2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——大學數(shù)理基礎(chǔ)科學的基變換理論考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，α?,α?,...,α?是V的一組基。若β?,β?,...,β?是V中的n個向量，且存在唯一的坐標表示式：β?=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?c<0xE2><0x82><0x99>?α<0xE2><0x82><0x99>(i=1,2,...,n)則向量組β?,β?,...,β?線性（）。A.必定無關(guān)B.必定相關(guān)C.可能無關(guān)，可能相關(guān)D.依賴于c<0xE2><0x82><0x99>?的取值2.設(shè)A=[a<0xE1><0xB5><0xA3>??]是數(shù)域F上的m×n矩陣，B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>??]是數(shù)域F上的n×k矩陣。定義從Fⁿ到F^k的線性變換T：x→Ax，則T在基β?,β?,...,β?下對應的矩陣P與矩陣B的關(guān)系為（）。A.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>?1BB<0xE1><0xB5><0xA3>?1BB<0xE1><0xB5><0xA3>?1B.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>C.P=BB<0xE1><0xB5><0xA3>?1D.P=B<0xE1><0xB5><0xA3>?1B3.設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，β={β?,β?,...,β?}和γ={γ?,γ?,...,γ?}是V的兩組基。從基β到基γ的過渡矩陣為P。若向量x在基β下的坐標為x<0xE2><0x82><0x99>，則x在基γ下的坐標x<0xE1><0xB5><0xA3>滿足（）。A.x<0xE1><0xB5><0xA3>=Px<0xE2><0x82><0x99>B.x<0xE1><0xB5><0xA3>=P<0xE1><0xB5><0xA3>?1x<0xE2><0x82><0x99>C.x<0xE1><0xB5><0xA3>=x<0xE2><0x82><0x99>P<0xE1><0xB5><0xA3>D.x<0xE1><0xB5><0xA3>=P<0xE1><0xB5><0xA3>Px<0xE2><0x82><0x99>4.設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，B是與A相似的n階矩陣。若A可逆，則B（）。A.必定可逆B.必定不可逆C.可能可逆，可能不可逆D.不可逆的秩一定小于A的秩5.設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，B是與A相似的n階矩陣。則A和B的秩（）。A.必定相等B.必定不相等C.可能相等，可能不相等D.相等與否取決于相似變換矩陣二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.設(shè)n維向量空間V中的兩個基為β={β?,β?,...,β?}和γ={γ?,γ?,...,γ?}，從基β到基γ的過渡矩陣為P。向量β<0xE1><0xB5><0xA3>在基β下的坐標為(1,2,...,n)?，則β<0xE1><0xB5><0xA3>在基γ下的坐標為_______。2.設(shè)A是從R2到R2的線性變換，A在標準基e?=(1,0)?,e?=(0,1)?下的矩陣為[12;34]。若另一組基為γ?=(1,1)?,γ?=(1,-1)?，則線性變換A在基γ?,γ?下對應的矩陣為_______。3.設(shè)A=[12;34]和B=[01;-10]是R2上的兩個線性變換對應的矩陣。若線性變換T?對應矩陣A，線性變換T?對應矩陣B，則線性變換T?+T?在標準基下的矩陣為_______。4.設(shè)A是數(shù)域F上的n階可逆矩陣，B是數(shù)域F上的n階矩陣。若矩陣C=A?1BA，則從基β={e?,e?,...,e?}到基γ={Ae?,Ae?,...,Ae?}的過渡矩陣為_______。5.設(shè)V是二維向量空間，β={β?,β?}和γ={γ?,γ?}是V的兩組基，從基β到基γ的過渡矩陣P=[12;01]。若向量α在基γ下的坐標為(3,-1)?，則α在基β下的坐標為_______。三、計算題（共35分）1.（10分）在R3中，給定兩組基：β={e?=(1,0,0)?,e?=(1,1,0)?,e?=(1,1,1)?}和γ={γ?=(1,0,0)?,γ?=(0,1,0)?,γ?=(0,0,1)?}。求從基β到基γ的過渡矩陣P。2.（10分）設(shè)R3中的向量α=(1,2,3)?。已知從標準基β={e?,e?,e?}到基γ={γ?,γ?,γ?}的過渡矩陣P=[101;110;011]。求向量α在基γ下的坐標。3.（15分）設(shè)A=[12;21]是R2上的線性變換T在標準基下的矩陣。求線性變換T在基γ?=(1,0)?,γ?=(1,1)?下的矩陣B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>??]。四、證明題（共30分）1.（15分）設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，β={β?,β?,...,β?}和γ={γ?,γ?,...,γ?}是V的兩組基，從基β到基γ的過渡矩陣為P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>?]。證明：過渡矩陣P是可逆矩陣。2.（15分）設(shè)A和B是數(shù)域F上的n階矩陣，且A與B相似，即存在可逆矩陣P使得B=P?1AP。證明：若A可逆，則B也可逆，且B?1=P?1A?1P。---試卷答案一、選擇題1.A2.C3.A4.A5.A二、填空題1.P(1,2,...,n)?2.[23;1-2]3.[13;13]4.A?1B5.(-7,5)?三、計算題1.解：設(shè)從基β到基γ的過渡矩陣為P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>?]。則γ?=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?p<0xE1><0xB5><0xA3>?β?。由γ?=(1,0,0)?,γ?=(0,1,0)?,γ?=(0,0,1)?，得：γ?=p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?=(1,0,0)?γ?=p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?=(0,1,0)?γ?=p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?+p<0xE1><0xB5><0xA3>??β?=(0,0,1)?即：[γ?;γ?;γ?]=[β?β?β?]P[100;010;001]=[111;011;001]P解此矩陣方程，得P=([111;011;001])?1[100;010;001]=[10-1;01-1;001][100;010;001]=[10-1;01-1;001]。所以從基β到基γ的過渡矩陣P=[10-1;01-1;001]。2.解：設(shè)向量α在基γ下的坐標為x<0xE1><0xB5><0xA3>=(x?,x?,x?)?。則α=γx<0xE1><0xB5><0xA3>=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?x<0xE1><0xB5><0xA3>?γ?。由α=(1,2,3)?，P=[10-1;01-1;001]，得：(1,2,3)?=(x?,x?,x?)?[10-1;01-1;001]=(x?,x?,-x?-x?)?。解得x?=1,x?=2,-x?-x?=3=>-1-2=3，矛盾。應改為(1,2,3)?=(x?,x?,x?)?P=(x?,x?,x?+x?)?。解得x?=1,x?=2,x?+x?=3=>1+2=3。所以α在基γ下的坐標為(1,2,3)?。3.解：設(shè)線性變換T在基γ?,γ?下的矩陣為B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>??]。則T(γ?)=b<0xE1><0xB5><0xA3>??γ?+b<0xE1><0xB5><0xA3>??γ?，T(γ?)=b<0xE1><0xB5><0xA3>??γ?+b<0xE1><0xB5><0xA3>??γ?。由T(γ?)=T((1,0)?)=(1,0)?A=(1,0)?[12;21]=(1,2)?，T(γ?)=T((1,1)?)=(1,1)?A=(1,1)?[12;21]=(3,3)?。又γ?=(1,0)?,γ?=(1,1)?，得：(1,2)?=b<0xE1><0xB5><0xA3>??(1,0)?+b<0xE1><0xB5><0xA3>??(1,1)?=(b<0xE1><0xB5><0xA3>??+b<0xE1><0xB5><0xA3>??,b<0xE1><0xB5><0xA3>??)?。(3,3)?=b<0xE1><0xB5><0xA3>??(1,0)?+b<0xE1><0xB5><0xA3>??(1,1)?=(b<0xE1><0xB5><0xA3>??+b<0xE1><0xB5><0xA3>??,b<0xE1><0xB5><0xA3>??)?。解得b<0xE1><0xB5><0xA3>??=1,b<0xE1><0xB5><0xA3>??=1，b<0xE1><0xB5><0xA3>??=2,b<0xE1><0xB5><0xA3>??=-1。所以B=[b<0xE1><0xB5><0xA3>??]=[12;1-1]。四、證明題1.證明：設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，β={β?,β?,...,β?}和γ={γ?,γ?,...,γ?}是V的兩組基，從基β到基γ的過渡矩陣為P=[p<0xE1><0xB5><0xA3>?]。任取α∈V，設(shè)α在基β下的坐標為x=(x?,x?,...,x?)?，α在基γ下的坐標為y=(y?,y?,...,y?)?。則α=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?x<0xE1><0xB5><0xA3>?β?=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?y<0xE1><0xB5><0xA3>?γ?。由γ?=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?p<0xE1><0xB5><0xA3>?β?，代入上式得：Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?x<0xE1><0xB5><0xA3>?(Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?p<0xE1><0xB5><0xA3>?β?)=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?y<0xE1><0xB5><0xA3>?γ?。Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?(Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?x<0xE1><0xB5><0xA3>?p<0xE1><0xB5><0xA3>?)β?=Σ?<0xE2><0x82><0x99>=?y<0xE1><0xB5><0xA3>?γ?。因為