2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)。）1.某經(jīng)濟(jì)模型包含三個(gè)部門，其產(chǎn)出分別為x?,x?,x?，投入系數(shù)矩陣為A，最終需求向量為b。若要使得總產(chǎn)出恰好滿足最終需求，則下列哪個(gè)表達(dá)式正確地描述了這個(gè)問題？（）A.Ax=bB.A?x=bC.(I-A)x=bD.(I+A)x=b2.在一個(gè)線性規(guī)劃問題中，若某個(gè)約束條件的右端項(xiàng)系數(shù)增加5，最優(yōu)解發(fā)生改變，而最優(yōu)值并未改變。根據(jù)對(duì)偶理論，可以推斷該約束條件對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量（影子價(jià)格）在增加前（）。A.必定為0B.必定大于0C.必定小于0D.無法判斷其符號(hào)3.若一個(gè)線性規(guī)劃問題的單純形表中，非基變量的檢驗(yàn)數(shù)有大于0的，且該非基變量對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量所有元素均非正。則該線性規(guī)劃問題（）。A.有唯一最優(yōu)解B.有無窮多最優(yōu)解C.目標(biāo)函數(shù)無界D.無可行解4.某線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題是“極大化”問題，則原問題是（）。A.“極大化”問題B.“極小化”問題C.目標(biāo)函數(shù)無界D.無可行解5.在線性規(guī)劃問題中，如果增加一個(gè)新的約束條件，且該約束條件對(duì)原問題的最優(yōu)解有影響，那么新最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值（）。A.必定增大B.必定減小C.可能增大，也可能減小D.保持不變二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上。）6.線性規(guī)劃問題的基本解是指滿足所有約束條件的解，但其中至少有______個(gè)變量取值為0。7.若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解是基本解，則該最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的基是______基。8.在單純形法中，選擇進(jìn)入基的變量時(shí)，通常選擇使檢驗(yàn)數(shù)______的非基變量。9.影子價(jià)格（對(duì)偶變量）的經(jīng)濟(jì)含義是，對(duì)應(yīng)資源增加一個(gè)單位時(shí)，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的______。10.若一個(gè)線性規(guī)劃問題的約束條件包括“x?+2x?≤8”和“x?+2x?≥6”，則這兩個(gè)約束條件在可行域邊界上______。三、簡(jiǎn)答題（每小題7分，共21分。）11.簡(jiǎn)述線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型包含的五個(gè)基本要素。12.解釋單純形法迭代過程中，如何判斷已找到最優(yōu)解？13.什么是線性規(guī)劃的對(duì)偶問題？簡(jiǎn)述其對(duì)偶定理的主要內(nèi)容。四、模型建立題（每小題10分，共20分。）14.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗原材料1公斤和勞動(dòng)力3小時(shí)，利潤(rùn)為2元；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗原材料2公斤和勞動(dòng)力1小時(shí)，利潤(rùn)為3元。公司現(xiàn)有原材料100公斤，勞動(dòng)力120小時(shí)。請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，使公司總利潤(rùn)最大。15.假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)體只有兩個(gè)部門：農(nóng)業(yè)（A）和工業(yè)（I）。農(nóng)業(yè)部門每單位產(chǎn)出消耗自身產(chǎn)出0.1單位，消耗工業(yè)產(chǎn)出0.3單位，最終需求為10單位。工業(yè)部門每單位產(chǎn)出消耗自身產(chǎn)出0.2單位，消耗農(nóng)業(yè)產(chǎn)出0.4單位，最終需求為20單位。請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，求各部門的總產(chǎn)出水平。五、計(jì)算與求解題（每小題10分，共20分。）16.已知某線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型為：MaxZ=3x?+5x?s.t.x?+x?≤42x?+x?≤6x?,x?≥0（1）寫出該問題的初始單純形表（系數(shù)矩陣、右端項(xiàng)、目標(biāo)函數(shù)值等）。（2）若用單純形法求解，請(qǐng)寫出第一步迭代后的單純形表的主要結(jié)構(gòu)（包括基變量、非基變量、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)、系數(shù)矩陣、右端項(xiàng)等），無需進(jìn)行完整計(jì)算。17.某線性規(guī)劃問題的最終單純形表如下（部分信息）：|基變量|x?|x?|s?|s?|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|0|0|2|3|24|||x?|0|1|1/2|0|6|||x?|1|0|-1/4|1/4|2||（1）該問題的最優(yōu)解是什么？（寫出變量值）（2）目標(biāo)函數(shù)的最大值為多少？（3）分析s?和s?（即原問題的約束條件資源）的影子價(jià)格，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。（4）若目標(biāo)函數(shù)變?yōu)镸axZ=4x?+3x?，最優(yōu)解是否改變？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明。六、綜合應(yīng)用題（共15分。）18.某農(nóng)場(chǎng)有土地100畝，勞動(dòng)力200人。計(jì)劃種植兩種作物：作物X和作物Y。每畝作物X需要?jiǎng)趧?dòng)力30人，可獲得利潤(rùn)500元；每畝作物Y需要?jiǎng)趧?dòng)力20人，可獲得利潤(rùn)300元。由于市場(chǎng)需求限制，作物Y的種植面積不能超過50畝。農(nóng)場(chǎng)希望獲得最大利潤(rùn)。請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型求解該問題，并分析如果勞動(dòng)力增加到250人，最大利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化（僅需根據(jù)模型變化進(jìn)行定性分析或?qū)懗鲂碌哪繕?biāo)函數(shù)值表達(dá)式）。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.C二、填空題6.所有7.基本可行8.最大9.增加10.重合三、簡(jiǎn)答題11.線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型包含五個(gè)基本要素：決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件（通常用線性等式或不等式表示）、非負(fù)約束（決策變量非負(fù)）以及問題的具體背景描述。12.在單純形法迭代過程中，若所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)（在目標(biāo)函數(shù)行中對(duì)應(yīng)系數(shù)）都小于或等于0，則已找到最優(yōu)解。13.線性規(guī)劃的對(duì)偶問題是指從原問題（稱為原始問題）中推導(dǎo)出的另一個(gè)線性規(guī)劃問題，其變量和約束條件與原始問題有特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)偶定理主要包括：強(qiáng)對(duì)偶定理（原始問題最優(yōu)值等于對(duì)偶問題最優(yōu)值）、對(duì)偶互補(bǔ)松弛定理（原始解的某個(gè)松弛變量非零當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)偶解的相應(yīng)檢驗(yàn)數(shù)非零）等。四、模型建立題14.設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x?，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為x?。MaxZ=2x?+3x?s.t.x?+2x?≤100(原材料約束)3x?+x?≤120(勞動(dòng)力約束)x?+x?≤50(產(chǎn)品Y產(chǎn)量上限約束，由市場(chǎng)需求得出)x?,x?≥0(非負(fù)約束)15.設(shè)農(nóng)業(yè)部門總產(chǎn)出為x?，工業(yè)部門總產(chǎn)出為x?。MinW=x?+x?(求總產(chǎn)出最小，因?yàn)楫a(chǎn)出滿足需求即最優(yōu))s.t.0.1x?+0.3x?≥10(農(nóng)業(yè)最終需求)0.2x?+0.4x?≥20(工業(yè)最終需求)x?,x?≥0(非負(fù)約束)五、計(jì)算與求解題16.（1）初始單純形表（標(biāo)準(zhǔn)型）：|基變量|x?|x?|s?|s?|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|-3|-5|0|0|0|||s?|1|1|1|0|4|||s?|2|1|0|1|6||（2）第一步迭代后的單純形表主要結(jié)構(gòu)：|基變量|x?|x?|s?|s?|RHS|Z||-------|-----|-----|-----|-----|------|----||Z|0|-3|0|0|12|||x?|1|1|1|0|4|||s?|0|-1|-2|1|2||17.（1）最優(yōu)解：x?=2,x?=6,s?=0,s?=0。（2）目標(biāo)函數(shù)的最大值：Z=24。（3）s?的影子價(jià)格為2，s?的影子價(jià)格為3。s?和s?分別代表原問題的兩個(gè)資源，影子價(jià)格2和3表示當(dāng)這兩個(gè)資源分別增加一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值（最優(yōu)利潤(rùn)）分別增加2元和3元。（4）若目標(biāo)函數(shù)變?yōu)镸axZ=4x?+3x?，最優(yōu)解可能改變。因?yàn)闄z驗(yàn)數(shù)（對(duì)應(yīng)x?和x?的系數(shù)）可能會(huì)變?yōu)檎龜?shù)，需要重新進(jìn)行單純形迭代，新的最優(yōu)解可能不再是x?=2,x?=6。六、綜合應(yīng)用題18.原模型：MaxZ=2x?+3x?s.t.x?+2x?≤1003x?+x?≤120x?≤50x?,x?≥0勞動(dòng)力增加到250人后，模型變?yōu)椋篗axZ