2025年大學《應用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——生態(tài)環(huán)境數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與污染監(jiān)測考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn是來自該總體的簡單隨機樣本。記樣本均值為x?，樣本方差為s2。則下列關于統(tǒng)計量(n-1)s2/σ2的敘述中，正確的是（）。A.服從自由度為n-1的t分布B.服從自由度為n的χ2分布C.服從自由度為n的t分布D.服從自由度為n-1的χ2分布2.在一項關于某河流沉積物中重金屬含量的調(diào)查中，研究者希望估計平均重金屬含量μ的置信水平為95%的置信區(qū)間，并要求估計的邊際誤差不超過0.5個單位。如果已知該重金屬含量服從正態(tài)分布，且其標準差σ估計為2個單位，那么為了達到上述目的，至少需要采集多少個樣本？（結(jié)果取整數(shù)）3.假設某工廠生產(chǎn)的某種環(huán)保材料的降解時間（單位：天）服從正態(tài)分布N(θ,42)。為了檢驗該材料的平均降解時間是否大于30天（θ>30），現(xiàn)抽取了一個容量為16的樣本，樣本均值為32天。請寫出該檢驗的零假設H?和備擇假設H?。4.在比較兩種不同處理方法對植物生長的影響時，研究者測量了在兩種處理下各10株植物的高度（單位：cm）。設兩種處理下植物高度分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ2)和N(μ?,σ2)，其中方差相等但未知。要檢驗兩種處理方法的平均高度是否有顯著差異（μ?≠μ?），應選擇哪種統(tǒng)計檢驗方法？二、5.某研究機構(gòu)連續(xù)五年（2019-2023年）監(jiān)測了某湖泊每年夏季的水體富營養(yǎng)化指數(shù)（NO?-N濃度，單位：mg/L），得到數(shù)據(jù)如下：8.2,8.6,9.1,9.5,10.0。請計算該湖泊夏季水體富營養(yǎng)化指數(shù)這五年的平均增長量。6.設X和Y是兩個隨機變量，已知X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1；Y的期望E(Y)=3，方差Var(Y)=4；且X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=-1。請計算隨機變量Z=3X-2Y的期望E(Z)和方差Var(Z)。7.在一項大氣污染物監(jiān)測中，某監(jiān)測點連續(xù)記錄了100小時的一氧化碳（CO）濃度數(shù)據(jù)。假設CO濃度數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ和σ2未知。如果計算得到樣本均值x?=4mg/m3，樣本標準差s=0.8mg/m3。請計算CO濃度均值μ的95%置信區(qū)間（寫出計算公式和關鍵步驟，無需給出具體數(shù)值結(jié)果）。8.為了評估不同施肥方案對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，研究者進行了隨機對照試驗。設A、B兩種施肥方案下農(nóng)作物的產(chǎn)量分別服從正態(tài)分布N(μ?,σ2)和N(μ?,σ2)，其中方差σ2未知且相等?，F(xiàn)分別抽取了n?=15和n?=20的樣本，計算得到樣本均值分別為x??=300kg/畝，x??=295kg/畝，樣本標準差分別為s?=10kg/畝，s?=8kg/畝。請寫出檢驗兩種施肥方案平均產(chǎn)量是否有顯著差異（μ?≠μ?）的檢驗統(tǒng)計量公式（使用樣本均值、樣本方差和樣本量）。三、9.某城市環(huán)保部門為了解居民對垃圾分類政策的認知程度，隨機抽取了200名居民進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有150名居民對垃圾分類政策表示了解。請估計該城市全體居民中對垃圾分類政策表示了解的居民比例的95%置信區(qū)間（寫出計算公式和關鍵步驟，無需給出具體數(shù)值結(jié)果）。10.在一項研究空氣中PM2.5濃度與交通流量關系的分析中，研究者收集了某城市某條主干道一天24小時的數(shù)據(jù)，得到PM2.5濃度（y,單位：μg/m3）和對應時段的交通流量（x,單位：萬輛/小時）數(shù)據(jù)對（x?,y?），i=1,2,...,24。研究者使用最小二乘法擬合了線性回歸方程y?=b?+b?x，并得到回歸系數(shù)b?=0.5，判定系數(shù)R2=0.72。請解釋判定系數(shù)R2=0.72在此研究中的含義。11.假設某工廠生產(chǎn)的電池壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)?，F(xiàn)從一批電池中隨機抽取了n=16節(jié)進行壽命測試，得到的樣本標準差s=5小時。如果要檢驗這批電池的平均壽命是否顯著高于50小時（μ>50），且要求在μ實際等于55小時時，犯第二類錯誤的概率不超過β=0.1（顯著性水平α=0.05）。請問至少需要抽取多少節(jié)電池進行測試？12.某研究人員欲比較兩種不同水質(zhì)凈化處理方法的效果。他選擇了若干個水質(zhì)相似的水樣，將每個水樣分成兩份，隨機分配給兩種處理方法。然后測量處理后的水樣中某污染物殘留量。這種實驗設計屬于什么類型？請說明理由，并簡述這種設計在減少哪種誤差方面具有優(yōu)勢。試卷答案一、1.D2.n≥(Z_(α/2)*σ/E)2=(1.96*2/0.5)2=(3.92)2=15.3664，向上取整，需樣本量至少為16。3.H?:θ≤30；H?:θ>304.獨立樣本t檢驗（假設兩組方差相等）二、5.(9.5-8.2)/(5-1)=1.3/4=0.325cm/年6.E(Z)=3E(X)-2E(Y)=3*2-2*3=6-6=0Var(Z)=32Var(X)+(-2)2Var(Y)+2*3*(-2)*Cov(X,Y)=9*1+4*4+2*3*(-2)*(-1)=9+16+12=377.置信區(qū)間公式：x?±t_(α/2,n-1)*(s/√n)需計算自由度df=n-1=99時的t_(0.025,99)值（或使用近似Z值1.96），然后代入x?=4,s=0.8,n=100計算區(qū)間上下限。8.檢驗統(tǒng)計量公式：t=(x??-x??)/sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]*sqrt[(1/n?+1/n?)]其中n?=15,x??=300,s?=10;n?=20,x??=295,s?=8。三、9.比例的置信區(qū)間公式：p?±Z_(α/2)*sqrt[p?(1-p?)/n]其中p?=150/200=0.75,n=200。需計算自由度df=n-1=199時的Z_(0.025)值（或使用近似Z值1.96），然后代入計算區(qū)間上下限。10.R2=0.72表示在PM2.5濃度（y）的總變異中，有72%可以用該線性回歸模型中PM2.5濃度（y）與交通流量（x）之間的關系來解釋。11.需使用樣本量計算公式，涉及Z_(α)和Z_(β)的分位數(shù)（α=0.05時Z_(0.05)≈1.645，β=0.1時Z_(0.10)≈1.282）。公式為：n=[(Z_(α)+Z_(β))^2*σ2]/(μ?-μ?)2=[(1.645+1.282)^2*52]/(55-50)2=