第09講圓心角與圓周角（1大知識(shí)點(diǎn)+9大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)）

0題型預(yù)覽

典型例題一圓心角概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算

典型例題二圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算

典型例題三求圓弧的度數(shù)

典型例題四圓周角定理

典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

典型例題七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

典型例題八半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角

典型例題九90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑

圖知識(shí)梳理

知識(shí)01圓周角

1.頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周多所對(duì)的弦是直徑。

（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）

2.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.

3.一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，?個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（2024九年級(jí)上.浙江溫州.專通練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）

【答案】c

【分析】本題考查圓周角的定義.根據(jù)圓周角的定義（角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做

圓周角）判斷即可.

【詳解】解：A、圖中的角的頂點(diǎn)不在圓上，所以圖中的角不是圓周角，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、圖中的角的頂點(diǎn)不在圓上，所以圖中的角不是圓周角，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、圖中的角的頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交，所以圖中的角是圓周角，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、圖中的角的頂點(diǎn)在圓上，但兩邊不與圓相交，所以圖中的角不是圓周角，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（2324九年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，3c所對(duì)的圓周角是，CQ所對(duì)的圓周角是

【分析】根據(jù)圓周角的定義即可解答.

【詳解】解：如圖，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角，頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

■經(jīng)典例題

厚【典型例題一圓心角概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算】

【例1】（2425九年級(jí)上?浙江紹興?期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的更線

都是它的對(duì)稱軸；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧.

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；

③圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線（或直徑所在的直線）都是圓的對(duì)稱軸；④在同圓或等圓中，

長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。?/p>

綜上，①②④錯(cuò)誤，

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的性質(zhì).

【例2】（2025九年級(jí)?浙江溫州?專題練習(xí)）如圖所示，量角器的圓心O在矩形/WC。的邊4。上，直徑經(jīng)

過點(diǎn)C,則NOC8的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D,60°

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到8c1〃AD,即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求解..

【詳解】解：如圖，

,/ZAOE=40°,ZAOE=ZDOC.

1.(2425九年級(jí)上?浙江溫州?期中)下列命題中,正確的是()

①頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角，所對(duì)的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；

④在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等.

A.①和②B.①和③

C.①和④D.①、②、③、④

【答案】C

【分析】根據(jù)所學(xué)定理和推論可知.

【詳解】解：①根據(jù)圓心角的定義知，頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；故①正確.

②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等；故錯(cuò)誤.

③在圓中，一條弦對(duì)著兩條弧，所以兩條弦相等，它們所對(duì)的弧不一定相等；故錯(cuò)誤.

④根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，在等圓中，若圓心角相等，則弦相等，所以圓心角不等，弦也不

等；故④正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了與圓有關(guān)的定理和推論，對(duì)于圓中的一些易混易錯(cuò)定理和推論應(yīng)重點(diǎn)記憶和掌握.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度

數(shù)的一半是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2425九年級(jí)上?浙江衢州?期中）如圖是半徑為2的圓，

（1）在其中畫兩個(gè)不重疊的扇形A08和扇形80C,使扇形AOB的圓心角為120度，扇形80c的圓心角

為90度，

（2）求第三個(gè)扇形AOC的面積.

【答案】（1）作圖見解析；（2）二"

【分析】（1）根據(jù)扇形定義及題目要求畫出即可;

【詳解】解：（1）如圖所示：

厚【典型例題二圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算】

【例1】（2324九年級(jí)上?浙江麗水?階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中不正確的是（）

A.直徑是弦B.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等

C.頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角D.半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧

【答案】C

【分析】用弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】A、直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，正確：

B、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，正確；

C、頂點(diǎn)在圓周角上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故錯(cuò)誤；

D、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定

義及等圓的概念等知識(shí).

【答案】D

【分析】此題考查了圓周角定義.頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，此題比較簡(jiǎn)單，解

題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義.

根據(jù)由圓周角的定義逐項(xiàng)判定即可.

故選：D.

【例3】（2425九年級(jí)?浙江溫州?課后作業(yè)）頂點(diǎn)在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做_________.

圓周角的特征：①頂點(diǎn)在—上；②兩邊都和圓_______

【答案】圓周角圓相交

【解析】略

*【分析】根據(jù)圓周角的定義，圓周角的頂點(diǎn)必在圓周匕據(jù)此可■把頂點(diǎn)分別為、、、的圓周角數(shù)出

ABCD

來，即可得到答案.

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的定義和分類思想的應(yīng)用，根據(jù)圓周角的定義對(duì)圖中圓周角進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)即可得

到正確答案.

@變式訓(xùn)練

國(guó)-

A.4B.2百C.2D.0

【答案】D

【分析】分別求出AM/,A0A2,4/h,……的值，找出循環(huán)規(guī)律計(jì)莫即可.

【詳解】解：如圖，

???。0的半徑=2,

由趣意得，4M尸4,/U42=2G，AMs=2,A(A4=2\[3?A(As=2,A()A6=0f/U4T=4,…

72022^6=337,

按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2022處，A2G22與Ao重合，

.*.X(JA2022=0.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)；由題意得出規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

【答案】40。、20°、100。

【分析】點(diǎn)P是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段4。有三種位置關(guān)系，在線段AO上，點(diǎn)。在08延

長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在OA的延長(zhǎng)線上.分這三種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：①根據(jù)題意，畫出圖1,

②當(dāng)P在線段Q4的延長(zhǎng)線上，如圖2

③當(dāng)尸在線段OA的反向延長(zhǎng)線上，如圖3,

故答案為:40。、20。、100°.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，畫出圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)

鍵.

3.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）把下面的語句還原成圖形：

作圖區(qū)域：

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）畫非直徑的弦A8,在優(yōu)弧48卜.取點(diǎn)C,連接AC,BC,即可解答;

作圖區(qū)域：

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解

乘基本作圖，逐步操作即可.

厚【典型例題三求圓弧的度數(shù)】

【例1】（2425九年級(jí)上?浙江紹興?期末）如圖，圓心角乙408=25。，將弧AB旋轉(zhuǎn)〃。得到弧CD,則/CO。

等于（)

A.25°B.25。+〃。C.50°D.50。+〃。

【答案】A

【詳解】試題解析：???將A8旋轉(zhuǎn)n。得到

??AB=C。，

AZDOC=ZAOB=25°

故選A.

【例2*2425九年級(jí)上?浙江溫州?期中）如圖，已知。。的半徑為3,弦AB,CD所對(duì)的圓心角分別是NAOB、

ZCOD,若/AOB與NCOD互補(bǔ)，弦CD=4,則弦AB的長(zhǎng)為（）

【分析】如圖，延長(zhǎng)A0交。。于T,連接BT.證明CD=BT,ZABT=90°,再利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)A0交。0于T,連接BT.

AZCOD=ZBOT,

ACD=BT=4,

：AT是直徑，AT=6,

/.ZABT=90°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

DB

???CE的度數(shù)是30。.

故答案為：30°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧的度數(shù)：圓中，弧的度數(shù)即弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，掌握這一點(diǎn)知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

【例4】（2324九年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛

線表示折痕，則弧的度數(shù)是

OOO

BD

設(shè)圓的半徑為

AC

的變式訓(xùn)練

1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中心0?恰好在大

量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為P.一且點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為63。,那么點(diǎn)P在大量角器上.對(duì)

應(yīng)的刻度為（只考慮小于90°的角）（）

O.

1。，*

A.54°B.55°C.56°D.57°

【答案】A

【詳解】設(shè)大量角器的左端點(diǎn)為A,小量角器的圓心為8,連接”、BP，

在大量角器中弧依所對(duì)的圓心角是54。，

因而尸在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為54。.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所刈?的圓心角是90。，能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2425九年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，在以AB為直徑的半圓中，AO=泌，CD1AB,EF1AB,

CD=CF=1,則以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是.

;AD=^I3'

/.ZDOC=ZEOF,

VCD±AB,EF±AB,

/.ZDCO=ZEFO=90°,

XVDO=EO,

ARtADOC^RtAEOF,

，CO=OF二；，

故答案為：x275x+l=0.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角定理及其推論，全等三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系.此題屬于開放題,

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由于圓被12等分，可得每小格為30。，則120。為4小格，據(jù)此畫圖即可;

【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求.

圖乙

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意

確定旋轉(zhuǎn)角.

口【典型例題四圓周角定理】

【答案】c

【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

故選：C.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求解即可，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

故選:C.

?:AO的度數(shù)為43。,

???BC的度數(shù)為94。，

故答案為:94.

V。的直徑,

0變式訓(xùn)練

1.（2025?湖北恩施?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在：O中，弦A3與弦CQ互相垂直，則N1與N2的大小關(guān)系為（）

【答案】C

【分析】本題考查了垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，圓周角定理的運(yùn)用，掌

握?qǐng)A周角定理的計(jì)算是關(guān)鍵.

圖1圖2

故答案為：60.

c

圖I圖2

(1)如圖1,若A尸過圓心。，求26的度數(shù)；

【答案】(1)60。

(2)3

【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖，連接AC,

(2)解：如圖，連接A。，OA,

所以1。的半徑為3.

■【典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】

【答案】D

D.60°

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接OC,

點(diǎn)C是劣弧A8的中點(diǎn),

故選：C.

【答案】＜

【詳解】解：取A8的中點(diǎn)。，連接AD,BD,如圖所示:

【例4】（2425九年級(jí)上?浙江麗水?期末）有學(xué)者研究表明，我國(guó)古代制作銅鏡背面花紋時(shí)，所采用的四等

分圓周的一種方法是：如圖所示，先由圓心畫出圓的一條直徑，再用“矩''（一種直角曲尺，可以畫直角）過

圓心垂直于第一條直徑畫出第二條直徑，則這兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)將圓周四等分.請(qǐng)用你學(xué)過的一個(gè)定理

解釋這種四等分圓周的方法的道理：.

【答案】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等

【分析】本題考行了圓心角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.

【詳解】解：采用的四等分圓周的一種方法，可以利用圓心角定理來解釋，

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，

故答案為：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.

0變式訓(xùn)練

【詳解】解：作點(diǎn)氏關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)E,則點(diǎn)E在（O上；連接。8、OE、AE,4E與CO的交于點(diǎn)P,

丁點(diǎn)B關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E,

Q

故答案為：20.

3.（2425九年級(jí)上?浙江杭州?期末）小濱和小江在研究與圓有關(guān)的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)：“在同圓或等圓中，如果兩

個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等.”進(jìn)一步

思考后，兩位同學(xué)提出了這樣的想法：這四刈量中，如果有一刈量存在倍數(shù)關(guān)系，其余三對(duì)量是否也會(huì)相

應(yīng)的存在倍數(shù)關(guān)系？因此，在如圖所示的。。中，他們提出了如下猜想:

請(qǐng)判斷小濱、小江所提的猜想是否正確，并說明理由.

【答案】小濱的猜想是正確的，小江的猜想是錯(cuò)誤的：理由見解析.

【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】證明：小濱的猜想是正確的，小江的猜想是錯(cuò)誤的；理由：

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，掌握垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以

及三角形三邊關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

國(guó)【典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】

【答案】D

二D不一定為AB的中點(diǎn)，

故選D

【例2】(2425九年級(jí)上?遼寧盤錦?階段練習(xí))結(jié)合各自對(duì)應(yīng)圖形，給出的相應(yīng)推理中，其中正確的是()

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)

【答案】C

【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可判斷.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查弧、弦與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行判斷正誤.

[例3](2425九年級(jí)上?上海靜安?課后作業(yè))120。的圓心角是360。的分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周

長(zhǎng)的分之一.

【答案】三三

【分析】根據(jù)題意可知由于圓周角為360。，則圓心角是120。的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的1200+360。=：,

所以所對(duì)的弧長(zhǎng)是相應(yīng)的圓的周長(zhǎng)的;，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：120。:360。=!，

它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的;，

答：120。的圓心角是360。的三分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的三分之一.

故答案為：三：三.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧長(zhǎng)和圓心角，注意掌握在同一個(gè)圓中，扇形的圓心角與360度的比等于弧長(zhǎng)與圓

的周長(zhǎng)的比.

【答案】①②③

【分析】①根據(jù)圓周角定理，同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半，②根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90

判斷，③同一個(gè)圓中，圓周角相等，弧相等，④根據(jù)等腰直角三角形的判斷方法判定.

綜上，正確的結(jié)論是①@③.

A

RDC

【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是90"、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、圓周角定理等，知識(shí)綜

合性較強(qiáng)，是常見考點(diǎn)，難度一般，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

【分析】本題考查了圓周角定理等知識(shí)，根據(jù)弦、弧的關(guān)系及圓周角定理判斷求解即可.

故A、B正確，不符合題意；

故C正確，不符合題意；

故D不正確，符合題意；

【答案】＞

故答案為：＞.

3.（2425九年級(jí)上?河南鄭州?期末）在《圓的對(duì)稱性》一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在

同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別

相等

實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系“如卜.：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩

條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

請(qǐng)直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：

(2)若角的頂點(diǎn)/，在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)加以證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析

【分析】該題考查了角平分線的性質(zhì)定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系.

(2)解：結(jié)論仍然成立.

境【典型例題七同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】

A.38°B.42°C.52°D.62°

【答案】A

故選:A

A.25°B.23°C.22°D.20°

【答案】D

【詳解】解：???AB為半圓。的直徑，

故選D.

7~7

fO

D

B

【答案】55

【詳解】解：如圖：連接8C,

故答案為：55.

【答案】75。/75度

【分析】本題考查了圓周角定理，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中.

【詳解】解：如圖，設(shè)圓與），軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E，連接AE,

0變式訓(xùn)練

c

【分析】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定性質(zhì)及圓周角定理.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、

兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.據(jù)此逐一

判斷即可.

C

??.AB是。的直徑,

故選：B.

C

八4是：O的直徑,

C

3.（2425九年級(jí)I：?福建莆田?期中）規(guī)定：將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋

圓.例如線段A5的最小覆蓋圓就是以線段A6為直徑的圓，圖1是銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓.

如圖2,要在四個(gè)村莊E,F,G,〃修建一個(gè)電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電

視信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?qǐng)用尺規(guī)在圖上作出中轉(zhuǎn)站所建位置，

請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

【答案】作圖見解析

【分析】分別作線段反、E”的垂直平分線，兩垂直平分線交于點(diǎn)。即可.

47.1

理由：由圖（1）知：若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；

若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊（直角或鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓，

設(shè)直線EG與（O交于點(diǎn)E,M,連接

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要懂得何為最小覆蓋圓.知道若三角形為銳角三角形，

則其最小覆蓋圓為其外接圓：若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊（直角或

鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓是解題的關(guān)鍵.

?【典型例題八半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角】

【例1】（2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）一張直徑為10的半圓形卡線，過直徑的兩端點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下

四種裁剪圖中，所標(biāo)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度合理的是（）

cD'

【答案】A

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，再利用勾股定理即可求解.本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，

勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

???點(diǎn)4在半圓內(nèi)，符合題意:

???點(diǎn)4在半圓上，不符合題意;

???點(diǎn)A在半圓外，不符合題意;

，點(diǎn)A在半圓外，不符合題意;

故選：A..

【答案】B

【詳解】解：連接BD,

則B。是該圓形材料的直徑,

故選：B.

【答案】90°

【分析】本題主要考查圓周角定理，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，線段A3是《。的直徑，

故答案為:90°.

【答案】70。/70度

【詳解】解：???A4是。的直徑,

故答案為：70°.

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級(jí)上?云南玉溪?期中）下列說法正確的是（）

A.直徑是弦，反之弦也是直徑B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

C.直徑所對(duì)的圓周角等于90。D.過圓心的線段是直徑

【答案】C

【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念，判斷命題的真假，根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)行排除即可.

【詳解】解：A、直徑是弦，但是弦不一定是直徑，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，長(zhǎng)度相等的弧不一定能夠重合，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符

合題意；

C、直徑所對(duì)的圓周角等于90。，原選項(xiàng)說法正確，符合題意；

D、過圓心的弦才是直徑，不是所有過圓心的線段都是直徑，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意.

故選:C.

【答案】80

【分析】本題主要考查圓周角定理及推論.熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，三角形內(nèi)角和定理和角平分線定

義，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???AC是。的直徑，

故答案為：80.

⑴求證：石為AC的中點(diǎn).

⑵若AS=13,AC=12,求。石的K.

【答案】（1）證明見解析

（2）4

【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理以及等腰三角形的性質(zhì).熟練

學(xué)握?qǐng)A周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

2為AC的中點(diǎn)；

由（1）可知，七為AC的中點(diǎn)，

即DE的長(zhǎng)為4.

心【典型例題九90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】

【答案】C

【分析】本題考查三角形的外接圓，圓周角定理，根據(jù)90度角所對(duì)的弦是更徑，得到斜邊AB是的直

徑，即可得出結(jié)果.

???斜邊A8是iO的直徑，

A.60°B.55°C.50°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角的定理，掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵.

???點(diǎn)C在以點(diǎn)。為圓心的圓上，

故選：B.

【答案】28.3

【詳解】解：如圖所示，連接8。，

故答案為：28.3.

?'.AC是圓形鏡面的直徑,

故答案為：13.

0變式訓(xùn)練

1.（2425九年級(jí)上?河北唐山?期末）下列圖形中的線段AB是圓的直徑的是（）

BB

【分析】本題考查了圓周角定理推論“9（）度的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，解題的關(guān)鍵是熟練掌握90度的圓周

角所對(duì)的弦是直徑.根據(jù)90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑求解即可得.

故選：C.

故答案為：4,1.

3.（2324九年級(jí)上.江西贛州.期末）下面是證明定理的兩種方法，請(qǐng)完成證明過程.（兩種都要寫）

證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定,全等二角形的性質(zhì)與判定,90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑：

方法二：如圖所示，CO是斜邊AB上的中線，即點(diǎn)。是斜邊4B上的中點(diǎn)，以。為圓心，以AO為半徑畫

圓，

，A8為圓。的直徑，

過關(guān)檢測(cè)

1.（2324九年級(jí)上?浙江溫州?課后作業(yè)）如圖，在圖中標(biāo)出的4個(gè)角中，圓周角有（)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考杳了圓周角的定義，頂點(diǎn)在圓周上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角，由此即可得

出答案，熟練掌握?qǐng)A周角的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖可得：N1和N3符合圓周角的定義，N2頂點(diǎn)不在圓周上，N4的一邊和圓不想交,

故圖中的圓周角有N1和N3,共2個(gè)，

故詵：B.

2.（2425九年級(jí)上?浙江麗水?期末）如圖,在。O中，點(diǎn)A、B、C、D分別在圓上,則圖中弧的條數(shù)是（)

A.12條B.11條C.9條D.8條

【答案】A

【分析】以每個(gè)點(diǎn)為始發(fā)點(diǎn)，順時(shí)針方向找弧，都能找到三條，共12條弧.

【詳解】4+4+4=12（條）

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查認(rèn)識(shí)平面圖形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【答案】c

,/AB是直徑,

故選：C

A

A.50°B.55°C.60°D,65°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)和三角形的外接圓的知識(shí),掌握以上知識(shí)是脩題的關(guān)鍵;

【詳解】解：???co為。。的直徑，

故選：D

￡-G

A

C

C.①②③D.①②③④

???①②③正確，④錯(cuò)誤,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行線的判定，三角形三

邊關(guān)系定理，熟練掌握作圖和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

即弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)是80°,

故答案為:80°.

7.（2425九年級(jí)上?湖北咸寧?期末）如圖，A,B,C是。。上三點(diǎn)，ZAOC=ZB,則N8二度.

o

【答案】120

【分析】連結(jié)OB，可知AOAB和AOBC都是等腰三角形，ZABC=ZA+ZC=ZAOC,四邊形內(nèi)角和360

°,可求NB.

【詳解】如圖，連結(jié)OB,

VOA=OB=OC,

AAOAB和ZkOBC都是等腰三角形，

AZA=ZOBA,ZC=ZOBC,

/.ZABC=ZOBA+ZOBC=ZA+ZC,

???ZA+ZC=ZABC=ZAOC

VZA+ZABC+ZC+ZAOC=360°

/.3ZABC=36O°

AZABC=120°

即NB=120

故答案為：12().

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角度數(shù)問題，要抓住半徑相等構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形，把問題轉(zhuǎn)化為解NB的方程是關(guān)

鍵.

【答案】3

根括在向圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等解答即可.

故答案為：3

【答案】54

【詳解】解：設(shè)O與AP相交于點(diǎn)Q,

???。的大小可能