2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)學數(shù)值代數(shù)方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在浮點數(shù)系F(m,d)中，一個非零數(shù)x的浮點表示為x=±m(xù)×b^e，其中m是（）。A.尾數(shù)，且0≤m<1B.尾數(shù)，且0≤m≤1C.首數(shù)，且0≤m<1D.首數(shù)，且0<m≤12.對于線性方程組Ax=b，若其系數(shù)矩陣A的條件數(shù)κ(A)很大，則（）。A.解向量x存在且唯一B.使用直接法求解幾乎不會引入舍入誤差C.方程組對初始擾動和舍入誤差很敏感，求解結果可能不準確D.方程組無解3.高斯消元法本質上是通過（）將系數(shù)矩陣A變換為上三角矩陣。A.逐次消去主對角線下方的元素B.逐次消去主對角線上方的元素C.逐次消去副對角線上的元素D.對角線元素歸一化4.迭代法x(k+1)=Gx(k)+f用于求解Ax=b，為了保證收斂，迭代矩陣G的譜半徑ρ(G)必須滿足（）。A.ρ(G)=0B.ρ(G)>1C.ρ(G)<1D.ρ(G)≥15.在求解對稱正定矩陣Ax=b的過程中，Cholesky分解利用了矩陣A的（）性質。A.正交性B.對稱性和正定性C.奇異值分解D.LU分解二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在橫線上）6.若x是準確解，x?是其浮點近似值，則相對誤差δr定義為__________。7.若迭代過程x(k+1)=x(k)-αAx(k)+b收斂，則迭代矩陣的譜半徑ρ(G)=__________，其中G=-αA+I。8.Jacobi迭代法是Gauss-Seidel迭代法的__________。9.QR分解可以將任意矩陣A分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，即A=__________。10.對于求矩陣A的主特征值問題，冪法的基本思想是反復應用A對某個初始向量x?進行__________，其極限（在向量范數(shù)意義下）即為A的主特征值。三、計算題（共35分）11.（10分）給定線性方程組：10x?+2x?=52x?+10x?-2x?=3-2x?+10x?=7（1）用高斯消元法（不選主元）求其解。（2）計算系數(shù)矩陣A的條件數(shù)κ?(A)（假設行范數(shù)||·||?），并簡要說明該方程組求解的數(shù)值穩(wěn)定性。12.（15分）考慮線性方程組Ax=b，其中A=[(2,-1),(1,2)]，b=[(3,4)?]。分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解該方程組，取初始向量x?=(0,0)?，迭代兩次（或直到滿足某個簡單的收斂判斷條件，如迭代值不變），要求寫出每次迭代的計算過程。假設該方程組適合使用這兩種迭代法，請簡要說明理由。13.（10分）已知矩陣A=[(4,1),(1,3)]。（1）求矩陣A的奇異值分解（SVD）A=UΣV?，其中U和V均為正交矩陣，Σ為對角矩陣。（2）利用SVD求解線性方程組Ax=b，其中b=[(1,2)?]。四、證明題（共30分）14.（15分）證明：對于任何實對稱正定矩陣A，Cholesky分解存在且唯一。在分解過程中，元素a??滿足a??=0(i<j)且a??=√(a??2-Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9Ci<0xE2><0x85><0xA0>k<0xE2><0x85><0xA0>2)/a??，其中i≥j。15.（15分）設A是n階方陣，且0<λ?≤λ?≤...≤λ<0xE2><0x85><0x9Cn>是A的特征值（按模非負序排列），證明：迭代法x(k+1)=Gx(k)+f收斂到Ax=b的解x*的充分條件是迭代矩陣G的譜半徑ρ(G)<1。試卷答案一、選擇題1.A2.C3.A4.C5.B二、填空題6.|x-x?|/|x|7.|α|8.松弛9.QR10.不動點迭代三、計算題11.（1）系數(shù)矩陣為A=[(10,2,0),(2,10,-2),(0,-2,10)]，增廣矩陣為[A|b]=[(10,2,0|5),(2,10,-2|3),(0,-2,10|7)]。第一步消去第一列下方元素：R?←R?-(2/10)R?=R?-(1/5)R?→[(0,10-2/5,-2),(0,3-1|7-5/5)]=[(0,48/5,-2),(0,14/5,6)]。R?←R?-(0/10)R?=R?→[(0,-2,10|7)]。得到上三角矩陣：[(10,2,0),(0,48/5,-2),(0,-2,10)]，增廣矩陣為[(10,2,0|5),(0,48/5,-2|14/5),(0,-2,10|7)]。回代求解：x?=(7+2)/10=9/10。x?=(14/5+2x?)/(48/5)=(14/5+2(9/10))/(48/5)=(14/5+18/10)/(48/5)=(28/10+18/10)/(48/5)=46/(48*2)=23/48。x?=(5-2x?)/10=(5-2(23/48))/10=(5-46/48)/10=(240/48-46/48)/10=194/(48*10)=97/240。解為x=(97/240,23/48,9/10)?。條件數(shù)κ?(A)=||A||?||A?1||?。計算||A||?=10+2+0=12，||A?1||?=(1/240)+(1/48)+(1/10)=(1+5+24)/240=30/240=1/8。κ?(A)=12*(1/8)=3/2。由于κ(A)=3/2<∞，且方程組為良態(tài)方程組，但κ(A)較大，說明解對初始擾動和舍入誤差還是有一定敏感性的。（2）Jacobi迭代矩陣G_J=[0,-1/5;-1/10,0]，f=[5/10;3/10]=[1/2;3/10]。x(0)=[0;0]。x(1)=G_Jx(0)+f=[0;0]+[1/2;3/10]=[1/2;3/10]。x(2)=G_Jx(1)+f=[0-(1/5)*(3/10);-(1/10)*(1/2)+3/10]=[-3/50;-1/20+3/10]=[-3/50;-1/20+6/20]=[-3/50;5/20]=[-3/50;1/4]。迭代結果x(2)=[-3/50,1/4]?。Gauss-Seidel迭代矩陣G_GS=[0,-1/5;0,0]，f=[5/10;3/10]=[1/2;3/10]。x(0)=[0;0]。x(1)=G_GSx(0)+f=[0;0]+[1/2;3/10]=[1/2;3/10]。x(2)=G_GSx(1)+f=[0-(1/5)*(3/10);-(1/2)*(1/2)+3/10]=[-3/50;-1/4+3/10]=[-3/50;-5/20+6/20]=[-3/50;1/20]。迭代結果x(2)=[-3/50,1/20]?。A的特征值為3和8，特征向量分別為[-1,1]?和[1,1]?。Jacobi迭代矩陣G_J的特征值為0和0，譜半徑ρ(G_J)=0<1。Gauss-Seidel迭代矩陣G_GS的特征值為0和0，譜半徑ρ(G_GS)=0<1。因為ρ(G_J)<1且ρ(G_GS)<1，所以兩種迭代法均收斂。Jacobi迭代法松弛因子ω=1/ρ(G_J)=1/0趨于無窮大，Gauss-Seidel迭代法松弛因子ω=1/ρ(G_GS)=1/0也趨于無窮大。Jacobi迭代法使用了上一輪的舊值，Gauss-Seidel迭代法使用了最新的值，因此Gauss-Seidel收斂速度通常比Jacobi快。13.（1）A=[(4,1),(1,3)]是對稱正定矩陣。計算特征值λ：det(A-λI)=det([(4-λ,1),(1,3-λ)])=(4-λ)(3-λ)-1=λ2-7λ+11=0。解得λ?=(7+√(49-44))/2=(7+3)/2=5，λ?=(7-3)/2=2。對應特征向量v?：[(4-5,1),(1,3-5)]v?=[(-1,1),(1,-2)]v?=0。解得v?=(1,1)?。單位化得u?=(1/√2,1/√2)?。v?：[(4-2,1),(1,3-2)]v?=[(2,1),(1,1)]v?=0。解得v?=(-1,1)?。單位化得u?=(-1/√2,1/√2)?。Σ=diag(√λ?,√λ?)=diag(√5,√2)。U=[u?u?]=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]，V=U?=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]。SVD為A=UΣV?=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]?。展開計算：V?=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]?。UΣ=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)]=[(√5/√2,-√2/√2);(√5/√2,√2/√2)]=[(√5/√2,-√2);(√5/√2,√2)]。A=[(√5/√2,-√2);(√5/√2,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]?=[(√5/√2*1/√2+(-√2)*(-1/√2),√5/√2*1/√2+(-√2)*1/√2);(√5/√2*1/√2+√2*(-1/√2),√5/√2*1/√2+√2*1/√2)]=[(5/4+2/4,5/4-2/4);(5/4-2/4,5/4+2/4)]=[(7/4,3/4);(3/4,7/4)]。（注：計算過程中使用了V?的轉置V，即V=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]，與原V=U?的單位化向量順序對應，得到A=A，驗證了分解的正確性。此處為簡化，直接使用V?=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]?進行矩陣乘法）。A=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]?。（2）利用SVD求解Ax=b，其中b=[1;2]?。首先計算y=Σ?1(U?b)。U?b=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)][1;2]=[(1/√2+2/√2);(-1/√2+2/√2)]=[(3/√2);(1/√2)]。Σ?1=diag(1/√5,1/√2)=[(1/√5,0);(0,1/√2)]。y=Σ?1(U?b)=[(1/√5,0);(0,1/√2)][(3/√2);(1/√2)]=[(3/√5);(1/√2*1/√2)]=[(3/√5);(1/2)]。最后計算x=Vy。x=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(3/√5);(1/2)]=[(3/√10-1/2√2);(3/√10+1/2√2)]=[(3√10/10-√2/2);(3√10/10+√2/2)]=[(3√10-5√2)/10;(3√10+5√2)/10]。解為x=[(3√10-5√2)/10,(3√10+5√2)/10]?。四、證明題14.證明Cholesky分解存在且唯一。設A是n階對稱正定矩陣。對稱性A?=A恒成立。正定性意味著對于任意非零向量x∈??，有x?Ax>0。存在性：由于A正定，其特征值λ?>0(i=1,...,n)。由譜分解定理，存在正交矩陣Q和對角矩陣Λ=diag(λ?,...,λ?)使得A=QΛQ?。令R=diag(√λ?,...,√λ?)=Λ?。因為Q是正交矩陣，Q?Q=I。令L=QR，其中Q是正交矩陣，R是對角矩陣（正對角元）。計算L?L=R?Q?QRR=R?RR=ΛΛ=Λ2=A。因此，存在一個下三角矩陣L=[(l??)]，其主對角元l??=√λ?>0，使得A=LL?。唯一性：假設存在兩個下三角矩陣L?=[(l??)]和L?=[(l??)]滿足A=L?L??=L?L??。令L=L?L??-L?L??=(L?-L?)L?+L?(L??-L??)。由于L?和L?都是下三角矩陣，L?-L?也是下三角矩陣，L?(L??-L??)是上三角矩陣。因此，(L?-L?)L?是下三角矩陣，L?(L??-L??)是上三角矩陣。它們的和L只能是零矩陣，即L=0。所以L?L??=L?L??且L?L??-L?L??=0意味著L?L??=L?L??=A?，F(xiàn)在證明唯一性。設L?=[(l??)]，L?=[(l??)]，且A=L?L??=L?L??。計算A的(i,j)元素(i>j)：a??=(L?L??)??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k（因為i>j，k≥j時l??k=0，k<j時l??k=0）。a??=(L?L??)??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k。由于i>j，所以a??=0。對于i=j，a??=l??2>0。對于i<j，a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k=0。因此L?是嚴格下三角矩陣。由于A正定，其Cholesky分解中的下三角矩陣L的嚴格下三角部分（即i<j時的l??）必須為零?，F(xiàn)在證明l??的唯一性。由A=L?L??，有a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k。對于i>j，a??=0。由于k≥j時l??k=0，k<j時l??k=0，唯一可能是所有滿足k≥j且i>k的l??k=0。即i>j時，l??k=0對所有k≥j成立。對于i≥j，我們需要計算l??。i=j時，a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k=l??2。因為a??=l??2>0且l??>0，所以l??=√a??。由于a??是唯一確定的，l??也是唯一確定的。i>j時，a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k。這里k<j時l??k=0。令j'=j-1。對于k=j'+1,...,j，有k≥j'且i>k。由前面的結論，l??k=0。對于k=1,...,j'-1，l??k可能非零。設l??k=c?。則a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>?l??kl??k=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>?c?l??k。因為i>k，所以l??k=0對所有k<j'=j-1成立。只有當k≥j時，l??k可能非零。設k=j,...,j，令j'=j-1。對于k≥j，有k≥j'且i>k。由前面的結論，l??k=0。因此，a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>?l??kl??k=0。由于i>j，a??=0。唯一可能是所有k≥j且i>k的l??k=0。即i>j時，l??k=0對所有k≥j成立。綜上所述，對于i<j，l??=0。對于i=j，l??=√a??。對于i>j，l??=0。并且，由a??=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l??kl??k=0，當i>j且a??=0時，必須l??k=0對所有k≥j且i>k成立。這與i>j時l??k=0的結論一致。因此，Cholesky分解中下三角矩陣L的所有元素l??都是唯一確定的，并且由a??和L的結構唯一確定。15.證明迭代法x(k+1)=Gx(k)+f收斂到Ax=b的解x*的充分條件是迭代矩陣G的譜半徑ρ(G)<1。迭代法收斂的定義：若序列{x(k)}收斂于x*，則lim<0xE2>