專題01數(shù)軸的六類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

類型二、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

類型三、數(shù)軸上兩點之間的距離

類型四、數(shù)軸上的折合問題

類型五、數(shù)軸上的動點問題

類型六、數(shù)軸上的規(guī)律探究問題

壓軸專練

等類型-、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

I.數(shù)軸的概念與三要素：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線。原點是數(shù)軸的基準(zhǔn)點，確定0

的位置.；正方向一般規(guī)定向右為正；單位長度根據(jù)實際需求選取，用于衡量數(shù)的大小。三要素缺一不可，

它們共同構(gòu)成數(shù)軸，為有理數(shù)的表示提供基礎(chǔ)框架。

2.有理數(shù)在數(shù)軸上的表示方法：任何一個布.理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。正有理數(shù)在原點右側(cè)，

負有理數(shù)在原點左側(cè)，數(shù)值大小決定點到原點的距離。例如，+3在原點右側(cè)3個單位長度處，-2在原點

左側(cè)2個單位長度處，0用原點表示。

3.數(shù)軸上點與有理數(shù)的關(guān)系：數(shù)軸上.的點與有理數(shù)并非??對應(yīng)，有理數(shù)能在數(shù)軸找到對應(yīng)點，但數(shù)軸

上還存在無理數(shù)對應(yīng)的點。利用數(shù)軸可直觀比較有理數(shù)大小，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的大，方便理

解有理數(shù)的順序與數(shù)量關(guān)系。

例I.己知5個數(shù)分別為0,(-2『，-(-1),-|-5|,-3；

⑴將題中5個數(shù)在數(shù)軸上表示出來；

-6-5-4-3-2-10123456

(2)將題中5個數(shù)按從小到大的順序用"”連接起來.

【答案】(1)作圖見解析

(2)-|-5|<-3^<0<-(-1)<(-2)2

【分析】本題主要考查了絕對值、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小等知識，將各數(shù)準(zhǔn)

確表示在數(shù)軸上是解題關(guān)鍵.

(I)首先化簡，然后根據(jù)數(shù)軸的定義和性質(zhì)，將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來即可；

(2)在數(shù)軸上表示的有理數(shù)，它們從左到右的順序就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)，結(jié)合

數(shù)軸比較各數(shù)大小即可.

【詳解】(1)解：(一2『=4,-(一1)=1+5|=-5,

在數(shù)軸上表示出來，如圖所示；

-|-5|昌0-(-1)(-2)2

__?__：?___?___?__：:__?___?___：J___?_>

-6-5-4-3-2-10123456

(2)解：由各點在數(shù)軸上的位置可知：

—|—5|<—3^<0<—(―1)<(—.

【變式1-1](1)請你在數(shù)軸卜.表示下列有理數(shù)：|-2.5|,0,_I2,+(-?).

(2)將上列各數(shù)用">〃號連接起來：.

IIIIIIIII]I?

-5-4-3-2-I012345

Irq、

12

【答案】(1)見解析；(2)|-2.5|>->0>>1>+--

【分析】(1)根據(jù)絕對值，有理數(shù)的乘方，多重符號的化簡整理各數(shù)，再利用有理數(shù)與數(shù)軸對應(yīng)的關(guān)系在

數(shù)軸上表示各有理數(shù)：

(2)根據(jù)各有理數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小，即可解題.

【詳解】解：⑴因為+，■|)=[，|-2.5|=2.5,_『=_],

則在數(shù)軸上表示有理數(shù)如下圖所示：

31

+(-2)-1202|-2.5|

1??1.4i.i?

-5-4-3-2-10I2345

(2)由數(shù)軸可知：卜2.5|>；>0>-12>+1[).

故答案為：卜2.5。彳\>。>一12>+(,\\

【點睛】本題考查化簡絕對值，有理數(shù)的乘方，多重符號的化簡，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，以及利用數(shù)軸比

較大小，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識.

【變式1-2］已知下列有理數(shù)：-(-4卜-|,0,1,(-1)3

(1)(7)3中，底數(shù)是,指數(shù)是.

(2)在數(shù)軸上表示出這些有理數(shù)，并找出一對相反數(shù).

⑶把這些有理數(shù)用"V"號連接起來.

【答案】⑴-1，

(2)數(shù)軸見解析，(-I)'與1是相反數(shù)

(3)-1<(-1)3<0<1<-(-4)

【分析】(1)根據(jù)乘方的意義解答即可；

(2)先化簡乘方、多重符號，然后在數(shù)軸上準(zhǔn)確找出各數(shù)對應(yīng)的點；

(3)從數(shù)軸上按照從左到右的順序用“<〃號把這些數(shù)連接起來即可.

【詳解】(1)解：(-1)3中，底數(shù)是T,指數(shù)是3.

故答案為:一1,3；

(2)解.：O=4,(T)3=-1,

如圖，(-碟與1是相反數(shù)，

戈(-1)*0I

、?一X~I^；一”

(3)-|<(-l/<0<l<-(-4).

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方、化簡多重符號、數(shù)軸、有理數(shù)大小比較等知識點，準(zhǔn)確在數(shù)軸上找

出各數(shù)對應(yīng)的點是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］有理數(shù)：-22,0,|-2|,-(Y),-|-31|,4.5.

⑴將上面各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用""連接起來；

IIIIIlliIII?

-5-4-3-2-1012345

⑵將上面的數(shù)填入相應(yīng)的圈內(nèi).

正有理數(shù)集合整數(shù)集合

【答案】⑴見解析，—22<-—33<0<(—2)<-(一4)<4.5

(2)見解析

【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小比較，絕對值與相反數(shù)，有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握數(shù)軸上點的特點.

(1)根據(jù)數(shù)軸上點的特點把各數(shù)表示在數(shù)軸上，并根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小得出比較結(jié)果即可;

(2)根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可.

【詳解】(1)解：—22=T，卜2|=2,-(-4)=4,—3；|二—3；,

如圖所示：

一22十3；|0|-2|-(-4)4.5

—?-------------1----1----1----1---1---1---_>，

-5-4-3-2-1012345

故-2:<一一3；<0<|-2|<-(-4)<4.5.

覆類型二、利用數(shù)軸比較有埋數(shù)的大小

1.數(shù)軸比較大小的基本原理.：數(shù)軸上的點從左到右，對應(yīng)的數(shù)逐漸增大。這是因為數(shù)軸以向右為正方向，

正方向代表數(shù)值增大的趨勢，所以有理數(shù)在數(shù)軸上的位置決定了其大小關(guān)系，這種直觀的幾何表示將抽

象的數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為點的位置關(guān)系判斷。

2.具體比較方法：正數(shù)在原點右側(cè)，負數(shù)在原點左側(cè)，所以正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；同

為正數(shù)時，離原點越遠的點表示的數(shù)越大，例如3在2右側(cè)，則3>2；同為負數(shù)時，離原點越遠的點表

示的數(shù)反而越小，如-2在T左側(cè)，則-2VT。

3.應(yīng)用與意義；通過數(shù)軸比較有理數(shù)大小，能更直觀理解數(shù)的順序和相對大小關(guān)系，解決大小比較、排

序等問題。同時，這種方法為后續(xù)學(xué)習(xí)實數(shù)大小比較、不等式解集表示等知識奠定基礎(chǔ)，將數(shù)與形緊密

結(jié)合，提升數(shù)學(xué)思維能力。_________________________________________________________________________

例2.數(shù)軸上表示數(shù)。的點如圖所示，把-。，b,4按照從小到大的順序排列，正確的是（）

~a6~h>

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<bC.a<-b<b<-aD.a<b<-b<-a

【答案】C

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，相反數(shù)，熟練掌握利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小的方法是

解題的關(guān)鍵.

比較有理數(shù)的大小的法則：數(shù)軸上右邊點表示的數(shù)大于左邊點表示的數(shù).觀察數(shù)軸得出即

可逐一判斷.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<-b<b<-a,

故選：C.

【變式27]“，b兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

__________11II>

b-10a

A.a<0B.a>\C.b>-\D.b<-\

【答案】。

【分析】根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)的位置，計算判斷即可.

本題考查了數(shù)軸上表示有理數(shù)，借助數(shù)軸進行數(shù)或式子的大小比較，熟練掌握數(shù)軸上大小比較的原則是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得

財錯誤，不符合題意；

B錯誤，不符合題意：

C錯誤，不符合題意；

。正確，符合題意；

故選D.

【變式2-2]如圖，點A表示的有理數(shù)是x,則X,-A,1的大小順序為（）

x

------11--------------+―?

-1------A------0

A.x<-x<\B.-x<x<\C.x<\<-xD.I<-x<x

【答案】A

【分析】本題考查利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，結(jié)合數(shù)軸上的數(shù)左邊比右邊的大,

進行比較即可.

【詳解】解：由圖可知：-l<x<0,

所以0v-4<1,

故選A.

【變式2-3】已知〃、從c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，下列結(jié)論正確的是()

A.a+b<0B.b-c<0C.ac>0D.—<0

b

【答案】。

【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子符號，根據(jù)數(shù)軸可知cv》<Ova，|4>?|,據(jù)此逐

項判斷即可，掌握相關(guān)知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知c<b<O<a,|4>四，

則A、a+b>0,原選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

B、b-c>0,原選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

C、ac<0,原選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

D、?<(),原選項結(jié)論正確，符合題意；

b

故選：D.

國類型三、數(shù)軸上兩點之間的距離

1.距離定義與原理：數(shù)軸上兩點之間的距離，指兩點所表示的數(shù)差的絕對值，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。其本

質(zhì)是兩點對應(yīng)有理數(shù)在數(shù)軸上位置間隔的單位長度數(shù)量，通過絕對值運算消除方向影響，確保距離為非負

值。

2.計算方法：設(shè)數(shù)軸上兩點表示的數(shù)分別為a和乩則兩點間距離d=|〃-

b\<,無論〃、歷E負及大小關(guān)系如何，均可套用此公式。例如，求表示3與-2的兩點距離，仁|3-(-2)1=|5|=

5；當(dāng)。、〃中有0時,如0與4,距離為|()-4|二4。

3.應(yīng)用場景：常用于求解數(shù)軸上動點問題、絕對值方程等。在實際問題中，可借助距離公式確定位置關(guān)系

,如計算行程問題中的位置間隔，或根據(jù)己知距離條件求未知點表示的數(shù)，深化對數(shù)軸性質(zhì)和絕對值概念

的理解與運用。

例3.如果直線上點A到原點(表示0的點)的距離為2,點B到原點的距離為7,那么點A與點8的距離

可能是.

【答案】5或9

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間距離的計算，掌握兩點之間距離的計算是關(guān)鍵.

根據(jù)題意，分類討論：當(dāng)兩點在原地同側(cè)時；當(dāng)兩點在原點異例時；由兩點之間距離的計算即可求解.

【詳解】解：當(dāng)兩點在原地同側(cè)時，A8=7-2=5；

當(dāng)兩點在原點異側(cè)時，”(-2)|=9或卜2-7|=9；

0點A與點8的距離可能是5或9,

故答案為：5或9.

【變式37]在數(shù)學(xué)超市課上，李老師出了這樣一道題：點A是數(shù)軸上一點，一只螞蟻從點A出發(fā)爬了5個

單位長度到了表示的數(shù)2的點，則點A所表示的數(shù)是.

【答案】7或一3

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的動點問題，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，分兩種情況討論即可求解；

【詳解】解：從數(shù)軸上A點出發(fā)向左爬了5個單位長度到了表示的數(shù)2的點，則A點表示的數(shù)是2+5=7；

從數(shù)軸上A點出發(fā)向右爬了5個單位長度到了表示的數(shù)2的點，則A點表示的數(shù)是2-5=-3；

綜上所述，點A所表示的數(shù)是7或-3：

故答案為：7或-3

【變式3-2]如圖，數(shù)軸上點A、8所表示的數(shù)分別為-2、4、P、。兩點分別從A、3兩點出發(fā)同時以I

個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動，M、N分別是A尸與8Q的中點，當(dāng)運動時間為3秒時，M、N兩

點之間的距離是.

AB

1[11]]111A

-2-101234

【答案】3或6或9

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點間的距離，線段的中點，根據(jù)題意利用分類討論思想

解題是關(guān)鍵.

分①點P，Q同時向右，同時向左，點P向左點。向右，點尸向右點Q向左四種情況，結(jié)合數(shù)軸上兩點間

的距離和線段中點的定義計算求解.

【詳解】解：①當(dāng)點尸，Q同時向右運動時，

當(dāng)運動時間為3秒時，點P表示的數(shù)為1,點。表示的數(shù)為7,此時AQ=7-(-2)=9,

p6NO

.??11I

A—/

Oi23456

-47-

回M、N分別是AP與8。的中點,

1-（一2）=37-43

QN=

2-222

團M、N兩點之間的距離是AQ—AM-QN=6；

②當(dāng)點P,Q同時向左運動時,

當(dāng)運動時間為3秒時，點Q表示的數(shù)為-5,點。表示的數(shù)為I,此時4P=4-(-5)=9,

PMAQNB

-5-4-3-2-10I234567

>N分別是AP與伙2的中點，

0M>N兩點之間的距離是8P-PA7-8N=6；

③當(dāng)。向左，點Q向右運動時，

當(dāng)運動時間為3秒時，點P表示的數(shù)為-5,點。表示的數(shù)為7,此時八2=7-(-5)=12,

PMABNQ

—4-----------A-1----1----1----1---1-----A--1?1，A

-5-4-3-2-101234567

回朋、N分別是4"與8。的中點，

0P,w=zM^)=3,QN=T±

2222

回朋、N兩點之間的距離是PQ-PM-QN=9；

④當(dāng)。向右，點Q向左運動時，

當(dāng)運動時間為3秒時，點P表示的數(shù)為1,點Q表示的數(shù)為1,此時AB=4-(-2)=6,

tAP^Q\NtBti

-3-2-10~~1~~2345~~67

田M、N分別是4p與BQ的中點，

0MsN兩點之間的距離是A8—AM—8N=3；

綜k,M、N兩點之間的距離是3或6或9,

故答案為：3或6或9.

【變式3-3】一條數(shù)軸，從數(shù)軸上面剪下6個單位長度(從-2到4)的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，

然后在重疊部分某處剪?刀得到三條線段.若這三條線段的長度之比為1:1:2,則折痕處對應(yīng)的點所表示的

數(shù)可能是.

【答案】；或1或二

44

【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法，折疊的性質(zhì)，利用中點公

3

式解決折疊問題是解題的關(guān)鍵.設(shè)三條線段的長分別是工，x,2x,由題意可得4x=6,求=再分

三種情況討論：①當(dāng)4?:AC：a)=1:l:2時：②當(dāng)"C:C7)=1:2:1時；③當(dāng)AA:BC:CZ)=1:2:I時；分別求

解即可.

【詳解】解：13三條線段的長度之比為1:1:2,

(3設(shè)三條線段的長分別是孫X,2X，

(3-2到4的距離是6,

/.4x=6.

3

A=一,

2

33

???三條線段的長分別為5，5,3,

①當(dāng)80:8=1:1:2時，折痕點表示的數(shù)是-2+13+；3乂51=不1

t_______111

ABCD

②當(dāng)gBC:CD=l:2:l時，折痕點表示的數(shù)是-2+1+]=1：

*I

I，I，，

AB\CD

*I

③當(dāng)A8:8U8=2:1:I時，折痕點表示的數(shù)是-2+3+53X3I=7^；

■

I

Iill,

ABI\CD

I

綜上所述：折痕處對應(yīng)的點表示的數(shù)可能:或1或二.

44

故答案為：；1或1或7：.

44

覆類型四、數(shù)軸上的折登問題

1.確定對稱中心：折疊后重合的兩點所連線段的中點對應(yīng)的數(shù)，即為折疊點（對稱中心）。通過計算兩點

數(shù)值和的一半，能得出對稱中心對應(yīng)的數(shù)，這是解決折疊問題的基礎(chǔ)。

2.計算對應(yīng)點數(shù)值：已知某點與對稱中心，根據(jù)對稱關(guān)系，利月對稱中心與已知點的距離，可求出該點

折疊后的對應(yīng)點數(shù)值。若已知點在對稱中心左側(cè)，對應(yīng)點在右側(cè)且與對稱中心距離相同，反之亦然。

3.解決數(shù)量關(guān)系問題：折疊問題常涉及線段尺度、點表示的數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。結(jié)合對稱性質(zhì)與數(shù)軸上

兩點間距離公式,兩點數(shù)值差的絕對值），建主方程求解未知量，湛突破此類問題的核心交法.

例4.【操作探究】已知在紙面上芍一數(shù)軸（如圖所示）.

-5-4^3:-2^1012345

【操作一】

（1）折疊紙面，使表示1的點與表示-I的點重合，則表示-2的點與表示的點重合；

【操作二】

（2）折疊紙面，使表示T的點與表示3的點重合，那么表示5的點與表示的點重合，此時若數(shù)軸上

48兩點（A在8的左側(cè)）之間的距陽為9,且A8兩點經(jīng)折疊后重合，則A,B兩點表示的數(shù)分別是多少？

【答案】（1）2；（2）-3,點A表示的數(shù)為-3.5,點3表示的數(shù)為5.5

【分析】本題考查了數(shù)軸說兩點之間的距離，軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

（1）利用軸對稱的性質(zhì)解答即可；

（2）利用軸X寸稱的性質(zhì)求得折痕處對應(yīng)的數(shù)，再利用軸對稱的性質(zhì)解答即可；利用軸對稱的性質(zhì)可得兩點

9

距離折痕處的距離分別為結(jié)合數(shù)軸解答即可.

【詳解】解：（1）由題意可得：對稱中心是原點，

???-2示的點與數(shù)2表示的點重合；

（2）Q-1表示的點與3表示的點重合，

.,?對稱中心是1表示的點，

「.5表示的點與數(shù)-3表示的點重合，

??,數(shù)軸上A、3兩點之間的距離為9（A在8的左側(cè)），

97

二點A表示的數(shù)是1-；=-：=-3.5,

22

點8表示的數(shù)是l+J9=q11=5S

22

【變式47】已知在紙面上有一個數(shù)軸（如圖），折疊紙面.

⑴若:表示-1的點與表示1的點重合，則表示3的點與表示—的點重合；

⑵若表示I的點與表示-5的點重合，回答下列問題：

①友示0的點與表示—的點重合：

②若數(shù)軸上A、8兩點之間的距離為8,（A在8的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、3兩點表示

的數(shù)多少？

【答案】（1）-3

⑵①-4；②-6，2

【分析】此題考查數(shù)軸上的點和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸，找到折痕是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)對稱的知識，若-1表示的點與1表示的點重合，則折痕是原點，從而找到3的對稱點：

（2）由表示1的點與表示-5的點重合，可確定折痕是表示-2的點，則：

①表示0的點與表示T的點重合；

②由題意可得A、6兩點距離折痕的距離為4,據(jù)此求解.

【詳解】（1）解：QT表示的點與I表示的點重合，

二折痕在原點處，

???表示3的點與表示-3的點重合，

故答案為：-3：

（2）解:①；表示1的點與表示-5的點重合，

???折痕在手=-2處，

二表示。的點與表示-4的點重合，

故答案為：-4；

②若數(shù)軸上A、8兩點之間的距離為8（A在3的左側(cè)），

則點A表示的數(shù)是-2-4=-6,

點8表示的數(shù)是-2+4=2.

所以A、8兩點表示的數(shù)分別是-6.2.

【變式4-2】已知在紙面上有一個數(shù)軸（如圖），折疊紙面.

~5~4~3~2-10I2345

⑴若表示-2的點與表示2的點重合，則表示1的點與表示的點重合；

（2）若表示I的點與表示-3的點重合，回答下列問題：

①表示3的點與表示的點重合；

②若數(shù)軸上A、8兩點之間的距離為12,（A在8的左側(cè)），且A、8兩點經(jīng)折疊后重合，求A、8兩點表

示的數(shù)多少？

【答案】⑴一1

⑵①-5；②A、5兩點表示的數(shù)分別是-7,5

【分析】此題考查數(shù)軸上的點和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，

（1）根據(jù)對稱的知識，若表示-2的點與表示2的點重合，則對稱中心是原點，從而找到I的對稱點；

（2）由表示1的點與表示-3的點重合，可確定對稱中心是表示-1的點，則：

①表示3的點與對稱中心距離為4,與左側(cè)與對稱中心距離為-5的點重合；

②由題意可得A、8兩點距離對稱中心的距離為6,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）解：團表示-2的點與表示2的點重合，

團對稱中心是原點，

團表示1的點與表示-1的點重合，

故答案為：-1;

（2）解：團表示1的點與表示-3的點重合，

團對稱中心是表示-1的點，

①表示3的點與表示-5表示的點重合，

故答案為：-5；

②若數(shù)軸上A、8兩點之間的距離為12（A在8的左側(cè)），且A、8兩點經(jīng)折疊后重合，

團且A、8兩點到-1的距離相等都為j=6,

則點A表示的數(shù)是-1-6=-7,點B表示的數(shù)是-1+6=5.

團A、4兩點表示的數(shù)分別是-7,5.

【變式4-3】數(shù)釉是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了代數(shù)與幾何之間

的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，小安在一張長方形紙條上畫了一條數(shù)軸，然后進行了實踐探究：

IIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1012345

⑴折疊紙條，使表示1的點與表示-1的點重合，則表示-5的點與表示的點重合.

⑵在數(shù)軸上48兩點之間的距離為2024（點A在點B的左側(cè)），折疊紙條，使表示6的點與表示-4的點

重合.此時人，B兩點也重合，則點八表示的數(shù)是.

⑶定義：P，Q為數(shù)軸上任意兩點，若折疊紙條使點尸，Q重合，折痕與數(shù)軸的交點為點M,則稱點M為點

尸和點。的“疊點〃.

點C,。，。在數(shù)軸上，點C是數(shù)軸上最大的負整數(shù)點，點0是原點，點。在點0的右側(cè)且到點0的距離

是7.折疊紙條使點C和點。重合，點E是點C和點。的“疊點〃.若存在點F在點C與點。之間，且其在

數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為〃?，制=2.求點尸到“疊點空的距離.

【答案】⑴5

(2)-1011

(3)1

【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸；熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法，折疊的性質(zhì)，利用中點

公式解決折疊問題是解題的關(guān)鍵.

(1)利用中點坐標(biāo)公式求出折痕點，再求解即可；

(2)①利用中點坐標(biāo)公式求出妖痕點，設(shè)A點表示的數(shù)是x,則B點表示的數(shù)是x+2024,根據(jù)中點坐標(biāo)

公式求出-即可求解；

(3)根據(jù)題意分別求得。,2瓦尸表示的數(shù)，進而即可求解.

【詳解】(1)解：團1表示的點和-1表示的點重合，

團折置點對應(yīng)的數(shù)是0,

團-5表示的點與5表示的點重合，

故答案為：5；

(2)解：(36表示的點和Y表示的點重合，

自折疊的點表示的數(shù)是一二1,

設(shè)A點表示的數(shù)是x,則B點表示的數(shù)是x+2024,

,x+x+2024

01=---------，

2

解得x=-10H,

回點A表示的數(shù)一1011,

故答案為：-1011；

(3)解.：0點C是數(shù)軸上最大的負整數(shù)點，

回點。表示的數(shù)是T,

(3點。是原點，點D在點O的右側(cè)且到點O的距離是7,

因點。表示的數(shù)是7,

(3折疊紙條使點C和點。重合，點E是點。和點。的“疊點

回點E表示的數(shù)是二^^=3；

團存在點尸在點C與點D之間，且其在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為〃?，|〃?|=2.

團m=2,即點尸表示的數(shù)是2,

回點尸到“疊點"E的距離為3—2=1.

等類型五、數(shù)軸上的動點問題

1.基本概念與表示方法：數(shù)釉上的動點指在數(shù)軸上按特定規(guī)律運動的點，通常用含未知數(shù)的代數(shù)式表示

其位置。設(shè)動點初始位置表示的數(shù)為小運動速度為打運動時間為/,若向右運動，動點位置表示的數(shù)

為〃+i〃；向左運動則為vt,這是解決動點問題的基礎(chǔ)。

2.核心問題類型：常涉及求動點相遇、相距特定距離、到達指定位置等問題。如求兩動點相遇時間，需

根據(jù)兩者運動后位置相同列方程；求相距固定距離，利用兩點間距離公式列絕對值方程求解；到達指定

位置則根據(jù)終點數(shù)值建立等式，均圍繞動點位置表達式構(gòu)建方程。

3.解題策略與技巧：關(guān)鍵是把握動點運動規(guī)律，結(jié)合數(shù)軸上兩點距離公式，通過“數(shù)”與“形”結(jié)合建

立方程或不等式。同時注意運動方向、起始位置和條件限制，分情況討論多種可能性，檢驗答案是否符

合實際運動場景，從而準(zhǔn)確解決問題。；

例5.如圖，在數(shù)軸上，一只螞蟻從原點出發(fā)，它先向右爬了4個單位長度到達點A,再向右爬了2個單位

長度到達點從然后乂向左爬了10個單位長度到達點C.

⑴將A,8,C三點所表示的數(shù)在如圖所示的數(shù)軸上表示出來；

-7-6-5-4-3-2-10123456

(2)根據(jù)點C在數(shù)軸上的位置，點C可以看作是螞蟻從原點出發(fā)，向哪個方向爬了幾個單位長度所到達的點？

⑶如果移動點A,8,C中的兩個點，使得三個點重合，你有幾種移動方法？請分別求出移動的長度之和.

【答案】(I)見解析

(2)向左爬了4個單位長度

(3)見解析

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

(1)在數(shù)軸上表示出點，再寫出點表示的數(shù)即可；

(2)根據(jù)C點與原點的位置關(guān)系求解即可；

(3)根據(jù)A,B,C在數(shù)軸上的位置，分3種情況求解即可..

【詳解】（1）解：如圖，

CAB

-7-6-5-4-3-2-10I23456

（2）根據(jù)點。在數(shù)軸上的位置，點C可以看作是螞蟻從原點出發(fā)，向左爬了4個單位長度；

（3）解：共有3種移動方法：

①移動4、3兩點到C,

A向左移動8個單位到C,8向左移動10個單位到C,10+8=18；

②移動A、C兩點到8,

4向右移動2個單位到從。向右移動10個單位到8,2+10=12：

③移動8、C兩點到A,

8向左移動2個單位到4,C向右移動8個單位到4,2+8=10.

【變式51］已如，動點A在數(shù)軸上以不變的速度向右運動，同時，動點H在數(shù)軸上以不變的速度向左運動,

運動規(guī)律如下表：

運動時間（$）0149.....

點A表示的數(shù)-12——......

點8表示的數(shù)—-2—-18......

（I）補全表格中的數(shù)據(jù)；

⑵當(dāng)運動時間為2s時，求AB之間的距離.

【答案】⑴11;26；0；-8

⑵9

【分析】本題考查了數(shù)軸，運用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)路程，速度和時間的關(guān)系求解即可；

（2）根據(jù)兩點之間的距離公式求解即可.

【詳解】（1）由表格可知，點A初始時在數(shù)字-1處，

點A的移動速度為2-（-1）=3.

??.4秒時的數(shù)字為-1+3x4=11,

9秒時的數(shù)字為-1+3x9=26,

點B的移動速度為［-2-(-18)卜(9-1)=2,

,??點8向左移動，1秒時數(shù)字為-2,

???0秒時數(shù)字為-2+2=0,

4秒時的數(shù)字為0-2X4=-8,

(2)T點A的移動速度為3,點B的移動速度為2,

當(dāng)運動時間為2s時，點八表示的數(shù)為一"2x3=5,點4表示的數(shù)為0-2x2=-4,

所以A8之間的距離為5-(-4)=9.

【變式5-2】已知點M、N在數(shù)軸上，點M對應(yīng)的數(shù)是?3,點N在點M的右邊，且距點M為4個單位長度.

-5T—3-2T0I23456

⑴直接寫出點N所對應(yīng)的有理數(shù)：

⑵點，足數(shù)軸上一動點，請直接寫出點〃到點M和點N的距離和的最小值；

⑶若點P到點用、N的距離之和是6個單位長度：

①求點P所對應(yīng)的有理數(shù)是多少？

②如果點。從點N出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點。以每秒3個單位長度的

速度沿數(shù)軸正方向運動，，秒后P、。兩點相距4個單位長度，求九

【答案】⑴1

(2卜

(3)①2或~4；②g或|?或今

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離及用數(shù)軸表示有理數(shù)：

(1)根據(jù)兩點間的距離得點N表示的有理數(shù)；

(2)點。在-3和I之間時得點P到點M和點N的距離和的最小值；

(3)①利用分類討論思想：當(dāng)點。在點M的左側(cè)時和當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，利用兩點間的距離公式即

可；②分三種情況：當(dāng)點P表示的有理數(shù)是-4時：點Q未追上點。時和當(dāng)點。超過點。時及當(dāng)點。表示

的有理數(shù)是2時，利用數(shù)量間的關(guān)系即可求解；

掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：由題意得：

4+(-3)=1,

則點N所對應(yīng)的有理數(shù)為I.

(2)點P到點M和點N的距離和，

即：點P到-3和到1的距離和，

則點尸到點”和點N的距離和的最小值，即點P在-3和1之間時,

即：點2到點M和點N的距離和的最小值為：1-(-3)=4.

(3)①設(shè)點夕所表示的有理數(shù)為

由題意得：點。只能在點M的左側(cè)或點N的右側(cè)，

當(dāng)點戶在點M的左側(cè)時：

-3-?+l-a=6，

解得：a=-4,

當(dāng)點P在點N的右側(cè)時：

a-(-3)+a-1=6,

解得：。一2,

綜上所述，點夕所對應(yīng)的有理數(shù)是2或T；

②由①得：點。所對應(yīng)的有理數(shù)是2或T,

當(dāng)點。表示的有理數(shù)是T時，

分兩種情況：

點。未追上點P時：

3r-r=i-(-4)-4,

解得：eg;

當(dāng)點Q超過點P時：

3/T-融(-4)=4,

9

解得：，=5；

當(dāng)點尸表示的有理數(shù)是2時，

3t-1=4-(2-1),

解得：/=|,

綜上所述，1二不1或3;或9

/乙4

【變式5-3】【閱讀材料】若數(shù)軸上點A、點。表示的數(shù)分別為。，b(b>a),貝4A、Z?兩點間的距離可表

示為b-a,記作A8=〃一a.

【解決問題】一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點A,再向右移動10個單位長度

到達點3.

⑴請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、8兩點的位置；

（2）若動點尸，。分別從點A,B同時出發(fā)，沿數(shù)軸向左運動.已知點尸的速度是每秒1個單位長度，點。的

速度是每秒2個單位長度，設(shè)移動時間為，秒（/>0）.

①用含/的代數(shù)式表示：/秒時，點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為;

②，為何值時，點。表示的數(shù)與點Q表示的數(shù)互為相反數(shù)？

③f為何值時，P,Q兩點之間的距離為4?

【答案】（I）見解析

⑵①（一2一，），（8-2/）；②/=2；③/=6或1=14.

【分析】本題考查的是數(shù)軸的定義及數(shù)軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意畫出數(shù)軸，即可解答；

（2）①用含/的代數(shù)式表示即可；

②根據(jù)相反數(shù)的意義列式計算即可求解；

③根據(jù)題意列出絕對值方程即可求解.

【詳解】（1）解：如圖：

AB

1.1■III111|.|?.

-3-2-10123456789,

（2）解：①E秒時，點尸表示的數(shù)為（-2一），點。表示的數(shù)為（8-2,）；

故答案為：（-2-f）,（8-2/）;

②由題意得：（-2-/）+（8-2/）=0,

解得：/=2；

③由題意得：|（一27）-（8-24=4,即"10|=4,

酎-10=4或-10=4

解得：1=14或f=6.

覆類型六、數(shù)軸上的規(guī)律探究問題

1.數(shù)字排列規(guī)律：觀察數(shù)軸上數(shù)字的分布，分析其等差、等比或周期性規(guī)律。如相鄰數(shù)差值固定的等差

數(shù)列(如2,4,6,8-相鄰數(shù)差為2)；等比數(shù)列則后?項與前?項比值恒定；周期性規(guī)律表現(xiàn)為數(shù)字

每隔固定間隔重復(fù)出現(xiàn)，需結(jié)合數(shù)軸單位長度與點的位置確定規(guī)律通項公式。

2.圖形與點的關(guān)系規(guī)律：研究數(shù)軸上點構(gòu)成的圖形特征，如多個點組成線段、多邊形等，通過分析點坐

標(biāo)與圖形邊長、面積的關(guān)系，推導(dǎo)數(shù)量變化規(guī)律。例如等間距分布的點形成線段，線段數(shù)量、長度隨點

數(shù)變化存在特定關(guān)系，可借助代數(shù)方法歸納總結(jié)。

3.操作與變化規(guī)律：針對數(shù)軸上點的移動、標(biāo)記、對稱等操作，探究每次操作后點的位置、對應(yīng)數(shù)字的

變化規(guī)律。如點每次按倍數(shù)關(guān)系移動，或經(jīng)對稱變換后，需記錄操作前后數(shù)據(jù)，對比分析變化趨勢，用

代數(shù)式表示一般性規(guī)律,解決拓展延伸問題二

例6.在數(shù)軸上，點。表示原點，現(xiàn)將點A從0點開始沿數(shù)軸如下移動，第一次點A向左移動1個單位長

度到達點A,第二次將點A向右移動2個單位長度到達點4,第三次將點&向左移動3個單位長度到達點兒,

第四次將點A.，向右移動4個單位長度到達點兒,按照這種移動規(guī)律移動下去，第〃次移動到點A,,當(dāng)〃=1(X)2

時，這時點4與原點的距離是個單位.

【答案】501

【分析】本題是一道與數(shù)軸有關(guān)的規(guī)律型試題.觀察發(fā)現(xiàn)奇數(shù)次移動為向左移動，偶數(shù)次移動為向右移動，

然后再觀察每兩次平移，點A實際移動的距離，然后計算，即可解答.

【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)奇數(shù)次移動為向左移動，偶數(shù)次移動為向右移動；

第一次向左平移一個單位，第二次向右平移兩個單位，實際向右平移-1+2=1個單位；

第.次向左平移?:個單位，第四次向右平移四個單位，實際向右平移-3+4=1個單位；

即每2次向右平移1個單位；

則第1002次A點距原點距離為：1002+2=501.

即當(dāng)〃=1002時，點AOO2與原點的距離是501個單位.

故答案為：501.

【變式67］數(shù)軸上有A對應(yīng)的數(shù)是-1,一只螞蟻從點人出發(fā)，第一次先沿數(shù)軸負方向爬2個單位，第二

次沿正方向爬4個單位，第三次沿負方向爬6個單位，第四次沿正方向爬8個單位，按此規(guī)律，當(dāng)螞蟻爬

完100次時，停在了點8處.如圖，現(xiàn)以點。為折點，將數(shù)軸向右對折，若點A對應(yīng)的點A落在點4的右

邊，且43=8,則點C表示的數(shù)是.

A

CBCBA,

【答案】53

【分析】本題考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，熟練掌握并靈活運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

根據(jù)題意得，發(fā)現(xiàn)螞蟻前兩次爬行后的位置變化是：沿正方向爬行了2個單位，第三次和第四次爬行后的

位置變化也是沿正方向爬行2個單位，得出螞蟻爬行完100次后的位置變化時，沿正方向爬行了100個單

位，即可確定點8的對應(yīng)的數(shù)為99,根據(jù)數(shù)軸得出8C長，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意得，發(fā)現(xiàn)螞蟻前兩次爬行后的位置變化是：沿正方向爬行了2個單位，第三次和第

四次爬行后的位置變化也是沿正方向爬行2個單位，

團螞蟻爬行完100次后的位置變化時，沿正方向爬行了100個單，立，

團點8的對應(yīng)的數(shù)為：-1+100=99,

回80=(100-8)+2=46

團點。表示的數(shù)是99-46=53,

故答案為：53.

【變式6-2］在數(shù)軸上，表示+2的點A開始移動，第I次先從點A向左移動1個單位至點A，第2次從A向

右移動2個單位至點&；第3次從點4向左移動3個單位至點人,第4次從點A向右移動4個單位至點4；

按此規(guī)律移動，則點4陽在數(shù)軸上表示的數(shù)是.

【答案】-1001

【分析】奇數(shù)次移動是左移，偶數(shù)次移動是右移，第〃次移動〃個單位.每左移右移各?次后，點A右移1個

單位，故第2002次右移后，點A向右移動1x(2002+2)個單位，第2003次左移2003個單位，即可求解.

【詳解】解：第〃次移動八個單位，第2003次左移2003x1個單位，

每左移右移各一次后，點A右移1個單位，

所以從次好表示的數(shù)是2+1x(2002+2)-2003=T000.

故答案為：-1000.

【點睛】本題考查數(shù)軸上點的移動規(guī)律，確定每次移動方向和距離的規(guī)律，以及相鄰兩次移動后的實際距

離和方向是解答此題的關(guān)鍵.

【變式6-3】一電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點煬處，第一次從屈向左跳1個單位到內(nèi),第二次從內(nèi)向右跳2

個單位到42,第三次由火2處向左跳3個單位到依，第四次由心向右跳4個單位匕…，按以上規(guī)律：

(1)若公處為原點，那第10次時，跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是多少？第2019次呢？

(2)若跳了100次后，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是0,則Ao表示的數(shù)是多少？

【答案】(1)第10次時，跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是5,第2019次時，跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)

是7010；(2)-50

【分析】(1)根據(jù)題意，可以寫出前幾次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)，然后即可得到第10次和第2019

次對應(yīng)的數(shù)；

(2)根據(jù)題意，可以鞋出前幾次挑蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)，然后再根據(jù)跳了100次后，電子跳蚤落在

數(shù)軸上的點表示的數(shù)是0,即可得到公表示的數(shù).

【詳解】解：(1)由題意可得，

第一次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是-1,

第二次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是1,

第三次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是?2,

第四次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是2,

???9

(3第10次時，跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是5,第2019次時，跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是-(2019+1)

4-2=-1010,

即第10次時，跳圣落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是5,第2019次時，跳圣落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是-101()；

(2)由題意可得，

第一次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是依-1,

第二次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是公+1,

第三次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是公?2,

第四次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是k)+2,

???9

則第100次跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是%+50,

團跳了100次后，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是0,

歐()+50=0,

解得ko=-50,

即如表示的數(shù)是-50.

【點睛】本題考查數(shù)字的變化類規(guī)律、數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出規(guī)律，求出相應(yīng)的數(shù)字.

壓軸專練

一、單選題

1.在數(shù)軸上，點P表示的數(shù)是-5,到點。距離4個單位的點表示的數(shù)是（）

A.-9B.-9或一1C.9D.-1

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，分兩種情況?5+4或-5-4,即可求解，掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團點尸表示的數(shù)是-5,

團到點戶距離4個單位的點表示的數(shù)是：-5+4=-1或-5-4=-9,

回到點P距離4個單位的點表示的數(shù)是-1或-9,

故選：B.

2.在數(shù)軸上，表示有理數(shù)小〃的點的位置如圖所示，把從）個數(shù)按照從小到大的順序排列，正確的是

（）

--1--1---------1-->

a0h

A.-a<0<-bB.0<-a<-bC.-b<0<-aD.0<-a<-b

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸的性質(zhì)以及有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出。，人的正

負性和絕對值大小關(guān)系.

先根據(jù)數(shù)軸判斷小〃的正負性與絕對值大小.再根據(jù)相反數(shù)的怛質(zhì)得到的正負性，最后比較-4,-兒0

的大小.

【詳解】從數(shù)軸可知，4<0,〃>0,且

根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，〃的相反數(shù)F>0,力的相反數(shù)-。<0，

所以一Z?V0<-4,

故選：C.

3.有理數(shù)出人在一條隱藏原點的數(shù)軸上的對應(yīng)點4,B的位置如圖所示，且K。>0,下列推斷正確的是

AB

~a廣

A.原點一定在點A左側(cè)B.原點一定在點A右側(cè)

C.原點一定在A4中點左側(cè)D.原點一定在中點右側(cè)

【答案】C

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)越在數(shù)軸的右邊的數(shù)越大，運用得等>0,則原點一定

在A8中點左側(cè)，即可作答.

【詳解】解：^a+b>0,且從數(shù)軸得av〃，

回原點一定在A8中點左側(cè)，

故選:C.

4.如圖，正方形的邊長為1,在正方形的4個頂點處標(biāo)上字母A,B,C,D,先讓正方形上的頂點A與

數(shù)軸上的數(shù)-2所對應(yīng)的點重合，再讓正方形沿著數(shù)軸按順時針方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)2024將與正方形

上的哪個字母重合（）

一?B....................................................

II1????1III?

一5一4—3—2—10123456

A.字母AB.字母BC.字母CD.字母。

【答案】C

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離的含義，正方形滾力一周的長度為4,從-2到2024共滾動2026

個單位長度，由2026+4=506......2,即可作出判斷.

【洋解】解：團正方形的邊長為1,

團正方形的周長為4,

團正方形滾動一周的長度為4,

回正方形的起點在-2處，

02024-(-2)=2026.

[?]2026+4=506......2,

同數(shù)軸上的數(shù)2020將與正方形上的點C重合,

故選：c.

5.在數(shù)軸上有A,B,C三點，其中點A表示的數(shù)是2,點B表示的數(shù)是T,如果其中一點為另外兩點形

成的線段的中點，則點。表示的數(shù)是()

A.-10或-1B._1或8或2

C.TO或8或1D.一】0或-1或8

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸的基本性質(zhì)和數(shù)軸上兩點間的距離計算，本題的解題關(guān)鍵是數(shù)軸上兩點間的距離

計算，根據(jù)數(shù)