專題9-牛吃草問題

小升初數(shù)學(xué)模塊化思維提升

（知識梳理+典題精講+專項訓(xùn)練）

知例梳理

1、牛吃草問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化.因

此解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成

兩部分的和，即原有的草量加新長的草量.顯而易見，原有的草量是一定的，新

長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量一每天（每

周）新長出的草的數(shù)量.

2、解答流程。

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出

其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草

量.

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量.

3、基本公式。

生長量二（較長時間X長時間牛頭數(shù)一較短時間X短時間牛頭數(shù)）-r（長時間

-短時間）；

原有草量二較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

牛吃草問題常用到四個基本公式：

（1）草的生長速度二（對應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的

較少天數(shù)）+（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；

（2）原有草量二牛頭數(shù)X吃的天數(shù)-草的生長速度X吃的天數(shù)；

（3）吃的天數(shù)=原有草量+（牛頭數(shù)-草的生長速度）；

（4）牛頭數(shù)二原有草量?吃的天數(shù)十草的生長速度.

【典例一】某水庫建有10個泄洪間，現(xiàn)有水庫的水位已經(jīng)超過安全線，上

游河水還在按一定的速度流入水庫.為了防洪，需調(diào)節(jié)泄水速度.假設(shè)每個閘門

泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開1個泄洪間，經(jīng)30個小時水位降至安全線；

若同時打開2個泄洪聞，10個小時水位降至安全線.現(xiàn)在抗洪指揮部要求用2.5

小時使水位降至安全線下，問至少要同時打開（）個閘門.

A.7B.8C.9D.10

【分析】設(shè)每個泄洪閘每小時泄洪1份，先求上游的河水的增加速度為：

（30x1-10x2）+（30-10）=0.5（份）；再求安全線以上的原有的水量為：

30x1—0.5x30=15（份）；至少要同時打開個閘門個數(shù)為：（15+0.5x25）+2.5=6.5個，

為了確保在2.5個小時內(nèi)使水位降至安全線以下，需要用“進一法”求出得數(shù).

【解答】解：設(shè)每個泄洪間每小時泄洪1份，

（30x1-10x2）4-（30-10）

=10?20

=0.5（份）

30x1-0.5x30

=30-15

=15（份）

（15+0.5x2.5）+2.5

=16.25+2.5

?7（個）；

答：要求在2.5個小時內(nèi)使水位降至安全線以下，至少要同時打開7個.

故選：A.

【點評】點評：本題是牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度（本題相當(dāng)于

每小時的泄洪量）和草地原有的份數(shù)（本題相當(dāng)于安全線以上的原有的水量）.

【典例二】一個蓄水池，每分鐘流入4立方水，如果打開5個水龍頭，2.5

小時就可把水池里的水放完，如果打開8個水龍頭，1.5小時就可把水池里的水

放完.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問小時可把水池的水放完.

【分析】平均每個水龍頭每小時放水1份，5個水龍頭2.5小時放水12.5

份，8個水龍頭1.5小時放水12份，每小時流入水(12.5-12)+(2.5-1.5)=0.5份，

2.5小時流入水0.5x2.5=1.25份，原來有水12.5-1.25=11.25份,13個水龍頭需要時

間11.25+(13-0.5)=0.9小時.

【解答】解：設(shè)平均每個水龍頭每小時放水1份，

(2.5x5-l.5x8)-(2.5-1.5),

=(12.5-12)-=-1,

=0.5+1,

=0.5;

(2.5x5-0.5x2.5)-(13-0.5),

=(12.5-1.25)+12.5,

=11.25^12.5,

=0.9(小時)；

答：現(xiàn)在打開13個水龍頭，0.9小時可把水池的水放完.

【點評】對于這類題目，題里已知條件較多，看上去比較復(fù)雜，一定要理清

題里數(shù)量間的關(guān)系，找到解決問題的突破口，在這里每小時放水1份，找到每小

時流入水的份數(shù)，就是關(guān)鍵點，下面的問題就好真了.

【典例三】4頭牛28天可以吃完10公頃牧場上全部牧草，7頭牛63天可以

吃完30公頃牧場上全部牧草，那么60頭牛多少天可以吃完40公頃牧場上全部

牧草？(每公頃牧場上原有草量相等，且每公頃牧場上每天生長草量相等)

【分析】設(shè)每頭牛每天吃草量為1份，每公頃原有草量為x份，每天每公頃

新長草量為y份，根據(jù)“4頭牛28天可以吃完10公頃牧場上全部牧草，”可列

方程為：28x(4-10y)=10x,①；再根據(jù)"7頭牛63天可以吃完30公頃牧場上全

部牧蘋，”可列方程為：63x(7-30)，)=30-②，然后解①②兩個方程得y=O.l,

=(2(X)-150)-10,

=50+10,

=5(份)；

原有草量為：

20x10-5x20=100(份)，

30頭羊吃的天數(shù)：

1004-(30-5),

=100?25,

=4(天)；

答：這片牧草可供30頭羊吃4天，

故選：C.

【點評】此題屬于典型的牛吃草的最基本類型的題目，只要設(shè)出每頭羊每天

吃“1”份草，求出牧場每天的長草量和牧場原有的草量，問題即可解決.

2.有20個玩具被丟在地板上，小紅媽媽每30秒把3個玩具從地板上放到

玩具盒里，但30秒一過，小紅就從玩具盒拿出兩個玩具，那么小紅和她媽媽需

要()秒才能把20個玩具都放到玩具盒中.

A.510B.540C.57CD.600

【分析】由于30秒一過，小紅就從玩具盒拿出兩個玩具，相當(dāng)于媽媽每個

30秒只放到筐里3-2=1個玩具，由于第一次小紅不再從玩具盒拿出兩個玩具，

所以前20-3=17個玩具，需要17+1=17個30秒，然后再加上最后一個30秒即可.

【解答】M:(20—3)+(3—2)x30+30

=17+1x30+30

=510+30

=540(秒)

答：小紅和她媽媽需要540秒才能把20個玩具都放到玩具盒中.

故選：Bo

【點評】本題類似于牛吃草問題，關(guān)鍵是求出前20-3=17個玩具需要的時間.

3.某水庫建有10個泄洪閘，現(xiàn)有水庫的水位已經(jīng)超過安全線，上游河水還

在按一定的速度流入水庫,為了防洪，需調(diào)節(jié)泄水速度.假設(shè)每個閘門泄洪的速

度相同，經(jīng)測算，若打開1個泄洪間，經(jīng)30個小時水位降至安全線；若同時打

開2個泄洪間，10個小時水位降至安全線,現(xiàn)在抗洪指揮部要求用2.5小時使

水位降至安全線下，問至少要同時打開（）個閘門.

A.7B.8C.9D.10

【分析】設(shè)每個泄洪間每小時泄洪1份，先求上游的河水的增加速度為：

（30x1-10x2）4-（30-10）=0.5（份）；再求安全線以上的原有的水量為：

30x1-0.5x30=15（份）;至少要同時打開個閘門個數(shù)為：（15+0.5x25）+2.5=6.5個,

為了確保在2.5個小葉內(nèi)使水位降至安全線以下，需要用“進一法”求出得數(shù).

【解答】解：設(shè)每個泄洪閘每小時泄洪1份，

（30x1-10x2）4-（30-10）

=10?20

=0.5（份）

30x1-0.5x30

=30-15

=15（份）

（15+0.5x2.5）4-2.5

=16.25+2.5

-7（個）；

答：要求在2.5個小時內(nèi)使水位降至安全線以下，至少要同時打開7個.

故選：A.

【點評】點評：本題是牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度（本題相當(dāng)于

每小時的泄洪量）和草地原有的份數(shù)（本題相當(dāng)于安全線以上的原有的水量）.

二.填空題（共7小題）

4.畫展9點開門，但早就有人排隊等候入場了。從第一個觀眾到達起，每

分鐘來的觀眾數(shù)量一樣多，如果開設(shè)3個入場口,則9點9分就不再有人排隊，

如果開設(shè)5個入場口，則9點5分就不再有人排隊，那么第一個觀眾到達的時問

是8點15分。

【分析】9點開門，開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，開5個入場

口，9點5分就沒有人排隊，由此可得來人的速度為(9x3-5x5)+(9_5)=0.5,開

門之前來人為3x9-0.5x9=22.5,第一個觀眾來的時間距開門時間：22.5+0.5=45

分，再用9時減去45分即可求出答案。

【解答】解：(9X3-5X5)4-(9-5)

=(27-25)4-4

=2?4

=0.5

3x9-0.5x9

=27-4.5

=22.5

22.5+0.5=45(分)

9時-45分=8時15分

答：第一個觀眾到達的時間是8點15分。

故答案為：8點15分。

【點評】這是“牛吃草”問題，關(guān)鍵利用前兩次開口不同過人的差除以時間

得到來人的速度，然后利用速度解決問題。

5.樂樂媽媽手機通常一直開著。如果她手機開著而不通話，電池可維持24

小時：如果她連續(xù)使用手機通話，電池只能持續(xù)3小時，從她最后一次充滿電算

起，她手機已經(jīng)持續(xù)開機9小時，在這段期間內(nèi)，她通話用了60分鐘。如果她

不再使用手機通話，而讓手機持續(xù)開著，該手機還能再持續(xù)待機」個小時。

【分析】”手機只要是開著，無論是否通話都要耗電所以設(shè)手機每小時

耗電1份，電池存電量為24x1=24份，純通話1小時的耗電量為(24-lx3)+3=7

份，當(dāng)然這段時間，即1小時手機耗電1份；故9小時里面就包括了通話1小時

手機耗電的那1份了。綜上可知：她手機已經(jīng)持續(xù)開機9小時，在這段期間內(nèi)，

她已經(jīng)用了60分鐘來通話，電池還儲存的電量為24-7-9=8份，這樣便可求出

手機還能維持的時間為8+1=8小時。

【解答】解：設(shè)手機每小時耗電為1份，則

24x1-3x1=21(份)

214-3=7(份)

24-7-9=8(份)

8+1=8(小時)

答：該手機還能再持續(xù)待機8個小時。

故答案為：8o

【點評】此題解答的關(guān)鍵就是要明白：1:通話時的耗電量由2部分組成；

2:9小時的耗電量中包括了通話1小時的耗電量0

6.一塊牧場長滿了牧草，每天草都在勻速生長.這塊牧場上的草可供10頭

牛吃20天，也可供15頭牛吃10天.那么，這塊牧場上的草可供25頭牛吃

天。

【分析】設(shè)每頭牛每天吃一份的草，根據(jù)“牧場上的草可供10頭牛吃20天，

也可供15頭牛吃10天.”，求出草的生長速度為：(10x20-15x10)^-(20-10)=5

份，原有草的份數(shù)為：10x20-5x20=100份，每天生長的5份的草，可供5頭牛

吃，剩下的(25-5)20頭牛，就可吃原有的100份的草，可以吃：100+20=5(天

),問題得解.

【解答】解：設(shè)每頭牛每天吃一份的草，

草的生長速度為：

(10x20-15x10)4-(20-10),

=50?10,

=5份；

原有草的份數(shù)為：

10x20-5x20,

=200-100,

=100份;

牧場上的草可供25頭牛吃的天數(shù)為：

100+(25-5),

=100-20,

=5(天)；

答：這塊牧場上的草可供25頭牛吃5天.

故答案為：5.

【點評】本題是一道典型的牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度和原有草

的份數(shù).

7.一片草地，可供16只羊吃30天，或可供20只羊吃18天，那么可供15

只羊吃36天,要想使這片草地能供羊吃的時間盡可能地長，最多應(yīng)該放養(yǎng)

只羊.

【分析】設(shè)每只羊每天吃草1份，根據(jù)“可供16只羊吃30天，或可供20

只羊吃18天，”，可以先求出草的生長速度，列式為：(16x30-20x18)-(30-18)=10

(份)：再求出草地原有的份數(shù)，列式為：16x30-10x30=180(份)；然后拿出10

只羊吃每天生長的10份的草，剩下的5只吃草地原有的180份，那么需要的時

間為：180+(15-10)=36天；要想使這片草地能供羊吃的時間盡可能地長，養(yǎng)只能

吃每天生長的10份的草，即最多應(yīng)該放養(yǎng)10只羊.

【解答】解：設(shè)每只羊每天吃草1份，

(16x30-20x18)+(30-18),

=120?12,

=10(份);

16x30-10x30,

=480-300,

=180(份);

180-5-(15-10),

=1804-5,

=36（天）;

要想使這片草地能供羊吃的時間盡可能地長，養(yǎng)只能吃每天生長的10份的

草，即最多應(yīng)該放養(yǎng)10只羊.

答：可供15只羊吃36天，要想使這片草地能供羊吃的時間盡可能地長，最

多應(yīng)該放養(yǎng)10只羊.

故答案為：36,10.

【點評】本題是典型的牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度和草地原有的

份數(shù).

8.某火車站的檢票口在開始檢票前已有945名旅客排隊等待檢票，此時，

每分鐘還有固定的若干人前來進口處準備進站.如果開放4個檢票口，15分鐘

放完旅客；如果開放8個檢票口，7分鐘可以放完旅客,照此檢票的速度.現(xiàn)要

想在5分鐘內(nèi)放完所有旅客.需要開放11個檢票口.

【分析】設(shè)1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份，先求出每分鐘新來的旅客

份數(shù)，再求出檢票開始前排隊的原來人數(shù)用份表示，最后即可求出在5分鐘內(nèi)全

部進館的旅客人數(shù)份數(shù)，再除以5就是需要打開檢票口的個數(shù).

【解答】解：由分析得出：

設(shè)每個檢票口每分鐘檢票的人數(shù)為1份，

則新增：（15x4-7x8）4-（15-7）=0.5（份）

原有:15x4-0.5x15=52.5（份）

5分鐘新來的人的份數(shù)為：5x0.5=2.5（份）

現(xiàn)在人數(shù)一共有：52.5+2.5=55（份）

55+5=11（個）.

答：需要設(shè)立11個檢票口.

故答案為：11.

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，設(shè)出1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)，最后求出

最后人數(shù)的總份數(shù)，問題即可解決.

9.一片青草，每天生長的速度相同，現(xiàn)在這片青草可供10頭牛和60只羊

一起吃8天；或者8頭牛32只羊吃20天.已知一頭牛的吃草量等于4只羊的吃

草量，那么可供80只羊吃12天.

【分析】根據(jù)“一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，”那么10

頭牛的吃草量就等于(10x4)只羊的吃草量；8頭牛的吃草量就等于(8x4)頭牛的

吃草量;

設(shè)每只羊每天吃草1份，根據(jù)“(10*4+60)只羊吃8天，或供(8x4+32)只羊

吃20天”可以求出草每天生長的份數(shù)：(64x20-100x8)+(20-8)=40(份)；再根

據(jù)“04x0+只羊吃8天”可以求出草地原有的草的份數(shù)：(100-40)x8=480(份

)：由于草每天生長4c份，可供80只中的40只羊吃，剩下40只吃草地原有的

480份草，可以吃480-40=12(天)；問題得解.

【解答】解：設(shè)每只羊每天吃草1份，把牛的頭數(shù)轉(zhuǎn)化為羊的只數(shù)為：

10x4=40(只)，8x4=32(只)：

草每天生長的份數(shù)：

(64x20-100x8)4-(20-8),

=(1280-800)-5-12,

=480+12,

=40(份)；

草地原有的草的份數(shù)：

(100—40)x8=480(份)；

80只羊所吃天數(shù)為：

480-(80-40),

=480?40,

=12(天);

答：那么可供80只羊吃12天.

【點評】本題是典型的牛吃草問題，這種問題關(guān)鍵是求出草每天生長的份數(shù)

和草地原有的草的份數(shù)；可以利用兩種假設(shè)條件“10頭牛和60只羊一起吃8天；

或者8頭牛32只羊吃20天”求出；本題需要注意把牛的頭數(shù)轉(zhuǎn)化為羊的只數(shù)便

于解答.

10.有一片牧場，草每天都在均勻地生長.如果在牧場上放養(yǎng)24頭牛，那

么6天就把草吃完了；如果只放秦21頭牛，那么8天才把草吃完、請問：

(1)要使得草永遠吃不完，最多可以放養(yǎng)12頭牛;

(2)如果放養(yǎng)36頭牛，天可以把草吃完.

【分析】假設(shè)每頭牛每天吃的草為1份，根據(jù)24頭牛6天可吃完；21頭牛

8天可吃完時，兩種情況下牛的吃草量，再根據(jù)每天草的生長量=多吃的草的量+

多吃的天數(shù)，求出每天草的生長量，然后再求出原來草的總量；

(1)要使草永遠吃不完，必須滿足放的牛6勺頭數(shù)每天吃掉的草與每天生長

的草相等.最后根據(jù)至多放的牛的頭數(shù)=每天草的生長量.每頭牛每天吃的草(也

就是1)解答；

(2)如果放養(yǎng)36只牛，那么每天減少36份草，草每天生長的夠12頭牛

吃，剩下的36-12=24頭牛吃原來的草的總量，這樣可以吃的天數(shù)為：72+24=3

(天).

【解答】解：假設(shè)每頭牛每天吃的草為1份：

每天草的生長量：(21x8-24x6)+(8-6)

=(168-144)+2

=24+2

=12(份)

原來草的總量：24x6-12x6

=144-72

=72(份)

(1)12-5-1=12(頭)

答：要使草永遠吃不完，至多放12頭牛.

(2)72+(36—12)

=72?24

=3(天)

答：如果放養(yǎng)36頭牛，3天可以把草吃完.

故答案為：12,3.

【點評】首先要明確：要使草永遠吃不完，必須滿足放的牛的頭數(shù)每天吃掉

的草與每天生長的草相等.只要根據(jù)兩種情況下求出草每天的生長量即可解答.

三.解答題(共10小題)

11.-片草地如果9頭牛吃.12天吃完所有的草，如果8頭牛吃，16天吃完

所有的草.現(xiàn)在開始只有4頭牛，從第7天起又增加了若干頭牛，再6天吃完所

有草.問增加了多少頭牛？

【分析】設(shè)每頭牛每天吃一份的草，根據(jù)“12天吃完所有的草，如果8頭牛

吃，16天吃完所有的草.”，草的生長速度為：(16x8-12*9)+(16-12)=5份，原

有草的份數(shù)為：12x9-5x12=48份，4頭牛前6天一共吃了：4x6=24份，還剩下

48+5x6-24=54份，后六天一共吃的草的份數(shù)為：54+5x6=84份，6天吃完所

有草需要牛的頭數(shù)是：84+6=14頭，增加了14-4=10頭牛.

【解答】解：設(shè)每頭牛每天吃一份的草，

草的生長速度為：

(16x8-12x9)4-(16-12),

=20+4,

=5份，

原有草的份數(shù)為：

12x9-5x12,

=108-60,

=48份，

4頭牛前6一共吃了：4x6=24份，

還剩下：48+5x6-24=54份，

后六天一共吃的草的份數(shù)為：54+5x6=84份，

增加牛的頭數(shù)是：84-6-4=10（頭）.

答：增加了10頭牛.

【點評】本題是一道復(fù)雜的牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度和原有草

的份數(shù).

12.近期發(fā)現(xiàn)非洲某地區(qū)有一部分已感染某種病菌，而且這種病菌按照一定

的速度勻速傳播.現(xiàn)在我合國準備派出部分專家進行防治.如果派出60名專家，

需要20天能徹底控制這種病菌；如果派出65名專家，需要18天能徹底控制這

種病菌.如果要在10天內(nèi)控制住這種病菌，至少需要派出多少名專家？

【分析】設(shè)每名專家每天控制1份病菌傳播，病菌每天的傳播速度為：

（60x20-65x18）-（20-18）=15（份）；原有病菌的份數(shù)為：60x20-15x20=900（份

）：如果要在10天內(nèi)控制住這種病菌，至少需要派出：（900+15x10）+10=105（人

）.

【解答】解：（60x20-65x18）-（20-18）,

=30+2,

=15（份）；

60x20-15x20

=1200-300,

=900（份）；

（900+15x10）4-10,

=1050+10,

=105（人）：

答：如果要在10天內(nèi)控制住這種病菌，至少需要派出105名專家.

【點評】牛吃草問題關(guān)鍵是求出草的生長速度（本題相當(dāng)于病菌每天的傳播

速度），和原有草的總份數(shù)（本題相當(dāng)于原有病菌的份數(shù)）.

13.由于打字員的辭職，一個公司積壓下一批需要打印的材料，而且每天還

要新增加固定數(shù)量需要打印的材料,假設(shè)材料以頁計數(shù)，每個打字員的打字速度

是相同的、固定的（單位是頁/天）.如果公司聘任5名打字員，24天就恰好打

完所有材料；如果公司聘任9名打字員，12天就恰好打完所有材料.公司聘任

了若干名打字員，工作8天之后，由于業(yè)務(wù)減少，每天新增的需要打印的材料少

了一半，結(jié)果這些打字員共用40天才恰好完成打字工作.問：公司聘任了多少

名打字員？

【分析】解這類型題的關(guān)鍵需要了解打印材料的有關(guān)情況：積壓下的材料數(shù)

量和每天增加的材料數(shù)量.其解法和解決牛吃草問題類似.

設(shè)每個打字員1天打字量為1份，則5名打字員24天打了5x24=120份，9

名打字員12天打了9x12=108份;那么（24-12=12）天增加（120-108=12）份,可以

求出每天增加材料是12+12=1份；進而可以求出原來的材料有：120-24x1=96份；

工作8天這時的材料是：96+1x8=104份，又由于“每大新增的需要打印的材料

少了一半，，，所以后（4（）_8=32）天新增的需要打印的材料為：1x32+2=16份，那

么40天實際材料總量是：104+16=120份，繼而可以求出公司聘任的人數(shù)：

120?40=3人，這樣問題得解.

【解答】解：設(shè)每個打字員1天打字量為1份，則5名打字員24天打了：

5x24=120（份），

9名打字員12天打了：9x12=108（份）；

材料每天增加的份數(shù)：（120-108）4-（24-12）,

=124-12,

=1（份）；

原來的材料有：120-24x1=96（份）；

40天實際材料總量是：

96+1x8+（40-8）x14-2,

=96+8+16,

=120（份）；

公司聘任的人數(shù)：120+40=3（人）.

答：公司聘任了3名打字員.

【點評】本例把聘任制問題遷移到了牛吃草問題中，利用題中的兩種假設(shè)求

出材料每天增加的份數(shù)和原來的材料的份數(shù)；然后再求出40天實際材料總量為

本題解答的關(guān)鍵；這種簡便新穎的解法我們需要在以后的這種類型題中靈活運用.

14.某地有一塊草場，假設(shè)每天草場的草都在均勻生長，這片草場經(jīng)過測算

可供9只羊吃20天，或可供15只羊吃10天，如果供18頭羊吃，可吃幾天？

【分析】根據(jù)題意，設(shè)每只頭羊每天吃“1”份草，先求出牧場每天的長草

量，再求出牧場原有的草量，由此即可算出這片牧草可供18只羊吃的天數(shù).

【解答】解：設(shè)每只羊每天吃“1”份草，

每天新生草量為：

(20x9-15x10)-5-(20-10),

=(180-150)^-10,

=304-10,

=3(份);

原有草量為：

15x10-3x10=120(份),

18只羊吃的天數(shù)：

120+(18-3),

=120?15,

=8(天)；

答：這片牧草可供18只羊吃8天，

【點評】此題屬于典型的牛吃草的最基本類型的題目，只要設(shè)出每只羊每天

吃“1”份草，求出牧場每天的長草量和牧場原有的草量，問題即可解決.

15.牛頓問題

英國偉大的科學(xué)家一一牛頓曾經(jīng)寫過一本數(shù)學(xué)書.書中有一道非常有名的關(guān)

于牛在牧場上吃草的題目，后來人們就把這類題目稱為“牛頓問題”.

“牛頓問題”是這樣的：“有一牧場，已知養(yǎng)牛27頭，6天把草吃盡；養(yǎng)牛

23頭，9天把草吃盡.如果養(yǎng)牛21頭，那么幾天能把牧場上的草吃盡呢？并且

牧場上的草是不斷生長的.”你也算一算吧！

【分析】這類題目的一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作1,那么就

有：牧場原有的草和6天新長的草，即27頭牛6天所吃的牧草：27x6=162,

再求出牧場原有的草和9天新長的草，即23頭牛9天所吃的牧草：23x9=207；

1天新長的草為：(207-162)+(9-6)=15；牧場上原有的草為：27x6-15x6=72;每

天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草，即為

所求.

【解答】解：(1)27頭牛6天所吃的牧草為：27x6=162,(這162包括

牧場原有的草和6天船長的草.)

(2)23頭牛9天所吃的牧草為：23x9=207

(這207包括牧場原有的草和9天新長的草.)

(3)1天新長的苴為：(207-162)4-(9-6)=15

(4)牧場上原有的草為：27x6-15x6=72

(5)每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場

的草：

72+(21-15)=72+6=12(天)

答：養(yǎng)21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡.

【點評】由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重

點是要想辦法從變化中找到不變量,牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在

變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的.

16.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6

人喝，4天可喝完：如果給4人喝，5天可喝完.這桶酒每天漏掉的酒可供幾人

喝一天？

【分析】設(shè)一人1天的飲酒量為1份，每天漏酒的量為：（6x4-4x5）+（5-4）=4

（份），據(jù)此即可求出這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天.

【解答】解：設(shè)一人1天的飲酒量為1份，

每天漏酒的量為：

（6x4-4x5）-5-（5-4）

=4?1

=4（份），

4+1=4（人）

答：這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天.

【點評】這是典型的牛吃草問題，利用題中的兩種假設(shè)求出桶中酒漏的份數(shù)

為本題解答的突破口.

17.一片草地，有15頭牛吃草，8天可以把草全部吃光.如果起初這15頭

牛吃了2天后，又來了2頭牛，則總共7天就可以把草吃完，如果起初這15頭

牛吃了2天后，又來了5頭牛，則總共多少天可以把草吃完.假定草生長的速度

不變，每頭牛每天吃的草量相同.

【分析】設(shè)每頭牛每天吃“1”份草，則15頭牛8天吃：15x8=120（份），

15頭牛吃了2天，又來了2頭?？偣?天共吃，2x15+17x5=115（份），

那么8-7=1（天）共長草5份，原來有草：120-5x8=80（份），15頭牛2天

吃草：15x2=30（份），還剩80+5x2-30=60（份）.那么又來了5頭牛，20頭

?？沙裕?0-（20-5）,計算即可.

【解答】解：設(shè)每頭牛每天吃“1”份草.

則15頭牛8天吃：15x8=120（份）,

15頭牛吃了2天，又來了2頭?？偣?天共吃：2x15+17x5=115（份］,

刃日么8—7=1（天）共長草120—115=5（份），

原來有草：120-5x8=80（份）,

15頭牛2天吃草：15x2=30（份），還剩80+5x2-30=60（份）.

那么又來了5頭牛，20頭?？沙裕?0X20-5）=4（天），

一共需要2+4=6（天）

答：總共需要6天吃完草.

【點評】這是典型的牛吃草問題，利用題中的兩種假設(shè)求出草每天長的份數(shù)

和原來草的份數(shù)為本題解答的突破口.

18.倉庫里原有一批存貨，以后繼續(xù)運貨進倉，且