實(shí)數(shù)壓軸題（10大題型，50題）

題型歸納

題型一：平方根的新定義問題

題型二：立方根的新定義問題

題型三；估算類的新材料（新方法）問題

題型四：平方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律問題

題型五：立方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律問題

題型六：立方根的性質(zhì)

題型七：大數(shù)的立方根求法

題型八：根式的規(guī)律探究

題型九：實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算綜合

題型十：實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

:題型專練

題型一：平方根的新定義問題

1.124-25七年級(jí)下?安徽合肥?期中）定義：對(duì)任意實(shí)數(shù)乂⑶表示不超過x的最大整數(shù)，如艮14］=3,

［1］=1,［-1.2］=-2.對(duì)數(shù)字227進(jìn)行如下運(yùn)算：①［同］=15；②［而］=3；③［司=1,這樣對(duì)數(shù)字

227運(yùn)算3次后的值就為1,像這樣對(duì)一個(gè)正整數(shù)總可以經(jīng)過若干次運(yùn)算后值為1,則數(shù)字1234經(jīng)過（）

次運(yùn)算后的結(jié)果為1.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】解：依題意，?.T225＜1234＜1296,.,.Ji而詼＜小而，

即25函＜36,二第一次運(yùn)算：［J?標(biāo)］=35,

???衣〈后〈病，.一〈莊斯，???第二次運(yùn)算：［莊］=5,

???〃＜石＜囪，.??2＜收＜3,.??第三次運(yùn)算：

???4＜&＜石，，1＜近＜2,.?.第四次運(yùn)算：=

??.數(shù)字1234經(jīng)過4次運(yùn)算后的結(jié)果為1,

故選：B.

2.(24-25七年級(jí)下?山東臨沂?期口)對(duì)于整數(shù)〃，定義［〃］為不大于冊(cè)的最大整數(shù)，例如：［6］=1,

［〃］=2,［6］=2.對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第一次［恒|=8第二次網(wǎng)=2第三次［0］=1,即對(duì)72進(jìn)

行3次操作后變?yōu)?,對(duì)整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,則m的最大值為()

A.80B.6400C.6560D.6561

【答案】C

【詳解】解：???［而而］=80,卜領(lǐng)卜8,［我］=2,.?.對(duì)6560只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,

?.?［76561］=81,［網(wǎng)=9,網(wǎng)=3,網(wǎng)=1

???只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是6560,.的最大值為6560.故選：C.

3.(22-23七年級(jí)下?江蘇南通?階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)。，我們規(guī)定用｛右｝表示不小于G的最小整數(shù)，稱｛八

｝為。根整數(shù).如｛癡｝=4.

⑴計(jì)算｛囪｝=;(2)現(xiàn)對(duì)。進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為2為止.例如對(duì)12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一

次卜日｝=4,再進(jìn)行第二次求根整數(shù)｛>/?｝=2,表示對(duì)12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2,對(duì)101進(jìn)行連

續(xù)求根整數(shù)，一次后結(jié)果為2；(3)若卜簡(jiǎn)｝=3,寫出滿足題意的〃7的整數(shù)值.

【答案】(1)3(2)三(3)5或6或7或8或9

【詳解】(1)解：???囪=3，｛囪｝=3,故答案為：3.

(2)解：｛洞｝=11，｛曰｝=4,｛4｝=2故答案為：三.

(3)解；?.?｛0｝=3,.??2<?43，;加為整數(shù)，J〃”=5,6,7,&9.

4.(24-25七年級(jí)下?江蘇南通?階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)小我們規(guī)定：用符號(hào)［4］表示不大于右的最大整數(shù)，

稱［右］為“的根整數(shù)，例如：［W］=3,［V10］=3,［后］=3.

(1)仿照以上方法計(jì)算：［后卜—；］同卜—.⑵若［?］=3,寫出滿足題意的所有x的整數(shù)

值

如果我們對(duì)。連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對(duì)10連續(xù)求根整數(shù)2次［麗］=3-［0］=1,這

時(shí)候結(jié)果為1.(3)對(duì)290連續(xù)求根整數(shù)，一次之后結(jié)果為L(zhǎng)(4)只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)

果為1的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是.

【答案】(1)5；7；(2)9,10,11,12,13,14,15；(3)4；(4)255

【詳解】解：(1)［V25］=5；V49<50<64,.-.7<5/50<8,A［>/50］=7,故答案為：5；7.

(2),.［4］=3,，3S77<4,9Vx<l6,

.??整數(shù)x=9,10,11,12,13,14,15；故答案為9,10,11,12,13,14,15.

(3)v[V290]=17,[何=4,[V4j=2,=

.??對(duì)290連續(xù)求根整數(shù)4次之后結(jié)果為1；故答案為：4.

(4)=4,[4]=2,[&]=1,

???對(duì)256進(jìn)行4次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算需要4次結(jié)果為1,

二只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是255.

理由如下：?.?[質(zhì)]=15,[嫗]=3,[6]=1,

二對(duì)255進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算需要4次結(jié)果為1.故答案為：255.

5.(24-25七年級(jí)下?江西南昌?期口)閱讀材料：

材料一：定義卜]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[2.5]=2,[3]=3,[亞卜1；

材料二：定義新運(yùn)算。9=同-回，如2.5*2=[2.5]-[2]=2-2=0,對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(。/).

若滿足“*6=1,則稱該有序數(shù)對(duì)為“望一”數(shù)對(duì)：

若滿足力=0,則稱該有序數(shù)對(duì)為“望音”數(shù)對(duì).

⑴計(jì)算石的值；

(2)下列數(shù)對(duì)是"望一”數(shù)對(duì)的有,是“望音"數(shù)對(duì)的有.(填序號(hào))

①(石，⑺；②(-15-2.5)；③心，病)

⑶計(jì)算：VI*V2+V3*^+V5*V6+--+V2()23*^2024=_____.

【答案】(l)Ji*石=1(2)②，③⑶一22

【詳解】(1)解：74*^=[7?]-[73]=2-1=1：

(2)解：①?.?6*6=[百卜卜行]=1-2=-1,

??.(6,近)既不是"望一'數(shù)對(duì)，也不是“望音”數(shù)對(duì)；

@-..-1.5*-2.5=[-1.5]-[2,5]=-2-(-3)=1，二(-1.5,-2.5)是“望一”數(shù)對(duì)；

③?石*病=[指]-[肪]=2-2=0.?.(火，存)是“望音〃數(shù)對(duì)；

綜上分析可知："望一"數(shù)對(duì)的有②，是“望音"數(shù)對(duì)的有③.

(3)解：==[、萬(wàn)]=]，

國(guó)=2,[石]=2,[伺=2,即]=2,[甸=2,

[#]=3,[Vl0]=3,[而]=3,[亞]=3,[后]=3,[曰]=3,[9]=3,

[72023]=44,[72024]=44,2x43+1=87,3+5+…+87==1935,

.??濟(jì)*正+J5*"+>A*指+…+j2023*j2024中有3個(gè)1,5個(gè)2.7個(gè)3....87個(gè)43.89個(gè)44,

【詳解】（1）解：?."cl7"?,42<23<52,.\4<717<5,4V厲<5,

而的"青一區(qū)間”是（4,5）,-歷的“青一區(qū)間"是（-5,-4）,故答案為：（4,5）,（-5,-4）；

⑵解：:無(wú)理數(shù)一G的"青一區(qū)間"為（一3,-2）,.二2<五<3：2?<3’,即4VQ<9,

???而可的“青一區(qū)間”為（3,4）,3<疝行<4，

32<t?+3<42?即9<。+3<16,「.6<。<13,「.6<。<9,：口為正整數(shù)，.,.“=7或a=8,

、與a=7時(shí)，J4+1=#7+1=啦=2,當(dāng)a=8時(shí),Ja+1=#8+1=圾，?五工I的信為2或我;

（3）f蟀：*.*x+y—tn=Jx+y-280+j280-x-y>

x4-y-280>0,280-x-y>0,?.x+y-280=0,

.?.x+y=280,Ax+y-m=0,:.m=x+y=2^0,的算術(shù)平方根為,

???162<280<172,，16<>/5§5<17,二次的算術(shù)平方根的"青一區(qū)間"是（16,17）.

8.（24-25七年級(jí)下?山東濱州?期口）本學(xué)期第八章《實(shí)數(shù)》中學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立

方根的部分內(nèi)容：

平方根立方根

一般地，如果一個(gè)數(shù)X的平方等于。，即一般地，如果一個(gè)數(shù)X的立方等于。，即

定

/=〃，那么這個(gè)數(shù)X就叫做。的平方根那么這個(gè)數(shù)x就叫做。的立方根

義

（也叫做二次方根）（也叫做三次方根）.

性一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反正數(shù)的立方根是正數(shù)；。的立方根是0：

質(zhì)數(shù)；。的平方根是0：負(fù)數(shù)沒有平方根.負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).

【類比探索】（1）探索定義：填寫下表

%411681???

X???

類比平方根和立方根，給四次方根下定義：;

Q1

（2）探究性質(zhì)：①二的四次方根是；②0的四次方根是:@-625（填“有"或"沒有”）

10

四次方根.

類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：:

【拓展應(yīng)用】（3）①計(jì)算：?②比較大?。褐竷?cè).

【答案】（1）±1，±2,±3；一般地，如果一個(gè)數(shù)x的四次方等于a,即那么這個(gè)數(shù)）就叫做a的

四次方根；（2）?±|；00；③沒有；一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0：

2

負(fù)數(shù)沒有四次方根；（3）-；（4）>

【詳解】解：（1）（±1）4=1,（±2）4=16,（±3）4=81；表格中數(shù)據(jù)依次為：±1,±2,±3；

類比平方根和立方根的定義可得：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的四次方等于a,即那么這個(gè)數(shù)x就叫做a

的四次方根；

（2）①?/±式=以里的四次方根是土：；

{2）16162

②0的四次方根是0;③-625沒有四次方根：

類比平方根和立方根的性質(zhì)可得：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒

有四次方根；

故答案為為：0±|；②0；③沒有：?個(gè)正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)

數(shù)沒有四次方根；

⑶①，一|）=|；故答案為：|；@（73）4-9,（^8）"=8,9>8,.?.V3>V8.故答案為；>.

9.（24-25七年級(jí)下?福建龍巖?期口）小聰是個(gè)愛思考的好學(xué)生，他利用。eepse或模型設(shè)計(jì)了兩種數(shù)學(xué)程序

變換：

力變換：輸入數(shù)。一發(fā)出指令1：對(duì)數(shù)。取立方根（后）一發(fā)出指令2：取不小于該立方根（折）的最小整數(shù)一

輸出數(shù)x.

8變換：輸入數(shù)“6之0）一發(fā)出指令1：對(duì)數(shù)方取算術(shù)平方根（耳）一發(fā)出指令2：把〃減去1一輸出數(shù)V.

如：6經(jīng)過一次A變換得到2,7經(jīng)過一次8變換得到々—1.小聰根據(jù)該程序變換，設(shè)計(jì)并解答了如下4個(gè)

問題：

①輸入數(shù)"=25,經(jīng)過一次A變換得到的輸出數(shù)x是3；

②輸入數(shù)8=16,經(jīng)過一次B變換得到的輸出數(shù)N是3；

③輸入數(shù)b經(jīng)過一次8變換得到九若3y=2折，則6的值為9；

④。經(jīng)過?一次A變換得到x,x再經(jīng)過一次片變換得到1,則。的取值范圍是27KaK64.

利用Deepseek驗(yàn)證結(jié)果，小聰解答正確的序號(hào)是.

【答案】①②③

【詳解】解：①輸入數(shù)。=25,經(jīng)過?次A變換，即先求出兩，

???逾<病<場(chǎng)2（喀<3不小于V25的最小整數(shù)為3,

即得到的輸出數(shù)x是3；故①是符合題意；

輸入數(shù)6=16,經(jīng)過一次8變換，即先求出Ji?=4，則J記-1=4-1=3

???得到的輸出數(shù)歹是3；故②是符合題意：

???輸入數(shù)〃經(jīng)過?次〃變換得到兒1,

?；3y=26，，3（石-1）=26，，3\/^-3=2出，

???3、歷一2筋=3,即〃=3，5=9,故③是符合題意；

?"再經(jīng)過一次8變換得到1,.?」=五一1,.?.2=?,.”=4,

。經(jīng)過一次A變換得到x,即不小于&的最小整數(shù)是4,

?.?歷=3,病=4,，。的取值范圍是27＜。工64.

故④不符合題意；故答案為：①②③

10.（24-25七年級(jí)下?湖南湘西?階段練習(xí)）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的材料，再解答問題.依照平方根（即二次方根）

和立方根（即三次方根）的定義，可給出四次方根、五次方根的定義.比如：若/=。（420）,則工叫。的

二次方根；若丁=〃，則x叫。佗三次方根；若x4=a（a20）,則x叫。的四次方根。

（1）81的四次方根為：-32的五次方根為；

⑵若E■有意義，則a的取值范圍是;⑶求x的值：；（2x-4）J8=0.

［答案】⑴±3,-2（2）421⑶x=3或x=l

【詳解】（1）解：土病=±3,療=-2；故答案為：±3,-2；

（2）解：???4-1是一個(gè)數(shù)的四次方，.??a-120,二。21：

???若瘧T有意義，則。的取值范圍是。之1;故答案為：?＞1;

（3）解：i（2x-4）4-8=0,.-.1（2X-4）4=8,.-.（2x-4）4=16,

??-2x-4=±Vl6=±2?.-.2x-4=23^2x-4=-2,x=3x=1.

題型三：估算類的新材料（新方法）問題

11.（24-25七年級(jí)下?江蘇南通?期中）

材料一:材料二：

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了改進(jìn)求算術(shù)平方根近似值的方法，

其核心思想是通過"以面命之"和"求其微數(shù)”來處理開方開不盡的情況.其近似公式可

我們可以用以下方

概括為：設(shè)N為待開方的正數(shù)，若其算術(shù)平方根的整數(shù)部分為a（即

法表示無(wú)理數(shù)S的

/＜N＜（a+l）2）,余數(shù)為廠=N-6,則N的算術(shù)平方根的近似值為：

小數(shù)部分.

yfNuQ+---.

2。+1

?/4<7<9,以N=107為例：v102=100<107,112=121>107,

；.8＜不＜也,.?.a=10,r=107-100=7.

即2<4<3,.?.不,*771

代入公式得7^=10+.]0+]=1。+天=10+5-1003.

的整數(shù)部分為2,

這一結(jié)果與現(xiàn)代方法所求近似值雖有誤差，但在占代數(shù)學(xué)中已屬先進(jìn)成果.

.?.曲的小數(shù)部分為

"-2.

任務(wù)：（1）利用材料一中的方法，厲的小數(shù)部分等于;

⑵利用材料二中的方法，洞的近似值為（結(jié)果保留兩位小數(shù)）：

⑶己知1O+G=X+J，，其中工為整數(shù)，且0<y<l,結(jié)合所給材料，求式子3x-5（y-百?gòu)S的算術(shù)平方根

的近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

【答案】⑴回-5（2）12.24⑶6.15

【詳解】（1）解：?.?25<29<36,.?.后<炳<后，即5〈犧<6,

.?.標(biāo)的整數(shù)部分為5,回的小數(shù)部分為回-5.故答案為：V29-5;

（2）解：V122=144<150?132=169>150，.\a=12,廠=150—144=6,

代入公式得鬧。12+丁佟==12+二=12+0.24=12.24.故答案為：12.24；

2x12+125

（3）解：???1<百<2,

VIO+A/3=x+y,且0<y<l,.-.x=H,^=10+>/3-11=>/3-1,

=33-5x（百一1-6）2°”=33-5x（-l）2°”=33+5=38,

??.3x-5（?-6rs的算術(shù)平方根為屈，

22

v62=36<38，72=49>38,：.a=6,/.=38-36=2,代入公式得巧忍6+；；^^—=6+三生6.15.

2x6+113

12.（24-25八年級(jí)上?福建泉州?期末）6（〃為正整數(shù)）的近似值可以這樣估算：足宗,其中加是最接

近”的完全平方數(shù).如：V20?^^=4.5,這與科學(xué)計(jì)算器計(jì)算而的結(jié)果4.4721…，很接近.

⑴按照以上方法，可知而a5譚，此時(shí)加=;

⑵某數(shù)學(xué)興趣小組提出以下求同的方法：

解：，：屈〈而<后,即4V而<5，設(shè)而=4+x,其中0<x<l,則20=（4+",即20=16+8x+/,

當(dāng)0<x<l時(shí)，可忽略f,所以20al6+8x,解得xa0.5,即癡々4.5.

請(qǐng)任選一種方法求回的近似值（精確到0.1）.

【答案】（1）25（2）5.8

【詳解】（1）解：⑴最接近26的完仝平方數(shù)2S,.?.〃?=25,故答案為：25；

（2）解.:方法1：回。個(gè)^=5.75。5.8：

方法2：?:岳＜莊＜辰，即5＜衣＜6，

設(shè)庖=5+x，其中0＜x＜l，則33=（5+X）2,即33=25+10X+/,

當(dāng)0＜X＜1時(shí)，可忽略f,所以33之25+10x,解得xaO.8,即而亡5.8.

13.（24-25八年級(jí)上?成都?期中）在沒有帶開方功能的計(jì)算器的情況下，我們可以用下面的方法得到?（〃

為正整數(shù)）的近似值4（4為正整數(shù)），并通過迭代逐漸減小的值來提高4的精確度，以求近的近

似值為例，迭代過程如下：

①先估計(jì)4的范圍并確定迭代的初始值。一＜近〈囪，.?.2＜6＜3,取q=2+曰一=2.5.

②通過計(jì)算恤=色上^和4+i=4-恤得到精確度更高的近似值怎…

2%

請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下面的問題（此題中記方。2.6458,以下結(jié)果都要求寫成小數(shù)形式）:

（1）當(dāng)A=1時(shí)，m]=~-=,。2=4一叫=，%一"卜:

⑵當(dāng)％=2時(shí)，求叫（精確到0.001）,外,3-5|的值.

【答案】（1）一0.15,2.65,0.0042（2）0.004,2.646,0.0002

【詳解】（1）解：由題干所給的信息分析可得：

當(dāng)A=1時(shí)，將4=2.5帶入叫=⑷一”得g=至=2=-0.15,

2al2x2.5

...生=q一叫=2.5-（-0.15）=2.65.,-近卜|2.65-2.6458|=0.0042；

（2）解：當(dāng)％=2時(shí)，將。2=2.65代入所，=1^11^得加，=0.004,

2%'2x2.65

:.%=a「m2=2.65-0.004=2.646,|a3-V7|?|2.646-2.6458|=0.0002.

14.（2024?山西呂梁?三模）閱讀材料，并解決下列問題：

在學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)的估算時(shí)用了“無(wú)限逼近法"，借助計(jì)算器可以估算無(wú)理數(shù)的近似值，我們還可以用下面的方法

來探索無(wú)理數(shù)的近似值.我們知道，面積為2的正方形的邊長(zhǎng)為及，易知我＞1.因此可設(shè)收=1+一如

圖I所示構(gòu)造邊長(zhǎng)為1+x的正方形，則它的面積為（應(yīng)丫=2,

根據(jù)圖中面積關(guān)系，得./+2丫+1=2,

略去產(chǎn)，得2x+la2,解得xaO.5,.??板=l+x*1.5，

易知近＜1.5，因此可設(shè)收=1.5-x.如圖2所示構(gòu)造邊長(zhǎng)為1.5-x的正方形，則它的面積為（逐丫=2,

ffll圖2

⑴上述的分析過程中，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是.（填序號(hào)即可）

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計(jì)C.分類討論D.轉(zhuǎn)化

⑵把上述內(nèi)容補(bǔ)充完整，使灰的近似值更加準(zhǔn)確.（結(jié)果精確到0.001）

【答案】⑴A；（2）1.417.

【詳解】（1）由示意圖可知運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：A；

（2）根據(jù)圖中面積關(guān)系，得IS--一2X（1.5-X）=2,整理得f_3x+2.25=2,

略去f，得—3x+2.25e2,解得1=0.0833,.??a=1.5-彳。1.5-0.0833~1.417.

15.（23-24七年級(jí)下?福建廈門?期中）閱讀材料，完成下列任務(wù)：

材料一：我們可以用以下方法表示無(wú)理數(shù)近的小數(shù)部分.

???4v7v9,.?."<近<囪，即2<近<3.

???彼的整數(shù)部分為2.二4的小數(shù)部分為2.

材料二：我們可以用以下方法求無(wú)理數(shù)斌的近似值（保留兩位小數(shù)）.

???面枳為107的正方形的邊長(zhǎng)是用7，且10<加7<11,

二設(shè)J而=10+x，其中0<x<l.畫出邊長(zhǎng)為10+x的止方形，如圖：根據(jù)圖中面積，得

102+2x10x4-X2=107.

當(dāng)f較小時(shí)，忽略得20%+10（）。107.解得工亡0.35..?.J107=10+x。10.35.

任務(wù)：（1）利用材料一中的方法，求后的小數(shù)部分；（2）利用材料二中的方法，探究后的近似值（保留

兩位小數(shù)）.（備注：請(qǐng)畫出示意圖、標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

【答案】（1）皿-11（2）11.09

【詳解】（1）解：???121<123<144,即11<JI萬(wàn)<12，

、歷的整數(shù)部分為9,「.Ji萬(wàn)的小數(shù)部分為后—11.

（2）解：???面積為123的正方形的邊K是且

二設(shè)J而=ll+x，其中畫出邊長(zhǎng)為2+X的正方形，如圖：根據(jù)圖中面積，得

ll2+2xll.r+x2=123,

IIx

當(dāng)V較小時(shí)，忽略得22X+12S123,解得xeO.09..?."ir*lL09.

題型四：平方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律問題

16.（24-25七年級(jí)下?重慶渝北?期中）用計(jì)算器計(jì)算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下:

n0.06250.6256.2562.5625625062500???

G0.250.79062.57.9062579.06250???

根據(jù)以上規(guī)律，若JT亓ai.3i,Vi7J?4.14,則Ji而：

A.41.4B.13.1C.414D.131

【答案】A

【詳解】解：由表格可以發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相

應(yīng)的向相同方向移動(dòng)一位.

?4.14,.-.>/1710?41.4,選：A.

17.（24-25七年級(jí)卜?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）利用計(jì)算器計(jì)算出的卜表中各數(shù)的算術(shù)平方根如卜：

???J0.0625J0.62576.25>/615V625V6250J62500???

???0.250.79062.57.9062579.06250???

根據(jù)以上規(guī)律，若J^ja5.08,VZ58?1.6b則J0.258x()

A.0.161B.0.508C.16.1D.50.8

【答案】B

【洋解】解：由表格可知，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)

向右（或向左）移動(dòng)?位，70.258。0.508,故選：B.

18.（24-25七年級(jí)下?山東濱州?期中）根據(jù)以下表格里的數(shù)據(jù)：

m2.02420.24202.4202420240

1.4224.49914.2244.99142.2

則J0.02024工

【答案】0.1422

【詳解】解：???52.024。1.422,??.JO.O2O24aO.1422,故答案為：0.1422.

18.（24-25八年級(jí)下?重慶?期中）按要求填空：

（1）填表并觀察規(guī)律：

a0.00040.044400

5

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:

已知：屈=2.408,WJA/580=______;已知：,0.0068=0.0825,4=8.25，貝伊=

（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡(jiǎn)要說明.

a0.00040.044400

V0.020.2220

【答案】（1）見解析（2）24.08,68（3）求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）

每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位

【詳解】（1）解：???0.022=0.0004，0.22=0.04,22=4，202=400,

??.70X）004=0.02,7^04=0.2,?=2，7400=20,填表如下：

a0.00040.044400

G0.020.2220

（2）解：由（1）可知，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它

的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位，

???屈=2.408,

二被開方數(shù)5.8的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位得到580,則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)1位，即

V580=24.08；

???^0.0068=0.0825,石=8.25，；.將被開方數(shù)0.0068的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)4位即可得到?，

???x=68：故答案為：24.08,68.

（3）解：從以上問題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左

（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位.

20.（24-25七年級(jí)下?山東濱州?階段練習(xí)）愛學(xué)習(xí)愛思考的小明，在家利用計(jì)算器計(jì)算得到下列數(shù)據(jù)：

???J0.0324Jo.324-V3.24J32.4V324V3240J32400???

???0.180.5691.85.691856.9180???

⑴你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大二

⑵已知6al.732（精確到0.001）,并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：底一，V300?_;

⑶已知瓦痂=102,4=10.2,6=1020,則工=一,夕=.⑷類似小明的探究，把表中所有平方根換

成立方根，你能根據(jù)力點(diǎn).442,直接說出加而和病面的近似值嗎？

【答案】⑴10倍（2）00732；17.32（3）104.04：1040400

⑷能直接說出胸而=14.42，不能直接說出病5的值

【詳解】（1）解：被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，故答案為：10倍.

（2）1.732（精確到0.001）,并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：70^3?0.1732：阿卬7.32,

故答案為：0.1732；17.32.

（3）vV10404=102,Vx=10.2,y/y=1020,/.x=104.04；y=1040400

（4）解：???珍士1.442,.?.胸麗H14.42，不能直接說出孤麗的值

題型五；立方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律問題

21.（24-25七年級(jí)下?廣東江門?階段練習(xí)）觀察下表，并解答下列問題.

a…0.0000010.001110001000000???

.??0.01X1y100???

⑴表格中工=，y=;⑵若孤=5.326,五~53.26,則。=（用含有b的代數(shù)式表示

c）；

（3）已知病。0.6694,將nl.442,730?3.107.0^300?，V^03?;

②用鐵皮制作一個(gè)封閉的正方體，使它的體積為3000立方米，則需要多大面積的鐵皮？（參考數(shù)據(jù)：

0.66942=0.45,1.4422a2.08,3.1072?9.65）

【答案】（1）0.1;10⑵1000b⑶①6.694；0.3107②需要大約1248平方米的鐵皮

【詳解】（1）解：根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)3位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)1位可得:

x=0.l；y=10；故答案為:0.1；10：

（2）解：???蠣~5.326,加、53.26,二。二1000b，故答案為：1000/）；

（3）解：?^/300=-V0.3x1000=V03xV1000=10^03*10x0.6694=6.694：

#003=J30.==0.3］（）7：故：6.694；0.3107；

VioooVioooio

②設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4米，則/=3000,???〃=痂而=10次力14.42,

---6（?2=6x14.422=6x1.4422x100?6x2.08x100=1248（平方米），

答：需要大約1248平方米的鐵皮.

22.（24-25七年級(jí)下?廣東汕頭?期中）（1）填表：

a0.0000080.00888000

（2）觀察上表，表中數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)與它的立方根右的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)之間有何規(guī)律？請(qǐng)用語(yǔ)言敘述

這個(gè)規(guī)律：：

（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答：

①已知MO.214ao.5981,板?17al.289,正誦之2.776,則西而介于哪兩個(gè)整數(shù)之間？

②已知“0.001843=0.1226,貝U由而。:

③川鐵皮制作一個(gè)封閉的正方體，它的體積是1.843立方米，問需要多大面積的鐵皮？（結(jié)果精確至IJ0.01

平方米）

【答案】（1）0.02,0.2,2,20；（2）規(guī)律：數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)三位，它的立方根指的小數(shù)

點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)一位：（3）①12和13之間：②12.26：③需要大約9.02平方米的鐵皮

【詳解】解：（1）填表如下：

a0.0000080.00888000

0.020.2220

（2）規(guī)律：數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)三位，它的立方根布的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)一位;

（3）①?.?日Z(yǔ)a1.289,.?.溝而=12.89，#2140介于整數(shù)12和13之間;

②二々0.001843k0.1226,班麗b12.26：

③設(shè)正方體的棱及為々米，則/=1.843，由②知狄）.001843?0.1226,

.843?1.226；/.a*1.226,/.6a2?9.02（平方米）,

答：需要大約9.02平方米的鐵皮.

23.（2025七年級(jí)下?廣東?專題練習(xí)）根據(jù)如表，回答下列問題：

a0.0002160.216216216000

0.060.6660

⑴想一想表中數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)與它的立方根指的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)之間有何規(guī)律？

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答：①已知瘋而a0.5981.289,歷了^2.776,則由2140介于哪兩個(gè)整數(shù)

之間？②已知40.001843°0.1226,則必旃*.③用鐵皮制作一個(gè)封閉的正方體，它的體積是1.843

立方米，問需要多大面積的鐵皮？（結(jié)果精確到601平方米）

【答案】⑴數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)每移動(dòng)三位，它的立方根指的小數(shù)點(diǎn)就向相同方向移動(dòng)一位

⑵①12和13之間；②12.26；③9.02平方米

【詳解】（1）解：規(guī)律：數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)每移動(dòng)三位，它的立方根指的小數(shù)點(diǎn)就向相回方向移動(dòng)?位；

（2）解：①?.?啦?萬(wàn)=1.289,.々2140。12.89煙麗介于整數(shù)12和13之間：

②,:址）.001843?0.1226???41.843?1.226,^1843?12.26故答案為：12.26；

③女正方體的棱長(zhǎng)為。米，則a=1.843，.??心1.226,.?.6/之9.02（平方米），

答：需要大約9.02平方米的鐵皮.

24.（24-25七年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期中）在學(xué)習(xí)了《實(shí)數(shù)》這一章的內(nèi)容后，徐老師帶著同學(xué)們一起進(jìn)行對(duì)知

識(shí)的探究.觀察下面式子的規(guī)律，解答問題.

J1600=40,VT6=4,V0J6=0.4……

拜2,^8000=20.48000000=200...

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（1）①如果被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，那么它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向—移動(dòng)—位.

②如果被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，那么它的立方根的小數(shù)點(diǎn)向移動(dòng)位.

【應(yīng)用規(guī)律】（2）①己知質(zhì)麗=28.28，那么我。，V0Xl8?.

②己知出？=2.466,加=-24.66,那么x=.

【拓展】（3）已知而之0.1732，*3000〃14.422,則2石=,2^3=.

【答案】（1）①左，1;②右，1（2）①2.828,0.2828：@-15000（3）3.464,2.8844

【詳解】解：（1）①被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)1位，

②被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)1位，

（2）①根據(jù)總結(jié)的規(guī)律可得：0\2.828,V0X）8?0.2828?

②根據(jù)總結(jié)的規(guī)律可得：五力-24.66,.。=75000,

（3）?.?VM3?0,1732?0300074.422,；.>/3?1.732,^3?1.4422,

A2>/3?2xl.732?3.464,2^/3?2xl.4422=2.8844.

25.（24-25七年級(jí)下?河南商丘?階段練習(xí)）觀察下列規(guī)律并回答問題：

#—0.002197=-0.13,#-2.197=-1.3,必一2197=-13,...

（1）^-2197000=,^-2.197x1（）9=.

⑵已知五=2.35,若取=0.235,用含x的代數(shù)式表示y,則尸；

（3）當(dāng)。之0時(shí)，根據(jù)上述規(guī)律比較私與。的大小情況.

【答案】⑴T30,-1300⑵焉

1000

（3）當(dāng)。=0或a=1時(shí)，&=a；當(dāng)0<。<1時(shí)，\[a>a\當(dāng)。>1時(shí)，>/a<a

【詳解】（1）解：??^/-0.002197=-0.13,-V-2.197=-1.3,^-2197=-13,

???被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)3位，則立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)1位，

???W-2197000=-130,^/-2.197xl09=^-2197000000=-1300?故答案為：T30,-1300.

（2）解：??布=0.235,加=2.35,且2.35=0.235x10,...x=1000y,.十高，故答案為:

（3）解：v^0=0，孤=1，.??由上述規(guī)律得：10.001=0.1，V^ooo=io.

①當(dāng)"0時(shí)，指=3=0,則此時(shí)布=a;

②當(dāng)0<"1時(shí)，W>a；

③當(dāng)a=1時(shí),y/a=V1=1?則此時(shí)標(biāo)=a;

④當(dāng)。>1時(shí)，乩<a；

綜上，當(dāng)4=0或a=l時(shí)，標(biāo)=〃：當(dāng)0<。<1時(shí)，族>a；當(dāng)時(shí)，yfa<a.

題型六：立方根的性質(zhì)

26.（23-24八年級(jí)上?河北唐山?期中）甲、乙、丙三人對(duì)平方根和立方根進(jìn)行了研究，以下是他們?nèi)说慕Y(jié)

論：甲：當(dāng)。>0時(shí)、J7=a乙：。<0時(shí)，_"=一0丙：當(dāng)。>0時(shí)，亞工=-防則下列說法王確的是

（）

A.只有甲、乙正確B,只有甲、內(nèi)正確C.甲、乙、丙都正確D.甲、乙、丙都不正癡

【答案】B

【詳解】解：甲：當(dāng)”>0時(shí)，J7=a，正確；乙：a<0時(shí)，-J7=-|a|=-（-a）=a,錯(cuò)誤；

丙：節(jié)a>0時(shí)，亞［=-媯，正確；故選：B.

27.（24-25八年級(jí)下?浙江?期中）根據(jù)立方根的意義填空:

—‘將=—'y(-2]=—''(-=

觀察上述結(jié)果，猜想對(duì)于實(shí)數(shù)a,正等于什么？對(duì)于式子底（〃22,〃是整數(shù)）的化簡(jiǎn)，你有怎樣的認(rèn)

識(shí)？

【答案】2,0,-2,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，V7=|a|=f，6，-0；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，叱=a

33l-a,?<U

【詳解】解：VF=2：=|：而=0；V^7=-2；2-：，則對(duì)于實(shí)數(shù)43/=4：

對(duì)「式子版是整數(shù)）,

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí),行I-第..=aL,a”>0。；

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，折=4.

28.（24-25七年級(jí)下?四川南充?階段練習(xí)）閱讀理解，觀察下列式子:

①我+舛=2+（-2）=0；②祈+g=1+（-1）=0；

@Vw00+^/-1000=10+（-10）=0；④梏++&=；+（_；）=0；…

根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，問答如下問題：

⑴巾等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個(gè)這樣的真命題：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)a,b,若

，則指+四=0;反之也成立.

（2）根據(jù)上述的真命題，解答問題：若次二57與行而的值互為相反數(shù)，求-而的值.

【答案】（l）a+b=0（2）-4

【詳解】（1）解：由規(guī)律可得：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)。、b,若a+b=O,則指+物=0,故答案為：

<7+6=0.

（2）解：若行示與歷商的值互為相反數(shù)，則2-3x+2x+6=0,解得：x=8.

―/lx=—y/\6=—4

29.（24-25八年級(jí)上?江蘇?期中）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？他進(jìn)

行了如下步驟：

①首先進(jìn)行了估算：因?yàn)?0:1C00,100;1000000,所以病而是兩位數(shù)；

②其次觀察了立方數(shù)：廣=1,23=8,3,=27,43=64,53=125,63=216,73=343?=512,9j=729；猜想450653

的個(gè)位數(shù)字是7：

③接著將50653往前移動(dòng)3位小數(shù)點(diǎn)后約為50,因?yàn)榇?27,4?=64,所以#50653的十位數(shù)字應(yīng)為3,

于是猜想450653=37,驗(yàn)證得：50653的立方根是37：

④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)"得到舊而豆=-37,同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)

數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立.

請(qǐng)你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：（12117649=；（2）若%-2x+癢0,則工=;

（3）已知打工+2=x,且何二I與圻二五互為相反數(shù)，求X4的值.

42

【答案】（l）-49（2）3（3）x=2,y=§：x=3,y=2；X=1,y=§

【詳解】（1）解：因?yàn)镮O?=]ooo,ioo3=]oooooo，所以的17649是兩位數(shù),

333

因?yàn)槭?12=8,3'=274=64,5=125,6=216,7=343,8,=512,9,=729；猜想班17649的個(gè)位數(shù)字是9,

接著將117649往前移動(dòng)3位小數(shù)點(diǎn)后約為117,因?yàn)?,=64,5,=125,所以打萬(wàn)麗的十位數(shù)字應(yīng)為%于

是猜想盯萬(wàn)麗=49,驗(yàn)證得：117649的立方根是49；

最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到正117649=-49；

（2）解：???亞石+痣=0,.??MW和痣互為相反數(shù)，，l—2x=-5,...x=3；故答案為：3.

（3）解：Vx^2+2=x,即=???x-2=0或1或一1解得：x=2或3或1

與互為相反數(shù)，即+???3?-1+1-2彳=0,即3y-2工=0,

42

.?.x=2時(shí)，y=-；當(dāng)x=3時(shí)，y=2；當(dāng)x=l時(shí)，y=—.

JJ

30.（24-25七年級(jí)下?山東日照?期中）閱讀一：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師說："正是無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)就是無(wú)限

不循環(huán)小數(shù)，同學(xué)們，你能把及的小數(shù)部分全部寫出來嗎？"大家議論紛紛，晶晶同學(xué)說：“要把它的小數(shù)

部分全部寫出來是非常難的，但我們可以用（正-1）表示它的小數(shù)部分張老師說：“晶晶同學(xué)的說法是正

確的，因?yàn)榻恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，〃請(qǐng)你解答：己知

8+G=x+y,其中x是一個(gè)整數(shù)，且。<”1,請(qǐng)你求出2工+：追-），廠的立方根.

閱讀二：我們知道4+力=0時(shí)，/+/=（）也成立，若將。看成病的立方根，看成//的立方根，我們能否

得出這樣的結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù).

（1）試舉一個(gè)例子來判斷上述猜測(cè)結(jié)論是否成立；

（2）若期二五與近三互為相反數(shù)，求（1-4「”的值.

【答案】閱讀一：19：閱讀二：（1）見解析；（2）1

【詳解】解：閱讀一：vl<3<4,.-.1<V3<2,■?-9<8+V3<10,

?.?8+G=x+y,其中x是一個(gè)整數(shù)，且0<y<l,：.x=9,y=8+VJ-9=VJ-1,

.-.2x+（V3-y）2024=2X9+（^-V3+1）2°24=18+1=19；

閱讀二：（1）設(shè)兩個(gè)數(shù)的立方根分別為。和