元一次方程的應(yīng)用（一）重難點(diǎn)題型

【知識(shí)點(diǎn)1一元一次方程的應(yīng)用】

列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到符合題意的相等關(guān)系.常見(jiàn)的相等關(guān)系有以下幾種：

1.部分量之和=總量.

2.表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同的式子.

3.找出題目中表示相等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“相等”，“等于"，“比”，“是”，“占”等等，從而列出

相等關(guān)系.

【題型1和、差、倍、分問(wèn)題】

【例I】（2021?新華區(qū)模擬）長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)83黃黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284冊(cè),設(shè)長(zhǎng)江

長(zhǎng)度為xkm,則下列方程中正確的是（）

A.5x-6（x-836）=1284B.6x-5（x+836）=1284

C.6（x+836）-5.r=1284D.6（x-836）-5x=l284

【變式11】（2020秋?銅梁區(qū)校級(jí)期末）小明今年6歲，他的爸爸今年34歲，4年后爸爸的年齡是小明的

年齡的3倍，根據(jù)題意，列出方程為（）

A.3（6+x）=34B.3（6+x）=34+x

C.3X6=34+xD.6+x=3（34+x）

【變式12】（2021?內(nèi)鄉(xiāng)縣一模）（增刪算法統(tǒng)宗）記載：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部孟子三日了，每日增添

一倍多，問(wèn)君每口讀多少？“其大意是：有個(gè)學(xué)生天資聰慧，三天讀完一部《孟子》，每天閱讀的字?jǐn)?shù)

是前一天的兩倍.問(wèn)他每天各讀多少個(gè)字？已知《孟子）一書(shū)共有34685個(gè)字，設(shè)他第二天讀x個(gè)字，

則下面所列方程正確的是（）

A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685

C.KC+X+2X=34685D.x+g+/x=34685

【變式13】（2020秋?昌圖縣期末）甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)同時(shí)去某地旅游，已知乙團(tuán)人數(shù)比甲團(tuán)人數(shù)多4人,

兩團(tuán)人數(shù)之和是兩團(tuán)人數(shù)之差的16倍.

（1）問(wèn)甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)的人數(shù)各是多少？

（2）若某景點(diǎn)成人票價(jià)為每張80元，兒童票價(jià)為每張40元，并且乙團(tuán)中兒童人數(shù)恰好比甲團(tuán)中兒童人

數(shù)的2倍少2人，兩旅行團(tuán)在此景點(diǎn)所花門(mén)票費(fèi)用相同.求甲、乙兩團(tuán)中兒童人數(shù)各是多少？

【知識(shí)點(diǎn)2等積變形問(wèn)題】

“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?，常用的關(guān)系有：（1）形狀變而體積不變；（2）原材料體積

=戌品體積.

【題型2等積變形問(wèn)題】

【例2】（2020春?孟津具期中）如圖.八、A兩個(gè)長(zhǎng)方體水箱放置在同一水平桌面卜,開(kāi)始時(shí)水箱A中沒(méi)

有水，水箱B盛滿水，現(xiàn)以647/〃“力的流量從水箱B中抽水注入水箱A中，當(dāng)水箱A與水箱B中的水

的體積相等時(shí)，兩水箱中水位的高度差（抽水水管的體積忽略不計(jì)）

水箱A水箱B

【變式21】（202（）秋?射陽(yáng)縣期末）如圖是邊長(zhǎng)為的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2

所示的長(zhǎng)方體盒子，已知該長(zhǎng)方體的寬是高的2倍，則它的體積是（）

圖1圖2

A.6000。毋B.8000&/C.l()0()0t7?i3D.12000<?//i3

【變式221（2020秋?定遠(yuǎn)縣月考）如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個(gè)內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積

分別為80a/、lOOa/,且甲容器裝滿水，乙容器是空的.若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位

高度比原先甲的水位高度低了8cm,則甲的容積是（）

A.1280cm3B.2560cm3C.3200cm3D.4000cm3

【變式23】（2020秋?歷城區(qū)期天）有一塊棱長(zhǎng)為0.6〃?的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0.008陽(yáng)2的長(zhǎng)

方體鋼材，則鍛成的鋼材高為m.

【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)字問(wèn)題】

1.抓住問(wèn)題中數(shù)的變化規(guī)律，列一元一次方程解決數(shù)的規(guī)律問(wèn)題.

2.數(shù)位上的數(shù)改變后形成新的十進(jìn)制數(shù)，在表示新數(shù)時(shí)，要注意進(jìn)率的變化.

【題型3數(shù)字問(wèn)題】

【例3】（2021?榮昌區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)五位數(shù)，個(gè)位數(shù)為5,這個(gè)五位數(shù)加上6120后所得的新的五位數(shù)的

萬(wàn)位、千位、百位、十位、個(gè)位的數(shù)恰巧分別為原來(lái)五位數(shù)的個(gè)位、萬(wàn)位、千位、百位、十位上的數(shù)，

則原來(lái)的五位數(shù)為（）

A.48755B.47585C.37645D.36475

【變式31】（2021?長(zhǎng)興縣模擬）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大利

數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代的《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中被稱為“錦地錦”.如圖1,計(jì)算47X51,將乘數(shù)47

計(jì)入上行，乘數(shù)51計(jì)入右行，然后以乘數(shù)47的每位數(shù)字乘以乘數(shù)51的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格

子中，最后按斜行加起來(lái)，得2397.如圖2,用“格子乘法”表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則。的值為（）

【變式32】（202（）秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)比十位數(shù)字大4,而且這個(gè)兩位數(shù)比它的數(shù)

字之和的3倍大2,則這個(gè)兩位數(shù)是.

【變式34】（2020秋?柘城縣期末）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和是7.如果這個(gè)兩位數(shù)加上4s.

則恰好成為個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)之后組成的兩位數(shù).求這個(gè)兩位數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)4行程問(wèn)題】

1.行程問(wèn)題有相遇問(wèn)題，追及問(wèn)題，順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）問(wèn)題，上坡、下坡問(wèn)題等.在運(yùn)動(dòng)形式上分

直線運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)動(dòng).

2.相遇問(wèn)題是相向而行，相遇時(shí)的總路程=兩運(yùn)動(dòng)物體的路程和.

3.追及問(wèn)題是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)間，快的再追.

4.順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）和上坡、下坡問(wèn)題應(yīng)注意運(yùn)動(dòng)方向和速度不同.

【題型4相遇問(wèn)題】

【例4】（2020秋?北儲(chǔ)區(qū)校級(jí)期末）甲乙兩人分別從相隔566的A、3兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車的速度

為每小時(shí)20千米，乙步行的速度為每小時(shí)8千米.

（1）甲、乙分別從A、8兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，求經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相遇？

（2）甲、乙兩人從A地出發(fā)，同向而行，當(dāng)甲到達(dá)8地時(shí)立刻掉頭返回A地，求經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相遇？

【變式41】（2021春?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)月考）甲乙兩車分別從A、8兩地同時(shí)相向勻速行駛，甲車每小時(shí)比乙車

快20千米，行駛3小時(shí)兩車相遇，乙車到達(dá)人地后未作停留，繼續(xù)保持原速向遠(yuǎn)離8地的方向行駛，

而甲車在相遇后又行駛了2小時(shí)到達(dá)4地后休整了1小時(shí)，然后調(diào)頭并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過(guò)

一段時(shí)間后兩車同時(shí)到達(dá)C地，則A,C兩地相距千米.

【變式42】（2021春?普陀區(qū)期中）已知環(huán)形跑道一圈長(zhǎng)為400米，小麗與小杰的速度之比為3：4,如果

小麗和小杰在跑道上相距8米處同時(shí)反向出發(fā)，經(jīng)過(guò)28秒后兩人首次相遇，求兩人的速度各是多少？

【變式43】（2021秋?姜堰區(qū)月考）已知數(shù)軸上有A,8兩點(diǎn)，分別代表?40,20,兩只電子螞蟻甲，乙分

別從A,8兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲沿線段A8以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，甲到達(dá)點(diǎn)8處時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,

乙沿84方向以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).

/—>甲乙8

A?------------------------1>

-40020

（1）A,B兩點(diǎn)間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)共運(yùn)動(dòng)了秒.

（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？

（3）多少秒時(shí)，甲、乙相距10個(gè)單位長(zhǎng)度？

（4）若乙到達(dá)A點(diǎn)后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達(dá)B點(diǎn)前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能,

求出相遇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型5追及問(wèn)題】

【例5】（2020秋?新邵縣期末）列方程解應(yīng)用題：如圖，現(xiàn)有4B、BC兩段鄉(xiāng)村公路，AB長(zhǎng)為1200米，

BC長(zhǎng)為2000米，一個(gè)人騎摩托車從4處以20〃曲的速度勻速沿公路AT?、向C處行駛；另一人騎自

行車從B處以5Ms的速度從B向C處行駛，并且兩人同時(shí)出發(fā).

CBA

（1）求經(jīng)過(guò)多少秒摩托車追上自行車？

（2）求兩人均在行駛途中時(shí)，經(jīng)過(guò)多少秒兩人在行進(jìn)路線上相距150米？

【變式51】（2021?雨花區(qū)校級(jí)模擬）古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駕馬日行一

百五十里.駕馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每

天走150里.慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為

（）

A.240x=150x+12X150B.240A=150A-12X150

C.240（A-12）=15O.v+15OD.240x+150x=12X15

【變式52】（2020秋?延慶區(qū)期末）列方程解應(yīng)用題：

晚飯后，小明的爸爸像往常一樣去散步.半小時(shí)后，媽媽發(fā)現(xiàn)爸爸沒(méi)有帶手機(jī)，就讓小明騎自行車去給

爸爸送手機(jī).如果爸爸的速度是4千米/時(shí)，小明騎自行車的速度是12千米/時(shí)，小明用多少時(shí)間可以追

上爸爸？（要求：先寫(xiě)出審題過(guò)程，再設(shè)未知數(shù)列方程）

【變式53】（2020秋?清澗縣期末）一天早晨，小華和爸爸在1000米的環(huán)形跑道上跑步，他們8點(diǎn)整時(shí)在

同一地點(diǎn)沿著同一方向同時(shí)出發(fā)，小華跑了半圈時(shí)，看到爸爸剛好跑完一圈，8點(diǎn)零8分時(shí)爸爸第一次

追上小華.

（1）求小華和爸爸的跑步速度；

（2）爸爸第一次追上小華后，在第二次相遇前，再經(jīng)過(guò)多少分，小華和爸爸相距15（）米？

【題型6流水問(wèn)題與上下坡問(wèn)題】

【例6】（2020秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，兩船在靜

水中的速度都是30千米/時(shí)，水流速度是a千米/時(shí)

（1）甲船順?biāo)乃俣仁乔?時(shí)；乙船逆水的速度是千米/時(shí)；

（2）3小時(shí)后兩船相距多遠(yuǎn)？

（3）若。=10,3小時(shí)后甲船能比乙船多航行70千米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式61】（2020秋?隨縣期末）汽車上坡時(shí)每小時(shí)走28切?，下坡時(shí)每小時(shí)走35A7打，去時(shí)，下坡路的路程

比上坡路的路程的2倍還少14h〃，原路返回比去時(shí)多用了12分鐘.求去時(shí)上、下坡路程各多少千米？

【變式62】（2021春?71州區(qū)校級(jí)月考）漁夫在靜水劃船總是每小時(shí)5里，現(xiàn)在逆水行舟，水流速度是每

小時(shí)3里：一陣風(fēng)把他帽了?吹落在水中，假如他沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前劃行；等他發(fā)覺(jué)時(shí)人與帽了?相距2.5

里；于是他立即原地調(diào)頭追趕帽子，原地調(diào)轉(zhuǎn)船頭用了10分鐘.

（1）求順?biāo)俣?，逆水速度是多少?/p>

（2）從帽子丟失到發(fā)覺(jué)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？

（3）從發(fā)覺(jué)帽子丟失到撿回帽子經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？

【變式63】（2020秋?海珠區(qū)期末）如圖，A、8兩地相距90千米，從4到3的地形依次為：60千米平直

公路，10千米上坡公路，20千米平直公路.甲從A地開(kāi)汽車以120千米/小時(shí)的速度前往B地，乙從3

地騎摩托車以60千米/小時(shí)的速度前往A地，汽車上坡的速度為100千米/小時(shí)，摩托車下坡的速度為80

千米/小時(shí)，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā).

（1）求甲從4到B地所需要的時(shí)間.

（2）求兩人出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相遇？

（3）求甲從人地前往8地的過(guò)程中，甲、乙經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相距1（）千米？

D----------B

一元一次方程的應(yīng)用（一）重難點(diǎn)題型

【答案版】

【知識(shí)點(diǎn)1一元一次方程的應(yīng)用】

列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到符合題意的相等關(guān)系.常見(jiàn)的相等關(guān)系有以下幾種：

1.部分量之和=總量.

2.表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同的式子.

3.找出題目中表示相等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如“相等”，“等于"，“比”,“是"，“占”等手，從而列出

相等關(guān)系.

【題型1和、差、倍、分問(wèn)題】

[ft11(2021?新華區(qū)模擬)長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)836如?，黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284加?，設(shè)長(zhǎng)江

長(zhǎng)度為班機(jī)，則下列方程中正確的是()

A.5x-6G-836)=1284B.6x-5(x+836)=1284

C.6(x+836)-5.r=1284D.6(x-836)-5x=1284

【解題思路】根據(jù)長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)836切?，設(shè)長(zhǎng)江長(zhǎng)度為Mm,即可得到黃河的長(zhǎng)度為(x-834)km,再

根據(jù)黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284切?，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題.

【解答過(guò)程】解：由題意可得，

6(x-836)-5x=1284,

故選：D.

【變式11】(2020秋?銅梁區(qū)校級(jí)期末)小明今年6歲，他的爸爸今年34歲，x年后爸爸的年齡是小明的

年齡的3倍，根據(jù)題意，列出方程為()

A.3(6+x)=34B.3(6+x)=34以

C.3X6=34+%D.6+x=3(34+x)

【解題思路】根據(jù)x年后爸爸的年齡是小明的年齡的3倍，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解.

【解答過(guò)程】解：依題意得：34+x=3(6+x).

故選：B.

【變式12】(2021?內(nèi)鄉(xiāng)縣一模)(增刪算法統(tǒng)宗)記載：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部孟子三日了，每日增添

一倍多，問(wèn)君每日讀多少？“其大意是：有個(gè)學(xué)生天資聰慧，三天讀完一部《孟子》，每天閱讀的字?jǐn)?shù)

是前一天的兩倍.問(wèn)他每天各讀多少個(gè)字？已知《孟子)一司共有34685個(gè)字，設(shè)他第二天讀x個(gè)字，

則下面所列方程正確的是()

A.x+2x+4x=34685B.x+2r+3x=34685

C.%+x+2x=34685D.x+%+%=34685

【解題思路】設(shè)他第二天讀x個(gè)字，根據(jù)題意可得第一天讀了彳個(gè)字，第三天讀了2M個(gè)字，再山條件”共

有34685個(gè)字”歹IJ出方程即可.

【解答過(guò)程】解：他第二天讀x個(gè)字，根據(jù)題意可得：

1

~x+x+2x=34685?

2

故選：C.

【變式13】(2020秋?昌圖縣期末)甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)同時(shí)去某地旅游，已知乙團(tuán)人數(shù)比甲團(tuán)人數(shù)多4人,

兩團(tuán)人數(shù)之和是兩團(tuán)人數(shù)之差的16倍.

（1）問(wèn)甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)的人數(shù)各是多少？

（2）若某景點(diǎn)成人票價(jià)為每張80元，兒童票價(jià)為每張40元，并且乙團(tuán)中兒童人數(shù)恰好比甲團(tuán)中兒童人

數(shù)的2倍少2人，兩旅行團(tuán)在此景點(diǎn)所花門(mén)票費(fèi)用相同.求甲、乙兩團(tuán)中兒童人數(shù)各是多少？

【解題思路】（1）設(shè)甲旅行團(tuán)的人數(shù)為x人，那么乙旅行團(tuán)的人為（x+4）人，由于兩團(tuán)人數(shù)之和是兩

團(tuán)人數(shù)之差的16倍，即：兩數(shù)之和為：4X16=64,以兩數(shù)之和為等量關(guān)系列出方程求解；

（2）設(shè)甲團(tuán)兒童人數(shù)為,，人，則可知乙團(tuán)兒童人數(shù)為（2），-2）人，根據(jù)等量關(guān)系：甲乙所花門(mén)票相等

可以列出方程，求解即可.

【解答過(guò)程】解:（1）設(shè)甲旅行團(tuán)的人數(shù)為x人，那么乙旅行團(tuán)的人數(shù)為（.r+4）人.

根據(jù)題意，得x+x+4=4X16,

解這個(gè)方程，得x=30,x+4=34.

答：甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)的人數(shù)分別是30人，34人：

（2）設(shè)甲團(tuán)兒童人數(shù)為y人，則可知乙團(tuán)兒童人數(shù)為（2y-2）人,所以甲團(tuán)成人有（30-），）人，乙團(tuán)

成人有［34-（2），-2）］人.

根據(jù)題意，得40y+80（30-y）=40（2），-2）+80［34-（2y-2）］,

解這個(gè)方程，得

則2y-2=2X10-2=18.

答：甲、乙兩團(tuán)兒童人數(shù)分別是10人和18人.

【知識(shí)點(diǎn)2等積變形問(wèn)題】

“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?，常用的關(guān)系有：（1）形狀變而體積不變；（2）原材料體積

=成品體積.

【題型2等積變形問(wèn)題】

【例2】（2020春?孟津縣期中）如圖，A、8兩個(gè)長(zhǎng)方體水箱放置在同一水平桌面上，開(kāi)始時(shí)水箱人中沒(méi)

有水，水箱8盛滿水，現(xiàn)以6d加加的流量從水箱8中抽水注入水箱4中，當(dāng)水箱4與水箱B中的水

的體積相等時(shí)，兩水箱中水位的高度差（抽水水管的體積忽略不計(jì)）2dm.

3dm5dm

水箱A水箱B

【解題思路】設(shè)水箱A中的水位高度為北加，由水箱A與水箱B中的水的體積相等，列出方程可求解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)水箱A中的水位高度為七加，

由題意可得：2X3Xx=1x2X5X6,

??x=5,

?，兩水箱中水位的冏度差=5-3=2(dm),

故答案為：2dm.

【變式21】(2020秋?射陽(yáng)縣期末)如圖是邊長(zhǎng)為60c〃?的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2

所示的長(zhǎng)方體盒子，已知該長(zhǎng)方體的寬是高的2倍，則它的體積是()

圖1圖2

A.6000(/??3B.8000a/C.10000c/D.12000c毋

【解題思路】將長(zhǎng)方體的高設(shè)為X"小則寬可表示為2xcm,由長(zhǎng)方體展開(kāi)圖為正方形，可得出邊的關(guān)系

列方程求得x,進(jìn)一步求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬，即可求得體積.

【解答過(guò)程】解:設(shè)長(zhǎng)方體的高為X5?,則寬為2X5?,

根據(jù)題意得：

.t+2x+x+2x=60,

解得x=10,

所以，長(zhǎng)方體盒子的寬為20c”!，長(zhǎng)為60-20=40cm.

體積：40X10X20=8000(c〃J).

故選：B.

【變式22]（2020秋?定遠(yuǎn)縣月考）如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個(gè)內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積

分別為80cm2、100（加，且甲容器裝滿水，乙容器是空的.若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位

高度比原先甲的水位高度低了8°〃，則甲的容積是（）

A.1280cmB.2560cm3C.3200cm3D.4000cm3

xX

【解題思路】設(shè)甲的容積為X,得出甲的高度為正皿乙的高度為赤皿根據(jù)甲中的水全部倒入乙中,

則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8°〃，列出方程求解即可.

【解答過(guò)程】解：設(shè)甲的容積為x，根據(jù)題意得:

XX

——---=8

80100

解得：x=3200,

答：甲的容枳為3200a/.

故選：C.

【變式23】（2020秋?歷城區(qū)期天）有一塊棱長(zhǎng)為06〃的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0.008加2的長(zhǎng)

方體鋼材，則鍛成的鋼材高為，2m.

【解題思路】有一塊棱長(zhǎng)為06〃的正方體鋼坯，想將它鍛成橫截面是0。08〃?2的長(zhǎng)方體鋼材，則鍛成的

鋼材高為

【解答過(guò)程】解：設(shè)鍛成的長(zhǎng)方體鋼材高為“〃?，

根據(jù)題意，得：（）.008x=0.6,,

解得x=27,

即鍛成的長(zhǎng)方體鋼材高為27/〃,

故答案為：27.

【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)字問(wèn)題】

1.抓住問(wèn)題中數(shù)的變化規(guī)律，列一元一次方程解決數(shù)的規(guī)律問(wèn)題.

2.數(shù)位上的數(shù)改變后形成新的十進(jìn)制數(shù)，在表示新數(shù)時(shí)，要注意進(jìn)率的變化.

【題型3數(shù)字問(wèn)題】

【例3】（2021?榮昌區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)〕一個(gè)五位數(shù)，個(gè)位數(shù)為5,這個(gè)五位數(shù)加上6120后所得的新的五位數(shù)的

萬(wàn)位、千位、百位、十位、個(gè)位的數(shù)恰巧分別為原來(lái)五位數(shù)的個(gè)位、萬(wàn)位、千位、百位、十位上的數(shù),

則原來(lái)的五位數(shù)為（）

A.48755B.47585C.37645D.36475

【解題思路】設(shè)這個(gè)數(shù)的方位、千位、百位、十位分別為。、氏c、d.都小于等于9.那么這個(gè)數(shù)可寫(xiě)

為他45,根據(jù)題意列出方程并解答.

【解答過(guò)程】解：設(shè)這個(gè)數(shù)的萬(wàn)位、千位、百位、十位分別為仄c、d.都小于等于9.那么這個(gè)數(shù)

可寫(xiě)為10000。+1000/?+100c+lOd+5+6120=50000+1000〃+100"10c+d.

/.1000?+100/?+10c+J=4875，

；?4=4,b=8,c=7,d=5,

，這個(gè)數(shù)為4875.

故選：A.

【變式31】（2021?K興縣模擬〉“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的--種計(jì)算方法，最早在15日紀(jì)由意大利

數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代的《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中被稱為“錨地錦”.如圖1,計(jì)算47X51,將乘數(shù)47

計(jì)入上行，乘數(shù)51計(jì)入右行，然后以乘數(shù)47的每位數(shù)字乘以乘數(shù)51的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格

子中，最后按斜行加起來(lái)，得2397.如圖2,用“格子乘法”表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則。的值為（）

【解題思路】根據(jù)題意可得方程10（a-2）+（-a+8）=3小解方程即可求解.

【解答過(guò)程】解：由題意可得，如圖，

則有10(〃?2)+(-a+8)=3a,

解得：4=2.

故選：A.

【變式32】（2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)比十位數(shù)字大4,而且這個(gè)兩位數(shù)比它的數(shù)

字之和的3倍大2,則這個(gè)兩位數(shù)是一26.

【解題思路】設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為1+4,根據(jù)數(shù)字問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即可.

【解答過(guò)程】解：設(shè)H立數(shù)為N，個(gè)位數(shù)字為x+4,根據(jù)題意得：

IOx+x+4=3（x+x+4）+2,

解得：x=2,

則這個(gè)兩位數(shù)是26；

故答案為：26.

【變式33】（2020秋?柘城縣期末）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和是7,如果這個(gè)兩位數(shù)加上45,

則恰好成為個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)之后組成的兩位數(shù).求這個(gè)兩位數(shù).

【解題思路】先設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為人7-X,根據(jù)題意列出方程，求出這個(gè)兩位

數(shù).

【解答過(guò)程】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為尤則個(gè)位數(shù)字為7-x,

由題意列方程得，10x+7-x+45=10（7-A-）+x,

解得x=\,

.*.7-x=l-\=6,

???這個(gè)兩位數(shù)為16.

【知識(shí)點(diǎn)4行程問(wèn)題】

1.行程問(wèn)題有相遇問(wèn)題，追及問(wèn)題，順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）問(wèn)題，上坡、下坡問(wèn)題等.在運(yùn)動(dòng)形式上分

直線運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)動(dòng).

2.相遇問(wèn)題是相向而行，相遇時(shí)的總路程=兩運(yùn)動(dòng)物體的路程和.

3.追及問(wèn)題是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)間，快的再追.

4.順流（風(fēng)）、逆流（風(fēng)）和上坡、下坡問(wèn)題應(yīng)注意運(yùn)動(dòng)方向和速度不同.

【題型4相遇問(wèn)題】

【例4】（2020秋?北暗區(qū)校級(jí)期末）甲乙兩人分別從相隔56切?的A、8兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車的速度

為每小時(shí)20千米，乙步行的速度為每小時(shí)8千米.

（1）甲、乙分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，求經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相遇？

（2）甲、乙兩人從A地出發(fā)，同向而行，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)立刻掠頭返回4地，求經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相遇？

【解題思路】（1）兩人同時(shí)相向而行時(shí)，相遇總路程等于兩人的路程和，即可求解：

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)），小時(shí)兩人相遇，兩人的路程和等于總路程的二倍，即可求解.

【解答過(guò)程】解?：（1）；設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩人相遇，

由題意得20K+8X=56,

解得x=2,

答：經(jīng)過(guò)2小時(shí)兩人相遇

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)），小時(shí)兩人相遇，

由題意得2O.y+8.v=56X2,

解得y=4,

答：經(jīng)過(guò)4小時(shí)兩人相遇.

【變式41】（2021春?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)月考）甲乙兩車分別從A、4兩地同時(shí)相向勻速行駛，甲車每小時(shí)比乙車

快20千米，行駛3小時(shí)兩車相遇，乙車到達(dá)A地后未作停留，繼續(xù)保持原速向遠(yuǎn)離3地的方向行駛，

而甲車在相遇后又行駛了2小時(shí)到達(dá)8地后休整了1小時(shí)，然后調(diào)頭并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過(guò)

一段時(shí)間后兩車同時(shí)到達(dá)C地，則A,C兩地相距420千米.

【解題思路】設(shè)乙車每小時(shí)行駛x千米，則甲車每小時(shí)行駛（x+20）千米，由題意得3x=2（x+20）,

解得x=40,則x+20=60,求出4,B兩地的距離為300千米，設(shè)兩車相遇后經(jīng)過(guò)），小時(shí)到達(dá)C地，由

題意得60（廠3）=40（,v+3）,解得y=15,求出B,C兩地的距離為720千米，即可得出答案.

【解答過(guò)程】解：設(shè)乙車每小時(shí)行駛x千米，則甲車每小時(shí)行駛（x+20）千米，

由題意得：3x=2（x+20）,

解得:x=40,

則x+20=60,

即乙車每小時(shí)行駛40千米，則甲車每小時(shí)行駛60千米，

???A,B兩地的距離為:3X60+3X40=300（千米），

設(shè)兩車相遇后經(jīng)過(guò)y小時(shí)到達(dá)C地，

由題意得：60（y-3）=40（y+3）,

解得：y=15,

C兩地的距離為：60（15-3）=720（千米），

JA,。兩地的距離為:720-300=420（千米），

故答案為420.

【變式42]（2021春?普陀區(qū)期中）已知環(huán)形跑道一圈長(zhǎng)為400米，小麗與小杰的速度之比為3：4,如果

小麗和小杰在跑道上相距8米處同時(shí)反向出發(fā)，經(jīng)過(guò)28秒后兩人首次相遇，求兩人的速度各是多少？

【解題思路】設(shè)小麗的速度為3x米/秒，則小杰的速度為4x米/秒，利用路程=速度X時(shí)間，結(jié)合經(jīng)過(guò)

28秒后兩人首次相遇，即可得出關(guān)于元的一元一次方程，解之即可得出式?的值，再將其代入*和41中

即可求出結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：設(shè)小麗的速度為3x米/秒，則小杰的速度為4x米/秒，

依題意得：（3x+4x）X28+8=400,

解得：x=2,

，3x=6（米/秒），4x=8（米，秒）.

答：小麗的速度為6米/秒，小杰的速度為8米/秒.

【變式43】（2021秋?姜堰區(qū)月考）已知數(shù)軸上有A,3兩點(diǎn)，分別代表-40,20,兩只電子螞蟻甲，乙分

別從A,3兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲沿線段A3以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，甲到達(dá)點(diǎn)3處時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，

乙沿84方向以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).

NT甲乙§

A?-----------------------1-------->

-40020

（1）A，B兩點(diǎn)間的距離為60個(gè)單位長(zhǎng)度:乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)共運(yùn)動(dòng)了15秒.

（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？

（3）多少秒時(shí)，甲、乙相距10個(gè)單位長(zhǎng)度？

（4）若乙到達(dá)A點(diǎn)后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達(dá)8點(diǎn)前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能,

求出相遇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】（1）根據(jù)A,8兩點(diǎn)之間的距離A8=|-40-20],根據(jù)題意即可求解；

（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

（4）設(shè)甲到達(dá)B點(diǎn)前，甲，乙經(jīng)過(guò)。秒在數(shù)軸上相遇，根捱題意得方程解方程即可.

【解答過(guò)程】解：（1）八、8兩點(diǎn)的距離為人8=|-4（）-20|=6（）,乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)共運(yùn)動(dòng)了60+4=15秒;

故答案為:60,15；

（2）設(shè)甲，乙經(jīng)過(guò)工秒會(huì)相遇，根據(jù)題意得

.r+4x=60,

解得x=\2,

-40+x=-28.

答：甲，乙在數(shù)軸上的-28點(diǎn)相遇；

（3）兩種情況，相遇前，

設(shè)），秒時(shí)，甲、乙相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，

根據(jù)題意得，弁4），=60?10,

解得y=10；

相遇后，

設(shè)），秒時(shí)，甲、乙相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)題意得，

”4）-60=10,

解得：＞,=14,

答：10秒或14秒時(shí)，甲、乙相距10個(gè)單位長(zhǎng)度；

（4）乙到達(dá)A點(diǎn)需要15秒，甲位于-40+15=-25,

乙追上甲需要25：（1+4）=5秒，

此時(shí)相遇點(diǎn)的數(shù)是-25+5=-20,

故甲，乙能在數(shù)軸上相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)是-2

【題型5追及問(wèn)題】

【例5】（2020秋?新邵縣期末）列方程解應(yīng)用題：如圖，現(xiàn)有AB、兩段鄉(xiāng)村公路，長(zhǎng)為1200米，

BC長(zhǎng)為2（X）0米，一個(gè)人騎摩托車從A處以20〃心的速度勻速沿公路A3、3c向。處行駛；另一人騎自

行車從B處以5mls的速度從B向C處行駛，并且兩人同時(shí)出發(fā).

CBA

（1）求經(jīng)過(guò)多少秒摩托車追上自行車？

（2）求兩人均在行駛途中時(shí)，經(jīng)過(guò)多少秒兩人在行進(jìn)路線上相距150米？

【解題思路】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒摩托車追上自行車，根據(jù)“摩托行駛路程=1200+騎自行車行駛路程”列

出方程并解答；

（2）需要分兩種情況解答：①摩托車還差150米追上自行車；②摩托車超過(guò)自行車150米，根據(jù)他們行

駛路程間的數(shù)量關(guān)系列出方程并解答.

【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒摩托車追上自行車，

根據(jù)題意得，20K=5X+1200,

解得x=8().

答：經(jīng)過(guò)80秒摩托車追上自行車；

(2)(1200+2000)4-20=160(秒).

設(shè)經(jīng)過(guò)y秒兩人相距150米，

第一種情況：摩托車還差150米追上自行車時(shí)，

根據(jù)題意得,20v-1200=5j-150,

解得y=70,符合題意.

第二種情況：摩托車超過(guò)自行車150米時(shí)，

根據(jù)題意得，20y=l50+5y+l200,

解得y=90,符合題意.

答：經(jīng)過(guò)70秒或90秒兩人在行進(jìn)路線上相距150米.

【變式51】(2021?雨花區(qū)校級(jí)模擬)古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，罵馬日行一

百五十里.駕馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每

天走150里.慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為

()

A.240.v=150x+l2X150B.240x=150x-12X150

C.240(A-12)=150.v+l50D.240x+15O.v=12X15

【解題思路】設(shè)快馬/天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所定的路程相等建立方程即可.

【解答過(guò)程】解：設(shè)快馬工天可以追上慢馬，

據(jù)題題意：240x=150x+12X150,

故選：A.

【變式52】(2020秋?延慶區(qū)期末)列方程解應(yīng)用題：

晚飯后，小明的爸爸像往常一樣去散步.半小時(shí)后，媽媽發(fā)現(xiàn)爸爸沒(méi)有帶手機(jī)，就讓小明騎自行車去給

爸爸送手機(jī).如果爸爸的速度是4千米/時(shí)，小明騎自行車的速度是12千米/時(shí)，小明用多少時(shí)間可以追

上爸爸？(要求：先寫(xiě)出審題過(guò)程，再設(shè)未知數(shù)列方程)

【解題思路】設(shè)小明用x小時(shí)可以追上爸爸，根據(jù)路程=速度X時(shí)間結(jié)合小明追上爸爸時(shí)兩人的路程相

等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可.

【解答過(guò)程】解?：設(shè)小明用x小時(shí)可以追上爸爸，

依題意得:4X0.5+4x=12x.

解得：x=0.25.

答：小明用（）.25小時(shí)可以追上爸爸.

【變式53]（2020秋?清澗縣期末）-?天早晨，小華和爸爸在1000米的環(huán)形跑道上跑步，他們8點(diǎn)整時(shí)在

同一地點(diǎn)沿著同一方向同時(shí)出發(fā)，小華跑了半圈時(shí)，看到爸爸剛好跑完一圈，8點(diǎn)零8分時(shí)爸爸第一次

追上小華.

（1）求小華和爸爸的跑步速度；

（2）爸爸第一次追上小華后，在第二次相遇前，再經(jīng)過(guò)多少分，小華和爸爸相距150米？

【解題思路】（1）設(shè)小華的跑步速度為k米/分，則爸爸的跑步速度為2x米/分，根據(jù)8點(diǎn)零8分時(shí)爸爸

第一次追上小華列方程，解方程結(jié)可求解；

（2）設(shè)再經(jīng)過(guò)），分，小華和爸爸相距150米，根據(jù)小華和爸爸相距150米分兩種情況列方程，解方程即

可求解.

【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)小華的跑步速度為x米/分，則爸爸的跑步速度為2x米/分，

由題意得（2vx）X8=1000,

解得x=125,

.??2%=125X2=250（米/分），

答：小華的跑步速度為125米/分，爸爸的跑步速度為250米;分；

（2）設(shè)再經(jīng)過(guò)），分，小華和爸爸相距150米，

由題意得250），-125y=150,或250），-125y=1000-150,

解得y=:或苦,

35

634

答：再經(jīng)過(guò)1或w分，小華和爸爸相距150米.

【題型6流水問(wèn)題與上下坡問(wèn)題】

【例6】（2020秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）兩船從同一港口同時(shí)出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，兩船在靜

水中的速度都是30千米/時(shí)，水流速度是a千米/時(shí)

（1）甲船順?biāo)乃俣仁嵌?+。）千米/時(shí):乙船逆水的速度是（30-〃）千米/時(shí):

（2）3小時(shí)后兩船相距多遠(yuǎn)？

（3）若。=10,3小時(shí)后甲船能比乙船多航行70千米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】（1）甲船順?biāo)乃俣?水速+船速，乙船逆水的速度=船速■水速；

（2）反向出發(fā)，兩船相距路程為：甲路程+乙路程=順?biāo)俣萖3+逆水速度X3=（30+a）X3+（30-?）

X3；

（3）順?biāo)叫械乃俣?靜水速度+水流速度，逆水航行速度=靜水速度-水流速度，路程=速度X時(shí)間,

根據(jù)此等量關(guān)系可列式求解.

【解答過(guò)程】解：（1）甲船順?biāo)乃俣仁牵?0+a）千米/時(shí)；乙船逆水的速度是（30-加千米/時(shí)：

故答案是：（30+?）；（30-d）；

（2）依題意得：（30+4）X3+（30-4）X3=180（千米）；

答:3小時(shí)后兩船相距180千米;

（3）依題意得：（30+10）X3-（30-10）X3=60（千米）；

因?yàn)?0V7（）,

所以若〃=10,3小時(shí)后甲船不能比乙船多航行70千米.

【變式61】（2020秋?隨縣期末）汽車上坡時(shí)每小時(shí)走28回?，下坡時(shí)每小時(shí)走35M?,去時(shí)，卜坡路的路程

比上坡路的路程的2倍還少14Q〃，原路返回比去時(shí)多用了12分鐘.求去時(shí)上、下坡路程各多少千米？

【解題思路】由已知設(shè)去時(shí)上坡路為x千米，則下坡路為（2x?14）千米，根據(jù)已知分別表示出去時(shí)和

原路返回的時(shí)間，由原路返回比去時(shí)多用了12分鐘列出方程求解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)去時(shí)上坡路為x千米，則下坡路為（2x74）千米，根據(jù)題意得：

2x-14xx2X-141?

------+——（—+------）=前，

2835283560

解得:x=4