第04講錐曲線的綜合問題

旦考綱考情

本講為高考命題熱點，分值22-27分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，

選擇填空題常考圓錐曲線幃圓雙曲線的離心率，幾何關系等問題，大題題型多變，但多以最

侑，鎮(zhèn)信，范圍，存在性問題，考察涉輯推理能力與運算求解能力.

國題型剖析

高頻考點一圓錐曲線的定值定點問題

【例1］［例1］已知拋物線C：)2=2/爾〃＞。)的焦點汽1，0)，O為坐標原點，A，8是拋

物線C上異于。的兩點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線04,08的斜率之積為一盤求證：直線A4過x軸上一定點.

I破題思路I

第⑴問

求什么

求拋物線。的方程，想到求〃的值

想什么

給什么

給出焦點尸的坐標，利用焦點坐標與〃的關系求〃

用什么

第(2)問

求什么

求證：直線人8過x軸上一定點，想到直線AB的方程

想什么

題目條件中給出2,3是拋物線C上異于點。的兩點”以及“直線04,03的斜率

給什么

之積為一為'，可設A,B兩點的坐標，也可設直線人8的方程

用什么

差什么

要求直線AB的方程，還需要知道直線A8的斜率是否存在，可分類討論解決

找什么

［解］⑴因為拋物線尸=2/“(〃＞0)的焦點坐標為尸(1，0)：所以與=1,所以〃=2.

所以拋物線C的方程為＞2=4.工

(2)證明：①當直線A3的斜率不存在時,

設4（j,）代一）

因為直線OA,08的斜率之積為一口，

t-t

所以今4=一：，化簡得F=32.

I?乙

所以48,。，8（8,一力此時直線AB的方程為％=8.

）3=41，

②當直線人8的斜率存在時，設其方程為），=丘+仇A（X,y）,B（XB,y）,聯(lián)立.

AABy=kx+b

4〃

消去文，化簡得&），一4y+4〃=0.所以力吸=了，

因為直線04,03的斜率之積為一J,所以地￥=一］,

2XAXRZ

22

整理得為聞+2后w=07嚀?學+2）槨=（）,

解得后沖=0（舍去）或WB=-32.

所以產(chǎn)華=-32,即〃=—8攵，

所以y=心一8k,即y=Z（工一8）.

綜上所述，直線A3過定點（8,0）.

【方法技巧】

［題后悟通］

不能工確應用條件“直線。4,OB的斜率之積為一會是造成不能解決本

思路受阻分析

題的關鍵

定點問題實質及求解步驟

解析幾何中的定點問題實質是：當動直線或動圓變化時，這些直線或圓

相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉動.這類問題的求解一般可

分為以下三步：

--------:‘選擇變疑，定點問題中的定點，隨某一個出的變；

技法關鍵點撥一選u化而固定，可選擇這個戊為變*（有時可選擇兩：

［（設參）門個變量，如點的坐標、斜率、微距等，然后利用其：

Un【他輔助條件.忖其中受二）.................；

［二求u求出定點所滿足的方程，即把需要證明為定點的;

|（用參）F問題表示成關于上述變址的方程：

［福瑞F對上述方程進行必要的化簡’即可得到定點坐標!

【跟蹤訓練】

已知橢圓C：，+￡=13＞力＞0)的右焦點尸(小，0),長半軸長與短半軸長的比值為2.

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)設不經(jīng)過點僅0,1)的直線/與橢圓C相交于不同的兩點M,N,若點3在以線段MN

為直徑的圓上，證明：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

解：(1)由題意得，c=小,?=2,A2=ZJ2+C2,

?e?67=2,b=1,

橢圓。的標準方程為1+)，2=1.

(2)當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為尸=履+機(〃/1),MS,Ji),N(X29V2).

聯(lián)立Iy—=kx^m,,消去卜

可得(4F+1)『+8如7工+4〃P—4=0.

?--8km4/fp—4

??/=16(4K+l-用/)>0,內+『=以:+］，x\X2=4c_|_?.

:點、8在以線段MN為直徑的圓上,

???麗?而=0.

*/BM-BN=(X[,匕I+〃]—1)(X2,+1)=(R+1)X逮2+*(〃?—1)(X|+%2)+?！ā?戶

=0,

1,4m2-4,—8km,1,

??(3+1)4.+]+kg1)4.+]+(w-l)-=0,

整理，得5〃尸一2m—3=0,

3

解得m=一;或機=1(舍去).

???直線/的方程為y=kx-^.

易知當直線/的斜率不存在時，不符合題意.

故直線/過定點，且該定點的坐標為(()，一號.

高頻考點二圓錐曲線的最值問題

【例2】在平面直角坐標系中。為坐標原點，圓。交k軸于點片，后，交)，軸于點3,

以⑦，約為頂點，Q,B分別為左、右焦點的橢圓￡恰好經(jīng)過點(1,陰.

⑴求橢圓E的標準方程；

(2)設經(jīng)過點(一2,0)的直線/與橢圓石交于M,N兩點，求△尸2A/N面積的最大值.

=3J-i+H=3

13

當

-即

=不

ZS有最大值,

Smax=^P，成匕時&=千.

工當直線/的斜率為qg時，可使△尸2MN的面積最大，其最大值為平.

【方法技巧】

［解題技法］

求橢圓離心率的三種方法

1.宜接求出小。來求解e.通過已知條件列方程組，解出〃，c的值.

2.構造mc的齊次式，解出e.由已知條件得出關于〃，c?的二元齊次方程，然后轉化為關

于離心率e的一元二次方程求解.

3.通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

［提醒］在解關于離心率e的二次方程時，要注意利用桂圓的離心率e￡(O,l)進行根的取舍,

否則將產(chǎn)生增根.

高頻考點三證明問題

2

【例3】(2018?全國卷I)設橢圓C：1的右焦點為F,過/的直線/與C交

于A,8兩點，點M的坐標為(2,0).

(1)當/與入軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設。為坐標原點，證明：N()MA=NOMB.

［破題思路］

第⑴問

求什么

求直線AM的萬程，想到求直線AM的斜率或直線上的點的坐標

想什么

給什么題目給出M的坐標及/與x軸垂直可利用/與x軸垂直求出/的方程，進而求出4

用什么點坐標，并求出直線AM的方程

第⑵問

求什么

證明NOAM=/OM8.可轉化為證明直線MA與MB的斜率間的關系

想什么

給什么題目中給出。點及M點的坐標,可求得1與x軸重合、垂直兩種特殊情況下ZOMA

用什么=/OMB

缺什么缺少直線(不與x軸重合或垂直時)，直線/的方程及直線/與橢圓交點A,。的坐

找什么標，可設直線，’的方程及4,8兩點的坐標求解

［解I(1)由已知得尸(1,0),/的方程為x=l.

則點4的坐標為(1,坐)或(1,一乎)

又M(2,0),

所以直線AM的方程為y=一嘩x+小或,

即x+也廠2=0或工一柩，一2=().

⑵證明：當/與x軸重合時，NOM4=/OM8=0。

當/與x軸垂直時，OM為48的垂直平分線，

所以NOMA=NOM8.

當/與x軸不重合也不垂直時，設/的方程為

y=k(x—1)(4)，A(x\,yi),8(及，心)，

則X|<&,X2<?直線MA,M8的斜率之和為

VIY2

Xi-2X2-2

由yi=hi—k,yz=kx2—k,

2丘1X2-3左打+X2+4A

得kxtA+kMH=A1-2A2-21

將y=k(x—1)代入亍+)2=1,

得(2F+l)f-4Er+2M-2=0,

41c21c—2

所以文1+工2=X[X2=

2正+1'W+\'

則23數(shù)―34xi+x2)+4k

4K一公一12K+8K+軟

=2?+1=°

從而hs+如8=0,

故MA,MB的傾斜食互補.

所以/OM4=NOM8.

綜上，N0MA=N0M3成立.

【方法技巧】

（一）思路受阻分析

解決本例（2）的關鍵是建立AFZA/N的面積S關于斜率A的關系式，然后通過換元構造一

元二次函數(shù)求解，而很多同學因不會構造函數(shù)造成思路受阻無法繼續(xù)求解.

（二）技法關鍵點撥

求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法

幾何法若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來求解

若題目中的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立起目標函數(shù),再

代數(shù)法

求這個函數(shù)的最值、范圍.常用的方法有基本不等式法、導數(shù)法、判別式法等

【跟蹤訓練】

?2

1.設橢圓E的方程為￡+方=1（。＞人＞0），點。為坐標原點，點A的坐標為3,0），點3

的坐標為（0,0），點M在線段A8上，滿足|8M=2|MA|,直線。M的斜率為需.

（1）求七的離心率佇

（2）設點C的坐標為（0,~b）,N為線段AC的中點，證明：MN_LAB.

解：（1）由題設條件知，點"的坐標為g”，y

Q._或..工b小

又h加=]0,從而五=]（）.

進而得。=小力，c=^cr—lr=2b,故

⑵證明：由N是AC的中點如，點N的坐標為（3，一§）,可得=（§，邛）-又7N=（一

。，h）,

從而有4B1NM=—1tr4-^/＞2=^（5/?2-?2）.

22

由⑴可知a=5bf

所以.?前7=（）,故MALLAB.

2.在平面直角坐標系xOy中，點廠的坐標為（0,1）,以線段M廠為直徑的圓與x軸相

切.

（1）求點M的軌跡6的方程；

（2）設7是E上橫坐標為2的點，07的平行線/交E于A,B兩點,交曲線E在7處的

切線于點M求證：|沏2=||陰州用.

解：（1）設點"（工，），），因為的，

所以MF的中點坐標為《，七一y

因為以線段MF為直徑的圓與工軸相切,

所以皿用_|2,+1|即s=&±11

所以）4,“I|M/1—9

故4W+QT）2」"；",得f=2y,

所以M的軌跡￡的方程為x2=2y.

⑵證明：因為7是E上橫坐標為2的點，所以由