-；------

4b2+c2+2hc

,36（/7十|）3（r+l））

則8c2=7------^=36

廠+2/+4廠+2/+4）

3

則當(dāng)且僅當(dāng)/+1=」7時等號成立,

1+1

解得：，=8-1時，

.?.￡=6-1時，BC取最小值.

n

AO為24)8的角平分線

AnBDAB

在△人、力中,由正弦定理得

sin^BAD~sin2LADB

答案第11頁，共14頁

2BDAB

即3一：-帥+1)，

“、12sinf^+-

sinBAB=---------------

sinB

2sin(Z^+-)+3.2B、.2B

I6.1Gsin4+cos3+3_6+4cos"—+2sm~—

AB+3BD=22

r.RR

sinBsinB2sin—cos-

22

n2B

=V3+-----尸+tan—

tan—B2.

2

又Be(0,1,?,■■je^0,y^,/.tan-1e(0,>/3),

2B、仄n

-—^+tan->2V2>當(dāng)且僅當(dāng)tan：=及時等號成立,

tan—2

J

故A8+3BOw[2夜+后-oo)

19.（l）g（x）不是“力的"2重覆蓋函數(shù)”;理由見解析

⑵[0』

f4047，…

(3)1—J0I2

【分析】⑴根據(jù)“〃重覆蓋函數(shù)''的定義判斷即可;

（2）由題意可得即對任意％wR,存在2個不同的實數(shù)羽毛目-2,轉(zhuǎn)）），使得鼠七）二〃鵬）

（其中，=1,2）,即g（%）=log2（l+/g）c（