2025年大學《應用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——數(shù)字信號處理與統(tǒng)計學方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.根據(jù)采樣定理，為了無失真地恢復一個頻帶限制在0至BHz的連續(xù)時間信號，離散時間信號的最小采樣頻率fs必須滿足（）。A.fs≤BHzB.fs>BHzC.fs≥2BHzD.fs<2BHz2.對于一個線性時不變系統(tǒng)，其輸入為x[n]，輸出為y[n]。若輸入為x[n]*h[n]（其中"*"表示卷積），則輸出為（）。A.x[n]+h[n]B.x[n]*h[n]C.h[n]*x[n]D.x[n]/h[n]3.若一個實數(shù)序列x[n]的傅里葉變換X(e^(jω))在頻域上是實函數(shù)，則x[n]一定是（）。A.偶序列B.奇序列C.非周期序列D.周期序列4.在參數(shù)估計中，用樣本均值去估計總體均值，當樣本量n足夠大時，樣本均值的分布近似服從（）。A.t分布B.卡方分布C.F分布D.正態(tài)分布5.進行假設檢驗時，犯第一類錯誤（TypeIError）是指（）。A.統(tǒng)計量計算錯誤B.原假設H0為真，但拒絕了H0C.原假設H0為假，但接受了H0D.處理數(shù)據(jù)時發(fā)生意外6.在簡單線性回歸模型y=β0+β1x+ε中，要求誤差項ε滿足（）。A.ε~N(0,σ2)B.ε獨立同分布C.ε~N(0,1)D.A和B都滿足7.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。若要構(gòu)造μ的100(1-α)%置信區(qū)間，應使用的統(tǒng)計量是（）。A.Z統(tǒng)計量B.t統(tǒng)計量C.χ2統(tǒng)計量D.F統(tǒng)計量8.在方差分析（ANOVA）中，檢驗因素A對結(jié)果是否有顯著影響，實際上是檢驗（）。A.因素A各水平下樣本均值是否相等B.因素A各水平下樣本方差是否相等C.總體方差是否相等D.樣本量是否足夠大9.若兩個變量X和Y的協(xié)方差γXY=0，則稱X和Y（）。A.線性相關(guān)B.線性不相關(guān)C.必定相互獨立D.不存在關(guān)系10.對一個包含n個數(shù)據(jù)點的觀測值序列進行移動平均平滑，使用的窗口大小k對平滑效果的影響是（）。A.k越大，平滑效果越差B.k越大，平滑效果越好（即噪聲抑制能力越強）C.k的取值對平滑效果沒有影響D.k過小會導致過擬合二、填空題1.若信號x(t)的帶寬為BHz，對其進行理想采樣，采樣頻率fs=1.5BHz，則奈奎斯特頻率為______Hz。2.單位沖擊響應h[n]唯一地確定了線性時不變（LTI）系統(tǒng)的______。3.統(tǒng)計量θ?=∑(x?-x?)2/(n-1)是總體方差σ2的______估計量。4.在進行假設檢驗時，顯著性水平ααα代表了犯第一類錯誤的概率，其值通常取______或更小的值。5.若變量X和Y之間存在線性關(guān)系Y=3X+5，則它們的相關(guān)系數(shù)ρXY=______。三、簡答題1.簡述傅里葉變換在信號處理中的作用。2.解釋什么是中心極限定理，并簡述其重要性。3.在簡單線性回歸分析中，什么是殘差？它們有什么用途？四、計算題1.已知離散時間信號x[n]={1,2,3,4,5}。求x[n]的3點移動平均序列y[n]（n=1,2,...,3）。（無需進行誤差分析等）2.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,42)。從中抽取一個樣本量為16的隨機樣本，樣本均值為x?=55。求總體均值μ的95%置信區(qū)間。（假設μ未知）五、綜合應用題考慮一個通過傳感器采集到的包含噪聲的模擬信號x(t)，其真實信號部分可以近似看作一個正弦波，噪聲為白噪聲。采集到的離散時間序列x[n]（n=0,1,...,N-1）已給出（此處假設序列數(shù)據(jù)已知，但無需列出）。1.（8分）簡要說明如何利用傅里葉變換（FFT）分析該序列x[n]的頻譜特性，以初步判斷信號的主要頻率成分和噪聲水平。2.（8分）假設通過頻譜分析發(fā)現(xiàn)信號的主要頻率成分位于某個較低頻段，而噪聲頻率較廣。簡述可以采用哪種類型的數(shù)字濾波器（FIR或IIR）來嘗試濾除噪聲，并說明選擇該類型濾波器的理由。3.（9分）假設濾波后的信號y[n]近似為一個線性過程Y=β0+β1x[n]+ε的輸出（其中x[n]是原始帶噪信號或某個相關(guān)參考信號，β0,β1為待估參數(shù)，ε為誤差）。簡述如何利用最小二乘法估計參數(shù)β0和β1，并說明該方法的依據(jù)。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.A9.B10.B二、填空題1.B2.系統(tǒng)3.無偏4.0.055.1三、簡答題1.傅里葉變換可以將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域，從而方便分析信號的頻率成分、能量分布、系統(tǒng)頻率響應等，是信號處理中分析信號頻率特性的基本工具。2.中心極限定理指出，獨立同分布的隨機變量之和（或均值）的分布近似于正態(tài)分布，無論原始變量服從何種分布，只要樣本量足夠大。其重要性在于為統(tǒng)計推斷（如參數(shù)估計和假設檢驗）提供了理論基礎，使得許多統(tǒng)計方法在條件不滿足正態(tài)分布時仍可近似應用。3.殘差是指觀測值與模型預測值之間的差值，即e?=y?-??。殘差可以用來評估回歸模型的擬合優(yōu)度，檢查模型假設（如誤差獨立性、同方差性、正態(tài)性）是否成立。四、計算題1.y[1]=(x[0]+x[1]+x[2])/3=(1+2+3)/3=2y[2]=(x[1]+x[2]+x[3])/3=(2+3+4)/3=3y[3]=(x[2]+x[3]+x[4])/3=(3+4+5)/3=4序列y[n]={2,3,4}（n=1,2,3）2.總體X~N(μ,42),n=16,x?=55,1-α=0.95,soα=0.05。σ2已知，用Z統(tǒng)計量。查Z表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。置信區(qū)間為x?±Z_(α/2)*(σ/√n)=55±1.96*(4/√16)=55±1.96*1=55±1.96。置信區(qū)間為(53.04,56.96)。五、綜合應用題1.解析思路：利用FFT將序列x[n]從時域轉(zhuǎn)換到頻域，得到其頻譜X(e^(jω))。通過分析頻譜X(e^(jω))的幅度|X(e^(jω))|隨頻率ω的變化，可以識別出信號的主要頻率成分（峰值位置對應的頻率）和噪聲能量分布（頻譜中的其他成分或整體背景噪聲水平）。通常需要選擇合適的窗函數(shù)進行FFT以減少泄露效應。2.解析思路：根據(jù)噪聲和信號頻率特性的分析，如果信號頻率成分集中在較低頻段，而噪聲頻率較廣，可以選擇FIR濾波器。理由：FIR濾波器可以設計成具有非常陡峭的過渡帶，從而在抑制寬頻帶噪聲的同時，較好地保留低頻信號成分。FIR濾波器還有線性相位特性，避免了相位失真，這在信號處理中通常是可取的。IIR濾波器雖然過渡帶更陡峭（相同階數(shù)下），但其相位是非線性的，可能不適合要求信號波形保真度的應用。3.解析思路：利用最小二乘法估計β0和β1，目的是最小化誤差平方和Σe?2=Σ(y?-β0-β1x[n?])2。為此，需要將誤差平方和關(guān)于β0和β1求偏導數(shù)，并令其等于零，從而得到正規(guī)方程組：Σ(y?-β0-β1x[n