2025-2026學(xué)年華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《11.5因式分解》自主達(dá)標(biāo)測(cè)試題(附答案)

一、單選題(滿分24分)

1.下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-I)2

C.x2—x-6=(x-3)(%+2)D.a2一〃+1=(a+b)(Q-b)+1

2.將3a(x-y)-勸(x-y)用提公因式法進(jìn)行因式分解，應(yīng)提的公因式是()

A.a—3bB.x-yC.3(x—y)D.3x—y

3.對(duì)一二+“因式分解，珍珍的答案為：一+l)(x-1)：軒軒的答案為:x(x+l)(-x+1),

下列判斷正確的是()

A.兩人的結(jié)果都對(duì)B.兩人的結(jié)果都不對(duì)

C.只有嘉嘉的結(jié)果對(duì)D.只有琪琪的結(jié)果對(duì)

4.若二次三項(xiàng)式一小工一12可分解為(％-4)(%+3),則〃?的值為()

A.1B.2C.3D.-1

5.若a-b=-2,a/j=3,則a'b-Za?/+的值為()

A.-12B.-6C.12D.6

6.已知用=5。2-2爐+4。-4,N=6a2-b2+2b+l,則M和N的大小關(guān)系是()

A.MNNB.M￡NC.M<ND.M>N

7.如圖，有甲、丙兩種正方形和乙一種長(zhǎng)方形紙片若干張(a>b).若選取4張甲種紙片、

12張乙種紙片、9張丙種紙片拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)王方形的邊長(zhǎng)為()

A.2a+3bB.3a+2bC.2a—3bD.3a—2b

8.如圖，一塊正方形菜地被分割成四部分，其面積分別為27加，4n2,m2,2mn,其中m>0,

A.m+nB.m-nC.m+2nD.2m+n

二、填空題(滿分24分)

9.把a(bǔ)(m-n)+4(九-m)提公因式后一個(gè)因式是m-n,則另一個(gè)因式是

10.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式1-5。2=；2x4-18=.

11.若％-丫=0,那么代數(shù)式/+/y一%y2一,3的值是.

12.因式分解：a2(a—b)+b2(b—a)=.

13.已知27a=81"i,則9a2-16b2-32b的值為.

14.已知516-1能被20到30之間的兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)整數(shù)的和是.

15.計(jì)算：(1—另乂0乂…x(l—康”-----

16.把一段長(zhǎng)36cm的鐵絲分成兩段，將每一段都圍成一個(gè)最大的正方形，如果這兩個(gè)正方

形的面積之差是27cm2,則這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相差—cm.

三、解答題(滿分72分)

17.因式分解：

⑴9a2-36b2

⑵⑶2-1)2-6(y2-1)+9

18.分解因式:

⑴2a2-8a+8(2)(/+1)2-4x2

19.閱讀并解答.

在分解因式/-5%+6時(shí)，李老師是這樣做的：

x2-5x+6

=x2-4x4-4—x4-2(第一步)

=(x-2)2-(%-2)(第二步)

=(x-2)(x-2-l)(第三步)

=(x-2)(x-3).(第四步)

⑴從第一步到第二步運(yùn)用了公式；

⑵從第二步到第三步運(yùn)用了；

⑶仿照上面的方法分解因式：X2-7X+12.

20.先閱讀，再解決問題：

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分解的方法叫分組分解法.

例如：cunan+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m4-m)=

(m+n)(Q+b).

⑴分解因式：ab-2a-2b+4；

(2)若m?+2mn+2n2-6n4-9=0,求〃?和n的值.

21.如圖，甲、乙、丙三張卡片分別寫有關(guān)于x的整式.

2/一3%-1甲—%2+〃％+5乙-3x2-%+6丙

⑴若甲、乙兩張卡片上的整式的和可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，求符合條件的々的一

個(gè)值；

(2)嘉淇設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)闖關(guān)游戲，規(guī)則是：當(dāng)選取的兩張卡片上的整式相減等于第三張卡

片上的整式時(shí)，闖關(guān)成功.

①求出卡片甲上的整式減去卡片丙上的整式的計(jì)算結(jié)果，并判斷能否闖關(guān)成功；

②若卡片乙上的整式減去卡片甲上的整式能闖關(guān)成功，度球?qū)懗雠闹?

22.閱讀材料：

將G+y)2+2(x+y)+1進(jìn)行因式分解.

解：將"％+y”看成整體，令x+y=A,則原式=4?+2力+1=(力+1)2.

再將還原，原式=(x+y+I)2.

將多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替(即換元)，不僅可以簡(jiǎn)化要分解

的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種

因式分解的方法稱為“換元法”.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

⑴分解因式：1+4(x-y)+4(x-y)2；

(2)分解因式:(x2—6X)(A:2—6x4-18)+81；

⑶求證：若〃為正整數(shù)，則代數(shù)式S+l)(n+2)(/+3n)+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方.

23.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的?種重要的思想方法，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以招一些

多項(xiàng)式因式分解.例如：利用圖1可以得到a2+2Qb+M=(Q+b)2.

⑵若x,y,z為實(shí)數(shù)，4%+2y+z=12,4x2+y2+^z2=100,利用（1）的結(jié)論求4xy+

參考答案

1.C

【分析】本題考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)

整式的積的形式.

根據(jù)因式分解的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.

【詳解】A./-X-1=%(%-1)-1中等號(hào)右邊不是枳的形式，不符合題意：

B.x2-1(x-I)2,不符合題意；

C./一%一6二。一3)(工+2)符合因式分解的定義，符合題意；

D.一82+1=(Q+b)(Q-匕)+1中等號(hào)右邊不是積的形式，不符合題意.

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了提公因式法因式分解?，要確定多項(xiàng)式3峨％-/)-9匕(％-,)的公因式,

需找出各項(xiàng)的系數(shù)最大公約數(shù)和公共因式，系數(shù)3和-9的最大公約數(shù)為3,公共因式為

(x-y),因此公因式為3(》-y).

【詳解】確定系數(shù)公因式：第一項(xiàng)系數(shù)為3,第二項(xiàng)系數(shù)為-9,最大公約數(shù)為3；

確定公共因式：兩項(xiàng)均含有因式(x-y)；

組合公因式：將系數(shù)公因式3與公共因式(％-y)相乘，得到公因式3(x-y),

故選：C.

3.A

【分析】本題考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可；珍珍的解法是先

提取公因式一％,再用平方差公式分解，軒軒的解法是先提取公因式無，再用平方差公式分解，

兩種解法都正確.

【詳解】解：珍珍的解法：-X3+X=-x(x2-1)=-x[x+l)(x-1);

軒軒的解法:-X3+X=X-X3=x(l-X2)=x(x+l)(-x+1)；

故兩種解法都正確；

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了因式分解以及多項(xiàng)式乘法法則，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題關(guān)鍵.將

多項(xiàng)式分解后的形式展開，與原式比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，解方程確定「〃的值即可.

【詳解】解：(x-4)(%+3)=x2-4x4-3%-12=x2-x-12,

若二次三項(xiàng)式/一-12可分解為。-4)(%+3),

則一m=-1,

解得：771=1,

故選：A.

5.C

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用整體思想代入求值是解題關(guān)鍵.

將原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得ab(a-b)2,結(jié)合已知條件代入計(jì)算.

【詳解】解:

a3b-2a2b2+ab3=ab(a2—2ab+b2)=ab(a—b)2

代入已知條件ab=3和a—b=-2,得：

原式二.(0—h)2=3?(—2)2=3*4=12,

故選C.

6.B

【分析】本題考查了整式的加減運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式因式分解，根據(jù)題意計(jì)算N-M=

(a-2)2+(b+17,即可

【詳解】解：=5a2-2b2+4a-4,N=6a2—Z?2-I-2b+1

@N-M—6a2—b24-2b4-1—(5a2—2b2+4a—4)

=6a2—爐+2b+1—5Q2+2b2-4a+4

=a?-4a+4+爐+2b+1

=(Q—2)2+(b+l)2,

0(a-2)2>O,(/?+l)2>O,

0(a-2)2+Q+l)2>0,

團(tuán)M<N,

故選：B.

7.A

【分析】本題考杳完全平方公式因式分解，熟練掌握該公式是解題的關(guān)鍵.由題意可得正方

形的面積為4a2+12ab+9b2,然后利用完全平方公式計(jì)算后即可求得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得正方形的面積為4a2+i2ab+9b2,

則4az+12ab+9bz=+3b)2,

那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2。+3b,

故選：A.

8.C

【分析】本題考查用完全平方公式因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)

用的前提.根據(jù)四部分的面積和為血？+4mn+4n2,即(加+2n)2,因此正方形的邊長(zhǎng)為m4-

2n.

【詳解】解：4n2+2mn+m2+2mn=m2+4mn+4n2=(m+2n)2,

.?.原正方形的邊長(zhǎng)為m+2n,

故選：C.

9.a—4

【分析】本題考查了提公因式法分解因式，先提取公因式血一-把原式分解因式，從而可以

得到另一個(gè)因式，掌樨“利用樨公因式的方法分解因式"是解潁的關(guān)錦.

【詳解】解：a(m-n)+4("-m)=a(m-n)-4(m-n)=(m-n)(a-4),

故答案為：a-4.

10.(1+V5a)(l-V5a)2(x24-3)(%+V3)(x-V3)

【分析】本題主要考查了分解因式，對(duì)于第一空直接利用平方差公式分解因式，對(duì)于第二空

先提取公因數(shù)2,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解；1—5a2=(1+V5a)(l—V5a)；

2x4-18=2(x4-9)=2(x2+3)(x2-3)=2(x2+3)(%+V3)(x-V3)；

故答案為:(1+V5a)(l-V5a)；2(x2+3)(x+V3)(x-V3).

11.0

【分析】本題主要考查了整式的因式分解，代數(shù)求值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式

分解的步驟和方法.

利用提公因式法和公式法對(duì)整式進(jìn)行因式分解，然后代入求值即可.

【詳解】解：%34-x2y-xy2-y3

=(x3+x2y)-(xy2+y3)

=x2(x+y)-y2(x+y)

=(x+y)(x2-y2)

=O+y)2(x-y)

將％-y=0代入上式得

原式=0

故答案為：0.

12.(a-b)2(a+b)

【分析】本題考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是關(guān)鍵.

根據(jù)題意，先提取公因式再運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可;

【詳解】解：a2(a-b)+b2(b-a)

=a2(a-/?)-b2(a-b)

=(a—b)(a2—b2)

=(a—b)(a-b)(a+b)

=(a—b)2(a+b),

故答案為：(a-b)2(a+h).

13.16

【分析】本題考查基的乘方、平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則.根據(jù)事

的乘方運(yùn)算將原式變形，再將已知等式移項(xiàng)代入即可求解.

【詳解】解：027。=81“】

0(33)a=(34)d+1

團(tuán)33a=3仞+4

03a=4b+4,即3a-4b=4

09a2-16b2-32b

=(3a-4b)(3a+4b)-32b

=4(3a+4b)-32b

=12a-16b

=4(3a-4b)

=4x4=16

故答案為：16.

14.50

【分析】此題考查因式分解的應(yīng)用,利用平方差公式把516-1變形為(58+1)(54+1)(52+

1)(52—1),即可求解.

【詳解】解:516-1=(584-1)(58-1)=(584-1)(54+1)(54-1)=(58+1)(544-1)(52+

1)(5?-1)=24X26X(.54+1)(58+1)

0516-1能被20到30之間的兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)整數(shù)的和是24+26=50,

故答案為：50.

15.—

202S

【分析】本題考查了利用平方差分式分解因式，乘法運(yùn)算律，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式.

先用平方差公式將每個(gè)因式拆成2個(gè)分?jǐn)?shù)的積，再利用乘法交換律與結(jié)合律求解.

［詳解】解：(1-/)x(1-/-施

314220262024

=X----X-----

2220252025

342026\“22024\

-x-x-x2025)x-X-X-X2025)

231.23

2026*11013

2人2025

202S

故答案為:1013

2025

16.3

【分析】本題考查平方差公式的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)分別為acm,bcm,(a>bi,根

據(jù)題意得4a+46=36,艮Ja+b=9,再根據(jù)這兩個(gè)正方形的面積之差是27cm2得一/=

27,利用平方差公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)分別為acm,ban,(a>b),

根據(jù)題意，得4a+4b=36,

團(tuán)a+b=9,

團(tuán)這兩個(gè)正方形的面積之差是27cm2,

0a2-b2=27,

0(a+b)(a—b)=27,

09(a-b)=27,

回a—b=3,

即這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相差3cm,

故答案為：3.

17.(l)9(a+2b)(a-2b)

(2)3+2)2。-2)2

【分析】本題考查了提公因式法與公式法因式分解的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的

方法是解題的關(guān)鍵.

(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：9a2-36b2

=9(a2—4b2)

=9(a+2b)(a-2b)；

(2)解：(y2-I)2-6(y2-1)+9

=(y2-i-3￥

=(V-4)2

=[(y+2)(y-2)]2

=(y+2)2(y-2)2.

18.(l)2(a-2)2

(2)(%—1)2(%+1)2

【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解.因

式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式

分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.

(1)先提取公因式，再用完仝平方公式分解；

(2)先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解.

【詳解】(1)解：2a2-8Q+8

=2(a2-4a+4)

=2(a-27；

(2)解：(x24-l)2-4x2

=(x2+1-2x)(x2+1+2x)

=1)2(%+1)2.

19.⑴完全平方;

(2)提公因式法；

⑶見解析.

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握完全平方公式和遑公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式因式分解即可；

(2)根據(jù)提取公因式法因式分解即可；

(3)仿照上面的方法分解因式即可.

【詳解】(1)解：從第一步到第二步運(yùn)用了完全平方公式，

故答案為：完全平方；

(2)解：從第二步到第三步運(yùn)用了提公因式法，

故答案為：提公因式法；

(3)解：X2-7x4-12

=x2-6x+9-x+3

=(x-3)2-(x-3)

=(x-3)(%—3—1)

=(x-3)(x—4).

20.(l)(a-2)(b-2)

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、分組法因式分解等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分組法進(jìn)行

因式分解成為解題的關(guān)鍵.

(1)先將原式分組后進(jìn)行因式分解即可；

(2)先將原式分組后進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列二元一次方程組求解即可.

【詳解】(1)解：ab—2a—2b+4

=(ab-2a)-(2b-4)

=a(b-2)-2(b-2)

=(a—2)(b—2).

(2)解：0m2+2mn+2n2-6n4-9=0,

0(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0,

E(m+n)2+(n-3)2=0,

卜y解得巾：/

21.⑴k=7或k=-l

⑵①5/一2%-7,不成功：@-4

【分析】本題考查的是整式的加減運(yùn)算，利用完全平方公式分解因式；

(1)計(jì)算2/一3%-1一%2+依+5=M+(上一3)%-4,結(jié)合/+(4一3)X+4可以用

完全平方公式進(jìn)行因式分解，再進(jìn)一步求解即可；

(2)①計(jì)算2/一3%一1一(一3/一％+6)可得結(jié)果工一產(chǎn)+依+5,從而可得答案；②

計(jì)算一公+收+5-(2/-3%-1),結(jié)合結(jié)果為—3/一％+6,再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】(1)解：2/-3%-l-X2+k%+5=/+(A-3)X+4；

結(jié)合題意可得：/+伙-3)x+4可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，

耿一3=±4,

⑦k=7或k=-1；

(2)解：@2x2-3x-1-(-3x2-x4-6)

=2x2-3x-1+3x2+x-6

=5x2—2x—7,

05x2-2x-7H-x2+Ax+5,

13闖關(guān)不成功:

@-x2+H+5-(2x2-3x-1)

=-x2+kx+5-2x24-3x+1

=-3x2+(k+3)x+6,

結(jié)合題意可得：

—3x2+(k+3)x+6=-3x2—x+6,

0Zc+3=-1,

解得：k=-4.

22.(1)(1+2x-