2025年考研測(cè)繪工程測(cè)量平差試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某水準(zhǔn)測(cè)量高差觀測(cè)值及其相應(yīng)的觀測(cè)值中誤差分別為：h?=1.532m,m?=3mm；h?=-2.034m,m?=4mm；h?=1.568m,m?=3mm。試求：（1）高差和h?+h?+h?的最或然值及其其中誤差；（2）高差和h?-h?的最或然值及其其中誤差。二、設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次等精度獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值為l?,l?,...,ln。試用最小二乘原理推導(dǎo)該量的最或然估值（加權(quán)平均值）及其方差。三、在平差中，為何通常采用最小二乘原理作為平差準(zhǔn)則？它有什么基本要求？四、已知某水準(zhǔn)網(wǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：|路線|路線長(zhǎng)度（km）||---|---||1|AB||2|BC||3|CD||4|DA||5|AC||6|BD|設(shè)每公里觀測(cè)高差的中誤差為3mm。試用條件平差法求A,B,C,D四點(diǎn)間高差的最或然值（只需建立法方程，不必求解）。五、設(shè)有一獨(dú)立三角鎖，觀測(cè)了所有內(nèi)角，角度觀測(cè)值（clockwise,已化成度分秒）及其方差分別為：|角編號(hào)|觀測(cè)值|方差(arcsec2)||---|---|---||L?|90°00'15"|4||L?|48°31'45"|4||L?|41°28'00"|5||L?|80°00'15"|4||L?|69°28'00"|5||L?|41°28'15"|4|試列出該三角鎖的幾何條件方程（只需列出方程，不必化為弧度或?qū)懗删仃囆问剑?。六、什么是參?shù)平差？它與條件平差相比有何主要優(yōu)點(diǎn)？七、在間接平差中，已知n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值l?,l?,...,ln的方差分別為m?2,m?2,...,mn2，設(shè)u?,u?,...,un為待求參數(shù)，觀測(cè)方程為：V=AX-L。試寫出誤差方程的系數(shù)陣A、常數(shù)項(xiàng)向量L以及參數(shù)的權(quán)陣P?的表達(dá)式。八、已知某平差問題，法方程為：N?X=W，其中N?為滿秩矩陣。若采用喬里斯基分解法求解參數(shù)估值X，請(qǐng)簡(jiǎn)述其計(jì)算步驟。九、在平差計(jì)算中，如何評(píng)定平差結(jié)果的精度？可以評(píng)定哪些精度指標(biāo)？十、設(shè)對(duì)某點(diǎn)進(jìn)行三維坐標(biāo)測(cè)量，采用間接平差，選取X,Y,Z為待求參數(shù)。觀測(cè)了4個(gè)方向角（α,β,γ,δ）和3個(gè)邊長(zhǎng)S?,S?,S?，觀測(cè)值分別為l?,l?,l?,l?,l?,l?,l?，相應(yīng)的方差為m?2,m?2,m?2,m?2,m?2,m?2,m?2。試列出該平差問題的誤差方程（只需列出方程，不必確定系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)）。試卷答案一、（1）h?=h?+h?+h?=(1.532-2.034+1.568)m=1.066mm?_h=√(m?2+m?2+m?2)=√(32+42+32)mm=√34mm≈5.83mm（2）h?'=h?-h?=(-2.034-1.532)m=-3.566mm?_h'=√(m?2+m?2)=√(32+42)mm=√25mm=5.00mm解析思路：（1）等精度觀測(cè)量的最或然值為觀測(cè)值的算術(shù)平均值。先求和，再除以觀測(cè)次數(shù)（此處為3次），即得最或然值h?。其中誤差按誤差傳播定律合成，因觀測(cè)值相互獨(dú)立，故方差相加，再開方得和的中誤差m?_h。（2）非等精度觀測(cè)量的最或然值為加權(quán)平均值。但題目中m?,m?,m?相同，相當(dāng)于等精度觀測(cè)。最或然值h?'為h?與h?的代數(shù)和，即h?'=h?-h?。其中誤差同樣按獨(dú)立量代數(shù)和的誤差傳播定律合成，即m?_h'=√(m?2+m?2)。二、設(shè)該量的真值為X?，觀測(cè)值為l?，最或然估值為x?。則殘差v?=l?-x?。最小二乘原理要求∑[p?v?2]最小。對(duì)x?求偏導(dǎo)并令其為零：?(∑[p?v?2])/?x?=-2∑[p?v?]=-2∑[p?(l?-x?)]=0∴∑[p?l?]=∑[p?x?]=x?∑[p?]因?yàn)椤芠p?]=1（假設(shè)權(quán)之和不等于零），故x?=∑[p?l?]。x?的方差V(x?)=E[(x?-X?)2]=E[((∑[p?l?])-X?)2]=E[∑[p?(l?-X?)2]]因l?獨(dú)立同分布，方差為m2，則E[l?-X?]2=m2。V(x?)=∑[p?m2]=(∑[p?])m2=m2。若觀測(cè)值等精度，即p?=1，則x?=(1/n)∑l?，即算術(shù)平均值，其方差V(x?)=(n-1)/n*m2。當(dāng)n→∞時(shí)，V(x?)→0。解析思路：首先明確最小二乘原理的目標(biāo)是最小化加權(quán)殘差平方和。然后，對(duì)加權(quán)殘差平方和關(guān)于最或然估值x?求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到x?的表達(dá)式，即為加權(quán)平均值。最后，計(jì)算加權(quán)平均值x?的方差，證明其方差小于等于單個(gè)觀測(cè)值的方差。三、最小二乘原理基于隨機(jī)誤差的抵償性和獨(dú)立性（或協(xié)方差為零）。觀測(cè)值不可避免地含有隨機(jī)誤差，這些誤差大小和符號(hào)呈隨機(jī)分布，但總體上相互抵消。最小二乘原理以加權(quán)殘差平方和最小為準(zhǔn)則，能夠最有效地利用觀測(cè)信息，求得被測(cè)量的最或然估值。它要求觀測(cè)誤差滿足一定的統(tǒng)計(jì)特性（如獨(dú)立同分布、方差已知、期望為零），使得加權(quán)殘差平方和成為二次型函數(shù)，其最小值存在且唯一，從而保證平差解的唯一性和最優(yōu)性（在方差意義下）。解析思路：闡述最小二乘原理的基本思想（最小化加權(quán)殘差平方和）以及其成立的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（誤差特性、二次型函數(shù)的性質(zhì)），說明其為何能求得最或然估值以及其最優(yōu)性。四、設(shè)水準(zhǔn)網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，測(cè)段數(shù)為t。A,B,C,D四點(diǎn)的高程分別為H_A,H_B,H_C,H_D。它們之間存在如下幾何約束關(guān)系：H_B=H_A+h?;H_C=H_A+h?+h?;H_D=H_A+h?+h?;H_C=H_B+h?;H_D=H_B+h?其中h?,h?,h?,h?,h?分別為觀測(cè)高差。選取H_A,H_B,H_C,H_D為待求參數(shù)。則幾何條件方程為：V=A?X-W|-1100||H_A||0||0-110||H_B|+|h?||00-11||H_C|=|h?||000-1||H_D||h?||0010||||0||0001||||0|即：V=|-1100;0-110;00-11;000-1;0010;0001|*|H_A;H_B;H_C;H_D|-|0;h?;h?;h?;0;0|法方程為：N?X=W其中N?=A?P_APA?=A?A(假設(shè)各路線觀測(cè)值等精度，權(quán)P_A為單位陣)W=A?Pl=A?lP_A=diag(32/1,42/1,32/1,42/1,32/1,32/1)=diag(9,16,9,16,9,9)A?l=[0,h?,h?,h?,0,0]?A?A=[38,-9,-9,9;-9,38,9,-9;-9,9,38,-9;9,-9,-9,38]W=[0,h?,h?,h?,0,0]?因此，法方程為：|38-9-99||H_A||0||-9389-9||H_B|=|h?||-9938-9||H_C||h?||9-9-938||H_D||h?|解析思路：首先，根據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)圖和水準(zhǔn)測(cè)量原理，列出各節(jié)點(diǎn)間高程的幾何約束關(guān)系式，即條件方程（線性化的形式）。然后，根據(jù)條件方程的矩陣形式V=A?X-W，確定系數(shù)矩陣A?和常數(shù)項(xiàng)向量W。在此題中，A?=A(因?yàn)闂l件方程是關(guān)于高程參數(shù)的線性形式)。最后，根據(jù)權(quán)矩陣P_A(此處為對(duì)角陣，權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比)，計(jì)算法方程系數(shù)矩陣N?=A?P_APA?=A?A，并寫出法方程N(yùn)?X=W。注意，這里假設(shè)了各路線的觀測(cè)值中誤差已知且相同，從而權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比。五、三角鎖的幾何條件是內(nèi)角和應(yīng)等于(n-2)π(弧度制)，即∑[L?]=(n-2)π。化成度分秒制，內(nèi)角和應(yīng)等于(180n-360)°。觀測(cè)值L?的小數(shù)部分為秒(arcsec)，其方差為m?2。幾何條件方程為：v?+v?+v?+v?+v?+v?=-(L?+L?+L?+L?+L?+L?)+(180*6-360)*3600其中v?=l?-L?。將觀測(cè)值代入：v?+v?+v?+v?+v?+v?=-(90+15+48+31+41+80+69+28+00+15+48+31+41+28+00+15)+(1080-360)*3600v?+v?+v?+v?+v?+v?=-(5340)+720*3600v?+v?+v?+v?+v?+v?=-5340+2592000=2586660或者更精確地，將(180*6-360)°轉(zhuǎn)化為秒：(180*6-360)*3600=(1080-360)*3600=720*3600=2592000秒所以條件方程為：v?+v?+v?+v?+v?+v?+5340=2592000或者v?+v?+v?+v?+v?+v?=2592000-5340=2586660解析思路：三角鎖的幾何條件是所有內(nèi)角之和等于其應(yīng)有的人角和。首先，計(jì)算出三角鎖應(yīng)有的人角和（(n-2)π，此處n=6，為4π弧度，或1440°）。其次，將每個(gè)觀測(cè)角l?減去其名義值L?（此處名義值即觀測(cè)值本身，因?yàn)轭}目未給），得到殘差v?。幾何條件方程即為所有殘差之和等于零（或加上名義和與應(yīng)有人角和之差）。將題目給定的觀測(cè)值代入即可得到最終的線性條件方程。六、參數(shù)平差是以待求參數(shù)（通常是坐標(biāo)、方位角、高程等）作為未知量，建立觀測(cè)方程（誤差方程），然后求解參數(shù)的最或然估值及其精度。與條件平差相比，主要優(yōu)點(diǎn)包括：1.適用性更廣：不僅可以處理線性平差問題，也可以處理非線性平差問題（通過線性化），且不局限于特定類型的約束條件。2.模型更靈活：可以根據(jù)實(shí)際問題自由選擇參數(shù)，建立更簡(jiǎn)潔、更直接的觀測(cè)方程，避免列出冗長(zhǎng)的條件方程。3.計(jì)算效率：對(duì)于參數(shù)較少、觀測(cè)方程數(shù)量較多的問題，參數(shù)平差通常更簡(jiǎn)潔，計(jì)算量可能更小。4.結(jié)果解釋：參數(shù)估值具有明確的物理意義（如坐標(biāo)），更易于理解和解釋。5.處理復(fù)雜問題：更容易處理包含多種類型觀測(cè)值（如角度、邊長(zhǎng)、高差、坐標(biāo)差）的綜合平差問題。解析思路：首先定義參數(shù)平差的基本思想（以參數(shù)為未知量，建立誤差方程）。然后，從適用范圍、模型靈活性、計(jì)算、結(jié)果解釋和復(fù)雜問題處理等方面闡述其相比條件平差的主要優(yōu)點(diǎn)。七、誤差方程V=AX-L描述了觀測(cè)值殘差與待求參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)待求參數(shù)為u?,u?,...,un，它們是獨(dú)立的，方差分別為m?2,m?2,...,mn2，其權(quán)為p?=1/m?2。對(duì)于間接平差，通常假設(shè)觀測(cè)值l?與待求參數(shù)u?之間存在線性關(guān)系，可以表示為：l?=f?(u?,u?,...,un)+Δ?取全微分，得：dl?=?f?/?u?du?+?f?/?u?du?+...+?f?/?undun+dΔ?令殘差v?=dl?-Δ?，并忽略Δ?的高階小量，得：v?=(?f?/?u?)du?+(?f?/?u?)du?+...+(?f?/?un)dun寫成矩陣形式：|v?||?f?/?u??f?/?u?...?f?/?un||du?||v?|=|?f?/?u??f?/?u?...?f?/?un|*|du?|-|Δ?||...||......||...||...||vn||?fn/?u??fn/?u?...?fn/?un||dun||Δn|即V=AX-L其中A=(?f?/?u?)?是誤差方程系數(shù)矩陣，L=Δ?是常數(shù)項(xiàng)向量（包含隨機(jī)誤差）。參數(shù)的權(quán)陣P?是參數(shù)估值du?的協(xié)因數(shù)陣，其逆是參數(shù)的協(xié)方差陣C?=(P?)?1。由于du?之間相互獨(dú)立，且方差為m?2，協(xié)方差為0，故協(xié)因數(shù)陣為對(duì)角陣：P?=diag(1/m?2,1/m?2,...,1/mn2)解析思路：首先，從間接平差的基本原理出發(fā)，即用參數(shù)u?的線性函數(shù)（或線性化后的函數(shù)）來逼近觀測(cè)值l?。通過對(duì)函數(shù)全微分并忽略高階小量，得到誤差方程V=AX-L的形式。然后，根據(jù)誤差傳播定律和權(quán)、協(xié)因數(shù)、方差、協(xié)方差的關(guān)系，推導(dǎo)出誤差方程系數(shù)矩陣A和常數(shù)項(xiàng)向量L的具體形式。最后，明確參數(shù)u?的權(quán)陣P?是其協(xié)因數(shù)陣的對(duì)角陣，并給出其表達(dá)式。八、喬里斯基分解法（CholeskyDecomposition）用于求解對(duì)稱正定矩陣方程Ax=b。對(duì)于法方程N(yùn)?X=W，其中N?是對(duì)稱正定矩陣，W是常數(shù)項(xiàng)向量。1.分解N?：將對(duì)稱正定矩陣N?分解為N?=LL?，其中L是下三角矩陣（其對(duì)角元素通常取為正數(shù)）。2.求解Ly=W：對(duì)線性方程組Ly=W進(jìn)行前向代入（ForwardSubstitution），求解向量y。L=[l??l??l??...;0l??l??...;00l??...;...;000...l<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>]W=[w?;w?;w?;...;w<0xE2><0x82><0x99>]依次求解：l??y?=w?=>y?=w?/l??l??y?+l??y?=w?=>y?=(w?-l??y?)/l??...l<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>y<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>=w<0xE2><0x82><0x99>=>y<0xE2><0x82><0x99>=(w<0xE2><0x82><0x99>-∑[l<0xE2><0x82><0x99>ky<0xE2><0x82><0x99>k])/l<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>3.求解L?X=y：對(duì)線性方程組L?X=y進(jìn)行回代（BackwardSubstitution），求解未知參數(shù)向量X。L?=[l??00...;l??l??0...;l??l??l??...;...;000...l<0xE2><0x82><0x99>]y=[y?;y?;y?;...;y<0xE2><0x82><0x99>]依次求解：l??x?+l??x?+...+l<0xE2><0x82><0x99>x<0xE2><0x82><0x99>=y?=>x<0xE2><0x82><0x99>=(y?-∑[l<0xE2><0x82><0x99>kx<0xE2><0x82><0x99>k])/l??l??x?+l??x?+...+l<0xE2><0x82><0x99>x<0xE2><0x82><0x99>=y?=>x?=(y?-l??x?)/l??...l<0xE2><0x82><0x99>x?+l<0xE2><0x82><0x99>x?+...+l<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>x<0xE2><0x82><0x99>=y<0xE2><0x82><0x99>=>x<0xE2><0x82><0x99>=(y<0xE2><0x82><0x99>-∑[l<0xE2><0x82><0x99>kx<0xE2><0x82><0x99>k])/l<0xE2><0x82><0x99>?<0xE2><0x82><0x99>解析思路：首先，說明喬里斯基分解法是求解對(duì)稱正定矩陣（如法方程系數(shù)陣N?）的有效方法。然后，按照標(biāo)準(zhǔn)步驟詳細(xì)解釋分解N?為L(zhǎng)L?的過程。接著，依次解釋如何通過前向代入求解Ly=W得到中間向量y，以及如何通過回代代入求解L?X=y得到最終解X。整個(gè)過程中強(qiáng)調(diào)L的下三角特性以及前向和回代代入的具體計(jì)算方法。九、平差結(jié)果的精度評(píng)定主要包括：1.單位權(quán)中誤差（或稱單位權(quán)方差）：m?2=Σ[p?v?2]/(n-t)，它是一個(gè)無量綱的量，表征了觀測(cè)值精度相對(duì)于單位權(quán)精度的水平，是所有精度指標(biāo)的基礎(chǔ)。2.觀測(cè)值平差值的中誤差：m?=m?√[p?]或m?=m?√[c?]，反映了每個(gè)觀測(cè)值平差結(jié)果的不確定度。3.參數(shù)（待求量）的平差值中誤差：m??=m?√[q??]，反映了每個(gè)參數(shù)估值的不確定度。其中q??是參數(shù)協(xié)方差陣C?=(N??1)的元素。4.觀測(cè)值或參數(shù)的協(xié)方差：對(duì)于觀測(cè)值v?和v?，C??=-m?2*[A?P_APA]?1<0xE2><0x82><0x99>=-m?2*N??1<0xE2><0x82><0x99>。對(duì)于參數(shù)u?和u?，C??=m?2*[N??1]??。解析思路：首先，明確精度評(píng)定的核心是量化平差結(jié)果的不確定度。然后，列出主要的精度評(píng)定指標(biāo)：?jiǎn)挝粰?quán)中誤差，這是衡量整體精度的基準(zhǔn)；觀測(cè)值平差值中誤差，反映單個(gè)觀測(cè)結(jié)果的精度；參數(shù)平差值中誤差，反映參數(shù)估值的精度；以及協(xié)方差，反映變量間相互關(guān)聯(lián)的程度。最后，給出這些指標(biāo)的計(jì)算公式，并指出它們都與單位權(quán)中誤差m?和法方程的逆矩陣（精度矩陣）N??1有關(guān)。十、誤差方程V=AX-L中，A為誤差方程系數(shù)矩陣，X為待求參數(shù)向量(X=[X,Y,Z]?)，L為常數(shù)項(xiàng)向量(L=[l?,l?,l?,l?,l?,l?,l?]?)。觀測(cè)方程可以基于坐標(biāo)差與邊長(zhǎng)、方位角的關(guān)系建立。設(shè)L?,L?,L?為邊長(zhǎng)觀測(cè)值，S?,S?,S?為對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)真值；α,β,γ,δ為方向角觀測(cè)值，θ?,θ?,θ?為對(duì)應(yīng)的方位角真值。坐標(biāo)差與邊長(zhǎng)、方位角的關(guān)系為：ΔX?=S?cosθ?;ΔY?=S?sinθ?其中ΔX?=X?-X?,ΔY?=Y?-Y?(類似地有ΔZ?)。將真值關(guān)系線性化，即觀測(cè)值減去真值：l?=L?-S?cosθ?=L?-S?cos(α?+L?)l?=L?-S?cosθ?=L?-S?cos(α?+L?)其中l(wèi)?,l?為邊長(zhǎng)觀測(cè)值與真值之差。方向角觀測(cè)值與真值之差為：v?=l?-(θ?-θ?)=l?-(α?+L?-α?-L?)=l?-(α?-α?)v?=l?-(θ?-θ?)=l?-(α?+L?-α?-L?)=l?-(α?-α?)v?=l?-(θ?-θ?)=l?-(α?+L?-α?-L?)=l?-(α?-α?)v?=l?-(θ?-θ<0xE2><0x82><0x99>)=l?-(α?+L?-α<0xE2><0x82><0x99>-L?)=l?-(α?-α<